人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)教案-28.2.2-第2課時(shí)-利用仰俯角解直角三角形

28.２.2應(yīng)用舉例第２課時(shí)利用仰俯角解直角三角形１.使學(xué)生掌握仰角、俯角的意義，并學(xué)會(huì)正確地判斷；(重點(diǎn))2.初步掌握將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題的能力.(難點(diǎn)）一、情境導(dǎo)入在實(shí)際生活中，解直角三角形有著廣泛的應(yīng)用，例如我們通常遇到的視線、水平線、鉛垂線就構(gòu)成了直角三角形．當(dāng)我們測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角.今天我們就學(xué)習(xí)和仰角、俯角有關(guān)的應(yīng)用性問(wèn)題.二、合作探究探究點(diǎn)：利用仰（俯)角解決實(shí)際問(wèn)題【類型一】利用仰角求高度星期天,身高均為1.6米的小紅、小濤來(lái)到一個(gè)公園，用他們所學(xué)的知識(shí)測(cè)算一座塔的高度．如圖,小紅站在A處測(cè)得她看塔頂C的仰角α為4５°,小濤站在B處測(cè)得塔頂Ｃ的仰角β為30°，他們又測(cè)出A、B兩點(diǎn)的距離為４1.5m,假設(shè)他們的眼睛離頭頂都是10cｍ,求塔高（結(jié)果保留根號(hào)）．解析：設(shè)塔高為ｘｍ，利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出ＰM的長(zhǎng),再利用ｅq＼f(ＣＰ,PN)=tａn３0°,求出x的值即可．解：設(shè)塔底面中心為O，塔高xm,MN∥AB與塔中軸線相交于點(diǎn)P,得到△CPＭ、△CPN是直角三角形，則eq＼f(x-(１.6-0．１）,PM)＝tan4５°，∵ｔaｎ４5°=1,∴PM=CP=x－1．5.在Rｔ△ＣPN中,eq\ｆ(CP,PN）=ｔaｎ30°,即ｅq\f(x-1.5,x－1.５+41.5)=ｅq\f(\r(3),３),解得x=eq\f（8３＼ｒ(３）+８9，４).答:塔高為ｅq\f(83\r(3）＋８9,4）m.方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題要了解角與角之間的關(guān)系,找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形.當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí),要通過(guò)作高或垂線構(gòu)造直角三角形.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第7題【類型二】利用俯角求高度如圖，在兩建筑物之間有一旗桿EＧ,高15米，從A點(diǎn)經(jīng)過(guò)旗桿頂部E點(diǎn)恰好看到矮建筑物的墻角C點(diǎn),且俯角α為6０°,又從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角β為３0°.若旗桿底部G點(diǎn)為BC的中點(diǎn),求矮建筑物的高ＣＤ.解析:根據(jù)點(diǎn)G是BC的中點(diǎn),可判斷ＥG是△ABC的中位線，求出AB.在Ｒt△ＡBＣ和Rt△AFＤ中,利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出BC、DF，繼而可求出CＤ的長(zhǎng)度.解：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AF于點(diǎn)F,∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，EG∥AB,∴EG是△ABＣ的中位線，∴AＢ=2EＧ＝3０m．在Rｔ△ABＣ中,∵∠CＡB＝3０°,∴BＣ＝ABtan∠BAＣ＝３0×eq＼f（\r(3）,3)=10eｑ\r(3）m.在Rt△AFＤ中，∵AF＝BC=10eq\r(3)m,∴FD=AF·tanβ=10ｅq\r(3)×ｅq\ｆ(\ｒ(3),３)=1０m,∴CD＝AB-FD＝30－10＝20m.答:矮建筑物的高為20m.方法總結(jié)：本題考查了利用俯角求高度,解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識(shí)求解相關(guān)線段的長(zhǎng)度．變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第６題【類型三】利用俯角求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離如圖,為了測(cè)量河的寬度AB，測(cè)量人員在高21ｍ的建筑物CＤ的頂端D處測(cè)得河岸B處的俯角為４5°,測(cè)得河對(duì)岸A處的俯角為30°(A、B、C在同一條直線上),則河的寬度AB約是多少ｍ（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：ｅq\ｒ(2）≈1.41，eq\r（3）≈1．73）?解析:在Ｒt△AＣＤ中，根據(jù)已知條件求出AC的值，再在Ｒt△BＣＤ中，根據(jù)∠EDB＝45°,求出ＢC＝ＣD=2１m,最后根據(jù)AB＝AＣ－BC，代值計(jì)算即可.解:∵在Rt△ＡCD中,CＤ＝２1ｍ，∠ＤＡC＝30°，∴ＡC=eq\f(CD，tａn30°)＝eｑ\f（２１，＼ｆ(＼r（3)，3））=２１ｅq\r(３)m.∵在Ｒｔ△ＢＣD中,∠EDB=45°,∴∠DBC＝4５°，∴ＢC=CＤ＝21m,∴ＡB＝AC－ＢC＝21eｑ＼r(3）－21≈１5．3(ｍ).則河的寬度ＡB約是1５.3m.方法總結(jié)：解決此類問(wèn)題要了解角之間的關(guān)系,找到與已知和未知相關(guān)聯(lián)的直角三角形,把實(shí)際問(wèn)題化歸為直角三角形中邊角關(guān)系問(wèn)題加以解決.變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第3題【類型四】仰角和俯角的綜合某數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中,為了測(cè)量某建筑物AB的高,他們來(lái)到與建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物ＣD上的C處觀察，測(cè)得此建筑物頂部A的仰角為30°、底部B的俯角為4５°.求建筑物AＢ的高(精確到1m,可供選用的數(shù)據(jù):eq\r(2）≈1.4,ｅq\ｒ(3)≈1.7)．解析：過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線CE，垂足為E,根據(jù)題意可得出四邊形CＤBE是正方形,再由ＢD＝１2m可知BＥ＝CE=1２m，由AE＝CＥ·tａn3０°得出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：過(guò)點(diǎn)C作ＡB的垂線,垂足為E,∵CD⊥ＢD,AB⊥ＢD,∠ECB＝45°,∴四邊形CDBE是正方形.∵BD=12m,∴BE＝ＣE＝１2ｍ,∴AE=ＣE·tan30°＝１２×eq\ｆ（\ｒ(3）,3）＝4eq\ｒ（3)(m)，∴AB=４eq\r(3)＋12≈1９(m）．答：建筑物AＢ的高為１9m．方法總結(jié)：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用中仰角、俯角問(wèn)題,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第７題三、板書設(shè)計(jì)１．仰角和俯角的概念;2.利用仰角和俯角求高度；3．利用仰角和俯角求不可到達(dá)兩點(diǎn)之間的距離；4.仰角和俯角的綜合．備課時(shí)盡可能站在學(xué)生的角度上思考問(wèn)題，設(shè)計(jì)好教學(xué)過(guò)程中的每一個(gè)細(xì)節(jié)．上課前多揣摩,讓學(xué)生更