微積分第一講市公開課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

微積分

第一講馬黎

（.4.15）第1頁第一講函數(shù)介紹第一次數(shù)學(xué)危機(jī)----數(shù)域擴(kuò)張第2頁1.數(shù)學(xué)危機(jī)

為了講清楚數(shù)學(xué)危機(jī)來龍去脈，我們首先要說明什么是數(shù)學(xué)危機(jī)。普通來講，危機(jī)是一個(gè)激化、非處理不可矛盾。從哲學(xué)上來看，矛盾是無處不在、不可防止，即便以確定無疑著稱數(shù)學(xué)也不例外。在整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上，貫通著矛盾斗爭與處理。而在矛盾激化到包括整個(gè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)時(shí)，就產(chǎn)生數(shù)學(xué)危機(jī)。第3頁2、歷史背景從某種意義上來講，當(dāng)代意義下數(shù)學(xué)（也就是作為演繹系統(tǒng)純粹數(shù)學(xué)）起源于古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個(gè)學(xué)派興旺時(shí)期為公元前5左右，它是一個(gè)唯心主義流派。他們重視自然及社會(huì)中不變?cè)蜓芯?，把幾何、算術(shù)、天文學(xué)、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙友好及規(guī)律性。他們認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，認(rèn)為數(shù)學(xué)知識(shí)是可靠、準(zhǔn)確，而且能夠應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派信條：宇宙間一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。第4頁

當(dāng)初人只有「有理數(shù)」觀念是絕不奇怪。對(duì)于整數(shù)，在數(shù)在線我們能夠知道是一點(diǎn)點(diǎn)分散，而且點(diǎn)與點(diǎn)之間距離是一，那就是說，整數(shù)不能完全填滿整條數(shù)線，但有理數(shù)則不一樣了，我們發(fā)覺任何兩個(gè)有理數(shù)之間，必定有另一個(gè)有理數(shù)存在，比如：1與2之間有1/2，1與1/2之間有1/4等，所以令人很輕易認(rèn)為「有理數(shù)」能夠完全填滿整條數(shù)線，「有理數(shù)」就是等于一切數(shù)，可惜這個(gè)想法是錯(cuò)。第5頁3、畢達(dá)哥拉斯定理（畢氏鐵拳）含有戲劇性是由畢達(dá)哥拉斯建立畢達(dá)哥拉斯定理卻成了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰“掘墓人”。畢達(dá)哥拉斯發(fā)覺了現(xiàn)時(shí)眾所周知畢達(dá)哥拉斯定理（其實(shí)中國于公元前一千一百年已經(jīng)有此定理叫勾股定理），畢達(dá)哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中一個(gè)組員希帕索斯考慮了一個(gè)問題：邊長為1正方形其對(duì)角線長度是多少呢？第6頁

一個(gè)不能表成整數(shù)比數(shù)：

依據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理，邊長為1正方形，其對(duì)角線長度若記為c，則推出。如圖:

C

1第7頁

希帕索斯(Hippasus)一個(gè)正方形對(duì)角線與其一邊長度是不可公度？

第8頁他發(fā)覺這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個(gè)新數(shù)來表示。亦即是說有理數(shù)并非一切數(shù)，存在有理數(shù)以外數(shù)，有理數(shù)不能夠完全填滿整條數(shù)線，他們心中信念完完全全被破壞了，他們所恃和所自豪信念完全被粉碎。希帕索斯發(fā)覺造成了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)無理數(shù)√2誕生。小小√2出現(xiàn)，卻在當(dāng)初數(shù)學(xué)界掀起了一場(chǎng)巨大風(fēng)暴。它直接動(dòng)搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰，使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。第9頁有些人說，這種性質(zhì)是希帕索斯約在公元前4發(fā)覺，為此，他同伴把他拋進(jìn)大海。不過更有可能是畢達(dá)哥拉斯已經(jīng)知道這種事實(shí)，而希帕索斯因泄密而被處死。不論怎樣，這個(gè)發(fā)覺對(duì)古希臘數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大沖擊。這表明，幾何學(xué)一些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之?dāng)?shù)卻能夠由幾何量表示出來。整數(shù)尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。第10頁實(shí)際上，這一偉大發(fā)覺不不過對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派致命打擊。對(duì)于當(dāng)初全部古希臘人觀念這都是一個(gè)極大沖擊。這一結(jié)論悖論性表現(xiàn)在它與常識(shí)沖突上：任何量，在任何準(zhǔn)確度范圍內(nèi)都能夠表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)初是人們普遍接收信仰，就是在今天，測(cè)量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時(shí)，這個(gè)斷言也毫無例外是正確！第11頁可是為我們經(jīng)驗(yàn)所確信，完全符合常識(shí)論斷竟然被小小√2存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識(shí)，多么荒謬事！它簡直把以前所知道事情根本推翻了。更糟糕是，面對(duì)這一荒謬人們竟然毫無方法。這就在當(dāng)初直接造成了人們認(rèn)識(shí)上危機(jī)，從而造成了西方數(shù)學(xué)史上一場(chǎng)大風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”。在當(dāng)初數(shù)學(xué)界來說，是一個(gè)極大震撼，也是歷史上「第一次數(shù)學(xué)危機(jī)」。第12頁4、新一頁

原來“第一次數(shù)學(xué)危機(jī)”是“無理數(shù)”發(fā)覺，不過它還說出了“有理數(shù)”不完備性，亦即有理數(shù)不能夠完全填滿整條數(shù)線，在有理數(shù)之間還有“空隙”，無疑這些都是可被證實(shí)事實(shí)，是不能否定。面對(duì)著事實(shí)，數(shù)學(xué)家展開遼闊胸襟，把“無理數(shù)”引入數(shù)學(xué)大家庭，令數(shù)學(xué)更豐富更完備，加添了無理數(shù)，數(shù)線終于被填滿了。第13頁

矛盾消除，危機(jī)處理，往往給數(shù)學(xué)帶來新內(nèi)容，新進(jìn)展，甚至引發(fā)革命性變革，這也反應(yīng)出矛盾斗爭是事物發(fā)展歷史動(dòng)力這一基本原理。整個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展史就是矛盾斗爭歷史，斗爭結(jié)果就是數(shù)學(xué)領(lǐng)域發(fā)展。第14頁5、數(shù)域擴(kuò)張

人類最早認(rèn)識(shí)是自然數(shù)。從引進(jìn)零及負(fù)數(shù)就經(jīng)歷過斗爭：要么引進(jìn)這些數(shù)，要么大量數(shù)減法就行不通；一樣，引進(jìn)分?jǐn)?shù)使乘法有了逆運(yùn)算——除法，不然許多實(shí)際問題也不能處理。不過接著又出現(xiàn)了√2

這么問題，數(shù)域就是這么在不停擴(kuò)張。第15頁

數(shù)分類數(shù)域第16頁回顧以前各種數(shù)學(xué)，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實(shí)際出發(fā)，應(yīng)用到實(shí)際問題中去。比如泰勒斯預(yù)測(cè)日食，利用影子距離計(jì)算金字塔高度，測(cè)量船只離岸距離等等，都是屬于計(jì)算技術(shù)范圍。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國數(shù)學(xué)，并沒有經(jīng)歷過這么危機(jī)和革命，所以也就一直停留在“算學(xué)”階段。而希臘數(shù)學(xué)則走向了完全不一樣道路，形成了歐幾里得《幾何原本》公理體系與亞里士多德邏輯體系。第17頁

一、函數(shù)生活中函數(shù)舉例函數(shù)慣用表示法

列表法圖像法解析式法

第一章函數(shù)第18頁

一、區(qū)間與鄰域（一）區(qū)間

以上區(qū)間稱為有限區(qū)間第一章函數(shù)第19頁

以上區(qū)間稱為無限區(qū)間第20頁

（二）鄰域第21頁二函數(shù)第22頁2.函數(shù)記號(hào)第23頁第24頁

3

.約定:定義域是自變量所能取使算式有意義一切實(shí)數(shù)值.第25頁第26頁第27頁第28頁求定義域標(biāo)準(zhǔn)1）分母不為零（ln1=0）2）開偶次方時(shí)被開方數(shù)非負(fù)3）對(duì)數(shù)真數(shù)為正第29頁第30頁分段函數(shù)定義域第31頁第32頁介紹幾個(gè)慣用符號(hào)第33頁三、函數(shù)特征M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1.函數(shù)有界性:第34頁2．函數(shù)單調(diào)性:xyo第35頁xyo第36頁【注】偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱yxox-x3.函數(shù)奇偶性:第37頁yxox-x【注】奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱第38頁第39頁4.函數(shù)周期性第40頁五、分段函數(shù)在自變量不一樣取值范圍內(nèi)，用不一樣公式表示函數(shù)，稱為分段函數(shù).【注】分段函數(shù)定義域是各段定義域并集

如符號(hào)函數(shù)

-11xyo第41頁例4解故第42頁三、基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)是指以下六類函數(shù)：常量函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)．1.常數(shù)函數(shù)

第43頁2.冪函數(shù)第44頁3.指數(shù)函數(shù)第45頁4.對(duì)數(shù)函數(shù)第46頁5.三角函數(shù)函數(shù)第47頁5.三角函數(shù)函數(shù)第48頁5.三角函數(shù)函數(shù)第49頁5.三角函數(shù)函數(shù)第50頁6.反三角函數(shù)函數(shù)第51頁6.反三角函數(shù)函數(shù)第52頁6.反三角函數(shù)函數(shù)第53頁6.反三角函數(shù)函數(shù)第54頁第55頁四、函數(shù)運(yùn)算：復(fù)合函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次函數(shù)復(fù)合步驟所組成并可用一個(gè)式子表示函數(shù),稱為初等函數(shù).第56頁第57頁第58頁第59頁函數(shù)起源近代數(shù)學(xué)本質(zhì)上能夠說是變量數(shù)學(xué)，而變量數(shù)學(xué)興起是因?yàn)榻馕鰩缀蝿?chuàng)建。解析幾何基本思想是平面上引進(jìn)所謂坐標(biāo)概念，以此在平面上點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。解析幾何創(chuàng)造歸功于兩位法國數(shù)學(xué)家笛卡爾（R.Descartes，1596-1650）和費(fèi)馬（P.de.Fermat1601-1665）.解析幾何是代數(shù)和幾何相結(jié)合產(chǎn)物，他將變量引進(jìn)到數(shù)學(xué)，使運(yùn)動(dòng)與改變定量表述稱為可能，從而為微積分創(chuàng)建打下基礎(chǔ)。第60頁函數(shù)（function）一詞最初是由德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲（G.W.Leibniz，1646-1716）在1692年開始使用。1734年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（L.Euler，1707-1783）引入了符號(hào)f(x)，并稱變量函數(shù)是一個(gè)解析表示式，認(rèn)為函數(shù)是由一個(gè)公式確定數(shù)量關(guān)系。但，當(dāng)初函數(shù)概念依然是比較含糊。第61頁直到1837年，德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（P.G.L.Dirichlet，1805-1859）提出?！凹偃鐚?duì)于一個(gè)x每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定值與之對(duì)應(yīng)，則y是x函數(shù)?！边@個(gè)定義才比較清楚地說明了函數(shù)內(nèi)涵：不論其對(duì)應(yīng)法則是公式、表格、圖像還是其它形式