湖南省部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期8月開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024-2025學(xué)年（上）高三第一次考試數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置，2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式解法求得集合，再根據(jù)集合的描述法表示即可求得.【詳解】解不等式可得；又可知集合是所有整數(shù)的平方構(gòu)成的集合，在區(qū)間范圍內(nèi)只有是整數(shù)的平方，因此可得.故選：A2.已知向量，若，則（）A. B.0 C. D.1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及模長(zhǎng)公式解方程即可求得結(jié)果.【詳解】由可得，且，所以，解得.故選：B3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用和角的正切公式，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性求解即得.【詳解】由，得，由，得，而，則，因此，所以.故選：C4.圖中的花盆可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，其上半部分的圓臺(tái)上?下底面直徑分別為30cm和26cm，下半部分的圓臺(tái)上?下底面直徑分別為24cm和18cm，且兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖的圓弧所對(duì)的圓心角均相等，若上半部分的圓臺(tái)的高為8cm，則該花盆的總高度為（）A.16cm B.18cm C.20cm D.24cm【答案】C【解析】【分析】利用組合體的軸截面以及三角形相似即可得出該花盆的總高度.【詳解】截取組合體的軸截面，作，如下圖所示：易知，即為上半部分的圓臺(tái)的高，所以，又因?yàn)閮蓚€(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖的圓弧所對(duì)的圓心角均相等，所以；可得，易知，所以.因此該花盆的總高度為.故選：C5.“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合復(fù)合函數(shù)“同增異減”的判斷法則求得對(duì)應(yīng)的的取值范圍即可得出結(jié)論.【詳解】易知的定義域?yàn)?，且函?shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知若函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，解得；顯然是的真子集，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B6.已知過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A2 B.4 C.6 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立求出點(diǎn)的縱坐標(biāo)差即可得解.【詳解】顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為，，由消去得，則，由，得，解得或，則，所以的面積為.故選：C7.已知等差數(shù)列中，.記，其中表示不大于的最大整數(shù)，則數(shù)列的前2024項(xiàng)和為（）A.4965 B.4964 C.1893 D.1892【答案】A【解析】【分析】求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再分析數(shù)列的各項(xiàng)取值，求其前項(xiàng)和.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，解得，則，于是，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.故選：A8.已知三棱錐中，，其余各校長(zhǎng)均為2，P是三棱錐外接球的球面上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面BCD的距離的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)幾何性質(zhì)找到三棱錐外接球的球心，再根據(jù)球的幾何性質(zhì)球點(diǎn)到平面距離的最值.【詳解】取的中點(diǎn)，連結(jié)，，則，，且，平面，所以平面，點(diǎn)，分別是，的中心，由等邊三角形的性質(zhì)可知，點(diǎn)分別在上，且，由題意可知，，則，分別過(guò)點(diǎn)作，，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面平面，且平面平面，所以平面，同理平面，則點(diǎn)在平面內(nèi)，點(diǎn)到的距離相等，所以點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，連結(jié)，因?yàn)椋瑒t，所以平分，所以，連結(jié)，則，，所以三棱錐的外接球的半徑為，則點(diǎn)P到平面的距離的最大值為故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.年我國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格月度漲跌幅度的數(shù)據(jù)如圖所示，對(duì)于這組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.極差為 B.平均數(shù)約為C.中位數(shù)為 D.眾數(shù)只有和【答案】AB【解析】【分析】利用平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，極差的定義逐個(gè)選項(xiàng)分析即可.【詳解】首先，我們把數(shù)據(jù)從小到大排列，得到，所以極差為，故A正確，平均數(shù)為，故B正確，中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤，眾數(shù)有，，，故D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，最小正周期，若將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則（）A.B.C.在上的值域?yàn)镈.在上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和周期的取值范圍可求得函數(shù)的解析式，利用平移規(guī)則以及誘導(dǎo)公式可得出表達(dá)式，再根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性可求得其值域，利用整體代換可求得的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】依題意由可得，解得，又可知；將代入可得，又因?yàn)榭傻?因此可得，即A正確；對(duì)于B,將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)，因此B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)可得，根據(jù)余弦函數(shù)性質(zhì)可得，可得C正確；對(duì)于D，令，解得；易知當(dāng)時(shí)，可得在上單調(diào)遞增，即D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，且在上單調(diào)遞增，，則（）A. B.C.是奇函數(shù) D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合賦值法計(jì)算判斷ABC；結(jié)合選項(xiàng)C的結(jié)論，分段探討的取值情況判斷D.【詳解】對(duì)于A，令，得，則，由在上單調(diào)遞增，得不恒為1，因此，A正確；對(duì)于B，令，得，則，而，因此，B正確；對(duì)于C，，取，則，即有，因此函數(shù)是偶函數(shù)，又時(shí)，，則函數(shù)不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，，因此，當(dāng)時(shí)，，，所以，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，12.若復(fù)數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】求出方程復(fù)數(shù)根，再利用復(fù)數(shù)模的意義計(jì)算即得.【詳解】由，得，所以.故答案為：13.設(shè)，則被7除的余數(shù)為_(kāi)_________.【答案】2【解析】【分析】依題意可將改寫(xiě)成的形式，再由二項(xiàng)展開(kāi)式可得被7除的余數(shù)為2.【詳解】易知，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)可得；所以，即可得被7除的余數(shù)與被7除的余數(shù)相同，所以，所以被7除的余數(shù)為2.故答案為：214.已知是雙曲線上任意一點(diǎn)，，若恒成立，則的離心率的最大值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出的最小值并建立不等式，求解不等式即可得解.【詳解】設(shè)，雙曲線的半焦距為，離心率為，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，依題意，，整理得，解得，即，解得，因此，即所以的離心率的最大值為.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，且.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）6；（2）3.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理列式解方程即得.（2）由（1）的信息，利用正弦定理、余弦定理求解即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，由余弦定理可得，即，得，所以.【小問(wèn)2詳解】由，得，則.由正弦定可得，解得.由余弦定理得，即，而，所以.16.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且不與軸重合的動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，且當(dāng)軸時(shí)，.（1）求的方程；（2）若，直線分別與直線交于點(diǎn)，證明：定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，列出關(guān)于的方程組求解即得.（2）設(shè)出直線的方程，與的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值即可.【小問(wèn)1詳解】由焦點(diǎn)，得，由，得，則，聯(lián)立解得，所以的方程為.【小問(wèn)2詳解】依題意，直線不垂直于軸，設(shè)直線的方程為，由消去得，則，直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以，為定值.17.如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，平面平面，四邊形為菱形，為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的性質(zhì)、判定推理即得.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用線面角的向量求法求解即得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則，又，則，四邊形平行四邊形，于是，平面平面，平面平面，則平面，所以平面，而平面，因此，由四邊形為菱形，得，又平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】依題意，為等邊三角形，連接，，平面平面，平面平面，平面，則平面，以點(diǎn)為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)正根，證明：.【答案】（1）；（2）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及給定切線求出.（2）由（1），利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.（3）方程變形為，利用方程根的意義換元構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)推理證明不等式.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，得，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)3詳解】由，得，令，依題意，，則，設(shè)，由（2）知在上單調(diào)遞增，則，，由，得，于是，要證當(dāng)時(shí)，，即證，令，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，函數(shù)，即在上單調(diào)遞增，，函數(shù)上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，即成立，所以.19.在一個(gè)不透明的口袋中裝有2個(gè)黑球和2個(gè)白球，每次從口袋中隨機(jī)取出1個(gè)球，再往口袋中放入1個(gè)白球，取出的球不放回，像這樣取出1個(gè)球再放入1個(gè)白球稱為1次操作，重復(fù)操作至口袋中4個(gè)球均為白球后結(jié)束.假設(shè)所有球的大小?材質(zhì)均相同，記事件“次操作后結(jié)束”為，事件發(fā)生的概率為.（1）求第1次操作取出黑球且3次操作后結(jié)束的概率；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）設(shè)，證明：.【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算即得.（2）利用互斥事件的概率加法公式、相互獨(dú)立事件的概率公式列式，再利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即得.（3）由給定條件