【專項(xiàng)精練】第23課 降冪及輔助角公式-2024年新高考數(shù)學(xué)分層專項(xiàng)精練（解析版）

第23課降冪及輔助角公式（分層專項(xiàng)精練）【一層練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合二倍角的正弦公式可求得的值.【詳解】由題意可得，因此，.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知及所求，先利用二倍角公式及三角函數(shù)的基本關(guān)系得到，然后利用角的拆分以及兩角差的正弦公式即可得解.【詳解】解：由已知可得，，，，.故選：A.3．（2013·浙江·高考真題）函數(shù)?(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分別是（

）A．π，1 B．π，2C．2π，1 D．2π，2【答案】A【分析】利用三角恒等變換化簡，再求最小正周期和振幅即可.【詳解】?(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，所以振幅為1，最小正周期為T＝＝＝π，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)，涉及其性質(zhì)的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若的圖象在區(qū)間上有且只有1個(gè)最低點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用輔助角公式化簡可得，根據(jù)x的范圍，可求得的范圍，根據(jù)題意，分析可得，計(jì)算即可得答案.【詳解】由題意得，因?yàn)?，所以，因?yàn)橛星抑挥?個(gè)最低點(diǎn)，所以，解得.故選：D二、多選題5．（2023春·江西宜春·高二上高二中?？计谀┤絷P(guān)于的方程在區(qū)間上有且只有一個(gè)解，則的值可能為（

）A． B． C．0 D．1【答案】AC【分析】整理換元之后，原問題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間上有且只有一個(gè)解，即的圖象和直線只有1個(gè)交點(diǎn).作出簡圖，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】整理可得，令，因?yàn)?，則.所以在區(qū)間上有且只有一個(gè)解，即的圖象和直線只有1個(gè)交點(diǎn).由圖可知，或，解得或.故選：AC.6．（2023春·山西晉城·高一晉城市第一中學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù)，則（

）A．與均在單調(diào)遞增B．的圖象可由的圖象平移得到C．圖象的對稱軸均為圖象的對稱軸D．函數(shù)的最大值為【答案】AD【分析】根據(jù)二倍角正弦公式、輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性、平移的性質(zhì)、對稱性、換元法逐一判斷即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，，顯然、都是的子集，所以函數(shù)與均在單調(diào)遞增，因此選項(xiàng)A正確；函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)樽笥?、上下平移不改變正弦型函?shù)的最小正周期，故選項(xiàng)B不正確；由，所以函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)的對稱軸為，顯然當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，圖象的對稱軸不為圖象的對稱軸，因此選項(xiàng)C不正確；令，所以，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，該函數(shù)有最大值，因此選項(xiàng)D正確，故選：AD7．（2022春·云南曲靖·高一會澤縣實(shí)驗(yàn)高級中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的周期為 B．函數(shù)的最大值為2C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)【答案】ACD【分析】根據(jù)題意得，顯然最大值為；代入計(jì)算周期；，則結(jié)合正弦函數(shù)判斷單調(diào)性；直接代入計(jì)算判斷零點(diǎn)．【詳解】函數(shù)的周期為，A正確；函數(shù)的最大值為，B不正確；∵，則，則在上單調(diào)遞增，C正確；，D正確；故選：ACD．三、填空題8．（2019·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知．【答案】【分析】根據(jù)降冪公式，化簡；將兩邊平方，化簡即可求得，代入式中即可求值．【詳解】因?yàn)閮蛇呁瑫r(shí)平方得即由降冪公式可知【點(diǎn)睛】本題考查了降冪公式與同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023春·廣西防城港·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若，則．【答案】【分析】利用降冪公式，將所求式子化簡，再結(jié)合已知條件，即可求出答案.【詳解】解：由降冪公式得：，又∵∴.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了降冪公式和誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.四、解答題10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中，且函數(shù)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為，(1)求的值及函數(shù)的對稱軸方程；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，求周長的取值范圍．【答案】(1)，對稱軸方程為：；(2).【分析】（1）根據(jù)降冪公式、輔助角公式，結(jié)合正弦型函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)、周期公式、對稱軸方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理、輔助角公式、正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)相鄰零點(diǎn)間的距離為，所以函數(shù)的最小正周期為，因?yàn)椋?，即，令，所以對稱軸為；（2）由，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以由正弦定理可知：，所以三角形的周長為，，因?yàn)?，所以，因此，所以周長的取值范圍為.【二層練綜合】一、單選題1．（2023·河南新鄉(xiāng)·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二倍角的正弦公式以及兩角差的正弦公式化簡可得結(jié)果.【詳解】.故選：A.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得函數(shù)的圖象，則圖象的一個(gè)對稱中心為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】通過降冪公式以及輔助角公式將化為，通過平移規(guī)律可得的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷⒑瘮?shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得函數(shù)，令，得，令，得，所以圖象的一個(gè)對稱中心為，故選：B.二、多選題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．若曲線經(jīng)過點(diǎn)，且關(guān)于直線對稱，則（

）A．的最小正周期為 B．C．的最大值為2 D．在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】由題知，進(jìn)而得，，再結(jié)合題意得，進(jìn)而再討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榍€關(guān)于直線對稱，所以，即，解得，所以，，所以，的最小正周期為，故A選項(xiàng)正確；因?yàn)榍€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以，，故B選項(xiàng)正確；所以，的最大值為，故C選項(xiàng)錯誤；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD三、解答題4．（2023春·山東淄博·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)的最小正周期為8．(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；(2)若，且，求的值．【答案】(1)，[](k∈Z)；(2)．【分析】(1)化簡f(x)，根據(jù)最小正周期求出ω，再求f(x)單調(diào)減區(qū)間；(2)由求出，在結(jié)合求出，最后利用正弦的和角公式求﹒【詳解】（1）由已知可得，，∵的最小正周期，∴，∴，由得，∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[](k∈Z)；（2）∵，由(1)有，即，由，知；∴，故﹒【三層練能力】一、多選題1．（2023春·高一單元測試）已知函數(shù)，下列關(guān)于此函數(shù)的論述正確的是（

）A．為函數(shù)的一個(gè)周期 B．函數(shù)的值域?yàn)镃．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)【答案】CD【分析】A選項(xiàng)，舉出反例即可；BD選項(xiàng)，從函數(shù)奇偶性和得到周期性入手，得到函數(shù)的圖象性質(zhì)，得到零點(diǎn)和值域；C選項(xiàng)，代入檢驗(yàn)得到函數(shù)單調(diào)性，判斷C選項(xiàng).【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以A錯誤；選項(xiàng)B、D：函數(shù)定義域?yàn)镽，并且，所以函數(shù)為偶函數(shù)；因?yàn)?，為周期函?shù)，故僅需研究函數(shù)在區(qū)間上的值域及零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，則，可得且僅一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令，則，可得且僅一個(gè)零點(diǎn)；所以函數(shù)的值域?yàn)榍以谏嫌?個(gè)零點(diǎn)．故選項(xiàng)