人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)-期末系統(tǒng)知識(shí)復(fù)習(xí)講義-第1講-加減與數(shù)乘 圖形直觀悟

第1講加減與數(shù)乘圖形直觀悟四基概述1.基本概念名稱定義符號(hào)表示注意點(diǎn)向量既有大小又有方向的量，(書寫有)角度(任意角)有大小還有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)方向，但它是數(shù)量不是向量，因?yàn)樗梢杂脭?shù)軸上的點(diǎn)表示，而向量不能在數(shù)軸上表示有線線段具有方向的線段 有向線段有起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度三個(gè)要素，是向量的幾何表示向量的長(zhǎng)度或模向量的大小，(書寫有)向量不能比較大小，但向量的模長(zhǎng)可以比較大小，如|a+b|≤|a|+|b|零向量長(zhǎng)度為0的向量0(書寫用)規(guī)定對(duì)于任意向量,都有0∥單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量表示與同向的單位向量若把所有表示單位向量的有向線段的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，那么它們的終點(diǎn)會(huì)構(gòu)成一個(gè)單位圓平行向量，共線向量方向相同或相反的非零向量, 表示平行向量的有向線段有可能平行，也有可能共線，要結(jié)合其他條件進(jìn)行判斷相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 若已知平行四邊形ABCD，那么有向線段和雖然起點(diǎn)不同但表示的是同一個(gè)向量相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量表示向量的相反向量的相反向量可以是,且相反向量之和為零向量,即2.線性運(yùn)算(1)向量的加減法運(yùn)算(2)數(shù)乘運(yùn)算(3)化簡(jiǎn)如,轉(zhuǎn)化如,此類以首尾相連法為基礎(chǔ)的化簡(jiǎn)和轉(zhuǎn)化可以脫離具體幾何圖形,甚至可以脫離平面推廣到空間,是向量運(yùn)算的基本技能.(4)若且和不共線,則由可得和,這個(gè)推論很有用.典側(cè)分析例1根據(jù)下列各小題的條件,試判斷四邊形的形狀.(1);(2)(3)且.【思路點(diǎn)撥】利用向量線性運(yùn)算的幾何意義,構(gòu)建與向量代數(shù)關(guān)系式對(duì)應(yīng)的幾何模型,這是用幾何法解決向量問題的切入口.【自主解答】例2在任意四邊形中,和分別是和的中點(diǎn),(1)求證:.(2)若三點(diǎn)重合,你能得到什么結(jié)論?(3)若兩點(diǎn)重合,你能得到什么結(jié)論?例2圖【思路點(diǎn)撥】利用同一向量的不同回路中的相反向量關(guān)系,得到向量的中點(diǎn)公式.【自主解答】例3已知平行四邊形,點(diǎn)是的中點(diǎn),與相交于點(diǎn),設(shè),用表示.例3圖【思路點(diǎn)撥】表示時(shí),利用相等向量的不同回路中的共線向量關(guān)系,得到所需的等式,體現(xiàn)了向量運(yùn)算就是幾何關(guān)系的代數(shù)化,當(dāng)然也可以先用相似三角形得到所需的幾何關(guān)系,再用向量表示.【自主解答】例4已知凸六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)是和的各邊的交點(diǎn),且.求證:.例4圖【思路點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義和向量回路的應(yīng)用,最好先假設(shè),,這樣處理可使解答更簡(jiǎn)潔.例已知分別是的邊,的中點(diǎn),求證:相交于一點(diǎn)且.【思路點(diǎn)撥】可以先假設(shè)與相交于點(diǎn),若用幾何法就要根據(jù)中位線性質(zhì),利用相似三角形,得到點(diǎn)是中線的三等分點(diǎn),所以向量法的關(guān)鍵也是先要用回路法得到,然后根據(jù)題目條件利用共線向量構(gòu)造不同的回路來表示相等向量,進(jìn)而得證.【自主解答】例6已知的外接圓圓心為,垂心為,求證:.【思路點(diǎn)撥】取和的中點(diǎn),利用中位線的向量等式,構(gòu)造相等向量的不同回路,結(jié)合垂線與中垂線平行,找到不同回路中的平行向量,就可以得到關(guān)鍵等式來證明.【自主解答】鞏固練習(xí)1.下列結(jié)論中正確的是().A.單位向量大于零向量B.若,則C.若,則D.若和不共線且,則2.如圖,向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,若,則第2題圖A.B.3C.1D.3.已知非零向量,使得成立的充分非必要條件是().A.B.C.D.4.在中,為的中點(diǎn).設(shè),則下列向量中與同向的是().A.B.C.D.5.在中,和分別是邊上的點(diǎn),且,若,則.A.B.C.D.6.已知三點(diǎn)不共線,且點(diǎn)滿足,則下列結(jié)論中正確的是().A.B.C.D.7.若為內(nèi)一點(diǎn),且,則的形狀為().A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形8.如圖,在正中,分別是的中點(diǎn),則與向量相等的向量是。第8題圖9.化簡(jiǎn):；10.已知點(diǎn)在線段上,且,則；(為直線外一點(diǎn)).11.已知點(diǎn)為外接圓的圓心,且,則12.在平行四邊形中,分別是的中點(diǎn),若,則13.如圖,已知向量,求作向量.第13題圖14.如圖,已知是平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn),過點(diǎn)的兩條直線交四邊于四點(diǎn),用向量證明四邊形