山西省運(yùn)城市鹽湖區(qū)第五高級(jí)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

山西運(yùn)城2024-2025學(xué)年度鹽湖五中高三數(shù)學(xué)8月21日開學(xué)考試卷考試范圍：高考內(nèi)容；考試時(shí)間：120分鐘；命題人：數(shù)學(xué)組注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、選擇題（共40分）1.下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)元素與集合以及集合間的關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?是元素，是自然數(shù)集，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)榕c都是集合，且的元素為數(shù)值，用表示兩集合關(guān)系不對(duì)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)槭钦麛?shù)集，則，可知，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)槭怯欣頂?shù)集，則，故D錯(cuò)誤；故選：C2.在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】由，得，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義，再確定在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限．【詳解】由題意知，，其共軛復(fù)數(shù)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第三象限．故選：C．3.設(shè)且，則的最大值是（）A.400 B.100C.40 D.20【答案】A【解析】【分析】直接用基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)樗约此援?dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立.故選：A4.已知空間向量和的夾角為，且，，則等于（）A.12 B.8 C.4 D.14【答案】D【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合定義即可求解.【詳解】,故選：D5.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】分別化簡(jiǎn)和,再根據(jù)充分、必要條件判斷即可.【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且,所以，即因?yàn)?，所?即,所以存在兩種情況：且，且，因此推不出,同樣推不出,因此“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，則（）A2 B.0 C.60 D.62【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得出函數(shù)的周期性、對(duì)稱性，進(jìn)一步得出即可得解.【詳解】由題意，所以的周期為4，且關(guān)于直線對(duì)稱，而，所以.故選：A.7.已知函數(shù)則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)為奇函數(shù)；B.對(duì)任意實(shí)數(shù)和，函數(shù)總存在零點(diǎn)；C.對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)既無最大值也無最小值；D.對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.【答案】B【解析】【分析】首先分別作出，，的函數(shù)的圖像，然后結(jié)合圖像逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】首先分別作出，，的函數(shù)的圖像，如下：結(jié)合圖像進(jìn)行分析：當(dāng)時(shí)，，此時(shí)如圖1所示，函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其為奇函數(shù)，所以存在，使得函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；由圖可知，無論取何值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)既無最大值也無最小值，故C正確；作一條直線，當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)y=fx的圖像與沒有交點(diǎn)，即此時(shí)沒有零點(diǎn)，因此對(duì)于任意實(shí)數(shù)和，函數(shù)總存在零點(diǎn)不正確，故B不正確；如圖2，當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D正確.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是分段函數(shù)圖象，涉及二次函數(shù)的圖象，要討論，即明確分段區(qū)間，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可研究分段函數(shù)的性質(zhì).8.兩名男生，一名女生排成一排合影，則女生站在中間的概率是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由古典概型的計(jì)算公式即可求解.【詳解】?jī)擅猩?，一名女生記為兩名男生，一名女生排成一排可能為：，故總可能?shù)，女生站在中間的可能為：，故可能數(shù)，則女生站在中間的概率.故選：A.二、多選題（共18分）9.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.是函數(shù)的周期B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C.函數(shù)的圖象可由函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.函數(shù)的對(duì)稱軸方程為【答案】ACD【解析】【分析】利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，所以是函?shù)的周期，故A正確；∵，∴，又在上不單調(diào)，故B錯(cuò)誤；∵函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故C正確；令，得，故D正確，故選：ACD．10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)P是正方體的上底面內(nèi)（不含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是棱的中點(diǎn)，則以下命題正確的是（）A.三棱錐的體積是定值B.存在點(diǎn)P，使得與所成的角為C.直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為D.若，則P的軌跡的長(zhǎng)度為【答案】ACD【解析】【分析】利用等體積轉(zhuǎn)換即可求得體積為定值判斷A；建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得，，利用向量夾角公式求解判斷B；求平面的法向量，利用向量夾角公式求解判斷C；由，可得，即可求解判斷D.【詳解】對(duì)于A，三棱錐的體積等于三棱錐的體積，是定值，A正確；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則對(duì)于B，，使得與所成的角滿足：，因?yàn)?，故，故，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，平面的法向量，所以直線與平面所成角的正弦值為：，因?yàn)?，故故，而，，故即的取值范圍為，C正確；對(duì)于D，，由，可得，化簡(jiǎn)可得，在平面內(nèi)，令，得，令，得，則P的軌跡的長(zhǎng)度為，D正確；故選：ACD.11.已知線段是圓的一條動(dòng)弦，為弦的中點(diǎn)，，直線與直線相交于點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.弦的中點(diǎn)軌跡是圓B.直線的交點(diǎn)在定圓上C.線段的最小值為D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)，由已知結(jié)合垂徑定理求得的軌跡判斷A；聯(lián)立兩直線方程消去判斷B；由選項(xiàng)A、B及兩圓的位置關(guān)系判斷C；由數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合選項(xiàng)C求得數(shù)量積的最小值判斷C．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)，因?yàn)?，為弦的中點(diǎn)，所以.而，半徑為2，則圓心到弦的距離為.又圓心，所以，即弦中點(diǎn)的軌跡是圓，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由，消去可得，得，即，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：由選項(xiàng)A知，點(diǎn)的軌跡方程為：，又由選項(xiàng)B知，點(diǎn)的軌跡方程為：，所以，，，線段，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故，故，由選項(xiàng)C知，，所以，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題（共15分）12.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，直線過且與拋物線交于，兩點(diǎn)，若，則直線的方程為__________．【答案】或【解析】【分析】設(shè)由得，由均在拋物線上求出可得直線的斜率，再由點(diǎn)斜式方程方程可得答案.【詳解】由題，，又，則，，由題意知,，因此，即，又由均在拋物線上知，解得，直線的斜率為，因此直線的方程為或.故答案為：或.13.已知二項(xiàng)式的展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】135【解析】【分析】根據(jù)題意求出,再寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，令的指數(shù)部分為0，然后求解即可.【詳解】依題意，解得，二項(xiàng)式的通項(xiàng)為,令，得，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：135.14.函數(shù)定義域?yàn)镈，若對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)．根據(jù)上述定義，已知函數(shù)，那么函數(shù)在上___________（填“是”或“不是”）2階無窮遞降函數(shù)；若函數(shù)在上是3階無窮遞降函數(shù)，則a的最大值為___________．【答案】①.不是②.【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù)的定義，先檢驗(yàn)時(shí)，是否恒成立即可，舉反例即可判斷；再根據(jù)函數(shù)在上是3階無窮遞降函數(shù)可得恒成立，推理得到，結(jié)合圖象即得a的最大值【詳解】由，，，滿足，由，若取，則，即時(shí)，，故函數(shù)在上不是2階無窮遞降函數(shù)；若在上是3階無窮遞降函數(shù)，則在上恒成立，即，即，也即，因時(shí)，恒成立，故只需使在上恒成立即可，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象知，，即a的最大值為.故答案為：不是；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)新定義問題，屬于難題.解題思路即是，根據(jù)新定義規(guī)定一一檢測(cè)，對(duì)于判斷結(jié)論時(shí)，一般看能否推理結(jié)論成立，或者是否存在反例；對(duì)于由滿足條件的函數(shù)求參問題，常常將其轉(zhuǎn)化成函數(shù)不等式恒（能）成立問題解決.四、解答題（共77分）15.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，，求a的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知等式可得，可得，或，分類討論即可證明；（2）由，求解，利用，求解，結(jié)合正弦定理即可求解.【小問1詳解】由及正弦定理可得，，，即，所以，整理得，即，又，是的內(nèi)角，所以，，所以或（舍去），即．【小問2詳解】由及可知，．由可知，，．由可得，．在中，由正弦定理可得，，解得，16.如圖，在四面體中，平面，M是的中點(diǎn)，P是的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段上，且．（1）求證：平面．（2）若三角形為邊長(zhǎng)為2的正三角形，，求異面直線和所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)O，靠近C的四等分點(diǎn)H，利用平行線分線段成比例判定線線平行即可證明線面平行；（2）取的中點(diǎn)E，將異面直線化為共面直線，解三角形即可.小問1詳解】如圖所示，取中點(diǎn)O，且P是中點(diǎn)，∴，取的四等分點(diǎn)H，使，且，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，在平面外，且平面，∴平面．【小問2詳解】取的中點(diǎn)E，連接，易知，則或其補(bǔ)角為異面直線和所成的角，因?yàn)槠矫?，平面，所以，即，顯然，所以為直角三角形，通過解三角形可得，即異面直線和所成角的余弦值為．17.某企業(yè)對(duì)某品牌芯片開發(fā)了一條生產(chǎn)線進(jìn)行試產(chǎn).其芯片質(zhì)量按等級(jí)劃分為五個(gè)層級(jí)，分別對(duì)應(yīng)如下五組質(zhì)量指標(biāo)值：.根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，得到芯片的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，并把質(zhì)量指標(biāo)值不小于80的產(chǎn)品稱為等品，其它產(chǎn)品稱為等品.現(xiàn)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件作為樣本，統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)長(zhǎng)期檢測(cè)結(jié)果，該芯片質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為11，用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值.若從生產(chǎn)線中任取一件芯片，試估計(jì)該芯片為等品的概率(保留小數(shù)點(diǎn)后面兩位有效數(shù)字)；(①同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表；②參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.)（2）（i）從樣本的質(zhì)量指標(biāo)值在和[85，95]的芯片中隨機(jī)抽取3件，記其中質(zhì)量指標(biāo)值在[85，95]的芯片件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（ii）該企業(yè)為節(jié)省檢測(cè)成本，采用隨機(jī)混裝的方式將所有的芯片按100件一箱包裝.已知一件等品芯片的利潤(rùn)是元，一件等品芯片的利潤(rùn)是元，根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，試求的值，使得每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)最大.【答案】（1）（2）（i）分布列見解析，；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求得樣本平均數(shù)，然后利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求解概率.（2）（i）先求出的取值，然后求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii）先根據(jù)二項(xiàng)分布的期望求出，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值時(shí)的即可.【小問1詳解】由題意，估計(jì)從該品牌芯片的生產(chǎn)線中隨機(jī)抽取100件的平均數(shù)為：．即，，所以，因?yàn)橘|(zhì)量指標(biāo)值近似服從正態(tài)分布，所以，所以從生產(chǎn)線中任取一件芯片，該芯片為等品的概率約為.【小問2詳解】（i），所以所取樣本的個(gè)數(shù)為20件，質(zhì)量指標(biāo)值在的芯片件數(shù)為10件，故可能取的值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為：，，，，隨機(jī)變量的分布列為：0123所以的數(shù)學(xué)期望.（ii）設(shè)每箱產(chǎn)品中A等品有件，則每箱產(chǎn)品中等品有件，設(shè)每箱產(chǎn)品的利潤(rùn)為元，由題意知：，由（1）知：每箱零件中A等品的概率為，所以，所以，所以.令，由得，，又，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以當(dāng)時(shí)，每箱產(chǎn)品利潤(rùn)最大.18.已知雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，點(diǎn)、分別是以橢圓半焦距為半徑的圓與雙曲線的漸近線在第一、二象限的交點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，（為坐標(biāo)原點(diǎn)），（1）求雙曲線的離心率；（2）求的面積.【答案】（1）（2）8【解析】【分析】（1）由橢圓方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和圓的方程，通過聯(lián)立方程組求出兩點(diǎn)，由，求出的值得雙曲線的離心率；（2）由的坐標(biāo)，可求出的面積.【小問1詳解】橢圓中，，，，橢圓焦點(diǎn)為，∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.雙曲線的漸近線方程為，的方程：.由得，，.由題意知，、分別為第一、二象限的交點(diǎn)，∴，，∴，，∵，∴，∴.化簡(jiǎn)整理得，又∵代入上式，解之得，.∴雙曲線方程：.離心率.【小問2詳解】由（1）知，，∴，.∴.19.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的積，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“A型擴(kuò)展”.如將數(shù)列進(jìn)行“A型擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列：第二次得到數(shù)列設(shè)第次“A型擴(kuò)展”后所得數(shù)列為（其中），并記；在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入后項(xiàng)與前項(xiàng)的商，形成新的數(shù)列，這樣的操作叫做該數(shù)列的一次“B型擴(kuò)展”.即將數(shù)列進(jìn)行“B型擴(kuò)展”，第一次得到數(shù)列；第二次得到數(shù)列設(shè)第次“B型擴(kuò)展”后所得數(shù)列為（其中），當(dāng)時(shí)，記.（1）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列1，2第3次“A型拓展”得到的數(shù)列的第6項(xiàng)；（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在一個(gè)項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，記的各項(xiàng)和為，記進(jìn)行第一次“B型拓展”后得到的新數(shù)列，記各項(xiàng)和為，使得成立.（其中，是第二問中數(shù)列的通項(xiàng)公式）若存在，寫出一個(gè)滿足條件的的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）8（2），（3）存在，【解析】【分析】（1）遞推求出數(shù)列