距離空間的可分性和完備性培訓(xùn)課件

已知：在實直線上，

存在一個處處稠密的可數(shù)子集Q,且成立完備性定理（即柯西收斂原理)。問題：在一般的距離空間中，是否存在一個處處稠密的可數(shù)子集？完備性定理是否總成立？

8/23/20241距離空間的可分性和完備性

一、距離空間的可分性1.距離空間中的稠密子集注:1)B在A中稠密x

A,

>0,S(x,

)內(nèi)含有B中的點

x

A,有x

B或x

B′A

B

2)B在X中稠密x

X,

>0,S(x,

)內(nèi)含有B中的點

x

X,有x

B或x

B′X

B

B=X定義1（稠密性)設(shè)X是距離空間，A

X,B

X.

(1)B在A中稠密,若對于x

A,

{xn}B,使xn

x(n)(2)B在X中處處稠密(或B是X的一個稠密子集),若對于

x

X,{xn}B,使xn

x(n).8/23/20242距離空間的可分性和完備性例1有理數(shù)集在R中處處稠密.例2Rn中的有理點集在Rn中稠密可數(shù).例3多項式集合P在C[a,b]

Lp[a,b]中處處稠密.(魏爾斯特拉斯一致逼近定理:

x(t)C[a,b],{pn(t)}P,使pn(t)

x(t)(n),即pn(t)按C[a,b]中的距離收斂于x(t).)8/23/20243距離空間的可分性和完備性例4[a,b]上的有界可測函數(shù)集合B[a,b]在Lp[a,b](p

1)中處處稠密.證:

x(t)Lp[a,b],定義函數(shù)列

xn(t)(n=1,2,…)是[a,b]上的有界可測函數(shù),且有x(t)Lp[a,b]

x(t)p

L1[a,b]>0,>0,使當(dāng)E0

E=[a,b],m(E0)<時,有

N,當(dāng)n>N時,m(E(x>n))<

xn

x(n)B[a,b]在Lp[a,b]中稠密(L積分的絕對連續(xù)性)8/23/20244距離空間的可分性和完備性例5[a,b]上的連續(xù)函數(shù)集合C[a,b]按Lp[a,b]中的距離在Lp[a,b]中處處稠密.證:由上例知B[a,b]在Lp[a,b]中稠密,只要證明按Lp[a,b]中的距離C[a,b]在B[a,b]中稠密即可.

x(t)B[a,b],x(t)

K.>0,=(/2K)p,y(t)C[a,b]使得

m(E(x(t)y(t)))<(由魯金定理)不妨設(shè)y(t)K,E0=E(x(t)y(t))

(x,y)<C[a,b]在B[a,b]Lp[a,b]中稠密.8/23/20245距離空間的可分性和完備性2.距離空間的可分性定義2(可分距離空間)設(shè)X是距離空間.X是可分距離空間,若X中存在一個處處稠密且可數(shù)的子集.注:1)A

X是可分集存在稠密點列{xn}

A2)X不可分

X中沒有任何處處稠密的可數(shù)子集。X是可分距離空間存在稠密點列{xn}

X

例1R是可分的.(有理數(shù)集在R中處處稠密、可數(shù))例3多項式集合P是可分的.（有理系數(shù)多項式集合P0在多項式集合P中可數(shù)稠密）例2Rn是可分的.(Rn中的有理點集在Rn中稠密可數(shù))8/23/20246距離空間的可分性和完備性例4C[a,b]是可分的.（多項式集合P在C[a,b]中處處稠密,因而有理系數(shù)多項式集合P0在P

C[a,b]中處處稠密可數(shù)）證：1)設(shè)x(t)

C[a,b],由魏爾斯特拉斯一致逼近定理,>0,p(t)P

C[a,b],使

(x,p)=max|x(t)-p(t)|</2

多項式集合P在C[a,b]上稠密;有理系數(shù)多項式集合P0在多項式集合P中稠密>0,p0(t)P0

P,使

(p,p0)=max|p(t)-p0(t)|</2

>0,p0(t)P0

P

C[a,b],使

(x,p0)=max|x(t)-p0(t)|max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p0(t)|

<

p0(t)S(x,)P0按C[a,b]中距離在C[a,b]中稠密;而P0

C[a,b]是可數(shù)集，因而C[a,b]可分的。8/23/20247距離空間的可分性和完備性

p0(t)S(x,)P0按Lp[a,b]中距離在Lp[a,b]中稠密;而P0是可數(shù)集，因而Lp[a,b]可分的。證設(shè)x(t)

C[a,b],由上例有>0,有理系數(shù)多項式

p0(t)P0，使

C(x,p0)=max|x(t)-p0(t)|</(b-a)1/p例5Lp[a,b]是可分的.（多項式集合P在C[a,b]

Lp[a,b]中稠密

有理系數(shù)多項式集合P0在Lp[a,b]中稠密可數(shù)）8/23/20248距離空間的可分性和完備性例6lp(p1)與c都是可分的.（有理點集A={x=(x1,…,xn,0,…)|xi

Q}在lp(p1)和c中都處處稠密）例7設(shè)X是離散距離空間,證明X可分

X是可數(shù)集

證：在離散距離空間中設(shè)有稠密真子集，所以X中唯一的稠密子集只有X自身。故X可分

X可數(shù)。注：可見并非所有的距離空間都是可分的。8/23/20249距離空間的可分性和完備性注：定義在任何一個勢為

(即不可數(shù))非空集合上的離散距離空間一定是不可分的。(上例中的A也是不可分的。)2）證明m中沒有可數(shù)稠密子集(反證法).設(shè)m可分

A0={x=(

1,2,…,n,…)||

i|

K}m可數(shù),且在m中稠密

A0={xk},xk=(1(k),2(k),…,n(k))A0，且

A

m

S(xk,1/3）(k=1,2,…)

A0可數(shù),A不可x,y

A,x

y,并x0

A0,使S(x0,1/3)x,y1=

(x,y)

(x,x0)+

(x0,y)<1/3+1/3=2/3,矛盾,故m不可分.例8有界序列空間m都是不可分的.證：1）首先證明m中存在不可數(shù)集.設(shè)A={x=(

1,

2…,

n,…)|

i=0or1}m

x=(

1,…,

n,…)A,y=(

1,…,

n,…)A,(x

y)

(x,y)=sup|

i-

i|=1,[0,1]={x=0.1,2,…n…|i=0or1}~AAm不可數(shù)8/23/202410距離空間的可分性和完備性

二、距離空間的完備性1.距離空間中的基本列（或柯西列）

定義3（基本列)設(shè)X是距離空間，{xn}X.

{xn}是X中的基本列,若當(dāng)m,n

時,有xm-xn0,即對于>0,N=N(),當(dāng)m,n>N時,有

(xm,xn)<.

注:1)距離空間中的任何收斂點列都是基本列(同實數(shù)域).

事實上,{xn}X,x

X,xn

x>0,N,當(dāng)m,n>N時,同時有

(xn,x)</2,

(xm,x)</2

當(dāng)m,n>N時,有

(xm,xn)

(xn,x)+

(xm,x)<

{xn}是基本列

2)但距離空間中基本列未必是收斂列.(不同于實數(shù)域)例如,X=(0,1),x,y

X,

(x,y)=|x-y|,點列{xn}={1/(n+1)}是X中的基本列,但它在X中不收斂3)距離空間中的任何基本列都是有界列(同實數(shù)域).8/23/202411距離空間的可分性和完備性例1R按通常距離(x,y)=|x-y|完備.(R上每個基本列都收斂)例2坐標(biāo)平面上的有限點集X按通常的距離定義是完備的距離空間證:因為X中的基本列只能是“常駐點列”，即其中元素列出有：x1,x2,…,xr,xk,…xk,…,xn

xk,因此X是完備的定義4(完備距離空間)

X是完備距離空間,如果X中的任何基本列都收斂于X中的點.2.完備距離空間注:1)在完備的距離空間中,基本列一定是收斂的.2)

X是不完備的距離空間,是指X中存在著不收斂于X內(nèi)的點的基本列.8/23/202412距離空間的可分性和完備性例3離散距離空間是完備的距離空間.證：因為離散距離空間中的基本列的元素都相同，因而收斂。例4C[a,b]按距離

(x,y)=max|x(t)-y(t)|是完備距離空間.

證：設(shè){xn}C[a,b]是基本列

>0,

N=N(),當(dāng)m,n>N時,有

(xn,xm)=max|xn(t)-xm(t)|<

t[a,b],當(dāng)m,n>N時，有|xn(t)-xm(t)|<

x(t),使得xn(t)x(t)(一致)（柯西一致收斂定理)

又xn=xn(t)C[a,b]xn(t)在[a,b]上連續(xù)

x(t)在[a,b]上連續(xù)(一致收斂函數(shù)列的保連續(xù)性質(zhì))

x(t)C[a,b]x

C[a,b],使得xn

x

X是完備的。8/23/202413距離空間的可分性和完備性例5Rn按歐氏距離構(gòu)成的歐氏空間是完備的.證:{x(k)}Rn為一基本列,對于i=1,2,…,n,當(dāng)k,j>N時,有設(shè)xi(k)

xi(k)(i=1,2,…,n),令x=(x1,…,xn)Rn（k

）

Rn按歐氏距離構(gòu)成的歐氏空間是完備的.{xi(k)}是基本列,因而{xi(k)}收斂>0,N,當(dāng)k,j>N時,有>0,N,當(dāng)k>N,j

時，有8/23/202414距離空間的可分性和完備性例6空間Lp[a,b]、lp、

l

(orm)、c

均為完備的距離空間。證:{x(k)}l

為一基本列,對于i=1,2,…,n,…,當(dāng)k,j>N時,有|xi(k)xi(j)|<

對每個i，{xi(k)}是基本列，因而收斂。設(shè)xi(k)

xi(k)(i=1,2,…,n,…),令x=(x1,…,xn,…)(下面證x

l

)當(dāng)n>N時，有x(k)

l

xi(k)

Mk,(k=1,2,…)

xi

xi-xi(k)+xi

(k)+Mk,i=1,2,…

x={x1,x2,…,xn,…)l

>0,N,當(dāng)k,j>N時,有8/23/202415距離空間的可分性和完備性例7有理數(shù)集Q按距離(x,y)=|x-y|是距離空間,但不完備.事實上，在有理數(shù)集Q中，有理數(shù)列{(1+1/n)n}收斂,因而是基本列,但其極限為eQ，故Q不完備.例8[a,b]上實系數(shù)多項式全體P[a,b]按C[a,b]中通常的距離構(gòu)成C[a,b]的子空間,但它是不完備的距離空間。事實上,存在多項式列

pn(t)一致收斂于x(t):x(t)C[a,b].x(t)P[a,b](但是確實存在著不完備的距離空間)8/23/202416距離空間的可分性和完備性例9C[0,1]按距離構(gòu)成的距離空間是L1[0,1]的子空間，但它按

1(x,y)不完備.(m=1,2,…){xm}C[0,1]是基本列。011/2am011/2aman證:構(gòu)造函數(shù)列{xm(t)}C[0,1]:8/23/202417距離空間的可分性和完備性如果存在x(t)使1(xm,x)0(m),由于

顯然x(t)C[0,1]，所以C[0,1]按距離

1(x,y)不完備?？梢宰C明{xm}在C[0,1]中按1(x,y)不收斂。8/23/202418距離空間的可分性和完備性例10C[a,b]按距離構(gòu)成的距離空間是L2[a,b]的子空間，但它按

2(x,y)不完備.證:構(gòu)造函數(shù)列{xn(t)}C[a,b]:|xn(t)|</2,且在[a,b]上處處有8/23/202419距離空間的可分性和完備性（勒貝格有界收斂定理）

{xn(t)}按距離

2收斂于x(t){xn(t)}是距離空間(C[a,b],

2)中的基本列（距離空間中的任何收斂點列都是基本列）基本列{xn(t)}的極限函數(shù)x(t)

[a,b]

距離空間(C[a,b],

2)不完備。

注證明一個距離空間X不完備，通常有兩種方法：

1)構(gòu)造X中的一個基本列，然后說明該基本列在X中無極限；

2)直接構(gòu)造X中的一個極限函數(shù)不屬于X的收斂點列，該點列一定是X中的基本列。8/23/202420距離空間的可分性和完備性定理1(完備距離空間的性質(zhì))

設(shè)X是完備距離空間,

1){xn}是基本列{xn}是收斂點列x

X,使xn

x2)

F

X,F是X的閉子空間

F是X的完備子空間證：1）“充分性”設(shè){xn}X,x

X，xn

x>0,N>0,當(dāng)n>N時,(xn,x)</2

當(dāng)n>N,m>N時,(xn,xm)(xn,x)+(x,xm)<{xn}是基本列“必要性”設(shè){xn}X是基本列,

X完備{xn}X是收斂點列（完備性定義）2）“必要性”設(shè){xn}F

X是基本列，F(xiàn)是X的閉子空間.

X完備，{xn}是基本列x

X,使xn

x(n)

F閉x

F′=F{xn}在F中收斂F完備

“充分性”設(shè)F完備.

{xn}F，xn

x{xn}F是基本列，

F完備

x

F

F是閉的。8/23/202421距離空間的可分性和完備性3.完備距離空間的兩個基本定理8/23/202422距離空間的可分性和完備性定義5（稀疏集與第二綱集）設(shè)X是距離空間1）若X中任一個球都含有某一個球，使后者不含A的點，則稱A為X中的稀疏集（疏朗集）。2）若A=

An，每個An都在X內(nèi)稀疏，則稱A是在X內(nèi)的第一綱集,而X內(nèi)的非第一綱集的集合稱為第二綱集.

注：1°在稀疏集定義中，“任意球”可以是開球或閉球.2°在R中，有理數(shù)集是第一綱集，而無理數(shù)集是第二綱集。8/23/202423距離空間的可分性和完備性定理3設(shè)X是距離空間，A是稀疏集

A不在X的任意球中稠密。證“”設(shè)A稀疏S(x0,),S(x1,)S(x0,),使S(x1,)A=A不在S(x0,)中稠密“”設(shè)A不在任一球中稠密S(x