新高考數(shù)學一輪復習講與練第18講 空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖與空間幾何體的表面積和體積（練）（解析版）

第01講空間幾何體的結構、三視圖和直觀圖與空間幾何體的表面積和體積（講）一、單選題1．據(jù)《九章算術》中記載，“陽馬”是以矩形為底面，一棱與底面垂直的四棱錐.現(xiàn)有一個“陽馬”，SKIPIF1<0底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SKIPIF1<0，則這個“陽馬”的外接球表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】把四棱錐SKIPIF1<0補成一個長方體，如圖，長方體的對角線就是其外接球也是四棱錐SKIPIF1<0的外接球直徑，由長方體性質(zhì)求得球半徑后可得表面積．【詳解】把四棱錐SKIPIF1<0補成一個長方體，如圖，長方體的對角線就是其外接球也是四棱錐SKIPIF1<0的外接球直徑，設球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，球表面積為SKIPIF1<0．故選：C．2．如圖，平行四邊形SKIPIF1<0是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則原圖形的面積是（

）A．4 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出直觀圖的面積，再根據(jù)原平面圖形的面積與直觀圖的面積比為SKIPIF1<0，計算即可.【詳解】解：平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以平行四邊形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以原平面圖形的面積是SKIPIF1<0.故選：B3．若圓臺的高是3，一個底面半徑是另一個底面半徑的2倍，母線與下底面成SKIPIF1<0角，則這個圓臺的側(cè)面積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】由題意，作該圓臺的軸截面，求得上下底面半徑和母線長，根據(jù)側(cè)面積計算公式，可得答案.【詳解】由題意，可作該圓臺的軸截面，如下圖所示：則圓臺的高SKIPIF1<0，上底面半徑SKIPIF1<0，下底面半徑SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，母線SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，圓臺的側(cè)面積SKIPIF1<0.故選：B.4．如圖，已知正方體的棱長為SKIPIF1<0，沿圖1中對角面將它分割成兩個部分，拼成如圖2的四棱柱，則該四棱柱的全面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個截面，減少了原來兩個正方形面，據(jù)此變化，進行求解.【詳解】由題意，拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個截面，減少了原來兩個正方形面，由于截面為矩形，長為SKIPIF1<0，寬為SKIPIF1<0，所以面積為SKIPIF1<0，所以拼成的幾何體的表面積為SKIPIF1<0.故選：C.5．一個水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為2的正方形，則原平面圖形的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．8 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)斜二測畫法的過程將直觀圖還原回原圖形，找到直觀圖中正方形的四個頂點在原圖形中對應的點，用直線段連結后得到原四邊形，再計算平行四邊形的面積即可．【詳解】還原直觀圖為原圖形如圖所示，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，還原回原圖形后，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以原圖形的面積為SKIPIF1<0．故選：D6．如圖，一個直三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8.若側(cè)面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的三等分點處，SKIPIF1<0，當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用相似比得到四邊形SKIPIF1<0和三角形SKIPIF1<0的面積比，再根據(jù)等體積的思路列等式即可求解.【詳解】如圖，設SKIPIF1<0靠近點SKIPIF1<0的三等分點為點SKIPIF1<0，當?shù)酌鍿KIPIF1<0水平放置時，液面高度為SKIPIF1<0，此時液體體積SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：A.二、填空題7．在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0兩兩互相垂直，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的體積為__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)題意，將三棱錐補形為立方體，從而求出立方體的體對角線即為外接球的直徑，求出半徑，進而求出外接球的體積.【詳解】因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0兩兩互相垂直，所以三棱錐SKIPIF1<0可補形為立方體，三棱錐SKIPIF1<0的外接球即為立方體的外接球，則立方體的體對角線為其外接球的直徑，設三棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則外接球體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<08．圓錐SKIPIF1<0軸截面的頂角為SKIPIF1<0，母線長為2，則過任意兩條不重合的母線的截面面積的取值范圍為_________.【答案】SKIPIF1<0【分析】設SKIPIF1<0為圓錐的任意兩條母線，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，然后利用三角形的面積公式表示出SKIPIF1<0，從而可求出其范圍.【詳解】設SKIPIF1<0為圓錐的任意兩條母線，SKIPIF1<0，則由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以過任意兩條母線的截面面積的取值范圍為SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<09．一個圓柱的底面直徑與高都等于一個球的直徑，則圓柱的表面積與球的表面積之比為_________.【答案】SKIPIF1<0【分析】設球的半徑為SKIPIF1<0，計算出圓柱和球的表面積，即可得解.【詳解】設球的半徑為SKIPIF1<0，則圓柱的表面積SKIPIF1<0，球的表面積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.三、解答題10．如圖，直三棱柱SKIPIF1<0的體積為4，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．求A到平面SKIPIF1<0的距離；【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)等體積法求出棱錐的高即可.【詳解】在直三棱柱SKIPIF1<0中，設點A到平面SKIPIF1<0的距離為h，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以點A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.11．如圖，已知正三棱錐SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，側(cè)面上的斜高SKIPIF1<0，求經(jīng)過SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0且平行于底面的截面SKIPIF1<0的面積（用SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示）．【答案】SKIPIF1<0.【分析】利用正三棱柱的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0，即得.【詳解】連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵棱錐SKIPIF1<0是正三棱錐，∴SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中心，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴截面SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．一、單選題1．公元SKIPIF1<0年，唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的開立圓術.祖暅在求球體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理，我們可以應用此原理將一些復雜幾何體轉(zhuǎn)化為常見幾何體的組合體來計算體積.如圖，將雙曲線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0所圍成的平面圖形繞雙曲線的實軸所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到幾何體SKIPIF1<0，下列平面圖形繞其對稱軸（虛線所示）旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體與SKIPIF1<0的體積相同的是（

）A．圖①，長為SKIPIF1<0?寬為SKIPIF1<0的矩形的兩端去掉兩個弦長為SKIPIF1<0?半徑為SKIPIF1<0的弓形B．圖②，長為SKIPIF1<0?寬為SKIPIF1<0的矩形的兩端補上兩個弦長為SKIPIF1<0?半徑為SKIPIF1<0的弓形C．圖③，長為SKIPIF1<0?寬為SKIPIF1<0的矩形的兩端去掉兩個底邊長為SKIPIF1<0?腰長為SKIPIF1<0的等腰三角形D．圖④，長為SKIPIF1<0?寬為SKIPIF1<0的矩形的兩端補上兩個底邊長為SKIPIF1<0?腰長為SKIPIF1<0的等腰三角形【答案】B【分析】將所有圖形均以矩形的中心為原點，以對稱軸為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標系，根據(jù)在SKIPIF1<0軸的最短和最長距離與雙曲線實軸長和幾何體SKIPIF1<0母線長對比可排除③④；假設SKIPIF1<0，與雙曲線SKIPIF1<0相交后旋轉(zhuǎn)，可求得圓環(huán)面積；分別在①②中求得SKIPIF1<0與圖形相交所得的弦長，根據(jù)旋轉(zhuǎn)后的圓環(huán)面積和圓面積是否與已知的圓環(huán)面積相等來判斷出結果.【詳解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交于兩點時，內(nèi)圓半徑SKIPIF1<0，則在該位置旋轉(zhuǎn)一周所得圓環(huán)面積為SKIPIF1<0；將所有圖形均以矩形的中心為原點，以對稱軸為SKIPIF1<0軸建立平面直角坐標系，對于③，雙曲線實軸長為SKIPIF1<0，③中SKIPIF1<0軸的最短距離為SKIPIF1<0，不合題意，③錯誤；對于④，幾何體SKIPIF1<0母線長為SKIPIF1<0，④中SKIPIF1<0軸的最長距離為SKIPIF1<0，不合題意，④錯誤；對于①，在SKIPIF1<0軸的最短距離為SKIPIF1<0，母線長為SKIPIF1<0，與幾何體SKIPIF1<0吻合；當SKIPIF1<0與①中圖形相交時，兩交點之間距離為SKIPIF1<0，此時圓環(huán)面積為SKIPIF1<0，不合題意，①錯誤對于②，在SKIPIF1<0軸的最長距離為SKIPIF1<0，矩形高為SKIPIF1<0，與幾何體SKIPIF1<0吻合；當SKIPIF1<0與②中圖形相交時，兩交點之間距離為SKIPIF1<0，此時圓面積為SKIPIF1<0，與圓環(huán)面積相同，滿足題意，②正確.故選：B.2．半徑為SKIPIF1<0的球SKIPIF1<0的直徑SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)邊長為SKIPIF1<0的正三角形，線段SKIPIF1<0分別與球面交于點SKIPIF1<0，那么三棱錐SKIPIF1<0的體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】作出輔助線，根據(jù)三角形相似表達出各邊長，利用三角形面積公式求出SKIPIF1<0的面積及三棱錐的體積.【詳解】連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為直徑，所以SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易證SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0必過點SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0.故選：A3．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別在邊SKIPIF1<0上移動，且SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0折起來得到棱錐SKIPIF1<0，則該棱錐的體積的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)題意，可得SKIPIF1<0的具體形狀，由折疊，可得當面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0時，此時的點SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距離最大，設SKIPIF1<0，將四棱錐中底面積和高，都用SKIPIF1<0表示出來，整理出體積的函數(shù)，利用導數(shù)求最值，可得答案.【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是直角三角形，SKIPIF1<0為直角，對SKIPIF1<0的任何位置，當面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0時，此時的點SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距離最大，此時SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的角，設SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得下表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0極大值SKIPIF1<0故當SKIPIF1<0時，該棱錐的體積最大，為SKIPIF1<0.故選：C.4．如圖所示，正方形SKIPIF1<0的邊長為2，切去陰影部分后，剩下的部分圍成一個正四棱錐，則正四棱錐的側(cè)面積的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設圍成的正四棱錐的一個側(cè)面為三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，過點A作SKIPIF1<0于點H，然后根據(jù)圖形的特征表示出SKIPIF1<0，從而可表示出正四棱錐的側(cè)面積，化簡后結合基本不等式可求出其范圍.【詳解】如圖，設圍成的正四棱錐的一個側(cè)面為三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，過點A作SKIPIF1<0于點H，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴正四棱錐的側(cè)面積SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時取等號，因為SKIPIF1<0，所以取不到等號，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴S的取值范圍為SKIPIF1<0，故選：D．5．在三棱錐SKIPIF1<0中，側(cè)棱SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，如圖是其底面SKIPIF1<0用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)斜二測畫法，還原可得SKIPIF1<0的三邊長，由正弦定理與余弦定理，求得SKIPIF1<0的外接圓圓心和半徑，過該圓心作底面垂線，設出三棱錐外接球的球心，構造直角三角形可得半徑，可得答案.【詳解】根據(jù)斜二測畫法，還原圖象可得：由題意可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由余弦定理，可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理，可得SKIPIF1<0外接圓的半徑SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0作圖如下：作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取點SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，則SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，易知四邊形SKIPIF1<0為正方形，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積SKIPIF1<0.故選：D.二、填空題6．已知四邊形SKIPIF1<0是邊長為3的菱形，把SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得點D到達點P，則三棱錐SKIPIF1<0體積最大時，其外接球半徑為_______．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】利用三棱錐體積最大時平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，求出體積函數(shù)，利用導數(shù)求最大值，確定SKIPIF1<0，再由球截面的性質(zhì)確定球心，根據(jù)正弦定理求截面圓半徑，據(jù)此求出SKIPIF1<0,再由勾股定理求出球的半徑.【詳解】取SKIPIF1<0中點G，連接SKIPIF1<0，如圖，當三棱錐SKIPIF1<0體積最大時，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0上遞減，所以SKIPIF1<0時三棱錐SKIPIF1<0的體積最大，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設E，F(xiàn)分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的外接圓圓心，圓的半徑為SKIPIF1<0，過點E作平面SKIPIF1<0的垂線，過點F作平面SKIPIF1<0的垂線，則兩垂線的交點O就是三棱錐SKIPIF1<0的外接球球心，由正弦定理可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0，故四邊形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，所以外接球半徑SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時，其外接球半徑SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<07．祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異”.即：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．有一個球形瓷碗，它可以看成半球的一部分，若瓷碗的直徑為8，高為2，利用祖暅原理可求得該球形瓷碗的體積為______．【答案】SKIPIF1<0【分析】根據(jù)祖暅原理構造一個圓柱挖去一個圓錐的模型即可.【詳解】設瓷碗所在球的半徑為R，則有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設從瓷碗截面圓心SKIPIF1<0處任意豎直距離SKIPIF1<0（SKIPIF1<0也可在SKIPIF1<0下方，此時SKIPIF1<0）如圖1所示，則瓷碗的截面圓半徑SKIPIF1<0，面積為SKIPIF1<0，圖2中,在以過球心的截面圓為底面圓，以SKIPIF1<0為高的圓柱中挖去一個等底等高的圓錐，易知SKIPIF1<0，故圓環(huán)面積也為SKIPIF1<0，即在求瓷碗體積時，符合祖暅原理，（備注：瓷碗是圖3中上方倒扣的部分）當SKIPIF1<0時，如圖4所示：此時：SKIPIF1<0由祖暅原理得：圖3中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間部分幾何體的體積：SKIPIF1<0圓柱的體積SKIPIF1<0圓錐的體積SKIPIF1<0，所以瓷碗的體積SKIPIF1<0（注：半球體積SKIPIF1<0SKIPIF1<0）故答案為：SKIPIF1<0.8．如圖所示，在直三棱柱SKIPIF1<0中，棱柱的側(cè)面均為矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0上的一動點，則SKIPIF1<0的最小值為_____.【答案】SKIPIF1<0【分析】連接SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0所在直線為軸，將SKIPIF1<0所在平面旋轉(zhuǎn)到平面SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0的新位置為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，再根據(jù)兩點之間線段最短，結合勾股定理余弦定理等求解SKIPIF1<0即可.【詳解】連接SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0所在直線為軸，將SKIPIF1<0所在平面旋轉(zhuǎn)到平面SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0的新位置為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0三點共線時，則SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0的最小值.在三角形ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理可得：SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0.

同理可求：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，所以在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由余弦定理得：SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0三、解答題9．近些年來，三維掃描技術得到空前發(fā)展，從而催生了數(shù)字幾何這一新興學科.數(shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何和計算機科學相結合的產(chǎn)物.數(shù)字幾何中的一個重要概念是曲率，用曲率來刻畫幾何體的彎曲程度.規(guī)定：多面體在頂點處的曲率等于SKIPIF1<0與多面體在該點的所有面角之和的差（多面體的面角是指多面體的面上的多邊形的內(nèi)角的大小，用弧度制表示），多面體在面上非頂點處的曲率均為零.由此可知，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正方體在每個頂點有SKIPIF1<0個面角，每個面角是SKIPIF1<0，所以正方體在各頂點的曲率為SKIPIF1<0，故其總曲率為SKIPIF1<0.(1)求四棱錐的總曲率；(2)表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.關于簡單多面體有著名歐拉定理：設簡單多面體的頂點數(shù)為SKIPIF1<0，棱數(shù)為SKIPIF1<0，面數(shù)為SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0.利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率是常數(shù).【解析】（1）四棱錐有SKIPIF1<0個頂點,SKIPIF1<0個三角形面,SKIPIF1<0個凸四邊形面,故其總曲率為SKIPIF1<0（2）設多面體有SKIPIF1<0個面,給組成多面體的多邊形編號,分別為SKIPIF1<0號.設第SKIPIF1<0號SKIPIF1<0多邊形有SKIPIF1<0條邊.則多面體共有SKIPIF1<0條棱.由題意，多面體共有SKIPIF1<0個頂點.SKIPIF1<0號多邊形的內(nèi)角之和為SKIPIF1<0,故所有多邊形的內(nèi)角之和為SKIPIF1<0故多面體的總曲率為SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以滿足題目要求的多面體的總曲率為SKIPIF1<0.一、單選題1．（2022·天津·高考真題）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為SKIPIF1<0，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為（

）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出幾何體直觀圖，由題意結合幾何體體積公式即可得組合體的體積.【詳解】該幾何體由直三棱柱SKIPIF1<0及直三棱柱SKIPIF1<0組成，作SKIPIF1<0于M，如圖，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為重疊后的底面為正方形，所以SKIPIF1<0,在直棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面BHC，則SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，設重疊后的EG與SKIPIF1<0交點為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0則該幾何體的體積為SKIPIF1<0.故選：D.2．（2022·浙江·高考真題）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：SKIPIF1<0），則該幾何體的體積（單位：SKIPIF1<0）是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體可知，原幾何體是一個半球，一個圓柱，一個圓臺組合成的幾何體，即可根據(jù)球，圓柱，圓臺的體積公式求出．【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個半球，一個圓柱，一個圓臺組合成的幾何體，球的半徑，圓柱的底面半徑，圓臺的上底面半徑都為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，圓臺的下底面半徑為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以該幾何體的體積SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C．3．（2022·全國·高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔SKIPIF1<0時，相應水面的面積為SKIPIF1<0；水位為海拔SKIPIF1<0時，相應水面的面積為SKIPIF1<0，將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔SKIPIF1<0上升到SKIPIF1<0時，增加的水量約為（SKIPIF1<0）（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺的高，即可利用棱臺的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺的高為SKIPIF1<0(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積SKIPIF1<0．棱臺上底面積SKIPIF1<0，下底面積SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：C．4．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺上下底面所在圓面的半徑SKIPIF1<0，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設正三棱臺上下底面所在圓面的半徑SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設球心到上下底面的距離分別為SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0符合題意，所以球的表面積為SKIPIF1<0．故選：A．5．（2022·全國·高考真題（理））如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（

）A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【分析】由三視圖還原幾何體，再由棱柱的體積公式即可得解.【詳解】由三視圖還原幾何體，如圖，則該直四棱柱的體積SKIPIF1<0.故選：B.6．（2022·全國·高考真題（理））甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為SKIPIF1<0，側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，體積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設母線長為SKIPIF1<0，甲圓錐底面半徑為SKIPIF1<0，乙圓錐底面圓半徑為SKIPIF1<0，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得SKIPIF1<0，再結合圓心角之和可將SKIPIF1<0分別用SKIPIF1<0表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設母線長為SKIPIF1<0，甲圓錐底面半徑為SKIPIF1<0，乙圓錐底面圓半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以甲圓錐的高SKIPIF1<0，乙圓錐的高SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.7．（2022·全國·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點為O，底面的四個頂點均在球O的球面上，則當該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】方法一：先證明當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為SKIPIF1<0，進而得到四棱錐體積表達式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當該四棱錐的體積最大時其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設四邊形ABCD對角線夾角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（當且僅當四邊形ABCD為正方形時等號成立）即當四棱錐的頂點O到底面ABCD所在小圓距離一定時，底面ABCD面積最大值為SKIPIF1<0又設四棱錐的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時等號成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為SKIPIF1<0，底面所在圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以該四棱錐的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，等號成立)所以該四棱錐的體積最大時，其高SKIPIF1<0.故選：C．[方法三]：利用導數(shù)求最值由題意可知，當四棱錐為正四棱錐時，其體積最大，設底面邊長為SKIPIF1<0，底面所在圓的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以該四棱錐的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，單調(diào)遞減，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最大，此時SKIPIF1<0．故選：C.8．（2022·北京·高考真題）已知正三棱錐SKIPIF1<0的六條棱長均為6，S是SKIPIF1<0及其內(nèi)部的點構成的集合．設集合SKIPIF1<0，則T表示的區(qū)域的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求出以SKIPIF1<0為球心，5為半徑的球與底面SKIPIF1<0的截面圓的半徑后可求區(qū)域的面積.【詳解】設頂點SKIPIF1<0在底面上的投影為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為三角形SKIPIF1<0的中心，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡為以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓，而三角形SKIPIF1<0內(nèi)切圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的軌跡圓在三角形SKIPIF1<0內(nèi)部，故其面積為SKIPIF1<0故選：二、多選題9．（2022·全國·高考真題）如圖，四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記三棱錐SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的體積分別為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】直接由體積公式計算SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0計算出SKIPIF1<0，依次判斷選項即可.【詳解】設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，易得四邊形SKI