2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)-數(shù)列專題八（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題八知識點(diǎn)一等差數(shù)列的單調(diào)性,等比數(shù)列通項公式的基本量計算,求等比數(shù)列中的最大（小）項,數(shù)列新定義典例1、設(shè)數(shù)集滿足：①任意，有；②任意x，，有或，則稱數(shù)集具有性質(zhì).（1）判斷數(shù)集和是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）若數(shù)集且具有性質(zhì).（i）當(dāng)時，求證：，，…，是等差數(shù)列；（ii）當(dāng)，，…，不是等差數(shù)列時，求的最大值.

隨堂練習(xí)：已知項數(shù)為的有窮數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列具有性質(zhì)P；①；②對任意的、，與至少有一個是數(shù)列中的項．（1）分別判斷數(shù)列、、、和、、、是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）若數(shù)列具有性質(zhì)，求證：；（3）若數(shù)列具有性質(zhì)，且不是等比數(shù)列，求的值．典例2、對于無窮數(shù)列，若對任意，且，存在，使得成立，則稱為“數(shù)列”．（1）若數(shù)列的通項公式為的通項公式為，分別判斷是否為“數(shù)列”，并說明理由；（2）已知數(shù)列為等差數(shù)列，①若是“數(shù)列，，且，求所有可能的取值；②若對任意，存在，使得成立，求證：數(shù)列為“數(shù)列”．

隨堂練習(xí)：已知為正整數(shù)數(shù)列，滿足．記．定義A的伴隨數(shù)列如下：①；②，其中．（1）若數(shù)列A：4，3，2，1，直接寫出相應(yīng)的伴隨數(shù)列；（2）當(dāng)時，若，求證：；（3）當(dāng)時，若，求證：．典例3、已知數(shù)列：，，…，滿足：（，2，…，，），從中選取第項、第項、…、第項（，）稱數(shù)列，，…，為的長度為的子列.記為所有子列的個數(shù).例如：0，0，1，其.（1）設(shè)數(shù)列：1，1，0，0，寫出的長度為3的全部子列，并求；（2）設(shè)數(shù)列：，，…，，：，，…，，：，，…，，判斷，，的大小，并說明理由；（3）對于給定的正整數(shù)，（），若數(shù)列：，，…，滿足：，求的最小值.

隨堂練習(xí)：若項數(shù)為且的有窮數(shù)列滿足：，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”．（1）判斷下列數(shù)列是否具有“性質(zhì)”，并說明理由；①1，2，4，3；②2，4，8，16．（2）設(shè)，2，，，若數(shù)列具有“性質(zhì)”，且各項互不相同．求證：“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件是“數(shù)列為常數(shù)列”；（3）已知數(shù)列具有“性質(zhì)”．若存在數(shù)列，使得數(shù)列是連續(xù)個正整數(shù)1，2，，的一個排列，且，求的所有可能的值．知識點(diǎn)一利用定義求等差數(shù)列通項公式,由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列,裂項相消法求和典例4、設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，是，的等比中項.（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列各項均為正數(shù)，且.（1）求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，求的取值范圍.典例5、記為數(shù)列的前項和，已知．（1）證明：是等差數(shù)列；（2）若，記，求數(shù)列的前項和．

隨堂練習(xí)：數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列．（2）若，求數(shù)列的前項和．典例6、已知正項數(shù)列的前項和為，且，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和，求證：.

隨堂練習(xí)：已知數(shù)列滿足（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列：（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.人教A版數(shù)學(xué)--數(shù)列專題八答案典例1、答案：（1）數(shù)集不具有性質(zhì)，數(shù)集具有性質(zhì)，證明見解析（2）（i）證明見解析；（ii）4解：（1）證明：對于數(shù)集，，，所以數(shù)集不具有性質(zhì)，對于數(shù)集，任意，，所以數(shù)集具有性質(zhì).（2）（i）當(dāng)時，數(shù)集具有性質(zhì)，，所以，即，因為，則，又因為，所以，則，因為，所以得，，，因為，所以，則，又因為，所以或，因為，所以(舍去)，即，，所以，即當(dāng)時，，，…，是等差數(shù)列.（ii）若數(shù)集且具有性質(zhì)，按照(1)推導(dǎo)的方式得出一般結(jié)論，具體如下：因為，所以，即，因為，所以①，所以，，因為，所以，即，因為，根據(jù)，分兩種情況：第一種情況為，，…，，第二種情況為，，先考慮第二種情況，與題意矛盾，，與題意矛盾，所以只能為第一種情況，可得②，由①-②，得，即，即當(dāng)時，，，…，是等差數(shù)列，當(dāng)時，，所以，即，由前面得出，所以，，當(dāng)成立時，，，，不是等差數(shù)列，所以的最大值為4.隨堂練習(xí)：答案：（1）數(shù)列、、、不具有性質(zhì)，數(shù)列、、、不具有性質(zhì)，見解析（2）證明見解析（3）解：（1）對于數(shù)列、、、，因為，，所以，數(shù)列、、、不具有性質(zhì)；對于數(shù)列、、、，當(dāng)時，，，所以，數(shù)列、、、不具有性質(zhì).（2）證明：因為，因為，則為數(shù)列中的項，所以，，設(shè)且，因為，則不是數(shù)列中的項，所以，為數(shù)列中的項，因為，所以，，，，，上述等式全部相乘可得，因此，.（3）解：當(dāng)時，由（2）可知，由題意可得，這與數(shù)列是等比數(shù)列矛盾；當(dāng)時，由（1）可知，數(shù)列、、、具有性質(zhì)；當(dāng)時，由（2）可知，，①當(dāng)時，，所以，不是數(shù)列中的項，因為，，所以，，，，，所以，，因為，所以，，，所以，，，所以，，②由①②可得，這與數(shù)列不是等比數(shù)列矛盾，不合題意.綜上所述，.典例2、答案：（1）是“數(shù)列”，不是“數(shù)列”；（2）①9,10,12,16；②證明見解析．解：（1），對任意的，，，，，取，則，∴是“數(shù)列”，，對任意的，，，，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，因此不存在使得，∴不是“數(shù)列”；（2）數(shù)列為等差數(shù)列，①若是“數(shù)列，，且，，，，對任意的，，，，，由題意存在，使得，即，顯然，所以，，，所以是8的正約數(shù)，即，2，4，8，時，，；時，，；時，，；時，，．綜上，的可能值為9，10，12，16；②若對任意，存在，使得成立，所以存在，，，設(shè)公差為，則，，，對任意的，，，，，取，則，所以是“數(shù)列”．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）見解析；（3）見解析.解：（1）因為數(shù)列A：4，3，2，1，，所以.因為，所以，，，，.故數(shù)列A的伴隨數(shù)列為.（2）當(dāng)時，，顯然有；當(dāng)時，只要證明.用反證法，假設(shè)，則，從而，矛盾.所以.再根據(jù)為正整數(shù)，可知.故當(dāng)時，.當(dāng)時，，有，此時，命題成立；（3）當(dāng)時，由（2）的結(jié)論，中至少有兩個1，現(xiàn)假設(shè)中共有個1，即則.因為若，則，矛盾.所以.根據(jù)的定義可知，，，，以此類推可知一直有，再由后面，可知；另一方面與奇偶性相同，所以.典例3、答案：（1）6（2）（3）解：（1）由的定義以及，可得：的長度為3的子列為：，有2個，的長度為的子列有個，的長度為的子列有個，所以.（2）理由如下：若是的一個子列，則為的一個子列.若與是的兩個不同子列，則與也是的兩個不同子列.所以.同理，所以.同理所以有（3）由已知可得，數(shù)列中恰有個1，個0.令，下證：.由于，所以的子列中含有個0，個1的子列有且僅有1個，設(shè)為：.因為數(shù)列的含有個0，個1的子列至少有一個，所以.數(shù)列中，不含有0的子列有個，含有1個0的子列有k個，含有2個0的子列有個，，含有個0的子列有個，所以.所以的最小值為.隨堂練習(xí)：答案：（1）數(shù)列1，2，4，3不具有“性質(zhì)M”；數(shù)列2，4，8，16具有“性質(zhì)M”（2）證明見解析（3）或5解：（1），該數(shù)列不具有“性質(zhì)”；，該數(shù)列具有“性質(zhì)”；（2）證明：充分性，若數(shù)列是常數(shù)列，則，即，或又?jǐn)?shù)列且各項互不相同，，數(shù)列為等差數(shù)列；必要性，若數(shù)列為等差數(shù)列，則，即，數(shù)列為常數(shù)列；（3）數(shù)列是連續(xù)個正整數(shù)1，2，，的一個排列，當(dāng)時，，，不符合題意；當(dāng)時，數(shù)列3，2，4，1滿足，，符合題意；當(dāng)時，數(shù)列2，3，4，5，1滿足，符合題意；當(dāng)時，令，2，，，則，且，的取值有以下三種可能①，②，③，當(dāng)時，，由（2）知，，，是公差為1或的等差數(shù)列，若公差為1時，由得或，，不合題意，不合題意；若公差為，同上述方法可得不符合題意；當(dāng)滿足②，③時，同理可證不符合題意，故：或5．典例4、答案：（1）（2）解：（1）設(shè)的公差為，因為，是，的等比中項，所以，所以.因為，所以，故.（2）因為，所以.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）因為，所以所以，因為各項均為正數(shù)，，所以，所以數(shù)列是首項為4，公差為4的等差數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式為.（2）因為所以，則，因為，故，所以，又，所以，所以的取值范圍為.典例5、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）當(dāng)且時，，，整理可得：，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）得：，，.隨堂練習(xí)：答案：（1）見解析（2）解：（1）證明：因為，所以，又，所以數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；（2）由（1）得，，則.典例6、答案：（1）（2）見解析解：（1）當(dāng)時，，所以，由，得，兩式相減得，又，所以，所以