2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)2019試題15.3互斥事件和獨(dú)立事件

15.3互斥事件和獨(dú)立事件一、單選題1．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（

）A．至少有一個黑球與都是黑球B．至少有一個紅球與都是紅球C．至少有一個黑球與至少有1個紅球D．恰有1個黑球與恰有2個黑球【答案】D【解析】【分析】按照試驗(yàn)進(jìn)行分析得到A、B、C中的兩個事件不互斥，而D中的事件互斥但不對立.【詳解】對于A：至少有一個黑球與都是黑球，其中至少有一個黑球包含1個黑球和2個黑球，而都是黑球即為2個黑球，所以既不互斥，更不對立.故A錯誤；對于B：至少有一個紅球與都是紅球，其中至少有一個紅球包含1個紅球和2個紅球，而都是紅球即為2個紅球，所以既不互斥，更不對立.故B錯誤；對于C：至少有一個黑球與至少有1個紅球都包含1個黑球和1個紅球這種情況，所以既不互斥，更不對立.故C錯誤；對于D：恰有1個黑球即為1個黑球和1個紅球，而恰有2個黑球?yàn)?個黑球，所以恰有1個黑球與恰有2個黑球?yàn)榛コ馐录臼录€包括2個紅球的情況，所以恰有1個黑球與恰有2個黑球不是對立事件.故D正確.故選：D2．設(shè)A，B是兩個概率大于0的隨機(jī)事件，則下列論述正確的是（

）A．若A，B是對立事件，則事件A，B滿足P（A）＋P（B）＝1B．事件A，B，C兩兩互斥，則P（A）＋P（B）＋P（C）＝1C．若A和B互斥，則A和B一定相互獨(dú)立D．P（A＋B）＝P（A）＋P（B）【答案】A【解析】【分析】A.該選項(xiàng)正確；B.事件A，B，C兩兩互斥，舉例說明該選項(xiàng)錯誤；C.若A和B互斥，則A和B一定不相互獨(dú)立，所以該選項(xiàng)錯誤；D.只有當(dāng)A和B互斥時，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以該選項(xiàng)錯誤.【詳解】A.若A，B是對立事件，則事件A，B滿足P（A）＋P（B）＝1，所以該選項(xiàng)正確；B.事件A，B，C兩兩互斥，如:投擲一枚均勻的骰子，設(shè){向上的點(diǎn)數(shù)是1點(diǎn)}，{向上的點(diǎn)數(shù)是2點(diǎn)}，{向上的點(diǎn)數(shù)是3點(diǎn)}，則A，B，C兩兩互斥，,P（A）＋P（B）＋P（C）＜1,所以該選項(xiàng)錯誤；C.若A和B互斥，則，則A和B一定不相互獨(dú)立，所以該選項(xiàng)錯誤；D.只有當(dāng)A和B互斥時，P（A＋B）＝P（A）＋P（B），所以該選項(xiàng)錯誤.故選：A3．一個射手進(jìn)行射擊，記事件=“脫靶”，=“中靶”，=“中靶環(huán)數(shù)大于4”，則在上述事件中，互斥而不對立的事件是（

）A．與 B．與 C．與 D．以上都不對【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件、對立事件的意義逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】射手進(jìn)行射擊時，事件=“脫靶”，=“中靶”，=“中靶環(huán)數(shù)大于4”，事件與不可能同時發(fā)生，并且必有一個發(fā)生，即事件與是互斥且對立，A不是；事件與不可能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，即事件與是互斥不對立，B是；事件與可以同時發(fā)生，即事件與不互斥不對立，C不是，顯然D不正確.故選：B4．一個口袋內(nèi)裝有大小相同的紅、籃球各一個，若有放回地摸出一個球并記下顏色為一次試驗(yàn)，試驗(yàn)共進(jìn)行三次，則至少摸到一次紅球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式求三次都摸到籃球的概率，再應(yīng)用對立事件的概率求法求至少摸到一次紅球的概率.【詳解】由題設(shè)，每次摸到紅、籃球的概率均為，則三次都摸到籃球的概率為，所以至少摸到一次紅球的概率是.故選：B5．若隨機(jī)事件滿足，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．互斥 B．相互獨(dú)立 C．互為對立 D．互斥且獨(dú)立【答案】B【解析】【分析】利用獨(dú)立事件，互斥事件和對立事件的定義判斷即可【詳解】解：因?yàn)?，，又因?yàn)?，所以有，所以事件與相互獨(dú)立，不互斥也不對立故選：B.6．連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的情況，事件“至少兩次出現(xiàn)正面”的對立事件是（

）A．只有2次出現(xiàn)正面 B．至少2次出現(xiàn)正面C．有2次或者3次出現(xiàn)反面 D．有2次或者3次出現(xiàn)正面【答案】C【解析】【分析】考慮硬幣拋擲3次的結(jié)果的情況，利用對立事件的含義解答即可.【詳解】連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，結(jié)果可能是三次都是正面或兩次正面一次反面或一次正面兩次反面或三次反面，故事件“至少兩次出現(xiàn)正面”的對立事件是有2次或者3次出現(xiàn)反面，故選：C二、多選題7．已知事件A，B，且，則（

）A．如果，那么B．如果A與B互斥，那么C．如果A與B相互獨(dú)立，那么D．如果A與B相互獨(dú)立，那么【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)事件的包含關(guān)系、相互獨(dú)立?互斥事件概率計(jì)算方法計(jì)算即可.【詳解】如果，那么，，故A正確；如果A與互斥，那么，，故B正確；如果A與相互獨(dú)立，那么，，故C錯誤；如果A與相互獨(dú)立，那么，故D正確；故選：ABD8．下列說法錯誤的是（

）A．一對夫婦生2個小孩，恰好一男一女的概率為B．?dāng)S一顆骰子2次，兩次向上的點(diǎn)數(shù)相同的概率為C．若，為兩個任意事件，則事件對立事件是事件，都發(fā)生D．試驗(yàn)次數(shù)足夠多，事件發(fā)生的頻率其實(shí)就是事件發(fā)生的概率【答案】AD【解析】【分析】由題意得出基本事件的個數(shù)由古典概型求概率可判斷AB，根據(jù)和事件、互斥事件、對立事件的概念判斷C，由頻率與概率的關(guān)系判斷D.【詳解】對于A，一對夫婦生2個小孩，共有（男，男），（女，女），（男，女），（女，男）四個基本事件，由古典概型可知，恰好一男一女的概率為，故A錯；對于B，擲一顆骰子2次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為基本事件，共36個，其中兩次點(diǎn)數(shù)相同的共有，6個基本事件，故由古典概型可知，故B正確；對于C，和事件發(fā)生，就是，事件至少一個發(fā)生，它的對立事件就是，事件都不發(fā)生，即事件，都發(fā)生，故C正確；對于D，試驗(yàn)次數(shù)足夠多，事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件發(fā)生的概率附近，不一定是事件發(fā)生的概率，故D錯誤.故選：AD9．利用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽查某工廠的件產(chǎn)品，其中一等品有件，合格品有件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個工廠隨機(jī)抽查一件產(chǎn)品，設(shè)事件為“是一等品”，為“是合格品”，為“是不合格品”，則下列結(jié)果正確的是（

）A．B．C．D．【答案】ABD【解析】【分析】依題意可得、、為互斥事件，即可判斷B、C，再根據(jù)古典概型的概率公式得到、、，即可判斷A，最后根據(jù)和事件的概率公式判斷D；【詳解】解：由題意知、、為互斥事件，∴，故B正確、C錯誤；∵從件中抽取產(chǎn)品符合古典概型的條件，∴、、，則，∴A、D正確，故選：ABD.10．中國籃球職業(yè)聯(lián)賽（CBA）中，某男籃球運(yùn)動員在最近幾次比賽中的得分情況如下表:投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)沒投中100551827記該運(yùn)動員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀，投中三分球?yàn)槭录﨎，沒投中為事件C，用頻率估計(jì)概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】【分析】依題意事件與事件為對立事件，且事件，，互斥，根據(jù)和事件和對立事件的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可知，，，事件與事件為對立事件，且事件，，互斥，所以，，，故選：AC.三、填空題11．甲、乙、丙三人同解一道數(shù)學(xué)題目，三人解對的概率分別為，，，且三人解題互不影響，則三人均未解對的概率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，結(jié)合對立事件的概率計(jì)算，即可得答案.【詳解】設(shè)甲、乙、丙三人解對數(shù)學(xué)題目分別為事件，，，則，，相互獨(dú)立，所以所求事件的概率為,故答案為：12．已知事件與事件是互斥事件，若事件與事件同時發(fā)生的概率記為，則_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概念即可得出結(jié)果.【詳解】由事件A與事件B為互斥事件，得故答案為：0四、解答題13．某高校的人學(xué)面試中有4道題目，第1題2分，第2題2分，第3題3分，第4題3分，每道題目答對給滿分，答錯不給分.小明同學(xué)答對第1，2，3，4題的概率分別為，，，，且每道題目答對與否相互獨(dú)立.(1)求小明同學(xué)恰好答對1道題目的概率；(2)若該高校規(guī)定學(xué)生的面試分?jǐn)?shù)不低于6分則面試成功，求小明同學(xué)面試成功的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）直接計(jì)算小明答對第1題、第2題、第3題、第4題的概率相加即可；（2）分小明答對2道題目、3道題目、4道題目面試成功，依次計(jì)算概率，再相加即可.(1)設(shè)事件“小明同學(xué)恰好答對1道題目”，所以.(2)設(shè)事件“小明同學(xué)面試成功”.若小明同學(xué)恰好答對2道題目面試成功，則必定答對了第3題和第4題，則小明同學(xué)恰好答對2道題目面試成功的概率；若小明同學(xué)恰好答對3道題目，則必定面試成功，則小明同學(xué)恰好答對3道題目面試成功的概率；若小明同學(xué)答對4道題目，則必定面試成功，則答對4道題目面試成功的概率.所以.14．甲、乙兩人對局，甲獲勝的概率為0.30，成平局的