2025年高考數學二輪復習-概率統(tǒng)計專題20：放回不放回問題【含解析】

專題20放回不放回問題（原卷版）例1．有編號為1，2，3的三只小球，和編號為1，2，3，4的四個盒子，將三個小球逐個隨機的放入四個盒子中，每只球的放置相互獨立．(1)求三只小球恰在兩個盒子中的概率；(2)求三只小球在三個不同的盒子，且至少有兩個球的編號與所在盒子編號不同的概率；(3)記錄至少有一只球的盒子，以表示這些盒子編號的最大值，求例2．為慶?！爸袊L春國際馬拉松賽”，某單位在慶祝晚會中進行嘉賓現(xiàn)場抽獎活動.抽獎盒中裝有大小相同的6個小球，分別印有“長春馬拉松”和“美麗長春”兩種標志，搖勻后，規(guī)定參加者每次從盒中同時抽取兩個小球(登記后放回并搖勻)，若抽到的兩個小球都印有“長春馬拉松”即可中獎，并停止抽獎，否則繼續(xù)，但每位嘉賓最多抽取3次.已知從盒中抽取兩個小球不都是“美麗長春”標志的概率為.(Ⅰ)求盒中印有“長春馬拉松”標志的小球個數；(Ⅱ)用η表示某位嘉賓抽獎的次數，求η的分布列和期望．例3．已知一個口袋中裝有n個紅球(且)和2個白球，從中有放回地連續(xù)摸三次，每次摸出兩個球，若兩個球顏色不同則為中獎，否則不中獎．（Ⅰ）當時，設三次摸球中(每次摸球后放回)中獎的次數為X，求X的分布列；（II）記三次摸球中(每次摸球后放回)恰有兩次中獎的概率為P，當n取多少時，P最大？例4．袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止.每枚棋子在每一次被摸出的機會都是等可能的.用表示取棋子終止時所需的取棋子的次數.（1）求隨機變量的概率分布列和數學期望；（2）求甲取到白棋的概率.例5．袋中有大小相同的3個紅球和2個白球,現(xiàn)從袋中每次取出一個球,若取出的是紅球，則放回袋中,繼續(xù)取一個球,若取出的是白球,則不放回,再從袋中取一球,直到取出兩個白球或者取球5次,則停止取球,設取球次數為,(1)求取球3次則停止取球的概率;(2)求隨機變量的分布列.例6．某種產品的質量以其質量指標值來衡量，質量指標值越大表明質量越好，記其質量指標值為，當時,產品為一級品；當時，產品為二級品，當時，產品為三級品，現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為配方和配方)做實驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面的試驗結果：(以下均視頻率為概率)配方的頻數分配表指標值分組頻數10304020配方的頻數分配表指標值分組頻數510154030（Ⅰ）若從配方產品中有放回地隨機抽取3件，記“抽出的配方產品中至少1件二級品”為事件，求事件發(fā)生的概率；（Ⅱ）若兩種新產品的利潤率與質量指標滿足如下關系：其中，從長期來看，投資哪種配方的產品平均利潤率較大？例7．一個袋中裝有個形狀大小完全相同的小球，球的編號分別為，，，，，．（Ⅰ）若從袋中每次隨機抽取個球，有放回的抽取次，求取出的兩個球編號之和為的概率．（Ⅱ）若從袋中每次隨機抽取個球，有放回的抽取次，求恰有次抽到號球的概率．（Ⅲ）若一次從袋中隨機抽取個球，記球的最大編號為，求隨機變量的分布列．（Ⅳ）若從袋中每次隨機抽取個球，有放回的抽取次，記球的最大編號為，求隨機變量的分布列．例8．從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；(ⅱ)求抽到紅球次數的數學期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，寫出抽完紅球所需次數的分布列.例9．已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.（1）求最后取出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求的分布列和數學期望例10．已知一個口袋中裝有n個紅球(n≥1且n∈N＋)和2個白球，從中有放回地連續(xù)摸三次，每次摸出2個球，若2個球顏色不同則為中獎，否則不中獎．(1)當n＝3時，設三次摸球中中獎的次數為X，求隨機變量X的分布列；(2)記三次摸球中恰有兩次中獎的概率為P，求當n取多少時，P的值最大．例11．某健身機構統(tǒng)計了去年該機構所有消費者的消費金額（單位：元），如下圖所示：（1）將去年的消費金額超過3200元的消費者稱為“健身達人”，現(xiàn)從所有“健身達人”中隨機抽取2人，求至少有1位消費者，其去年的消費金額超過4000元的概率；（2）針對這些消費者，該健身機構今年欲實施入會制，詳情如下表：會員等級消費金額普通會員2000銀卡會員2700金卡會員3200預計去年消費金額在內的消費者今年都將會申請辦理普通會員，消費金額在內的消費者都將會申請辦理銀卡會員，消費金額在內的消費者都將會申請辦理金卡會員.消費者在申請辦理會員時，需-次性繳清相應等級的消費金額.該健身機構在今年底將針對這些消費者舉辦消費返利活動，現(xiàn)有如下兩種預設方案：方案1：按分層抽樣從普通會員，銀卡會員，金卡會員中總共抽取25位“幸運之星”給予獎勵:普通會員中的“幸運之星”每人獎勵500元；銀卡會員中的“幸運之星”每人獎勵600元；金卡會員中的“幸運之星”每人獎勵800元.方案2：每位會員均可參加摸獎游戲，游戲規(guī)則如下：從-個裝有3個白球、2個紅球（球只有顏色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸-個球.若摸到紅球的總數消費金額/元為2，則可獲得200元獎勵金；若摸到紅球的總數為3，則可獲得300元獎勵金；其他情況不給予獎勵.規(guī)定每位普通會員均可參加1次摸獎游戲；每位銀卡會員均可參加2次摸獎游戲；每位金卡會員均可參加3次摸獎游戲（每次摸獎的結果相互獨立）.以方案2的獎勵金的數學期望為依據，請你預測哪-種方案投資較少？并說明理由.專題20放回不放回問題（解析版）例1．有編號為1，2，3的三只小球，和編號為1，2，3，4的四個盒子，將三個小球逐個隨機的放入四個盒子中，每只球的放置相互獨立．(1)求三只小球恰在兩個盒子中的概率；(2)求三只小球在三個不同的盒子，且至少有兩個球的編號與所在盒子編號不同的概率；(3)記錄至少有一只球的盒子，以表示這些盒子編號的最大值，求【解析】(1)設“三只小球恰在兩個盒子中”為事件，則(2)設“恰有兩個球的編號與盒子編號不同”為事件，“三個球的編號與盒子的編號不同”為事件則“至少有兩個球的編號與所在盒子編號不同”為事件：，，，與互斥，故(3)；；；；故例2．為慶?！爸袊L春國際馬拉松賽”，某單位在慶祝晚會中進行嘉賓現(xiàn)場抽獎活動.抽獎盒中裝有大小相同的6個小球，分別印有“長春馬拉松”和“美麗長春”兩種標志，搖勻后，規(guī)定參加者每次從盒中同時抽取兩個小球(登記后放回并搖勻)，若抽到的兩個小球都印有“長春馬拉松”即可中獎，并停止抽獎，否則繼續(xù)，但每位嘉賓最多抽取3次.已知從盒中抽取兩個小球不都是“美麗長春”標志的概率為.(Ⅰ)求盒中印有“長春馬拉松”標志的小球個數；(Ⅱ)用η表示某位嘉賓抽獎的次數，求η的分布列和期望．【解析】（Ⅰ）設印有“美麗長春”的球有n個，同時抽兩球不都是“美麗長春”標志為事件A，則同時抽取兩球都是“美麗長春”標志的概率是，由對立事件的概率：P(A)＝1－＝.即，解得n＝3.（Ⅱ）由已知，兩種球各三個，η可能取值分別為1，2，3，，,P(η＝3)＝1－P(η＝1)－P(η＝2)＝.則η的分布列為η123P所以E(η)＝1×＋2×＋3×＝.例3．已知一個口袋中裝有n個紅球(且)和2個白球，從中有放回地連續(xù)摸三次，每次摸出兩個球，若兩個球顏色不同則為中獎，否則不中獎．（Ⅰ）當時，設三次摸球中(每次摸球后放回)中獎的次數為X，求X的分布列；（II）記三次摸球中(每次摸球后放回)恰有兩次中獎的概率為P，當n取多少時，P最大？【解析】（1）當時，每次摸出兩個球，中獎的概率，則；；；．所以X的分布列為X0123P（2）設每次摸球中獎的概率為p，則三次摸球(每次摸球后放回)恰有兩次中獎的概率為，．對于函數，，當時，，在上單調遞增，當時，，在上單調遞減，故當時，取得最大值．令，即，解得或，所以當或2時，P最大．例4．袋中裝有圍棋黑色和白色棋子共7枚，從中任取2枚棋子都是白色的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸取一枚棋子.甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即終止.每枚棋子在每一次被摸出的機會都是等可能的.用表示取棋子終止時所需的取棋子的次數.（1）求隨機變量的概率分布列和數學期望；（2）求甲取到白棋的概率.【解析】設袋中白棋共有個，，則依題意知：，∴，即，解之得（舍去）.（1）袋中的7枚棋子3白4黑，隨機變量的所有可能取值是1，2，3，4，5.，，，，.（注：此段4分的分配是每錯1個扣1分，錯到4個即不得分.）隨機變量的概率分布列為：12345所以.（2）記事件“甲取到白棋”，則事件包括以下三個互斥事件：“甲第1次取棋時取出白棋”；“甲第2次取棋時取出白棋”；“甲第3次取棋時取出白棋”.依題意知：，，，所以，甲取到白棋的概率為例5．袋中有大小相同的3個紅球和2個白球,現(xiàn)從袋中每次取出一個球,若取出的是紅球，則放回袋中,繼續(xù)取一個球,若取出的是白球,則不放回,再從袋中取一球,直到取出兩個白球或者取球5次,則停止取球,設取球次數為,(1)求取球3次則停止取球的概率;(2)求隨機變量的分布列.【解析】（1）記“取球3次停止”為事件，則；（2）由題意，可能的取值為2,3,4,5，；；其分布表如下：2345例6．某種產品的質量以其質量指標值來衡量，質量指標值越大表明質量越好，記其質量指標值為，當時,產品為一級品；當時，產品為二級品，當時，產品為三級品，現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為配方和配方)做實驗，各生產了100件這種產品，并測量了每件產品的質量指標值，得到下面的試驗結果：(以下均視頻率為概率)配方的頻數分配表指標值分組頻數10304020配方的頻數分配表指標值分組頻數510154030（Ⅰ）若從配方產品中有放回地隨機抽取3件，記“抽出的配方產品中至少1件二級品”為事件，求事件發(fā)生的概率；（Ⅱ）若兩種新產品的利潤率與質量指標滿足如下關系：其中，從長期來看，投資哪種配方的產品平均利潤率較大？【解析】（Ⅰ）由題意知，從配方產品中隨機抽取一次抽中二級品的概率為，則沒有抽中二級品的概率為，所以，.（Ⅱ）配方立品的利潤分布列為0.60.4所以配方產品的利潤分布列為0.70.250.05所以，因為，所以所以投資配方產品的平均利潤率較大.例7．一個袋中裝有個形狀大小完全相同的小球，球的編號分別為，，，，，．（Ⅰ）若從袋中每次隨機抽取個球，有放回的抽取次，求取出的兩個球編號之和為的概率．（Ⅱ）若從袋中每次隨機抽取個球，有放回的抽取次，求恰有次抽到號球的概率．（Ⅲ）若一次從袋中隨機抽取個球，記球的最大編號為，求隨機變量的分布列．（Ⅳ）若從袋中每次隨機抽取個球，有放回的抽取次，記球的最大編號為，求隨機變量的分布列．【解析】（Ⅰ）共有種，和為的共種，∴．（Ⅱ）為抽個球，有的概率，∴為所求．（Ⅲ）可取，，，，，，，．∴X的分布列為（Ⅳ），，，，，．∴X的分布列為例8．從裝有2只紅球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回，抽3次.(ⅰ)分別求恰2次為紅球的概率及抽全三種顏色球的概率；(ⅱ)求抽到紅球次數的數學期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回，寫出抽完紅球所需次數的分布列.【解析】（1）抽1次得到紅球的概率為，得白球的概率為得黑球的概率為①所以恰2次為紅色球的概率為抽全三種顏色的概率②,則，（2）的可能取值為2，3，4，5,,，即分布列為：2345P例9．已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束.（1）求最后取出的是正品的概率；（2）已知每檢測一件產品需要費用100元，設表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求的分布列和數學期望【解析】（1）最后取出的是正品對應的事件是：①3件都是正品；②前3件里有1件次品2件正品，第4件是正品.前3件都是正品的概率是：3件里有1件次品2件正品，第4件是正品概率是：所以最后取出的是正品的概率：（2）的可能取值為，，.，，，故的分布列為：200300400例10．已知一個口袋中裝有n個紅球(n≥1且n∈N＋)和2個白球，從中有放回地連續(xù)摸三次，每次摸出2個球，若2個球顏色不同則為中獎，否則不中獎．(1)當n＝3時，設三次摸球中中獎的次數為X，求隨機變量X的分布列；(2)記三次摸球中恰有兩次中獎的概率為P，求當n取多少時，P的值最大．【解析】（1）當n=3時，每次摸出兩個球，中獎的概率，；；；；ξ分布列為：ξ0123p（2）設每次摸獎中獎的概率為p，則三次摸球（每次摸獎后放回）恰有兩次中獎的概率為：，0＜p＜1，P'=-9p2+6p=-3p（3p-2），知在上P為增函數，在上P為減函數，當時P取得最大值．又，故n2-3n+2=0，解得：n=1或n=2，故n為1或2時，P有最大值．例11．某健身機構統(tǒng)計了去年該機構所有消費者的消費金額（單位：元），如下圖所示：（1）將去年的消費金額超過3200元的消費者稱為“健身達人”，現(xiàn)從所有“健身達人”中隨機抽取2人，求至少有1位消費者，其去年的消費金額超過4000元的概率；（2）針對這些消費者，該健身機構今年欲實施入會制，詳情如下表：會員等級消費金額普通會員2000銀卡會員2700金卡會員3200預計去年消費金額在內的消費者今年都將會申請辦理普通會員，消費金額在內的消費者都將會申請辦理銀卡會員，消費金額在內的消費者都將會申請辦理金卡會員.消費者在申請辦理會員時，需-次性繳清相應等級的消費金額.該健身機構在今年底將針對這些消費者舉辦消