第01講 集合（解析版）

第01講集合（6類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第1題,5分集合的交集一元三次不等式的解法及范圍估算2023年新I卷，第1題,5分集合的交集一元二次不等式的解法2023年新Ⅱ卷，第2題,5分元素的性質(zhì)、集合的子集無2022年新I卷，第1題,5分集合的交集根號不等式的解法2022年新Ⅱ卷，第1題,5分集合的交集單絕對值不等式的解法2021年新I卷，第1題,5分集合的交集無2021年新Ⅱ卷，第2題,5分集合的交集、補(bǔ)集無2020年新I卷，第1題,5分集合的并集無2020年新Ⅱ卷，第1題,5分集合的交集無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度較低，分值為5分【備考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能夠判斷元素與集合、集合與集合的關(guān)系2.能掌握集合交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算和性質(zhì)3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識，會借助Venn圖、數(shù)軸等工具解決集合的計(jì)算問題4.會解一元二次不等式、一元二次方程、簡單的分式不等式、簡單的根號不等式，簡單的指對不等式，簡單的高次不等式和簡單的單絕對值不等式【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給兩個集合，要求通過解不等式求出一個集合，然后通過集合的運(yùn)算得出答案。知識講解集合的概念一般地，我們把指定的某些對象的全體稱為，通常用大寫字母A，B，C，…表示，集合中的每個對象叫做這個集合的，通常用小寫字母a，b，c，…表示.【答案】集合元素集合與元素的關(guān)系一個集合確定后，任何一個對象是不是這個集合的元素就確定了，如果元素a在集合中A中，就說元素a集合A，記作，如果元素a在不集合中A中，就說元素a集合A，記作.【答案】屬于不屬于3．集合的分類含有有限個元素的集合叫作，含有無限個元素的集合叫作，不含任何元素的集合叫作，記作.【答案】有限集無限集空集4．元素與集合（1）集合中元素的特性：、、.（2）元素與集合的關(guān)系：如果a是集合A的元素，就說a集合A，記作；如果a不是集合A中的元素，就說a集合A，記作.（3）集合的表示方法：列舉法、描述法、圖示法.（4）常用數(shù)集及其記法：數(shù)集非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集）正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集復(fù)數(shù)集符號N*或（N＋）ZQRC注：圖表中所列舉的字母符號均是集合的形式，不要加{}，這是因?yàn)閧R}不是實(shí)數(shù)集，它表示一個集合，該集合中只有一個元素R.【答案】確定性互異性無序性屬于不屬于N5．集合間的基本關(guān)系（1）如果集合的都是集合中的元素，這是我們說集合包含于，或者集合集合，記為.（2）如果，那么我們稱集合和集合相等，記為．（3）如果，且存在，則稱是的真子集，記為．（4）在數(shù)學(xué)中，我們常用韋恩圖來表示集合，如圖所示的兩個集合，它們的關(guān)系是;可記為.（5）如果集合中有個不同的元素，則的所有子集的個數(shù)為.【答案】任何一個元素包含6．集合的基本運(yùn)算文字語言符號語言圖形語言記法并集由所有屬于集合A集合B的元素組成的集合{x|x∈A，或x∈B}

交集由所有屬于集合A集合B的元素組成的集合{x|x∈A，且x∈B}

補(bǔ)集由全集U中集合A的所有元素組成的集合{x|x∈U，且x?A}

【答案】或?qū)儆贏∪B且屬于A∩B不屬于7．交集的性質(zhì)：①A∩BA；②A∩BB；③A∩A＝；

④A∩＝；⑤A∩BB∩A.【答案】=8．并集的性質(zhì)：①A∪BA；②A∪BB；③A∪A＝；④A∪＝；⑤A∪BB∪A.【答案】=9．補(bǔ)集的性質(zhì)：①?U(?UA)＝；②?UU＝；③?U＝；④A∩(?UA)＝；⑤A∪(?UA)＝；⑥?U(A∩B)＝(?UA)(?UB)；⑦?U(A∪B)＝(?UA)(?UB)．【答案】考點(diǎn)一、判斷元素與集合的關(guān)系1．（2022·全國·高考真題）設(shè)全集，集合M滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先寫出集合,然后逐項(xiàng)驗(yàn)證即可【詳解】由題知,對比選項(xiàng)知，正確,錯誤故選:2．（2023·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知，若，則m的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】將代入，然后轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解可得.【詳解】因?yàn)?，所以，等價于，解得.故選：A1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知集合，則下列表示正確的是（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】令分別為選項(xiàng)中不同值，求出的值進(jìn)行判定.【詳解】當(dāng)時，，所以，故A正確；當(dāng)時，，所以，故B錯誤；當(dāng)或時，，所以，故C錯誤；當(dāng)時，，所以，故D錯誤.故選：A2．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）已知，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題目條件得到不等式，求出答案.【詳解】由題意得且，解得．故選：A考點(diǎn)二、集合中元素的特性1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知集合，且，則實(shí)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．0或3 D．【答案】B【分析】由題意可得或，分類討論，結(jié)合集合元素的互異性，即可求得答案.【詳解】因?yàn)榍?，所以或，①若，此時，不滿足元素的互異性；②若，解得或3，當(dāng)時不滿足元素的互異性，當(dāng)時，符合題意.綜上所述，.故選：B2．（23-24高三上·遼寧·階段練習(xí)）已知集合，若，則（

）A．或3 B．0 C．3 D．【答案】C【分析】由集合相等的含義得，求解并驗(yàn)證互異性即可.【詳解】，，解得或，當(dāng)時，，不滿足集合中元素的互異性，舍去.當(dāng)時，，此時，滿足題意.綜上，.故選：C.1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)集合?,若?,則?的值為（

）A．? B．-3 C．? D．?【答案】D【分析】根據(jù)集合的確定性，互異性，無序性，進(jìn)行求解.【詳解】由集合中元素的確定性知?或?.當(dāng)?時,?或?;當(dāng)?時,?.當(dāng)?時,?不滿足集合中元素的互異性,故?舍去;當(dāng)?時,?滿足集合中元素的互異性,故?滿足要求;當(dāng)?時,?滿足集合中元素的互異性,故?滿足要求.綜上,?或?.故選:D.2．（22-23高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若，則的值是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)得到或，然后解方程根據(jù)元素的互異性進(jìn)行取舍即可.【詳解】因?yàn)?，所以①或②，由①得或，其中與元素互異性矛盾，舍去，符合題意，由②得，符合題意，兩種情況代入得.故選：C.考點(diǎn)三、集合間的基本關(guān)系1．（2023·全國·高考真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.2．（2024·遼寧·三模）若全集，，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合中函數(shù)的值域，得到集合，判斷兩個集合的包含關(guān)系.【詳解】全集，，則，，所以.故選：D3．（2024·河北秦皇島·三模）若集合，，且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再分、兩種情況討論，確定集合，再根據(jù)集合的包含關(guān)系得到不等式，解得即可.【詳解】由，即，解得，所以，當(dāng)時，，符合，當(dāng)時，由，解得，所以，因?yàn)?，所以，解?綜上可得的取值范圍為.故選：D1．（2024·山東濱州·二模）已知集合，則A的子集個數(shù)為（

）A．4 B．7 C．8 D．16【答案】C【分析】根據(jù)題意求集合A，結(jié)合集合的元素個數(shù)與子集個數(shù)之間的關(guān)系分析求解.【詳解】由題意可得：，可知A有3個元素，所以A的子集個數(shù)為.故選：C.2．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，則滿足集合的個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)包含關(guān)系，寫出所有滿足條件的集合A即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以可以是，?個，故選：D3．（2024·湖北·三模）已知，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式求出集合A，進(jìn)而根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，若，則故選：D.考點(diǎn)四、集合的基本運(yùn)算1．（2024·全國·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡集合，由交集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)?，且注意到，從?故選：A.2．（2024·全國·高考真題）集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由集合的定義求出，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，故選：D3．（2023·全國·高考真題）設(shè)全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意可得的值，然后計(jì)算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.1．（2023·全國·高考真題）設(shè)集合，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意逐一考查所給的選項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項(xiàng)A正確；，則，選項(xiàng)B錯誤；，則或，選項(xiàng)C錯誤；或，則或，選項(xiàng)D錯誤；故選：A.2．（2024·湖南長沙·二模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解對數(shù)不等式化簡集合A，求出指數(shù)函數(shù)值域化簡集合B，再利用交集的定義求解即得.【詳解】由，得，則，當(dāng)時，，則，所以.故選：A3．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先分別求集合，進(jìn)而利用集合的交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】；由，得，解得，所以；；，于是.故選：C.考點(diǎn)五、集合新定義1．（2024·河南·三模）定義集合運(yùn)算：，若集合，，則集合中所有元素之和為．【答案】4【分析】根據(jù)新定義求出集合中的所有元素，即可得解.【詳解】，，當(dāng)，時，；當(dāng)，時，；當(dāng)，時，.所以，所以集合中所有元素之和為.故答案為：42．（浙江·高考真題）設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意x，yS，若x≠y，都有xyT②對于任意x，yT，若x<y，則S；下列命題正確的是（

）A．若S有4個元素，則S∪T有7個元素B．若S有4個元素，則S∪T有6個元素C．若S有3個元素，則S∪T有5個元素D．若S有3個元素，則S∪T有4個元素【答案】A【分析】分別給出具體的集合S和集合T，利用排除法排除錯誤選項(xiàng)，然后證明剩余選項(xiàng)的正確性即可.【詳解】首先利用排除法：若取，則，此時，包含4個元素，排除選項(xiàng)C；若取，則，此時，包含5個元素，排除選項(xiàng)D；若取，則，此時，包含7個元素，排除選項(xiàng)B；下面來說明選項(xiàng)A的正確性：設(shè)集合，且，，則，且，則，同理，，，，，若，則，則，故即，又，故，所以，故，此時，故，矛盾，舍.若，則，故即，又，故，所以，故，此時.若，則，故，故，即，故，此時即中有7個元素.故A正確.故選：A.【點(diǎn)睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬變才是制勝法寶.1．（2024·山東威?！ざ＃┰谘芯考蠒r，用來表示有限集合A中元素的個數(shù)．集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，確定，從而求出的值.【詳解】由題：所以，故選：A.2．（2024·湖南懷化·二模）給定整數(shù)，有個實(shí)數(shù)元素的集合，定義其相伴數(shù)集，如果，則稱集合為一個元規(guī)范數(shù)集．（注：表示數(shù)集中的最小數(shù)）．對于集合，則（

）A．是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集 B．是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集C．不是規(guī)范數(shù)集，是規(guī)范數(shù)集 D．不是規(guī)范數(shù)集，不是規(guī)范數(shù)集【答案】C【分析】利用規(guī)范數(shù)集的定義，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】集合中，，則，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)不是1，因此不是規(guī)范數(shù)集；集合，，，即的相伴數(shù)集中的最小數(shù)是1，因此是規(guī)范數(shù)集.故選：C考點(diǎn)六、集合多選題1．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）若集合，則一定有（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)以及，可得、、可得，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，，因?yàn)?，，所以，所以，所以，故選項(xiàng)A、C正確，B、D錯誤.故選：AC.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】先分別求出集合，，計(jì)算和，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對集合，由，得，解得，即；對集合，由，得，解得，，即．所以或，A錯誤，B正確，或，C，D正確．故選：BCD1．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知集合則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】先求解不等式得集合，利用集合的交集、并集、補(bǔ)集定義運(yùn)算和集合間的包含關(guān)系即可一一判斷正誤.【詳解】由可得或，即或.對于A項(xiàng)，或，故A項(xiàng)錯誤；對于B項(xiàng)，或,故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，因或，故，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.2．（2024·江西·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，若，則的值可以為（

）A．1 B．0 C． D．【答案】ABD【分析】由，可得，再分和兩種情況討論即可.【詳解】，因?yàn)?，所以，?dāng)時，，當(dāng)時，，則或，所以或，綜上所述，或或.故選：ABD.3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)為全集，集合滿足條件，那么下列各式中不一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】結(jié)合舉例及集合的運(yùn)算和集合的關(guān)系求解即可.【詳解】當(dāng)，，，時，滿足，此時，不是的子集，所以A、B不一定成立；，，所以C不一定成立；對于D，若，則，但，因?yàn)?，所以，于是，所以，同理若，則，，因此，成立，所以D成立.故選：ABC.一、單選題1．（2024·廣東廣州·三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用集合的混合運(yùn)算，逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.【詳解】由題得：，，，或，或，所以，故A錯誤；或，故B錯誤；或，故C錯誤；，故D正確；故選：D.2．（2024·湖南·模擬預(yù)測）設(shè)全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，再求與交集即可.【詳解】∵，∴，由，所以.故選：B3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳解】.故選：B.4．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式求出集合M、N，結(jié)合并集的概念與運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：D5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式，求集合，進(jìn)而求得.【詳解】集合或，所以.故選：.6．（2024·湖南常德·一模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡集合，即可由集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由得，所以，故選：C7．（2024·天津·三模）設(shè)全集，集合，，則=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用補(bǔ)集、并集的定義直接求解即得.【詳解】依題意，全集，則，，得，所以.故選：B二、填空題8．（2024·湖南長沙·三模）已知集合，，若，則．【答案】2【分析】由得，令、、求出集合B，即可求解.【詳解】由，得.當(dāng)時，，不滿足元素的互異性，舍去；當(dāng)時，，滿足，符合題意；當(dāng)時，，不滿足，舍去.綜上，.故答案為：29．（2024·河北滄州·二模）已知集合，若，則的取值范圍為.【答案】【分析】求出集合，根據(jù)集合，即可求出.【詳解】由題意知，又且，故，即的取值范圍為.故答案為：.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)集合，．若，則．【答案】2【分析】先根據(jù)題目條件以及集合中元素的互異性證明，再驗(yàn)證滿足條件即可.【詳解】由于，而，故.所以是整數(shù)，且，再由集合中元素的互異性知，.從而是整數(shù)，且，，，得.當(dāng)時，，，故，滿足條件.故答案為：.一、單選題1．（2024·安徽·三模）已知集合，則的子集的個數(shù)為（

）A．16 B．8 C．4 D．2【答案】B【分析】利用交集定義與子集個數(shù)與元素個數(shù)的關(guān)系計(jì)算即可得.【詳解】由，可得，則的子集的個數(shù)為.故選：B.2．（2024·廣東廣州·二模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出中不等式的解集，找出解集中的整數(shù)解，確定出即可得出答案．【詳解】由解得，或，即，，.故選：B．3．（2024·湖南·二模）已知集合，則集合（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用不等式性質(zhì)、交集、并集、補(bǔ)集定義求解．【詳解】由題意，，所以.故選：D.4．（2024·河南·三模）若集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由集合中含有元素可以排除AD兩個選項(xiàng)，由中含無理數(shù)元素排除C選項(xiàng)，由時，得，判斷出選項(xiàng)B正確.【詳解】依題意可得，所以A、D均錯誤；因?yàn)?，所以中含無理數(shù)元素，故C錯誤；集合中，當(dāng)時，，所以,所以，所以B正確；故選：B.5．（2024·湖北鄂州·一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，將集合化簡，然后結(jié)合交集的運(yùn)算即可得到結(jié)果.【詳解】，而，故，故選：B．6．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）設(shè)集合，，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式得到，利用補(bǔ)集和交集概念求出答案.【詳解】因?yàn)榈葍r于，解得，所以，所以或，則由韋恩圖可知陰影部分表示．故選：B．7．（2024·河北保定·二模）已知集合，，若中有2個元素，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)即可求解.【詳解】，因?yàn)橹兄挥?個元素，則，所以.故選：B8．（2024·湖北荊州·三模）已知集合，，其中是實(shí)數(shù)集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解出一元二次不等式后，結(jié)合補(bǔ)集定義與交集定義計(jì)算即可得.【詳解】由可得或，則，又，故.故選：B.二、填空題9．（2024·江蘇南京·二模）已知集合，，則集合的元素個數(shù)為．【答案】2【分析】利用列舉法求解集合，即可求解.【詳解】當(dāng)時，，2，4，分別為,均不能滿足，當(dāng)時，時可滿足，時，，時，均不滿足，當(dāng)時，可滿足，時，，時，均不滿足，所以，故集合的元素有2個，故答案為：210．（2024·湖南邵陽·三模），，則.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)不等式求集合A，根據(jù)分式不等式求集合B，進(jìn)而可得.【詳解】若，則，解得，所以；若，則，解得，所以；所以.故答案為：.一、單選題1．（2024·全國·高考真題）集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)集合的定義先算出具體含有的元素，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳解】依題意得，對于集合中的元素，滿足，則可能的取值為，即，于是.故選：A2．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳解】由題意得，故選：A.3．（2024·天津·高考真題）集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合交集的概念直接求解即可.【詳解】因?yàn)榧?，，所以，故選：B4．（2023·全國·高考真題）設(shè)全集,集合，（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補(bǔ)集的運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)檎麛?shù)集，，所以，．故選：A．5．（2023·天津·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對集合B求補(bǔ)集，應(yīng)用集合的并運(yùn)算求結(jié)果；【詳解】