2022-2023學(xué)年北京市101中學(xué)石油分校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2022-2023學(xué)年北京市101中學(xué)石油分校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．3，4，82．（3分）不一定在三角形內(nèi)部的線段是（）A．三角形的角平分線 B．三角形的中線 C．三角形的高 D．以上皆不對3．（3分）張師傅不小心將一塊三角形玻璃打破成如圖中的三塊，他準(zhǔn)備去店里重新配置一塊與原來一模一樣的，最省事的做法是（）A．帶Ⅰ去 B．帶Ⅱ去 C．帶Ⅲ去 D．三塊全帶去4．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（）A．50° B．58° C．60° D．72°5．（3分）如圖，如果△ABC≌△FED，那么下列結(jié)論錯誤的是（）A．EC＝BD B．EF∥AB C．DF＝BD D．AC∥FD6．（3分）在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，則∠B等于（）A．50° B．75° C．100° D．125°7．（3分）下列條件，可以確定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B+∠C＝180° B．∠A+∠B＝∠C C．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝∠B＝2∠C8．（3分）如圖，在△ABC中，P為BC上一點，PR⊥AB，垂足為R，PS⊥AC，垂足為S，∠CAP＝∠APQ，PR＝PS．下列結(jié)論：其中結(jié)論正確的序號是（）①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSPA．①② B．②③ C．①③ D．①②③9．（3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝α，DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠P的度數(shù)是（）A．90°+α B．﹣90° C． D．540°10．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，將一個足夠大的直角三角板的直角頂點放于點A處，該三角形板的兩條直角邊與CD交于點F，與CB延長線交于點E，四邊形AECF的面積是（）A．16 B．12 C．8 D．4二、填空題11．（3分）已知△ABC的一個外角為50°，則△ABC一定是三角形．12．（3分）如圖，在△ABC中，BD是角平分線，BE是中線，若AC＝24cm，則AE＝cm，若∠ABC＝72°，則∠ABD＝度．13．（3分）若等腰三角形兩邊長分別為3和5，則它的周長是．14．（3分）一個正多邊形每一個外角為36°，則這個多邊形的內(nèi)角和為．15．（3分）如圖，直線AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，則∠3＝．16．（3分）如圖所示：要測量河岸相對的兩點A、B之間的距離，先從B處出發(fā)與AB成90°角方向，向前走50米到C處立一根標(biāo)桿，然后方向不變繼續(xù)朝前走50米到D處，在D處轉(zhuǎn)90°沿DE方向再走17米，到達(dá)E處，使A、C與E在同一直線上，那么測得A、B的距離為．17．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于．18．（3分）在△ABC中，AD是中線，已知AB＝7，AC＝4，則中線AD的取值范圍是．三、解答題：19．（5分）已知：如圖，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求證：AC＝AD．20．（5分）尺規(guī)作圖：校園有兩條路OA、OB，在交叉路口附近有兩塊宣傳牌C、D，學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置P離兩塊宣傳牌一樣遠(yuǎn)，并且到兩條路的距離也一樣遠(yuǎn)，請你幫助畫出燈柱的位置P．（不寫畫圖過程，保留作圖痕跡）21．（6分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF．說明：（1）CF＝EB；（2）AB＝AF+2EB．22．（6分）如圖，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于點E，交AC于點D．（1）試確定BE、ED、CD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）若AB+AC＝a，求△AED的周長．23．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將四邊形ABCD稱為“基本圖形”，且各點的坐標(biāo)分別為A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．（1）畫出四邊形A1B1C1D1，使它與“基本圖形”關(guān)于x軸成軸對稱，并求出A1，B1的坐標(biāo)．A1（，），B1（，）；（2）畫出四邊形A2B2C2D2，使它與“基本圖形”關(guān)于y軸成軸對稱；并求出C2，D2的坐標(biāo)C2（，），D2（，）；（3）畫出四邊形A3B3C3D3，使之與前面三個圖形組成的圖形是軸對稱圖形．24．（5分）如圖，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延長線于F，交AD于E，連接AF，試判斷∠B、∠CAF的大小關(guān)系，并說明理由．25．（7分）【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．【深入探究】第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根據(jù)，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角，若，則△ABC≌△DEF．26．（7分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝BC，頂點A、C分別在y軸、x軸上．（1）如圖1，已知點A（0，﹣2），C（1，0），點B在第四象限時，則點B的坐標(biāo)為；（2）如圖2，點C、A分別在x軸、y軸的負(fù)半軸上，BC邊交y軸于點D，AB邊交x軸于點E，若AD平分∠BAC，點B坐標(biāo)為（m，n）．探究線段AD、OC、OD之間的數(shù)量關(guān)系．請回答下列問題：①點B到x軸的距離為，到y(tǒng)軸的距離為；②寫出點C的坐標(biāo)為，點A的坐標(biāo)為，點D的坐標(biāo)為；③直接寫出線段AD、OC、OD之間的數(shù)量關(guān)系：．

2022-2023學(xué)年北京市101中學(xué)石油分校八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題1．（3分）下列長度的三條線段能組成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．3，4，8【分析】根據(jù)三角形的三邊滿足兩邊之和大于第三邊來進(jìn)行判斷．【解答】解：A、1+2＝3，不能構(gòu)成三角形，故A錯誤；B、2+2＝4，不能構(gòu)成三角形，故B錯誤；C、3+4＞5，能構(gòu)成三角形，故C正確；D、3+4＜8，不能構(gòu)成三角形，故D錯誤．故選：C．【點評】考查三角形的邊時，要注意三角形形成的條件：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．2．（3分）不一定在三角形內(nèi)部的線段是（）A．三角形的角平分線 B．三角形的中線 C．三角形的高 D．以上皆不對【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線、高線的定義解答即可．【解答】解：三角形的角平分線、中線一定在三角形的內(nèi)部，直角三角形的高線有兩條是三角形的直角邊，鈍角三角形的高線有兩條在三角形的外部，所以，不一定在三角形內(nèi)部的線段是三角形的高．故選：C．【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．3．（3分）張師傅不小心將一塊三角形玻璃打破成如圖中的三塊，他準(zhǔn)備去店里重新配置一塊與原來一模一樣的，最省事的做法是（）A．帶Ⅰ去 B．帶Ⅱ去 C．帶Ⅲ去 D．三塊全帶去【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法結(jié)合圖形判斷出帶Ⅱ去．【解答】解：由圖形可知，Ⅱ有完整的兩角與夾邊，根據(jù)“角邊角”可以作出與原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是帶Ⅱ去．故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．4．（3分）已知圖中的兩個三角形全等，則∠1等于（）A．50° B．58° C．60° D．72°【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)找出對應(yīng)角，根據(jù)全等得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可．【解答】解：∵△ABC和△DEF全等，AC＝DF＝b，DE＝AB＝a，∴∠1＝∠B，∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°，∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠F＝58°，故選：B．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠A＝∠D＝50°，∠F＝∠C＝72°是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．5．（3分）如圖，如果△ABC≌△FED，那么下列結(jié)論錯誤的是（）A．EC＝BD B．EF∥AB C．DF＝BD D．AC∥FD【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DF＝AC，∠E＝∠B，∠EDF＝∠ACB，F(xiàn)D＝AC，推出EF∥AB，AC∥DF，EC＝BD，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC≌△EFD，∴DF＝AC，∠E＝∠B，∠EDF＝∠ACB，ED＝BC；∴EF∥AB，AC∥DF，F(xiàn)D﹣CD＝BC﹣DC，∴EC＝BD，故選項A、B、D正確，選項C錯誤；故選：C．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等．6．（3分）在△ABC中，∠A＝55°，∠B比∠C大25°，則∠B等于（）A．50° B．75° C．100° D．125°【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算．【解答】解：設(shè)∠C＝x°，則∠B＝x°+25°．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得x+x+25＝180﹣55，x＝50．則x+25＝75．故選：B．【點評】能夠用一個未知數(shù)表示其中的未知角，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列方程求解．7．（3分）下列條件，可以確定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B+∠C＝180° B．∠A+∠B＝∠C C．∠A＝∠B＝∠C D．∠A＝∠B＝2∠C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，根據(jù)直角三角形的定義判斷．【解答】解：∠A+∠B+∠C＝180°，∠A，∠B，∠C的度數(shù)不確定，A不能確定△ABC是直角三角形；∠A+∠B＝∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠C＝90°，B可以確定△ABC是直角三角形；∠A＝∠B＝∠C，則△ABC是等邊三角形，C不能確定△ABC是直角三角形；∠A＝∠B＝2∠C，則△ABC是等腰三角形，D不能確定△ABC是直角三角形；故選：B．【點評】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．8．（3分）如圖，在△ABC中，P為BC上一點，PR⊥AB，垂足為R，PS⊥AC，垂足為S，∠CAP＝∠APQ，PR＝PS．下列結(jié)論：其中結(jié)論正確的序號是（）①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSPA．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】先利用“HL”證明Rt△APR≌Rt△APS，則AR＝AS，∠PAR＝∠PAS，則可對①進(jìn)行判斷；由于∠CAP＝∠APQ，所以∠PAR＝∠APQ，則根據(jù)平行線的判定方法可對②進(jìn)行判斷；因為只有∠PRB＝∠PSC＝90°，PR＝PS，所以不能判斷△BRP≌△CSP．【解答】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠PRA＝∠PSA＝90°，∵AP＝AP，PR＝PS，∴Rt△APR≌Rt△APS（HL），∴AR＝AS，所以①正確；∠PAR＝∠PAS，∵∠CAP＝∠APQ，∴∠PAR＝∠APQ，∴QP∥AR，所以②正確；在△BRP和△CSP中，因為只有∠PRB＝∠PSC＝90°，PR＝PS，所以不能判斷這兩和三角形全等，所以③錯誤．故選：A．【點評】本題考查了全等三角形的判定：靈活運用全等三角形的判定是解決此類問題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在五邊形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝α，DP，CP分別平分∠EDC，∠BCD，則∠P的度數(shù)是（）A．90°+α B．﹣90° C． D．540°【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝α，可求∠BCD+∠CDE的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC與∠PCD的角度和，進(jìn)一步求得∠P的度數(shù)．【解答】解：∵五邊形的內(nèi)角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝α，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣α，∵∠BCD、∠CDE的平分線在五邊形內(nèi)相交于點P，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝270°﹣α，∴∠P＝180°﹣（270°﹣α）＝α﹣90°，故選：B．【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，角平分線的定義，熟記公式是解題的關(guān)鍵．注意整體思想的運用．10．（3分）如圖，正方形ABCD的邊長為4，將一個足夠大的直角三角板的直角頂點放于點A處，該三角形板的兩條直角邊與CD交于點F，與CB延長線交于點E，四邊形AECF的面積是（）A．16 B．12 C．8 D．4【分析】由四邊形ABCD為正方形可以得到∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，又∠ABE＝∠D＝90°，而∠EAF＝90°由此可以推出∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，進(jìn)一步得到∠DAF＝∠BAE，所以可以證明△AEB≌△AFD，所以S△AEB＝S△AFD，那么它們都加上四邊形ABCF的面積，即可四邊形AECF的面積＝正方形的面積，從而求出其面積．【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠D＝∠ABC＝90°，AD＝AB，∴∠ABE＝∠D＝90°，∵∠EAF＝90°，∴∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，∴∠DAF＝∠BAE，在△AEB和△AFD中∴△AEB≌△AFD（ASA），∴S△AEB＝S△AFD，∴它們都加上四邊形ABCF的面積，可得到四邊形AECF的面積＝正方形的面積＝16．故選：A．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，本題需注意：在旋轉(zhuǎn)過程中一定會出現(xiàn)全等三角形，應(yīng)根據(jù)所給條件找到．二、填空題11．（3分）已知△ABC的一個外角為50°，則△ABC一定是鈍角三角形．【分析】根據(jù)三角形的外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角求出內(nèi)角，再根據(jù)三角形的形狀定義判斷即可．【解答】解：∵△ABC的一個外角為50°，∴與它相鄰的內(nèi)角為180°﹣50°＝130°，∴△ABC一定是鈍角三角形．故答案為：鈍角．【點評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，求出與它相鄰的內(nèi)角是鈍角是解題的關(guān)鍵．12．（3分）如圖，在△ABC中，BD是角平分線，BE是中線，若AC＝24cm，則AE＝12cm，若∠ABC＝72°，則∠ABD＝36度．【分析】根據(jù)中線的性質(zhì)以及已知條件即可得出AE的長，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出∠ABD的度數(shù)．【解答】解：∵BE是中線，AC＝24cm，∴AC＝AE+CE＝2AE＝24，∴AE＝12cm，∵BD是角平分線，∠ABC＝72°，∴∠ABC＝2∠ABD＝72°，∴∠ABD＝36°，故答案為12，36．【點評】本題主要考查了三角形的中線、角平分線的性質(zhì)，難度適中．13．（3分）若等腰三角形兩邊長分別為3和5，則它的周長是11或13．【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【解答】解：有兩種情況：①腰長為3，底邊長為5，三邊為：3，3，5可構(gòu)成三角形，周長＝3+3+5＝11；②腰長為5，底邊長為3，三邊為：5，5，3可構(gòu)成三角形，周長＝5+5+3＝13．故答案為：11或13．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．14．（3分）一個正多邊形每一個外角為36°，則這個多邊形的內(nèi)角和為1440°．【分析】本題首先根據(jù)多邊形外角和定理，即任意多邊形外角和為360°，可求出此正多邊形的邊數(shù)為10．然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出它的內(nèi)角和．【解答】解：∵此正多邊形每一個外角都為36°，360°÷36°＝10，∴此正多邊形的邊數(shù)為10．則這個多邊形的內(nèi)角和為（10﹣2）×180°＝1440°．【點評】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和及外角和定理，任何多邊形的外角和是360°．15．（3分）如圖，直線AB∥CD，∠1＝55°，∠2＝32°，則∠3＝87°．【分析】利用平行線的性質(zhì)先求出∠C，再利用三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系求出∠3．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠C＝∠1＝55°，∴∠3＝∠C+∠2＝55°+32°＝87°，故答案為：87°．【點評】本題考查平行線的性質(zhì)及三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，掌握“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”、“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和”是解決本題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖所示：要測量河岸相對的兩點A、B之間的距離，先從B處出發(fā)與AB成90°角方向，向前走50米到C處立一根標(biāo)桿，然后方向不變繼續(xù)朝前走50米到D處，在D處轉(zhuǎn)90°沿DE方向再走17米，到達(dá)E處，使A、C與E在同一直線上，那么測得A、B的距離為17m．【分析】根據(jù)已知條件求證△ABC≌△EDC，利用其對應(yīng)邊相等的性質(zhì)即可求得AB．【解答】解：∵先從B處出發(fā)與AB成90°角方向，∴∠ABC＝90°，∵BC＝50m，CD＝50m，∠EDC＝90°∴△ABC≌△EDC，∴AB＝DE，∵沿DE方向再走17米，到達(dá)E處，即DE＝17∴AB＝17．故答案為：17m【點評】本題考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了全等三角形的判定，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．17．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，則∠B等于70°或20°．【分析】此題根據(jù)△ABC中∠A為銳角與鈍角分為兩種情況，當(dāng)∠A為銳角時，∠B等于70°，當(dāng)∠A為鈍角時，∠B等于20°．【解答】解：根據(jù)△ABC中∠A為銳角與鈍角，分為兩種情況：①當(dāng)∠A為銳角時，∵AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，∴∠A＝40°，∴∠B＝＝＝70°；②當(dāng)∠A為鈍角時，∵AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得到銳角為50°，∴∠1＝40°，∴∠BAC＝140°，∴∠B＝∠C＝＝20°．故答案為：70°或20°．【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)；分類討論的應(yīng)用是正確解答本題的關(guān)鍵．18．（3分）在△ABC中，AD是中線，已知AB＝7，AC＝4，則中線AD的取值范圍是．【分析】通過倍長中線，構(gòu)造△ABD≌△ECD，從而得到AB＝CE＝7，利用三角形三邊關(guān)系可得CE﹣AC＜AE＜CE+AC，再通過即可求解．【解答】解：如圖，延長AD至E，令DE＝AD，連接CE，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE＝7，在△AEC中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即7﹣4＜AE＜7+4，∴3＜AE＜11，∵DE＝AD，∴，∴．故答案為：．【點評】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等，通過倍長中線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題：19．（5分）已知：如圖，∠1＝∠2，∠C＝∠D．求證：AC＝AD．【分析】可以利用AAS判定△CAB≌△DAB，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到AC＝AD．【解答】證明：∵AB＝AB，∠1＝∠2，∠C＝∠D，∴△CAB≌△DAB（AAS）；∴AC＝AD．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．20．（5分）尺規(guī)作圖：校園有兩條路OA、OB，在交叉路口附近有兩塊宣傳牌C、D，學(xué)校準(zhǔn)備在這里安裝一盞路燈，要求燈柱的位置P離兩塊宣傳牌一樣遠(yuǎn)，并且到兩條路的距離也一樣遠(yuǎn)，請你幫助畫出燈柱的位置P．（不寫畫圖過程，保留作圖痕跡）【分析】分別作線段CD的垂直平分線和∠AOB的角平分線，它們的交點即為點P．【解答】解；如圖，點P為所作．【點評】本題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟知角平分線的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．21．（6分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD＝DF．說明：（1）CF＝EB；（2）AB＝AF+2EB．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的全等的判定和性質(zhì)解答即可；（2）根據(jù)AAS證明全等三角形的判定，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】證明：（1）∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC，在Rt△CFD和Rt△EBD中，，∴Rt△CFD≌Rt△EBD（HL），∴CF＝EB；（2）在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE，由（1）知，CF＝EB，∴AB＝AE+EB＝AC+EB＝AF+FC+EB＝AF+2EB．【點評】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)解答．22．（6分）如圖，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC，交AB于點E，交AC于點D．（1）試確定BE、ED、CD之間的數(shù)量關(guān)系；（2）若AB+AC＝a，求△AED的周長．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得△BEF和△DCF是等腰三角形，從而可得BE＝EF，CD＝DF，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系即可解答；（2）利用（1）中結(jié)論，通過等量代換可得AE+AD+ED＝a，即可解答．【解答】解：（1）DE＝BE+CD，理由：BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠EBF＝∠CBF，∠DCF＝∠BCF，∵DE∥BC，∴∠EFB＝∠CBF，∠DFC＝∠BCF，∴∠EFB＝∠EBF，∠DFC＝∠DCF，∴BE＝EF，CD＝DF，∴DE＝EF+DF，∴DE＝BE+CD；（2）∵AB+AC＝a，∴AE+BE+AD+CD＝a，由（1）得：ED＝BE+CD，∴AE+AD+ED＝a，∴△AED的周長為a．【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得等腰三角形是解題的關(guān)鍵．23．（5分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將四邊形ABCD稱為“基本圖形”，且各點的坐標(biāo)分別為A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）．（1）畫出四邊形A1B1C1D1，使它與“基本圖形”關(guān)于x軸成軸對稱，并求出A1，B1的坐標(biāo)．A1（4，﹣4），B1（1，﹣3）；（2）畫出四邊形A2B2C2D2，使它與“基本圖形”關(guān)于y軸成軸對稱；并求出C2，D2的坐標(biāo)C2（﹣3，3），D2（﹣3，1）；（3）畫出四邊形A3B3C3D3，使之與前面三個圖形組成的圖形是軸對稱圖形．【分析】（1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得到對應(yīng)點的坐標(biāo)，描點連線即可；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可得到對應(yīng)點的坐標(biāo)，描點連線即可；（3）根據(jù)軸對稱圖形的特點可知，四邊形A1B1C1D1關(guān)于y軸的軸對稱圖形即為四邊形A3B3C3D3．【解答】解：（1）根據(jù)四邊形A1B1C1D1與四邊形ABCD關(guān)于x軸對稱，可知對應(yīng)點的橫坐標(biāo)相等、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此A1（4，﹣4），B1（1，﹣3），C1（3，﹣3），D1（3，﹣1），描點連線可得四邊形A1B1C1D1；故答案為：4，﹣4，1，﹣3；（2）根據(jù)四邊形A2B2C2D2與四邊形ABCD關(guān)于y軸對稱，可知對應(yīng)點的縱坐標(biāo)相等、橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此A2（﹣4，4），B2（﹣1，3），C2（﹣3，3），D2（﹣3，1），描點連線可得四邊形A2B2C2D2；故答案為：﹣3，3，﹣3，1；（3）如圖所示，作四邊形A1B1C1D1關(guān)于y軸的軸對稱圖形，該圖形即為四邊形A3B3C3D3．【點評】本題考查作軸對稱圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握關(guān)于x軸，y軸成軸對稱圖形的對應(yīng)點坐標(biāo)的特點．24．（5分）如圖，AD平分∠BAC，EF垂直平分AD交BC的延長線于F，交AD于E，連接AF，試判斷∠B、∠CAF的大小關(guān)系，并說明理由．【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得FA＝FD，再根據(jù)等邊對等角得∠FAD＝∠FDA，利用外角的性質(zhì)得∠FDA＝∠B+∠BAD，再利用角平分線的定義和角的和差關(guān)系，即可推出∠CAF＝∠B．【解答】解：∠CAF＝∠B．理由如下：∵EF垂直平分AD，∴FA＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∵∠FDA＝∠B+∠BAD，∠FAD＝∠CAF+∠DAC，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴∠CAF＝∠B．【點評】本題考查角平分線的定義，垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)等，難度不大，解題的關(guān)鍵是通過等量代換得出∠B與∠CAF的聯(lián)系．25．（7分）【問題提出】學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我們繼續(xù)對“兩個三角形滿足兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等”的情形進(jìn)行研究．【初步思考】我們不妨將問題用符號語言表示為：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，對∠B進(jìn)行分類，可分為“∠B是直角、鈍角、銳角”三種情況進(jìn)行探究．【深入探究】第一種情況：當(dāng)∠B是直角時，△ABC≌△DEF．（1）如圖①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根據(jù)HL，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二種情況：當(dāng)∠B是鈍角時，△ABC≌△DEF．（2）如圖②，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是鈍角，求證：△ABC≌△DEF．第三種情況：當(dāng)∠B是銳角時，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角，請你用尺規(guī)在圖③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不寫作法，保留作圖痕跡）（4）∠B還要滿足什么條件，就可以使△ABC≌△DEF？請直接寫出結(jié)論：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是銳角，若∠B≥∠A或∠A＝90°，則△ABC≌△DEF．【分析】（1）直接利用HL定理得出Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）首先得出△CBG≌△FEH（AAS），則CG＝FH，進(jìn)而得出Rt△ACG≌Rt△DFH，再求出△ABC≌△DEF；（3）利用已知圖形再做一個鈍角三角形即可得出答案；（4）利用（3）中方法可得出當(dāng)∠B≥∠A時，則△ABC≌△DEF．【解答】（1）解：如圖①，∵∠B＝∠E＝90°，∴在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故答案為：HL；（2）證明：如圖②，過點C作CG⊥AB交AB的延長線于G，過點F作FH⊥DE交DE的延長線于H，∵∠ABC＝∠DEF，且∠ABC、∠DEF都是鈍角，∴180°﹣∠ABC＝180°﹣∠DEF，即∠CBG＝∠FEH，在△CBG和△FEH中，，∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG＝FH，在Rt△ACG和Rt△DFH中，，∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如圖③中，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，△DEF和△ABC不全等；（4）解：由圖③可知，∠A＝∠CDA＝∠B+∠BCD，∴∠A＞∠B，∴當(dāng)∠B≥∠A時，△ABC就唯一確定了，則△ABC≌△DEF．另外∠A＝90°時，兩三角形全等．故答案為：∠B≥∠A或∠A＝90°．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，應(yīng)用與設(shè)計作圖，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵，閱讀量較大，審題要認(rèn)真仔細(xì)．26．（7分）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝BC，頂點A、C分別在y軸、x軸上．（1）如圖1，已知點A（0，﹣2），C（1，0），點B在第四象限時，則點B的坐標(biāo)為（3，﹣1）；（2）如圖2，點C、A分別在x軸、y軸的負(fù)半軸上，BC邊交y軸