考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷5（共279題）

考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷5（共9套）（共279題）考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，有ax3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，則()．A、a=，b=1，c=0B、a=-，b=1，c=0C、a=，b=一1，c=0D、a=0，b=2，c=0標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍x3+bx2+cx～∫0ln(1+2x)sintdt，得a=0，b=2，選D．2、設(shè)f(x)=∫0sinxsint3dt，g(x)=x3+x4，當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的()．A、等價(jià)無(wú)窮小B、同階但非等價(jià)無(wú)窮小C、高階無(wú)窮小D、低階無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋哉_答案為B．3、設(shè)f(x)=∫0xdt∫0ttin(1+u2)du，g(x)=[*](1一cost)dt，則當(dāng)x→0時(shí)，f(x)是g(x)的()．A、低階無(wú)窮小B、高階無(wú)窮小C、等價(jià)無(wú)窮小D、同階但非等價(jià)的無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：故x→0時(shí)，f(x)是g(x)的低階無(wú)窮小，應(yīng)選A．4、設(shè){an}與{bn}為兩個(gè)數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是()．A、若{an}與{bn}都發(fā)散，則{anbn}一定發(fā)散B、若{an}與{bn}都無(wú)界，則{anbn}一定無(wú)界C、若{an}無(wú)界且D、若an為無(wú)窮大，且=0，則bn一定是無(wú)窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：A不對(duì)，如an=2+(一1)n，bn=2一(一1)n，顯然{an}與{bn}都發(fā)散，但anbn=3，顯然{anbn}收斂；B、C都不對(duì)，如an=n[1+(一1)n]，bn=n[1一(一1)n]，顯然{an}與{bn}都無(wú)界，但anbn=0，顯然{anbn}有界≠0；正確答案為D．5、設(shè)f(x)=，則()．A、a＞0，b＞0B、a＜0，b＜0C、a≥0，b＜0D、a≤0，b＞0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)==0，所以b＜0，選C．二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)6、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：7、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、當(dāng)x→0時(shí)，x—sinxcos2x～cxk，則c=________，k=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：；3知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：.由ea一aea一ea得a=2．12、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)=8，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：lna知識(shí)點(diǎn)解析：，由e3a=8，得a=ln2．15、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、=________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)17、確定常數(shù)a，b，c，使得=c．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f"(0)=6，且標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)f’(x)連續(xù)，f(0)=0，f’(0)≠0，F(xiàn)(x)=∫0xtf(t一x)dt，且當(dāng)x→0時(shí)，F(xiàn)(x)～x，求n及f’(0)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)f(x)在[1，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，f’(x)＜0且標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒’(x)＜0，所以f(x)單調(diào)減少．又因?yàn)閍n+1一an=f(n+1)一∫nn+1f(x)dx—f(n+1)一f(ξ)≤0(ξ∈[n，n+1])，所以{an}單調(diào)減少．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)a＞0，x1＞0，且定義xn+1=存在并求其值．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)檎龜?shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)，所以有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)a1=1，當(dāng)n≥1時(shí)，an+1=，證明：數(shù)列{an}收斂并求其極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、設(shè)f(x)在[0，2]上連續(xù)，且f(0)=0，f(1)=1．證明：(1)存在c∈(0，1)，使得f(c)=1—2c；(2)存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令φ(x)=f(x)一1+2x，φ(0)=一1，φ(1)=2，因?yàn)棣?0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0，于是f(c)=1—2c．(2)因?yàn)閒(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、設(shè)=A，證明：數(shù)列{an}有界．標(biāo)準(zhǔn)答案：取ε0=1，因?yàn)?A，根據(jù)極限定義，存在N＞0，當(dāng)n＞N時(shí)，有｜an一A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜+1．取M=max{｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜+1)，則對(duì)一切的n，有｜an｜≤M．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、設(shè)f(x)在[0，1]上有定義，且exf(x)與e-f(x)在[0，1]上單調(diào)增加．證明：f(x)在[0，1]上連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)任意的x∈[0，1]，因?yàn)閑x(x)與e-f(x)在[0，1]上單調(diào)增加，令x→x0，由夾逼定理得f(x0+0)=f(x0)，故f(x0一0)=f(x0+0)=f(x0)，即f(x)在x=x0處連續(xù)，由x0的任意性得f(x)在[0，1]上連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、設(shè)f(x)在[a，+∞)上連續(xù)，f(a)＜0，而存在且大于零．證明：f(x)在(a，+∞)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：令，所以存在X0＞0，當(dāng)x≥X0時(shí)，有｜f(x)一k｜≤，特別地，f(X0)＞0，因?yàn)閒(x1)在[a，X0]上連續(xù)，且f(a)f(X0)＜0，所以存在ξ∈(a，X0)，使得f(ξ)=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、設(shè)f(x)=，求f(x)的間斷點(diǎn)并判斷其類(lèi)型．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、求f(x)=的間斷點(diǎn)并判斷其類(lèi)型．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)的間斷點(diǎn)為x=0，一1，一2，…及x=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)g(x)=∫0xf(du)du，其中f(x)=則g(x)在(0，2)內(nèi)()．A、單調(diào)減少B、無(wú)界C、連續(xù)D、有第一類(lèi)間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x)在(0，2)內(nèi)只有第一類(lèi)間斷點(diǎn)，所以g(x)在(O，2)內(nèi)連續(xù)，選C．2、設(shè)f(x)在R上是以T為周期的連續(xù)奇函數(shù)，則下列函數(shù)中不是周期函數(shù)的是()．A、∫axf(t)dtB、∫-xaf(t)dtC、∫-x0f(t)dt—∫x0f(t)dtD、∫-xxtf(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)φ(x)=∫-xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(x+T)=2∫0x+Ttf(t)dt=2∫0xtf(t)dt+2∫xx+Ttf(t)dt≠φ(c)，選D。3、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，下列變上限積分函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()．A、∫0xt[f(t)一f(一t)]dtB、∫0xt[f(t)+f(一t)]dtC、∫0xf(t2)dtD、∫0xf2(t)dt標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閠[f(t)一f(-t)]為偶函數(shù)，所以∫0xt[f(t)一f(-t)]dt為奇函數(shù)，A不對(duì)；因?yàn)閒(t2)為偶函數(shù)，所以∫0xf(t2)dt為奇函數(shù)，C不對(duì)；因?yàn)椴淮_定f2(t)的奇偶性，所以D不對(duì)；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(-t)]dt，F(xiàn)(-x)=∫0-xt[f(t)+f(-t)-]dt=∫0x(一u)[f(u)+f(-u)](一du)=F(x)，選B．4、若由曲線(xiàn)y=，曲線(xiàn)上某點(diǎn)處的切線(xiàn)以及x=1，x=3圍成的平面區(qū)域的面積最小，則該切線(xiàn)是()．A、y=B、y=+24C、y=x+1D、y=標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)5、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：7、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：8、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：4-π知識(shí)點(diǎn)解析：9、設(shè)f(x)滿(mǎn)足等式xf’(x)-f(x)=，且f(1)=4，則∫01f(x)dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、設(shè)函數(shù)y=y(x)滿(mǎn)足△y=△x+o(△x)，且y(1)=1，則∫01y(x)dx=—一．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：11、設(shè)，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識(shí)點(diǎn)解析：12、設(shè)f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e-1-e知識(shí)點(diǎn)解析：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π一∫0πf’(x)sinxdx=一∫0πecosx“sinxdx=ecosx｜0π=e-1一e．13、設(shè)f(x)連續(xù)，且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、設(shè)連續(xù)非負(fù)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)f(一x)=1，則=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：15、I(x)=在區(qū)間[-1，1]上的最大值為=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：ln3知識(shí)點(diǎn)解析：故I(x)在[一1，1]上的最大值為ln3．16、設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：17、y=上的平均值為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)18、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)且｜f’(x)｜≤M．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)f(x)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)=0，令標(biāo)準(zhǔn)答案：由微分中值定理得f(x)一f(0)=f’(ξ)x，其中ξ介于0與x之間，因?yàn)閒(0)=0，所以｜f(x)｜=｜f’(ξ)x｜≤Mx，x∈[0，a]，從而∫0af(x)dx｜≤∫0af(x)｜dx≤∫0aMxdx=．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)f’(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(1)一f(0)=1．證明：∫01f’2(x)dx≥1．標(biāo)準(zhǔn)答案：由1=f(1)一f(0)=∫01f’(x)dx，得12=1=(∫01f’(x)dx)2≤∫0112dx∫01f’2(x)dx=∫01f’2(x)dx，即∫01f’2(x)dx≥1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=0．證明：∫abf2(x)dx≤∫ab[f’(x)]2dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f(a)=0，得f(x)一f(a)=f(x)=∫axf’(t)dt，由柯西不等式得f(x)=(∫axf’(f)dt)2≤∫ax12dt∫axf’2(t)dt≤(x一a)∫abf’2(x)dx積分得∫abf2(x)dx≤∫ab(x—a)dx．∫abf’2(x)dx=∫abf’2(x)dx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=0．證明：｜f(x)｜≤∫ab｜f’(x)｜dx(a＜x＜b)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)可導(dǎo)，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，所以｜f(x)｜在[a，b]上連續(xù)，令｜f(c)｜=｜f(x)｜根據(jù)積分中值定理，∫abf(x)dx=f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由積分基本定理，f(c)=f(ξ)+∫ξcf’(x)dx，取絕對(duì)值得｜f(c)｜≤｜f(ξ)｜+｜∫ξcf’(x)dx｜≤｜f(ξ)｜+∫ab｜f’(x)｜dx，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)f(x)在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f"(x)＜0．證明：∫01f(x)dx≤．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上二階可導(dǎo)且f"(x)≥0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．證明積分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：令g(t)=Int(t＞0)，g"(t)=＜0，再令x0=∫01f(x)dx，則有g(shù)(t)≤g(x0)+g’(x0)(t一x0)→g[f(x)]≤g(x0)+g’(x0)[f(x)一x0]，兩邊積分，得∫01lnf(x)dx≤ln∫01f(x)dx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)直線(xiàn)y=ax與拋物線(xiàn)y=x2所圍成的圖形面積為S1，它們與直線(xiàn)x=1所圍成的圖形面積為S2，且a＜1．(1)確定a，使S1+S2達(dá)到最小，并求出最小值；(2)求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)直線(xiàn)y=ax與拋物線(xiàn)y=x2的交點(diǎn)為(0，0)，(a，a2)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求曲線(xiàn)y=3一｜x2一1｜與x軸圍成的封閉區(qū)域繞直線(xiàn)y=3旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然所給的函數(shù)為偶函數(shù)，只研究曲線(xiàn)的右半部分繞y=3旋轉(zhuǎn)所成的體積．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、求橢圓所圍成的公共部分的面積．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，所求面積為第一象限圍成面積的4倍，先求第一象限的面積．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、設(shè)點(diǎn)A(1，0，0)，B(0，1，1)，線(xiàn)段AB繞x軸一周所得旋轉(zhuǎn)曲面為S．(1)求旋轉(zhuǎn)曲面的方程；(2)求曲面S介于平面z=0與z=1之間的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)．設(shè)對(duì)任意的M(x，y，z)∈S，過(guò)M垂直于z軸的截口為圓，其與直線(xiàn)AB及z軸的交點(diǎn)為M(x0，y0，z)，T(0，0，z)，由｜MT｜=｜M0T｜，得x2+y2=x02+y02，S：x2+y2=(1一z)2+z2，即S：x2+y2=2z2一2z+1．(2)對(duì)任意的z∈[0，1]，垂直于z軸的截口圓面積為A(z)=π(x2+y2)=π(2z2一2z+1)于是V=∫01A(z)dz=知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、證明：，其中a＞0為常數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析32、證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=∫0x(t一t2)sin2ntdt的最大值不超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x＞0時(shí)，令f’(x)=(x—x2)sin2nx=0得x=1，x=kπ(k=1，2，…)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f’(x)＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，f’(x)≤0(除x=kπ(k=1，2，…)外f’(x)＜0)，于是x=1為f(x)的最大值點(diǎn)，f(x)的最大值為f(1)．因?yàn)楫?dāng)x≥0時(shí)，sinx≤x，所以當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，(x—x2)sin2nx≤(x—x2)x2n=x2n+1一x2n+2，于是f(x)≤f(1)=l(x—x2)sin2nxdx知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)，且對(duì)任意的t∈[0，1]及任意的x1，x2∈[a，b]滿(mǎn)足：f(tx1+(1一t)x2)≤tf(x1)+(1一t)f(x2)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椤襛bf(x)dx=(b一a)∫01f[ta+(1一tb)]dt知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、設(shè)f(x)∈C[a，b]，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且f"(x)≥0，φ(x)是區(qū)間[a，b]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且∫abφ(x)dx=1．證明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x—x0)．取x0=∫abxφ(x)dx，因?yàn)棣?x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x-x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)一x0φ(x)]，上述不等式兩邊再在區(qū)間[a，b]上積分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析35、令f(x)=x—[x]，求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閇x+m]=[x]+m(其中m為整數(shù))，所以f(x)=x一[x]是以1為周期的函數(shù)，又[x]≤x，故f(x)≥0，且f(x)在[0，1]上的表達(dá)式為f(x)=，對(duì)充分大的x，存在自然數(shù)n，使得n≤x＜n+1，則∫0nf(x)dx≤∫0xf(x)dx≤∫0n+1f(x)dx，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設(shè)x→a時(shí)，f（x）與g（x）分別是x—a的n階與m階無(wú)窮小，則下列命題中，正確的個(gè)數(shù)是（）①f（x）g（x）是x—a的n+m階無(wú)窮小。②若n＞m，則是x一a的n—m階無(wú)窮小。③若n≤m，則f（x）+g（x）是x—a的n階無(wú)窮小。A、1B、2C、3D、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：此類(lèi)問(wèn)題要逐一進(jìn)行分析，按無(wú)窮小階的定義：關(guān)于①：故f（x）g（x）是x—a的n+m階無(wú)窮小；關(guān)于②：若n＞m，故f（x）/g（x）是x—a的n—m階無(wú)窮??；關(guān)于③：例如，x→0時(shí)，sinx與—x均是x的一階無(wú)窮小，但即sinx+（—x）是x的三階無(wú)窮小。因此①，②正確，③錯(cuò)誤。故選B。2、設(shè)f（x）=|（x—1）（x—2）2（x—3）3|，則導(dǎo)數(shù)f’（x）不存在的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)φ（x）=（x—1）（x—2）2（x—3）3，則f（x）=|φ（x）|。使φ（x）=0的點(diǎn)x=1，x=2，x=3可能是f（x）的不可導(dǎo)點(diǎn)，還需考慮φ’（x）在這些點(diǎn)的值。φ’（x）=（x—2）2（x—3）3+2（x—1）（x—2）（x—3）3+3（x—1）（x—2）2（x—3）3，顯然，φ’（1）≠0，φ’（2）=0，φ’（3）=0，所以只有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)x=1，故選B。3、設(shè)函數(shù)f（x）在（一∞，+∞）存在二階導(dǎo)數(shù)，且f（x）=f（—x），當(dāng)x＜0時(shí)有f’（x）＜0，f"（x）＞0，則當(dāng)x＞0時(shí)，有（）A、f’（x）＜0，f"（x）＞0B、f’（x）＞0，f"（x）＜0C、f’（x）＞0，f"（x）＞0D、f’（x）＜0，f"（x）＜0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由f（x）=f（—x）可知，f（x）為偶函數(shù)，因可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，即f’（x）為奇函數(shù)，f"（x）為偶函數(shù)，因此當(dāng)x＜0時(shí)，有f’（x）＜0，f"（x）＞0，則當(dāng)x＞0時(shí)，有f’（x）＞0，f"（x）＞0。故選C。4、設(shè)f（x）在（一∞，+∞）可導(dǎo)，x0≠0，（x0f（x0））是y=f（x）的拐點(diǎn)，則（）A、x0必是f’（x）的駐點(diǎn)B、（—x0，—f（—x0））必是y=—f（—x）的拐點(diǎn)C、（—x0，一f（—x0））必是y=一f（x）的拐點(diǎn)D、對(duì)任意的x＞x0與x＜x0，y=f（x）的凹凸性相反標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：從幾何意義上分析，y=f（x）與y=—f（—x）的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。x0≠0，（x0，f（x0））是y=f（x）的拐點(diǎn)，那么（—x0，—f（x0））是y=一f（—x）的拐點(diǎn)。故選B。5、設(shè)f（x）在[a，b]連續(xù)，則f（x）在[a，b]非負(fù)且在[a，b]的任意子區(qū)間上不恒為零是F（x）=∫axf（t）dt在[a，b]單調(diào)增加的（）A、充分非必要條件B、必要非充分條件C、充要條件D、既非充分又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：已知g（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則g（x）在[a，b]單調(diào)增加g’（x）≥0（x∈（a，b）），在（a，b）內(nèi)的任意子區(qū)間內(nèi)g’（x）≠0。因此，F(xiàn)（x）=∫0xf（t）dt（在[a，b]可導(dǎo)）在[a，b]單調(diào)增加F’（x）=f（x）≥0（x∈（a，b））且在（a，b）內(nèi)的任意子區(qū)間內(nèi)F’（x）=f（x）≠0。故選C。6、已知f’（x0，y0）存在，則A、fx’（x0，y0）B、0C、2fx’（x0，y0）D、fx’（x0，y0）標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題意=fx’（x0，y）+fx’（x0，y）=2fx’（x0，y0），故選C。7、設(shè)I1=cos（x2+y2）2dσ，其中D={（x，y）|x2+y2≤1}，則（）A、I3＞I2＞I1B、I1＞I2＞I3C、I2＞I1＞I3D、I3＞I1＞I2標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：在區(qū)域D={（x，y）|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤1，從而有cos（x2+y2）2dσ故應(yīng)選A。undefinedundefinedundefined8、設(shè)函數(shù)f（t）連續(xù)，則二重積分f（r2）rdr=（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榍€(xiàn)r=2在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐標(biāo)系中的方程為x2+y2=2x，即（x—1）2+y2=1，因此根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)之間二重積分的轉(zhuǎn)化可得9、設(shè)pn=n=1，2，…，則下列命題正確的是（）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若|an|收斂，由級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的性質(zhì)知an收斂。而pn=再由收斂級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，都收斂，故選B。二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)10、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：將分子化簡(jiǎn)后，應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小因子代換。易知11、若函數(shù)f（x）=在x=1處連續(xù)且可導(dǎo)，那么a=________，b=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a=2，b=—1知識(shí)點(diǎn)解析：因f（x）在x=1處連續(xù)，則=f（1），即1=a+b。若函數(shù)f（x）在x=1處可導(dǎo)，必須有f—’（1）=f+’（1）。由已知可得因此可得a=2，b=—1。12、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)y=y（x）是由方程2y3—2y2+2xy—x2=1確定的，則y=y（x）的極值點(diǎn)是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=1知識(shí)點(diǎn)解析：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，可得y’（3y2—2y+x）=x—y，（*）令y’=0，有x=y，代入2y3—2y2+2xy—x2=1中，可得（x—1）（2x2+x+1）=0。那么x=1是唯一的駐點(diǎn)。下面判斷x=1是否為極值點(diǎn)：在（*）兩端對(duì)x求導(dǎo)得y"（3y2—2y+x）+y’（3y2—2y+x）’x=1—y’，把x=y=1，y’（1）=0代入上式，得y"（1）=＞0。故y（x）只有極值點(diǎn)為x=1，它是極小值點(diǎn)。14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x—1=sint，則15、設(shè)函數(shù)f（x）=且λ＞0，則∫—∞+∞xf（x）dx=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：已知x≤0時(shí)，函數(shù)值恒為0，因此可得16、設(shè)函數(shù)則dz|（1，1）=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：（1+21n2）dx+（—1—2ln2）dy知識(shí)點(diǎn)解析：17、設(shè)平面區(qū)域D由直線(xiàn)y=x，圓x2+y2=2y及y軸所圍成，則二重積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題可以利用極坐標(biāo)變換，18、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)________。標(biāo)準(zhǔn)答案：[4，6）知識(shí)點(diǎn)解析：冪級(jí)數(shù)的系數(shù)為an=則有因此，冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=1，其收斂區(qū)間為（4，6）。當(dāng)x=4時(shí)，原級(jí)數(shù)為收斂；當(dāng)x=6時(shí)，原級(jí)數(shù)為發(fā)散，故冪級(jí)數(shù)的收斂域是[4，6）。19、微分方程的通解是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=Cxe—x（x≠0），C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：原方程等價(jià)為兩邊積分得lny=lnx—x+C1。取C=eC1，整理得y=Cxe—x（x≠0），C為任意常數(shù)。20、微分方程（y+x2e—x）dx—xdy=0的通解為y=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：x（—e—x+C），C為任意常數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：微分方程（y+x2e—x）dx—xdy=0，可變形為=xe—x所以其通解為=x（—e—x+C），C為任意常數(shù)。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)21、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、設(shè)a為常數(shù)，討論方程ex=ax2的實(shí)根個(gè)數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a≤0時(shí)，顯然無(wú)實(shí)根。以下討論當(dāng)a＞0時(shí)的情形，由題意知x=0顯然不是原方程的根，當(dāng)x＜0時(shí)，f’（x）＞0；當(dāng)0＜x＜2時(shí)f’（x）＜0；當(dāng)x＞2時(shí)f’（x）＞0。且所以當(dāng)a＞0時(shí)f（x）在區(qū)間（一∞，0）上有唯一實(shí)零點(diǎn)。又在區(qū)間（0，+∞）上，fmin(x)=f(2)=-a。當(dāng)＞a時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上無(wú)實(shí)數(shù)根；當(dāng)=a時(shí)，f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有唯一實(shí)數(shù)根；當(dāng)=+∞，f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=0無(wú)實(shí)根；當(dāng)＞a＞0時(shí)，僅當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=0有唯一實(shí)根；當(dāng)=a時(shí)，f（x）=0僅有兩個(gè)實(shí)根，一正一負(fù)；當(dāng)＜a時(shí)，f（x）=0恰有三個(gè)實(shí)根，一負(fù)兩正。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)奇函數(shù)f（x）在[—1，1]上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f（1）=1，證明：（Ⅰ）存在ξ∈（0，1），使得f’（ξ）=1；（Ⅱ）存在η∈（—1，1），使得f"（η）+f’（η）=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）令F（x）=f（x）—x，F(xiàn)（0）=f（0）=0，F(xiàn)（1）=f（1）—1=0，則由羅爾定理知，存在ξ∈（0，1）使得F’（ξ）=0，即f’（ξ）=1。（Ⅱ）令G（x）=ex[f’（x）—1]，由（Ⅰ）知，存在ξ∈（0，1），使G（ξ）=0，又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)．故f’（x）為偶函數(shù)，知G（—ξ）=0，則存在η∈（一ξ，ξ）（—1，1），使得G’（η）=0，即eη（f’（η）—1）+e’eηf"（η）=0，f"（η）+f’（η）=1。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)f（x）在[a，b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明標(biāo)準(zhǔn)答案：連續(xù)利用分部積分法有∫abf（x）dx=∫abf（x）d（x一b）=f（a）（b—a）一∫abf’（x）（x一b）d（x一a）=f（a）（b—a）+∫ab（x—a）d[f’（x）（x—b）]=f（a）（b一a）+∫abb（x一a）df（x）+∫abbf"（x）（x一a）（x一b）dx=f（a）（b—a）+f（b）（b—a）一∫abf（x）clx+∫abbf"（x）（x一a）（x一b）dx，移項(xiàng)并整理后得∫abf（x）dx=∫abf（x）dx+∫abbf"（x）（x一a）（x一b）dx。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、設(shè)z=f（x+y，x—y，xy），其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz與標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意=f1’—f2’+xf3’，所以=（f1’+f2’+yf3’）dx+（f1’一f2’+xf3’）dy，=f11"．1+f12"．（—1）+f13"．x+f21"+f22"（—1）+f23"?x+f3"+y[f31"．1+f32"．（—1）+f33"?x]=f3"+f11"—f22"+xyf33"+（x+y）f13"+（x—y）f23"。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、已知函數(shù)z=f（x，y）的全微分出=2xdx—2ydy，并且f（1，1）=2。求f（x，y）在橢圓域D={（x，y）|x2+≤1}上的最大值和最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)題意可知=—2y，于是f（x，y）=x2+C（y），且C’（y）=—2y，因此有C（y）=一y2+C，由f（1，1）=2，得C=2，故f（x，y）=x2一y2+2?！?B2—AC=4＞0，所以點(diǎn)（0，0）不是極值點(diǎn)，也不可能是最值點(diǎn)。得可能極值點(diǎn)x=0，y=2，λ=4；x=0，y=—2，λ=4；x=1，y=0，λ=—1；x=—1，y=0，λ=—1。將其分別代入f（x，y）得，（0，±2）=—2，f（±1，0）=3，因此z=f（x，y）在區(qū)域D={（x，y）|x2+≤1}內(nèi)的最大值為3，最小值為一2。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、計(jì)算二重積分x（y+1）dσ，其中積分區(qū)域D是由y軸與曲線(xiàn)y=所圍成。標(biāo)準(zhǔn)答案：引入極坐標(biāo)（r，θ）滿(mǎn)足x=rcosθ，y=rsinθ，在極坐標(biāo)（r，θ）中積分區(qū)域D可表示為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)是它的部分和。（Ⅰ）證明收斂；（Ⅱ）判斷級(jí)數(shù)是條件收斂還是絕對(duì)收斂，并給予證明。標(biāo)準(zhǔn)答案：（Ⅰ）設(shè)Tn為因正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列Sn單調(diào)上升，將上式放縮由（Ⅰ）可知收斂，再由比較原理知，收斂，因此原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、將函數(shù)f（x）=展開(kāi)成x—1的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、以下3個(gè)命題：①若數(shù)列{un}收斂于A，則其任意子數(shù)列{uni}必定收斂于A；②若單調(diào)數(shù)列{xn}的某一子數(shù)列{xni}收斂于A，則該數(shù)列必定收斂于A；③若數(shù)列{x2n}與{x2n+1}都收斂于A，則數(shù)列{xn}必定收斂于A．正確的個(gè)數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于命題①，由數(shù)列收斂的定義可知，若數(shù)列{un}收斂于A，則對(duì)任意給定的ε＞0，存在自然數(shù)N，當(dāng)n>N時(shí)，恒有|un一A|＜ε，則當(dāng)ni>N時(shí)，恒有|uni一A|＜ε，因此數(shù)列{un}也收斂于A，可知命題正確．對(duì)于命題②，不妨設(shè)數(shù)列{xn}為單調(diào)增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一給定子數(shù)列{xn}收斂于A，則對(duì)任意給定的ε＞0，存在自然數(shù)N，當(dāng)ni>N時(shí)，恒有|xni一A|＜ε．由于數(shù)列{xn}為單調(diào)增加的數(shù)列，對(duì)于任意的n>N，必定存在ni≤n≤ni+1，有一εni—A≤xn一A≤xni+1一A＜ε，從而|xn一A|＜ε．可知數(shù)列{xn}收斂于A因此命題正確．對(duì)于命題③，因由極限的定義可知，對(duì)于任意給定的ε＞0，必定存在自然數(shù)N1，N2；當(dāng)2n>N1時(shí)，恒有|x2n一A|＜ε；當(dāng)2n+1>N2時(shí)，恒有|x2n+1一A|＜ε．取N=max{N1，N2)，則當(dāng)n>N時(shí)，總有|xn一A|＜ε．因此=A．可知命題正確．故答案選擇(D)．2、設(shè)在區(qū)間(一∞，+∞)內(nèi)f(x)＞0，且當(dāng)忌為大于0的常數(shù)時(shí)有f(x+k)=，則在區(qū)間(一∞，+∞)內(nèi)函數(shù)f(c)是()A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)C、周期函數(shù)D、單調(diào)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x+2k)==f(x)，故f(x)是周期函數(shù)．3、兩個(gè)無(wú)窮小比較的結(jié)果是()A、同階B、高階C、低階D、不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：如，β(x)=x，當(dāng)x→0時(shí)，都是無(wú)窮小，但不存在，故α(x)和β(x)無(wú)法比較階的高低．4、極限=A≠0的充要條件是()A、α＞1B、α≠1C、α＞0D、與α無(wú)關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，α(x)，β(x)都是無(wú)窮小(β(x)≠0)，則當(dāng)x→x0時(shí)，下列表達(dá)式中不一定為無(wú)窮小的是()A、B、α2(x)+β2(x).C、ln[1+α(x).β2(x)]D、|α(x)|+|β(x)|標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：有限個(gè)無(wú)窮小的和、差、積、絕對(duì)值還是無(wú)窮小量．6、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=ax3+bx與g(x)=∫0sinx(ex2一1)dx等價(jià)，則()A、a=，b=1B、a=3，b=0C、a=，b=0D、a=1，b=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：7、設(shè)f(x)=，則()A、x=0，x=1都是f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)B、x=0，x=1都是f(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)C、x=0是f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)D、x=0是f(x)的第二類(lèi)間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第一類(lèi)間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由f(x)的表達(dá)式可知x=0，x=1為其間斷點(diǎn)．故x=1是第一類(lèi)間斷點(diǎn)，x=0是第二類(lèi)間斷點(diǎn)，選(D)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、對(duì)充分大的一切x，給出以下5個(gè)函數(shù)：1002，log10100，e10x，x1010，，則其中最大的是________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x充分大時(shí)，有重要關(guān)系：eax＞＞xβ＞＞lnγx，其中α，β，γ＞0，故本題填9、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e6知識(shí)點(diǎn)解析：10、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e6知識(shí)點(diǎn)解析：11、若當(dāng)x→0時(shí)，有，則a________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一3知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→0時(shí)，故a=-3．12、當(dāng)x→π時(shí)，若有一1～A(x一π)k，則A=________，k=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)x→π時(shí)，三、解答題(本題共17題，每題1.0分，共17分。)13、設(shè)g(x)=ex，求f[g(x)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、討論函數(shù)f(x)的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗詅(x)在[0，+∞)上連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：連續(xù)使用完兩次法則，又回到了起點(diǎn)，法則失效，正確的做法是先對(duì)式子恒等變形．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、已知，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、設(shè)=10，試求α，β的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、數(shù)列{xn}通項(xiàng)xn=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、如果數(shù)列{xn}收斂，{yn}發(fā)散，那么{xnyn}是否一定發(fā)散?如果{xn}和{yn}都發(fā)散，那么{xnyn}的斂散性又將如何?標(biāo)準(zhǔn)答案：在題設(shè)兩種情況下，{xnyn}的斂散性都不能確定，現(xiàn)在先就{xn}收斂，{yn}發(fā)散的情況來(lái)分析．利用這個(gè)恒等式，就可得到下述結(jié)論：若{xn}收斂且不收斂于零，{yn}發(fā)散，則{xnyn}必發(fā)散．這是因?yàn)槿魗xnyn}收斂，且又{xn}收斂而極限不等于零，則從上述恒等式及極限相除法則，可知{yn}收斂，這與假設(shè)矛盾．若，且{yn}發(fā)散，則{xnyn}可能收斂，也可能發(fā)散，如：①xn=，yn=n，則xnyn=1，于是{xnyn}收斂．②xn=，yn=(一1)nn，則xnyn=(一1)n，于是{xnyn}發(fā)散．現(xiàn)在再就{xn}和{yn}都發(fā)散的情況來(lái)分析{xnyn}的斂散性．有下面的結(jié)論：若{xn}和{yn}都發(fā)散，且兩者至少有一個(gè)是無(wú)窮大，則{xnyn}必發(fā)散．這是因?yàn)槿绻鹻xnyn}收斂，而{xn}為無(wú)窮大，從等式y(tǒng)n=便得到{yn}收斂于零，這與假設(shè)矛盾．若{xn}和{yn}都不是無(wú)窮大且都發(fā)散，則{xnyn}可能收斂，也可能發(fā)散，如③xn=yn=(一1)n有xnyn=1，于是{xnyn}收斂．④xn=(一1)n，yn=1一(一1)n，有xnyn=(一1)n一1，于是{xnyn}發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷它們的類(lèi)型．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)于函數(shù)F(x)的分段點(diǎn)x=0，因知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、設(shè)求f(x)的間斷點(diǎn)并判定其類(lèi)型．標(biāo)準(zhǔn)答案：則x=-1為跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)求f(x)的間斷點(diǎn)，并說(shuō)明間斷點(diǎn)的類(lèi)型，如是可去間斷點(diǎn)，則補(bǔ)充或改變定義使它連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)在(一1，0)，(0，1)及(1，+∞)都是初等函數(shù)，是連續(xù)的。f(0)無(wú)定義，故x=0是間斷點(diǎn)。因?yàn)?，所以x=0為跳躍間斷點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，x1，x2，…，xn，…是[a，b]上一個(gè)點(diǎn)列，求標(biāo)準(zhǔn)答案：本題考慮夾逼準(zhǔn)則．由f(x)在[a，b]上連續(xù)，知ef(x)在[a，b]上非負(fù)連續(xù)，且0＜m≤ef(x)≤M，其中M，m分別為ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是0＜m≤≤M，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、已知級(jí)數(shù)條件收斂，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)，則當(dāng)n→∞時(shí)，|un|～的斂散性相同，故而由條件收斂可知0＜3一α≤1，即2≤α＜3．若使兩個(gè)結(jié)論都成立，只有≤α＜3，故選(D)．2、設(shè)，則級(jí)數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：3、下列命題中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)棣豱＜un＜υn，所以0＜un一ωn＜υn一ωn．又因?yàn)槭諗浚驗(yàn)橹挥挟?dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，才能比較其和的大小，所以不能選(A)；選項(xiàng)(B)，(C)將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的結(jié)論用到了一般級(jí)數(shù)上，顯然不對(duì)．例如取級(jí)數(shù)可以說(shuō)明(B)不對(duì)，取級(jí)數(shù)就可以說(shuō)明(C)不對(duì)，選(D)．4、下列命題中錯(cuò)誤的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)知命題(A)正確．由反證法可知命題(B)正確．若設(shè)這兩個(gè)級(jí)數(shù)都發(fā)散，但是收斂，可知命題(C)正確，但命題(D)錯(cuò)誤．5、對(duì)于級(jí)數(shù)，其中um＞0(n=1，2，…)，則下列命題正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因|(一1)n-1un|=|un|=un，由絕對(duì)收斂，命題(B)正確．(A)錯(cuò)誤：如6、下列結(jié)論正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由冪級(jí)數(shù)在收斂域(一R，R)的和函數(shù)性質(zhì)可知，命題(C)正確．(A)錯(cuò)誤：如，收斂域?yàn)?一1，1]，但在x=1處，條件收斂．(B)錯(cuò)誤：因?yàn)榭赡躌=0或R=+∞．(D)錯(cuò)誤：由冪級(jí)數(shù)的定義可知不是冪級(jí)數(shù)．7、設(shè)0≤un≤，則下列級(jí)數(shù)中一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知收斂，故絕對(duì)收斂．從而收斂，故選(D)．(A)，(C)錯(cuò)，如二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)8、函數(shù)f(x)=ln(3+x)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：[1，3)知識(shí)點(diǎn)解析：令y=x一2，則10、設(shè)的斂散性為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：11、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件為其部分和數(shù)列{Sn}________．標(biāo)準(zhǔn)答案：有界(或有上界)知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)收斂等價(jià)于{Sn}收斂．對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)為單調(diào)遞增數(shù)列．由數(shù)列極限存在準(zhǔn)則與數(shù)列收斂的必要條件可知，單調(diào)遞增數(shù)列{Sn}收斂等價(jià)于{Sn}有界(或有上界)．12、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：[一1，1]知識(shí)點(diǎn)解析：從而收斂區(qū)間為[一1，1]．13、ex展開(kāi)成(x一3)的冪級(jí)數(shù)為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(其中一∞＜x＜+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：ex=e3+(x-3)=e3.ex-3，因14、級(jí)數(shù)當(dāng)________時(shí)絕對(duì)收斂；當(dāng)________時(shí)條件收斂；當(dāng)________時(shí)發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：p＞1；0＜p≤1；p≤0知識(shí)點(diǎn)解析：15、若在x=一一3處為條件收斂，則其收斂半徑R=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：綜上，由收斂半徑的定義便有R=3．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)16、判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：(1)(2)(3)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、設(shè)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，試證：(1)若收斂；(2)若收斂；(3)若都收斂；(4)若收斂。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、證明：級(jí)數(shù)條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以，原級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{Sn}收斂，從而級(jí)數(shù)收斂，所以，原級(jí)數(shù)條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、設(shè)u1=2，un+1=收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由算術(shù)平均值不小于其幾何平均值得即數(shù)列{un}有下界1，由此又得un+1一un=(1一un2)≤0，即{un}單調(diào)減少，則根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則知極限必存在，由{un}單調(diào)減少知所考慮的級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、試判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)(1)求證：若b＞1，則發(fā)散；(2)當(dāng)b=1時(shí)，試舉出可能收斂也可能發(fā)散的例子．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、根據(jù)阿貝爾定理，已知在某點(diǎn)x1(x1≠x0)的斂散性，證明該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可分為以下三種情況：(1)若在x1處收斂，則收斂半徑R≥|x1一x0|；(2)若在x1處發(fā)散，則收斂半徑R≤|x1一x0|；(3)若在x1處條件收斂，則收斂半徑R=|x1一x0|．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)阿貝爾定理，(1)(2)是顯然的．對(duì)于(3)，因冪級(jí)數(shù)(x一x0)n在點(diǎn)x1處收斂，則R≥|x1一x0|；另一方面，因冪級(jí)數(shù)(x—x0)n在點(diǎn)x1處條件收斂，則R≤|x1一x0|．因若不然，則該點(diǎn)是絕對(duì)收斂，而不是條件收斂，這與題設(shè)矛盾．于是，綜合上述兩方面得該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=|x1一x0|．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、設(shè)冪級(jí)數(shù)在x=0處收斂，在x=2b處發(fā)散，求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R與收斂域，并分別求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=x—b，收斂中心x0=b的冪級(jí)數(shù)an(x一b)n化為收斂中心t0=0的冪級(jí)數(shù)根據(jù)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變的性質(zhì)，即知它們的收斂半徑都是R=|b|．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、將y=sinx展開(kāi)為的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、將f(x)=展開(kāi)為(x+1)的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果此題這樣做：是行不通的，改用“先積后導(dǎo)”的方法：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)f(x)=26、將f(x)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：把f(x)作初等變換，并利用幾何級(jí)數(shù)|x|＜1，則f(x)展開(kāi)為x的冪級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、分別判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的唯一性得f(x)在x0=0處的高階導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)an=收斂，并求其和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析29、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析30、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析31、求級(jí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：本題考查無(wú)窮級(jí)數(shù)的求和，涉及逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)的恒等變形，是常規(guī)考題．32、求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)e-x+2e-2x+…+，ne-nx+…收斂時(shí)x的取值范圍；標(biāo)準(zhǔn)答案：該函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)un(x)=ne-nx，un+1(x)=(n+1)e-(n+1)x，當(dāng)x=0時(shí)，發(fā)散；當(dāng)x=0時(shí)，該級(jí)數(shù)成為1+2+…+n+…，顯然是發(fā)散的，所以該級(jí)數(shù)當(dāng)x＞0時(shí)收斂于S(x)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析33、當(dāng)上述級(jí)數(shù)收斂時(shí)，求其和函數(shù)S(x)，并求∫ln2ln3S(x)dx．標(biāo)準(zhǔn)答案：S(x)=e-x+2e-2x+…+ne-nx+…t+2t2+…+ntn+…=t(1+2t+…+nn-1+…)=t(t+t2+…+tn+…)’知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析34、設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=a2=1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．證明：在時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂，并求其和函數(shù)與系數(shù)an．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)顯然，{an}是正項(xiàng)嚴(yán)格單調(diào)增加數(shù)列，且有a3=2，a4=a2+a3＜2aa3=22，假設(shè)an＜2n-2，則有an+1=an+an-1＜2an＜2n-1，故由歸納法得an＜2n-2．于是，所考慮的級(jí)數(shù)的通項(xiàng)有(2)原冪級(jí)數(shù)化為(3)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析設(shè)y(x)=35、求y(0)，y’(0)，并證明：(1一x2)y"一xy’=4；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析36、求(2x)2n一(|x|＜1)的和函數(shù)及級(jí)數(shù)的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：下面求解微分方程(1一x2)y"一xy’=4．首先，應(yīng)該可以想到本題用“二階可降階”的方法，令y’=p，考生可以自練．但是本題更好的做法如下：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(x)是偶函數(shù)，φ(x)是奇函數(shù)，則下列函數(shù)(假設(shè)都有意義)中，是奇函數(shù)的是()A、f(φ(x))B、f(f(x))C、φ(f(x))D、φ(φ(x))標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令g(x)=φ(φ(x))，注意φ(x)是奇函數(shù)，有g(shù)(-x)一φ(φ(一x))=φ(一φ(x))=-φ(φ(x))=-g(x)．2、設(shè)則f(一x)等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：3、函數(shù)f(x)一xsinx()A、在(一∞，+∞)內(nèi)無(wú)界B、在(一∞，+∞)內(nèi)有界C、當(dāng)x→∞時(shí)為無(wú)窮大D、當(dāng)x→∞時(shí)極限存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于任意給定的正數(shù)M，總存在著點(diǎn)，故f(x)在(一∞，+∞)內(nèi)無(wú)界．(C)錯(cuò)，對(duì)于任意給定的正數(shù)M，無(wú)論x取多么大的正數(shù)，總有,xn=|2nπ|＞x(只要|n|＞)，使f(x)=xnsinxn→0＜M，故當(dāng)x→∞時(shí)f(x)不是無(wú)窮大．千萬(wàn)不要將無(wú)窮大與無(wú)界混為一談．4、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)不是無(wú)窮大，則下述結(jié)論正確的是()A、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，g(x)是無(wú)窮小，則f(x)g(x)必是無(wú)窮小B、設(shè)當(dāng)x→x0時(shí)，g(x)不是無(wú)窮小，則f(x)g(x)必不是無(wú)窮小C、設(shè)在x=x0的某鄰域g(x)無(wú)界，則當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)g(x)必是無(wú)窮大D、設(shè)在x=x0的某鄰域g(x)有界，則當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)g(x)必不是無(wú)窮大標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)，當(dāng)x→0時(shí)為無(wú)界變量，不是無(wú)窮大。令g(x)=x，當(dāng)x→0時(shí)為無(wú)窮小，可排除(A)。設(shè)x→0時(shí)，令f(x)=x2，g(x)=可排除(B)，(C)．5、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，etanx一ex與xn是同階無(wú)窮小，則n為()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：6、設(shè)當(dāng)x→0時(shí)，f(x)=ln(1+x2)一ln(1+sin2x)是x的n階無(wú)窮小，則正整數(shù)n等于()A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因此，n=4．7、設(shè)f(x)=，則f(x)有()A、1個(gè)可去間斷點(diǎn)，1個(gè)跳躍間斷點(diǎn)B、1個(gè)跳躍間斷點(diǎn)，1個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)C、2個(gè)可去間斷點(diǎn)D、2個(gè)無(wú)窮間斷點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：x=0和x=1為f(x)的間斷點(diǎn)，其余點(diǎn)連續(xù)．則x=0為可去間斷點(diǎn)．因x→1時(shí)，lnx=n(1+x一1)～x一1，則x=1為跳躍間斷點(diǎn)，答案選擇(A)．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)8、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：9、=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、極限=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2知識(shí)點(diǎn)解析：11、當(dāng)x→0時(shí)，若有，則A=________，k=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、若是(-∞，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)13、設(shè)求f[g(x)]．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題同樣考查分段函數(shù)的復(fù)合方法．下面用解析法求解．首先，廣義化為由g(x)的表達(dá)式知，(1)當(dāng)g(x)≤0，即{2e2一1≤0}∩{x≤0}或{x2一1≤0}∩{x＞0}，而{2ex一1≤0}∩{z≤0}={x≤一ln2}∩{x≤0}={x≤一ln2}，{x2一1≤0}∩{x＞0}={一1≤x≤1}∩{x＞0}={0＜x≤1}．(2)當(dāng)g(x)＞0，即{2ex一1＞0}∩{x≤0}或{x2一1>0}∩{x＞0}，而{2ex一1＞0}∩{x≤0}={x＞一ln2}∩{x≤0)={一ln2＜x≤0}，{x2一1＞0}∩{x＞0)={x＞1或x＜一1}∩{x＞0)={x＞1}．綜上，得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)f(x)是三次多項(xiàng)式，且有標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、確定常數(shù)a和b的值，使標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、已知=D≠0．求常數(shù)A，B，C，D．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、設(shè)a1=2，an+1=存在并求其極限值．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)，若正確，試證之；若不正確，試說(shuō)明它們之間的關(guān)系?標(biāo)準(zhǔn)答案：不正確．初等函數(shù)是指由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算及有限次復(fù)合步驟所得到的，并用一個(gè)式子表示的函數(shù)．分段函數(shù)雖用幾個(gè)表達(dá)式表示，但并不能說(shuō)肯定不能用一個(gè)表達(dá)式表示，因此，分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是初等函數(shù)，如φ(x)=|x|，通常寫(xiě)成分段函數(shù)的形式但也可以寫(xiě)成一個(gè)表達(dá)式，所以函數(shù)φ(x)=|x|是初等函數(shù)．而則不是初等函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、利用夾逼準(zhǔn)則證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、設(shè)a＞0，x1＞0，xn+1=標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求函數(shù)的間斷點(diǎn)并指出其類(lèi)型．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然f(0)無(wú)意義．則x=1為跳躍間斷點(diǎn)．由于f(x)是偶函數(shù)，則x=-1也是跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)=0，F(xiàn)(x)=∫0xtn-1f(xn一tn)dt，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求的連續(xù)區(qū)間、間斷點(diǎn)并判別其類(lèi)型．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)無(wú)定義的點(diǎn)是使1一x=0和1一=0的點(diǎn)，即x=1和x=0，所以f(x)的連續(xù)區(qū)間為(一∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)．當(dāng)x→0時(shí)，1一→0，所以=∞，所以x=0是無(wú)窮間斷點(diǎn)．→1，所以f(1+)=1．所以x=1是跳躍間斷點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、設(shè)函數(shù)f(x)在0＜x≤1時(shí)f(x)=xsinx，其他的x滿(mǎn)足關(guān)系式f(x)+k=2f(x+1)，試求常數(shù)k使極限存在．標(biāo)準(zhǔn)答案：因求“00”型未定式極限的常用方法是將該類(lèi)冪指數(shù)函數(shù)u(x)υ(x)化為復(fù)合函數(shù)eυ(x)lnu(x)，故其中，通過(guò)等價(jià)無(wú)窮小替換與洛必達(dá)法則求得：根據(jù)題設(shè)的關(guān)系式f(x)=2f(x+1)一k，得，由上述結(jié)果f(x)在x=0處右極限f(0+)=1；而其左極限由于極限是存在的，故2一k=f(0-)=f(0+)=1，則常數(shù)k=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，F(xiàn)(x)為其原函數(shù)，則()．A、若f(x)是周期函數(shù)，則F(x)也是周期函數(shù)B、若f(x)是單調(diào)函數(shù)，則F(x)也是單調(diào)函數(shù)C、若f(x)是偶函數(shù)，則F(x)是奇函數(shù)D、若f(x)是奇函數(shù)，則F(x)是偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令f(x)=cosx一2，F(xiàn)(x)=sinx一2x+C，顯然f(x)為周期函數(shù)，但F(x)為非局期函數(shù)，(A)不對(duì)；令f(x)=2x，F(xiàn)(x)=x2+C，顯然f(x)為單調(diào)增函數(shù)，但F(x)為非單調(diào)函數(shù)，(B)不對(duì)；令f(x)=x2，F(xiàn)(x)=x2+2，顯然f(x)為偶函數(shù)，但F(x)為非奇非偶函數(shù)，(C)不對(duì)；若f(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(x)=∫ax(t)dt，因?yàn)樗訤(x)為偶函數(shù)，選D．2、設(shè)∫f(x)dx=x2+C，則∫xf(1一x2)dx等于()．A、(1一x2)2+CB、一(1一x2)2+CC、2(1一x2)2+CD、一2(1一x2)2+C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：，選B．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：4、=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：5、=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：6、∫sin3xcoszdx=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：7、=__________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)8、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析9、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析10、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析11、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析12、求∫arcsin2xdx標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析13、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析14、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析15、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析20、求標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?3+sinxcosx)’=cos2x，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析27、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析28、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析考研數(shù)學(xué)三（微積分）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、已知?jiǎng)tI=()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：積分域由兩部分組成(如圖1．5—1)．設(shè)故應(yīng)選(A)．2、二次積分∫02dx∫0x2f(x，y)dy寫(xiě)成另一種次序的積分是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：改變積分次序的步驟是：①由原累次積分的上、下限寫(xiě)出來(lái)表示為積分域D的聯(lián)立不等式，并作出D的草圖，原積分變成二重積分②按新的累次積分次序的要求寫(xiě)出新的累次積分表達(dá)式．由已知積分的上、下限，可知積分域的不等式表示為：3、設(shè)平面區(qū)域D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1圍成，若，則I1，I2，I3的大小順序?yàn)?)A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I1＜I3＜I2D、I3＜I1＜I2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：4、累次積分f(x2+y2)dx(R＞0)化為極坐標(biāo)形式的累次積分為()A、∫0πdθ∫02Rsinθf(wàn)(r2)rdrB、C、D、∫0πdθ∫02Rcosθf(wàn)(r2)rdr標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：積分域D為：0≤x≤，0≤y≤2R，見(jiàn)圖1．5—3．在極坐標(biāo)系下D可表示為：0≤r≤2Rsinθ，0≤θ≤，故5、設(shè)平面區(qū)域D：(x一2)2+(y一1)2≤1，若比較的大小，則有()A、I1=I2B、I1＞I2C、I1＜I2D、不能比較標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由二重積分的比較性質(zhì)，只需比較D上(x+y)2與(x+y)3的大小，即x+y與1的大小。從幾何的角度也就是考察圓域D與直線(xiàn)x+y=1的位置關(guān)系。因積分域D的圓心(2，1)到直線(xiàn)x+y=1的距離(1為圓的半徑)，故閉域D在直線(xiàn)x+y=1的上方，即(x，y)∈D，有x+y＞1，從而在D上(x+y)2＜(x+y)3，則I1＜I2．6、化為極坐標(biāo)系中的累次積分為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由y=1+x2+(y一1)2=1(y≥1)，所以，積分區(qū)域D是圓x2+(y一1)x≤1的右半圓在直線(xiàn)y=x上方的部分，于是，其極坐標(biāo)形式為7、設(shè)D由直線(xiàn)x=0，y=0，x+y=1圍成，已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx，則f(x)dxdy=()A、2B、0C、D、1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、二重積分ln(x2+y2)dxdy的符號(hào)為_(kāi)_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：負(fù)號(hào)知識(shí)點(diǎn)解析：二重積分的積分值的符號(hào)由被積函數(shù)在積分域內(nèi)的正負(fù)號(hào)所確定．積分域D：|x|+|y|≤1．因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1，故ln(x2+y2)≤ln1=0，但又不恒等于零，故(x2+y2)dxdy＜0．9、若f(x，y)為關(guān)于x的奇函數(shù)，且積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)f(x，y)在D上連續(xù)時(shí)，必有=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)連續(xù)函數(shù)z=f(x，y)關(guān)于x為奇函數(shù)(f(一x，y)=一f(x，y))或關(guān)于x為偶函數(shù)(f(一x，y)=f(x，y))，積分域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，D1表示D的位于y軸右方的部分．則有同理當(dāng)z=f(x，y)關(guān)于y為奇函數(shù)或偶函數(shù)，積分域D關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)也有類(lèi)似的結(jié)論．10、設(shè)D={(x，y)|1≤x2+y2≤e2}，則二重積分=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：被積函數(shù)的特點(diǎn)含有x2+y2的形式，且積分域是以原點(diǎn)為中心的圓環(huán)域，選用極坐標(biāo)計(jì)算較方便，11、由曲線(xiàn)y=lnx及直線(xiàn)x+y=e+1，y=0所圍成的平面圖形的面積可用二重積分表示為_(kāi)_______，其值等于________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由得交點(diǎn)A(e，1)．所求平面圖形的面積為12、設(shè)I=∫01dx∫exe2xf(x，y)dy，交換積分次序后I=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：積分域D為：ex≤y≤e2x，0≤x≤1．曲線(xiàn)y=e2x，y=ex與直線(xiàn)x=1的交點(diǎn)分別為(1，e2)與(1，e)．故13、設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，則=________，其中D：x2+y2≤t2．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(0，0)知識(shí)點(diǎn)解析：因被積函數(shù)f(x，y)在閉區(qū)域D：x2+y2≤t2上是抽象函數(shù)，故無(wú)法用先求出重積分的方法去求極限，因此考慮：(1)用中值定理先去掉積分號(hào)再求極限；(2)用二次積分化分子為積分上限的函數(shù)．因f(x，y)在D：x2+y2≤t2上連續(xù)，由積分中值定理可知，在D上至少存在一點(diǎn)(ξ，η)使因(ξ，η)在D：x2+y2≤t2上，所以當(dāng)t→0+時(shí)，(ξ，η)→(0，0)．于是14、(x2+y2)dxdy=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令x=rsinθ，y=rcosθ，則原式=∫01dr∫02π(r2sin2θ+r2cos2θ)rdθ=∫01r3dr∫02πdθ=三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、設(shè)D={(x，y)|a≤x≤b，c≤y≤d)，若f"xy與f"yx在D上連續(xù)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：結(jié)論成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析16、設(shè)D為xOy平面上的區(qū)域，若f"xy與f"yx都在D上連續(xù)．證明：f"xy與f"yx在D上相等．標(biāo)準(zhǔn)答案：用反證法．設(shè)P0(x0，y0)∈D，有f"xy(x0，y0)≠f"yx(x0，y0)，不妨設(shè)f"xy(x0，y0)一f"yx(x0，y0)＞0．由于[f"xy(x0(x，y)一f"yx(x0(x，y)]=f"xy(x0(x0，y0)一f"yx(x0(x0，y0)＞0．由極限的保號(hào)性，＞0，δ＞0，當(dāng)P(x，y)∈U(P0，δ)時(shí)有f"xy(x，y)一f"yx(x，y)＞ε0．由(1)，[f"xy(x，y)一f"yx(z，y)-]dxdy=0，矛盾，故f"xy(x，y)與f"yx(x，y)在D上相等．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析17、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：一方面，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析18、設(shè)函數(shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)．證明：∫01ef(x)dx∫01e-f(y)dy≥1．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析19、求V(t)=((t一1)y+1)dxdy的最大值，其中Dt={(x，y)|x2+y2≤1，≤y≤1}，2≤t≤3．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析變換下列二次積分的積分次序：20、標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1．5-4知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析21、∫01f(x，y)dx；標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1．5-5，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1．5-6，D=D1+D2，其中知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析24、計(jì)算二重積分，其中D是第一象限中由直線(xiàn)y=x和曲線(xiàn)y=x3所圍成的封閉區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析25、計(jì)算二重積分其中D={(x，y)|0≤y≤x，x2+y2≤2x}．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無(wú)解析26、求二重積分