《現(xiàn)代大學計算機基礎》課件第2章

第2章信息表示與計算2.1常用計數(shù)制

2.2非此即彼—0和1的奇妙世界

2.3如魚得水—0和1與計算自動化

2.1常?用?計?數(shù)?制

2.1.1進位制計數(shù)法

在計算機內(nèi)使用進位制計數(shù)法表示數(shù)值。計數(shù)法是指用一組固定的符號和統(tǒng)一的規(guī)則來表示數(shù)值的方法。常用的計數(shù)法有十進制計數(shù)法、二進制計數(shù)法、八進制計數(shù)法和十六進制計數(shù)法。在計算機中，信息必須轉(zhuǎn)換成二進制形式數(shù)據(jù)后才能由計算機進行處理。各類進制規(guī)則一覽表如表2-1所示。表2-1各類進制規(guī)則一覽表一般用()角標來表示不同進制的數(shù)，如：(256.12)10，(101.01)2，(123)8，(2F)16。也可以在數(shù)字的后面，用特定字母表示該數(shù)的進制，如：256.12D，101.01B，123O，2FH。各類進制對照表如表2-2所示。表2-2十進制、二進制、八進制和十六進制對照表2.1.2數(shù)制間的轉(zhuǎn)換

(1)N進制(二、八、十六進制)與十進制的轉(zhuǎn)換：按權(quán)展開相加。用r表示其它進制，則有

例：將二進制數(shù)1100110101.101轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)

(1100110101.101)2=(1×29+1×28+0×27+0×26+1×25

+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+

1×2－1+0×2－2+1×2－3)10

?=(512+256+32+16+4+1+0.5+0.125)10

?=(821.625)10

(2)十進制轉(zhuǎn)換為N進制(二、八、十六進制)：整數(shù)部分除N取余，逆序排列，直到商為0(最后一個余數(shù)放在最左邊，第一個余數(shù)放在最右邊)；小數(shù)部分乘N取整，順序排列，直到小數(shù)部分為0，或者是規(guī)定的位數(shù)(最后一個整數(shù)放在最右邊，第一個整數(shù)放在最左邊)。

例：(205.345)10=(11001101.01011)2，如圖2.1所示。圖2.1十進制換算為二進制過程

(3)二進制轉(zhuǎn)換為八(十六)進制：以小數(shù)點為基點，向左右兩個方向三(四)位并為一組，位數(shù)不足用0補齊，按對應關系表示。

例：(1101101110.110101)2=(1556.65)8

三位一并法

(1101101110.110101)2=(36E.D4)16

四位一并法

(4)八(十六)進制轉(zhuǎn)換為二進制：一位八進制數(shù)對應三位二進制數(shù)(一分為三法)，一位十六進制數(shù)對應四位二進制數(shù)(一分為四法)。

例：(144)8=(001100100)2

一分為三法

(64)16=(01100100)2

一分為四法

2.2非此即彼—0和1的奇妙世界

2.2.1源遠流長—中華文化中的0和1

陰陽是古人對宇宙萬物兩種相反相成的性質(zhì)的一種抽象，也是宇宙對立統(tǒng)一及思維法則的哲學范疇。古人將自然界中如天地、日月、晝夜、寒暑、男女、晴雨、好壞、是非、來去、上下、你我、變與不變等等各種兩兩對應、相反相成又對立統(tǒng)一的現(xiàn)象抽象歸納起來，提出了“陰陽”的概念。陰陽學說把矛盾運動中的萬事萬物概括為“陰”、“陽”兩個對立的范疇，認為陰陽是構(gòu)成世界的基礎，并通過陰陽的組合和再組合形成“八卦”，來描述物質(zhì)世界的運動和變化規(guī)律。陰陽概念是整個東方哲學的基本假設，在此基礎上建立起龐大的中醫(yī)、天文、地理、數(shù)術、哲學等中華文化系統(tǒng)，深刻影響了中華民族乃至東亞地區(qū)的世界觀和人生觀。

將陰陽概念和二進制進行對比，就不難發(fā)現(xiàn)二者之間驚人的相似。用“0”來表示“陰”，用“1”來表示“陽”，數(shù)的二進制就等同于自然界的“陰”和“陽”，自然界中現(xiàn)實存在的陰陽兩種能量與計算機世界中虛擬的二進制一樣，真實地構(gòu)成了我們的大千世界。

《易經(jīng)》就是講陰陽變化的數(shù)理和哲理，它采用“陰”(用兩條短線或用“六”來標識)和“陽”(用一條長線或用“九”來標識)來表征0和1兩個基本素數(shù)，其進位制就是二進制。八卦中的每一卦都是采用三畫陰陽形成的一個組合，八卦便可以表示八種語義，如圖2.2所示。如果每卦采用六畫陰陽組成一個組合，則形成了更為復雜的六十四卦，可以表示六十四種語義，如圖2.3所示。易學里的“陰陽爻”不但繼承了自然界“陰陽”的符號，同時還復制了自然界陰陽能量對立統(tǒng)一的規(guī)律，并通過陰陽、五行、干支等文字符號以及“卦”的圖形符號模擬了陰陽能量的相互影響和作用，抽象地揭示出現(xiàn)實世界的存在和演化規(guī)律，即孔子所謂的“一陰一陽謂之道”。圖2.2八卦語義圖2.3六十四卦語義2.2.2萬象歸一—信息的0、1化

1.數(shù)值信息表達

1)帶符號數(shù)的表示

在代數(shù)中，人們表示帶符號的數(shù)值數(shù)據(jù)時，習慣于在絕對值前面加上“+”或“－”符號來表示數(shù)值。而由于計算機只能直接識別和處理二進制數(shù)據(jù)，因此對于數(shù)值符號和數(shù)據(jù)必須都采用“0”和“1”來進行代碼化。在計算機用一個數(shù)的最高位(即左邊第一位)存放符號，正數(shù)為0，負數(shù)為1。這種連同數(shù)值符號一起采用二進制表示的形式，稱之為機器數(shù)或機器碼。比如，計算機字長為8位時，十進制中的數(shù)+1，轉(zhuǎn)換成二進制就是00000001。如果是－1，就是10000001。那么，這里的00000001和10000001就是機器數(shù)。因為第一位是符號位，所以機器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如有符號數(shù)10000001，其最高位1代表負，其真正數(shù)值是－1而不是10000001轉(zhuǎn)換成十進制所得到的129。而代數(shù)形式中用“+”或“－”符號加絕對值來表示的方式稱之為真值。例如：00000001的真值為+1，10000001的真值為－1。

在計算機中，對帶符號數(shù)的機器數(shù)有多種定義和表示方法，常用的有原碼、反碼和補碼表示。

(1)原碼。原碼是基礎的定點整數(shù)編碼，就是符號位加上真值的絕對值，即用最高位表示符號(正數(shù)為0，負數(shù)為1)，其余位表示值，比如對于8位二進制： [+7]原

=00000111

[－7]原

=10000111

原碼是與真值形式最為接近的表示方式。如果用n位二進制來存放原碼，能表示的整數(shù)值范圍為(－2n－1+1)～(2n－1－1)，例如8位二進制數(shù)的取值范圍就是－127～127。使用時，要注意數(shù)的取值范圍，如果要表示的數(shù)超過能夠表示的范圍，則會導致高位的丟失，從而導致錯誤，稱之為溢出。需要注意的是，0具有(00000000)原和(10000000)原兩種不同的原碼表示形式，通常0的原碼采用(00000000)原表示。

(2)反碼。反碼表示法規(guī)定：正數(shù)的反碼與原碼相同；負數(shù)的反碼是在其原碼的基礎上，符號位不變，其余各位取反(即0變1，1變0)。以8位二進制為例：

[+10]反=[+10]原=00001010

[－10]原=10001010 [－10]反=?11110101

(3)補碼。在補碼的表示中，正數(shù)的表示方法與原碼相同，負數(shù)的補碼在其反碼的最低有效位上加1(即在其原碼的基礎上，符號位不變，其余各位取反，最后+1)。例如：

[－15]原=10001111

[－15]反=11110000

[－15]補=11110001總之，計算機可以采用原碼、反碼和補碼三種編碼方式來表示一個數(shù)。正數(shù)的三種編碼方式的結(jié)果都相同，而負數(shù)的原碼、反碼和補碼是完全不同的。在計算機中實際是以補碼的形式來表示負數(shù)，因為用補碼表示負數(shù)后，所有的運算只要通過加法運算就可以完成了。

2)帶小數(shù)點實數(shù)的表示

對于帶有小數(shù)點的實數(shù)，計算機的處理方式有兩種：定點數(shù)表示和浮點數(shù)表示。

(1)定點數(shù)：小數(shù)點隱含在某一固定位置，并不直接出現(xiàn)在二進制數(shù)值中，即默認小數(shù)點的存在，但計算機不存儲小數(shù)點。其中，定點整數(shù)約定小數(shù)點的位置在機器數(shù)的最右邊，說明機器數(shù)全為整數(shù)；定點小數(shù)約定小數(shù)點的位置在符號位與有效數(shù)值之間，說明機器數(shù)全為小數(shù)。

(2)浮點數(shù)：小數(shù)點位置可以任意浮動，在計算機中，采用科學計數(shù)法來表示數(shù)。浮點數(shù)由符號位、尾數(shù)位和階碼位三部分組成。數(shù)值位數(shù)為32位的稱為單精度浮點數(shù)，其中，最高1位為符號位，后面為8位指數(shù)位，最后為23位尾數(shù)位。數(shù)值位數(shù)為64位的稱為雙精度浮點數(shù)，其中，最高1位為符號位，后面為11位指數(shù)位，最后為52位尾數(shù)位。由此可見，單精度浮點數(shù)和雙精度浮點數(shù)的區(qū)別在于表示的范圍和精確度不同。

任意二進制數(shù)可表示為：N=數(shù)符×尾數(shù)×2階符×階碼,在階符和數(shù)符中“0”表示“+”，“1”表示“－”；尾數(shù)表示的是純小數(shù)部分，其絕對值大于等于0.1并且小于1，尾數(shù)的位數(shù)決定了數(shù)的精度；階碼的位數(shù)決定了數(shù)的范圍。

2.英文字母符號的表達

英文符號指的是英文字母、標點符號和特殊符號，以及作為符號使用的數(shù)字。在計算機中是以二進制的形式存儲和處理數(shù)據(jù)的，因此這些字符也必須按特定的規(guī)則(約定碼)進行制編碼。為了便于信息交換，目前國際上廣泛采用的編碼方式為“美國標準信息交換碼”—AmericanStandardCodeof

InformationInterchange(簡稱為“ASCII碼”)，如表2-3所示。表2-3ASCII碼(美國標準信息交換碼)表

ASCII碼于1967年定案，是由美國國家標準學會(AmericanNationalStandardInstitute，ANSI)制定的標準的單字節(jié)字符編碼方案。它最初是美國國家標準，供不同計算機在相互通信時用作共同遵守的西文字符編碼標準，現(xiàn)已被國際標準化組織(InternationalOrganizationforStandardization，ISO)定為國際標準，稱為ISO646標準，主要用于顯示現(xiàn)代英語和其他西歐語言，并已成為現(xiàn)今最通用的單字節(jié)編碼系統(tǒng)。

ASCII碼用7位二進制數(shù)表示一個字符的編碼，共有27=128個不同的編碼值，相應地可以表示128個不同字符的編碼。其中，有34個控制字符(00H～20H和7FH)和94個字符編碼(包括10個數(shù)碼、52個英文字母、32個通用字符，編碼范圍從21H～7EH)。在計算機內(nèi)部用一個字節(jié)存放一個7位ASCII碼，最高位置為0。在計算機中對字符進行排序就是根據(jù)其ASCII碼來比較大小的。例如，空格的ASCII碼值小于數(shù)字的ASCII碼值，數(shù)字的ASCII碼值小于大寫英文字母的ASCII碼值，大寫英文字母的ASCII碼值小于小寫英文字母的ASCII碼值。其中，數(shù)字的ASCII碼按照由小到大的順序依次排列，英文字母的ASCII碼按照字母順序依次排列。

3.漢字的表達

1)國標碼

1981年我國頒布了國家標準《信息交換用漢字編碼字符集》(GB2312—80)，這一漢字編碼的國家標準稱之為“國標碼”。這個字符集是我國中文信息處理技術的發(fā)展基礎，也是目前國內(nèi)所有漢字系統(tǒng)的統(tǒng)一標準。國標碼涵蓋7445個字符編碼，其中，1級漢字3755個，按漢語拼音順序排列；2級漢字3008個，按部首和筆畫排列；常用符號、字母、圖形符號等682個。之后，又根據(jù)信息技術發(fā)展需要，不斷推出了多個基本集的擴充字符集、輔助字符集等。中華人民共和國國家標準總局于2000年推出強制性的GB18030—2000標準。于2001年8月31日后發(fā)布或出廠的產(chǎn)品，必須符合GB18030—2000的相關要求。國家標準強制標準冠以“GB”，推薦標準冠以“GB/T”。信息處理常用的國家標準強制標準如表2-4所示。表2-4信息處理用國家標準強制標準以GB2312—80為例，在代碼表中，縱向分為94行，橫向分為94列。行與列分別為七位，取值從0100001到1111110。一個漢字的國標碼用兩個字節(jié)表示，第一字節(jié)表示漢字所在的行，第二字節(jié)表示漢字所在的列。例如：

2)區(qū)位碼

將GB2312—80代碼表中的行號稱為區(qū)號，列號稱為位號，分別有94個區(qū)和94個位，根據(jù)區(qū)號和位號就可以唯一地標識出漢字，這種編碼方式稱之為“區(qū)位碼”。國標碼是一個四位十六進制數(shù)，區(qū)位碼是一個四位的十進制數(shù)，每個國標碼或區(qū)位碼都對應著一個唯一的漢字或符號，但因為十六進制數(shù)我們很少用到，所以大家常用的是區(qū)位碼。區(qū)位碼的前兩位叫做區(qū)碼，后兩位叫做位碼。在區(qū)位碼中，16～55區(qū)為一級漢字區(qū)(3755個最常用的漢字，按拼音字母的次序排列)；56～87區(qū)為二級漢字區(qū)(3008個漢字，按部首次序排列)；1～9區(qū)為三級漢字，包括字母、數(shù)字、特殊圖形符號等；10～15區(qū)為用戶自定義區(qū)。例如，“寶”字的區(qū)位碼是1706，“場”字的區(qū)位碼是1901，“廠”字的區(qū)位碼是1907,等等。

將一個漢字的十進制區(qū)號和十進制位號分別轉(zhuǎn)換為十六進制數(shù)，然后再分別加上20(H)，就是該漢字的國標碼。例如：已知漢字“家”的區(qū)位碼是2850，將區(qū)位碼的區(qū)號和位號