大學(xué)高數(shù)函數(shù)

一、基本概念1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集a

M

,

a

M

,A

{a1

,

a2

,

,

an

}M

{x

x所具有的特征}若x

A,則必x

B,就說A是B的子集.記作A

B.數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Q----有理數(shù)集Z----整數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:N

Z

,

Z

Q,

Q

R.若A

B,且B

A,就稱集合A與B相等.(A

B)例如A

{1,2},C

{

x

x

2

3

x

2

0},不含任何元素的集合稱為空集.則A

C

.(記作

)例如,

{

x

x

R,

x

2

1

0}

規(guī)定

空集為任何集合的子集.2.區(qū)間:是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).

a,b

R,且a

b.{

x

a

x

b}稱為開區(qū)間,記作(a,b){

x

a

x

b}稱為閉區(qū)間,記作[a,b]xo

abxo

ab{

x

a

x

b}{

x

a

x

b}稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,[a,

)

{

x

a

x}xo

ao

xb記作[a,b)記作(a,b]有限區(qū)間(

,

b)

{

x

x

b}無限區(qū)間區(qū)間長度的定義:兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度)稱為區(qū)間的長度.3.鄰域:

設(shè)a與

是兩個(gè)實(shí)數(shù)

,

且

0.0

xaa

a

點(diǎn)a叫做這鄰域的中心,

叫做這鄰域的半徑

.U

(a)

{

x a

x

a

}.

點(diǎn)a的去心的

鄰域,

記作U

(a).U

(a)

{

x

0

x

a

}.數(shù)集{xx

a

}稱為點(diǎn)a的

鄰域,注意常量與變量是相對“過程”而言的.4.常量與變量:在某過程中數(shù)值保持不變的量稱為常量,而數(shù)值變化的量稱為變量.常量與變量的表示方法：通常用字母a,

b,

c等表示常量,用字母x,

y,t等表示變量.

a

0

a a

05.絕對值:

aa

(

a

0)運(yùn)算性質(zhì):ab

a

b

;a

b

a

b

a

b

.x

a

(a

0)x

a

(a

0)

a

x

a;x

a

或x

a;a

a

;b

b絕對值不等式:因變量當(dāng)x0

D時(shí),稱f

(x0

)為函數(shù)在點(diǎn)x0處的函數(shù)值.函數(shù)值全體組成的數(shù)集W

{y

y

f

(x),x

D}稱為函數(shù)的值域.數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域自變量y

f

(

x)定義

設(shè)x和

y是兩個(gè)變量,

D是一個(gè)給定的數(shù)集，如果對于每個(gè)數(shù)x

D,二、函數(shù)概念()x0

)f

(

x0

)自變量因變量對應(yīng)法則f函數(shù)的兩要素:定義域與對應(yīng)法則.(

xyDW約定:

定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.1

x2例如，

y

1

x2例如，

y

1D

:

[

1,1]D

:

(

1,1)定義:

點(diǎn)集C

{(

x,

y)

y

f

(

x),

x

D}

稱為函數(shù)y

f

(

x)的圖形.oxy(

x,

y)yWxD如果自變量在定義域內(nèi)任取一個(gè)數(shù)值時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值總是只有一個(gè)，這種函數(shù)叫做單值函數(shù)，否則叫與多值函數(shù)．例如，x

2

y2

a2(1)

符號函數(shù)y

sgn

x

0

1

當(dāng)x

0

當(dāng)x

0

1

當(dāng)x

0幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例xy1o-1x

sgn

x

x(2)

取整函數(shù)y=[x]-24321-3-4xy-4-3-2-1

o

-11

2

3

4

5階梯曲線[x]表示不超過x

的最大整數(shù)

0y

D(

x)

1有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)?1x當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)當(dāng)x是無理數(shù)時(shí)yo(3)

狄利克雷函數(shù)(4)

取最值函數(shù)y

max{

f

(

x),

g(

x)}yf

(

x)og(

x)xoy

min{

f

(

x),

g(

x)}yf

(

x)g(

x)x

2x

1,f

(

x)

2

x

1,

x

0x

0例如,y

2

x

1y

x

2

1在自變量的不同變化范圍中,對應(yīng)法則用不同的式子來表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).例1

脈沖發(fā)生器產(chǎn)生一個(gè)單三角脈沖,其波形如圖所示,寫出電壓U與時(shí)間t(t

0)的函數(shù)關(guān)系式.解UtoE

2( ,

E

)

(

,0)

當(dāng)t

[0,

]時(shí),2U

E

2E

t

t;2單三角脈沖信號的電壓22

當(dāng)

t

( ,

]

時(shí),2

U

0

E

0

(t

),

即U

2E

(t

)當(dāng)t

(

,

)時(shí),U

0.

U

U

(t

)是一個(gè)分段函數(shù),其表達(dá)式為

0,t

(

,

]2t

(

,

)t

[0,

]22E

t

,

2EU

(t

)

(t

),UtoE

2( ,

E

)

(

,0)2

例2

21

x

2,求函數(shù)f

(x

3)的定義域.0

x

1設(shè)f

(

x)

1解

0

x

3

1

2 1

x

3

2

f

(

x

3)

1

0

x

1

2 1

x

2

f

(

x)

1

1

3

x

2

2

2

x

1:[

3,

1]故Df三、函數(shù)的特性M-Myxoy=f(x)X有界M-Myx無界oXx0f

(x)

M

成立,1．函數(shù)的有界性:若X

D,

M

0,

x

X

,

有則稱函數(shù)f

(x)在X上有界.否則稱無界.2．函數(shù)的單調(diào)性:設(shè)函數(shù)

f

(

x)的定義域?yàn)镈,

區(qū)間I

D,如果對于區(qū)間

I

上任意兩點(diǎn)

x1及

x2

,

當(dāng)

x1

x2時(shí),恒有

(1)

f

(

x1

)

f

(

x2

),則稱函數(shù)f

(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的;y

f

(

x

)f

(

x2

)f

(

x1

)xyoIy

f

(

x)f

(

x1

)f

(

x2

)xyoI設(shè)函數(shù)

f

(

x)的定義域?yàn)镈,

區(qū)間I

D,如果對于區(qū)間

I

上任意兩點(diǎn)

x1及

x2

,

當(dāng)

x1

x2時(shí),恒有(2)

f

(

x1

)

f

(

x2

),則稱函數(shù)f

(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減少的;3．函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對稱,

對于

x

D,

有f

(

x)

f

(

x)yxf

(

x)y

f

(

x)-x

o

xf

(

x)稱f

(x)為偶函數(shù);設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對稱,

對于

x

D,

有f

(

x)

f

(

x)稱f

(x)為奇函數(shù);f

(

x)奇函數(shù)yxf

(

x)o

x-xy

f

(

x)4．函數(shù)的周期性:設(shè)函數(shù)f

(

x)的定義域?yàn)镈,

如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l

,

使得對于任一x

D,(

x

l

)

D.

則稱f

(

x)為周期函數(shù),

l稱為f

(

x)的周期.

且f

(

x

l

)

f

(

x)恒成立.（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.2

ll22

3l3l2直接函數(shù)

y

f

(

x

)xyoQ(b,

a)P(a,

b)反函數(shù)y

(x)直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y

x對稱.四、反函數(shù)五、小結(jié)基本概念集合,區(qū)間,鄰域,常量與變量,絕對值.函數(shù)的概念函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性.反函數(shù)思考題21x設(shè)

x

0

，函數(shù)值f

()

x

1

x，求函數(shù)

y

f

(

x) (

x

0)的解析表達(dá)式.思考題解答設(shè)x1

u則u2uf

u

1

1

1,u

1

1

u2故. (

x

0)x1

1

x2f

(

x)

t

t

1、若f

1

5

2t

2

,則f

(t

)

,f(t

2

1)

.

33

sin

x

,

x

1,

x

2、若

(t

)

,

6

3

則

(

)=

，

(

)=

.3、不等式

x

5

1的區(qū)間表示法是

.4、設(shè)

y

x

2

,要使

x

U

(

0,

)時(shí)，

y

U

(

0,2),須

.練習(xí)題一、填空題:二、證明y

lg

x

在(0,

)上的單調(diào)性.三、證明任一定義在區(qū)間(

a,a

)(a

0)上的函數(shù)可表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和.四、設(shè)f

(x)是以2為周期的函數(shù)，

x

2

,

1

x

0且

f

(

x)

,試在(

,

)上繪出

0, 0

x

1f

(x)的圖形.五、證明：兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù).cx

a六、證明函數(shù)y

ax

b

的反函數(shù)是其本身.e

x

e

xe

x

e

x七、求

f

(

x)

的反函數(shù)，并指出其定義域.2(t

2

1)2一、1、5t

2

,5(t

2

1)

t

23、(4,6)；；

2、1,1；4.

(0,

2].1

x七、

y

ln

1

x

,

(

1,1).練習(xí)題答案一、基本初等函數(shù)1.冪函數(shù)y

x

(

是常數(shù))ox1yy

x

21xy

1y

xy

x(1,1)2.指數(shù)函數(shù)(a

0,

a

1)y

a

xy

a

xx1y

(

)a(a

1)(0,1)y

e

x3.對數(shù)函數(shù)(a

0,

a

1)y

log

a

xy

ln

xy

log

1

xay

log

a

x(a

1)(1,0)4.三角函數(shù)y

sin

x正弦函數(shù)y

sin

xy

cos

x余弦函數(shù)y

cos

x正切函數(shù)y

tan

xy

tan

x余切函數(shù)y

cot

xy

cot

x正割函數(shù)y

sec

xy

sec

xy

csc

x余割函數(shù)y

csc

x5.反三角函數(shù)y

arcsin

x反正弦函數(shù)y

arcsin

xy

arccos

x反余弦函數(shù)y

arccos

xy

arctan

x反正切函數(shù)y

arctan

x冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).反余切函數(shù)y

arccot

xy

arccot

x二、復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)設(shè)y

u,

u

1

x

2

,

y

1

x

2定義:設(shè)函數(shù)

y

f

(u)的定義域Df

,

而函數(shù)u

(

x)的值域?yàn)閆

,

若Df

Z

,

則稱函數(shù)y

f

[

(

x)]為x的復(fù)合函數(shù).x

自變量,

u

中間變量,y

因變量,注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的;例如

y

arcsin

u,

u

2

x2

;

y

arcsin(2

x

2

)2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過復(fù)合構(gòu)成.x例如

y

cot

,22y

u,

u

cot

v,

v

x

.2.初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).例1,2

x

1,

x

0

x

2,

x

0,

(

x)

x,

x

1

e

x

,

x

1求f

[

(x)].設(shè)f

(x)

解

(

x)

1

(

x)

1f

[

(

x)]

(

x),

e

(

x

)

,10

當(dāng)

(x)

1時(shí),或x

0,或x

0,

(

x)

x

2

1,

(

x)

x

2

1

1,x

1;0

x

2;20當(dāng)

(x)

1時(shí),或x

0,

(

x)

x

2

1,

1

1,

1

x

0;x

2;.

1,

x

2

x2

1

x

00

x

2x

1

x

2,2

ex

1

,或

x

0,

(

x)

x

2綜上所述

ex

2

,f

[

(x)]

三、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)2e

x

e

x雙曲正弦sinh

x

y

cosh

xy

sinh

xD

:

(

,

),奇函數(shù).2e

x

e

x雙曲余弦cosh

x

D

:

(

,

),偶函數(shù).1.雙曲函數(shù)2y

1

e

x

xy

e21e

x

e

xe

x

e

x

coshxsinh

x雙曲正切tanh

x

奇函數(shù),D

:

(

,

)有界函數(shù),雙曲函數(shù)常用公式sinh(

x

y)

sinh

x

cosh

y

cosh

x

sinh

y

;cosh(

x

y)

cosh

x

cosh

y

sinh

x

sinh

y

;cosh2

x

sinh

2

x

1;sinh

2

x

2

sinh

x

cosh

x

;cosh

2

x

cosh2

x

sinh

2

x.2.反雙曲函數(shù)D

:

(

,

)奇函數(shù),在(

,

)內(nèi)單調(diào)增加.x

2

ln(

x

1).反雙曲正弦y

arsinh

x

;y

arsinh

xy

ar

sinh

x在[1,

)內(nèi)單調(diào)增加.

1).x2

ln(

x

D

:[1,

)y

arcosh

x反雙曲余弦y

arcosh

xy

ar

cosh

x

1

ln

1

x

.2 1

xD

:

(

1,1)奇函數(shù),在(

1,1)內(nèi)單調(diào)增加.y

artanh

x反雙曲正切y

ar

tanh

xy

artanh

x四、小結(jié)函數(shù)的分類:函數(shù)初等函數(shù)代數(shù)函數(shù)有理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))無理函數(shù)超越函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù))思考題下列函數(shù)能否復(fù)合為函數(shù)y

f

[

g(

x)]，若能，寫出其解析式、定義域、值域．y

f

(u)

u,y

f

(u)

ln

u,u

g(

x)

x

x2u

g(

x)

sin

x

1思考題解答(1)

y

f

[

g(

x)]

x

x2x

D

{

x

|

0

x

1},21f

(

D)

[0,

]不能．(2)

g(

x)

sin

x

1

0g(x)的值域與f

(u)的定義域之交集是空集.一、填空題:1、冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)， 對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱

.2、函數(shù)f

(x)的定義域?yàn)閇1

，3]，則函數(shù)f

(ln

x)的定義域?yàn)?/p>

.3、由函數(shù)y

eu，u

x

2

復(fù)合而成的函數(shù)為

.4、函數(shù)

y

sin

ln

2

x

由

復(fù)合而成

.5、若f

(

x)

的定義域?yàn)閇0

，1

]，則

f（x

2）的定義域?yàn)?/p>

，f(sin

x)

的定義域?yàn)?/p>

，f

(

x

a)(a

0)

的定義域?yàn)?/p>

_，f

(

x

a)

f

(

x

a)

(a

0)

的定義域?yàn)?/p>

.練

習(xí)

題二、應(yīng)用圖形的“疊加”作函數(shù)y

x

sin

x

的圖形.x

1，x

10，x

1

，g(

x)

e

，

1，x

1三、設(shè)f

(x)

求f

[g(x)]，g[f

(x)]，并作出它們的圖形.四、火車站行李收費(fèi)規(guī)定如下：20

千克以下不計(jì)費(fèi)，

20～50

千克每千克收費(fèi)0.20

元，超出50

千克超

出部分每千克0.30

元，試建立行李收費(fèi)f

(x)(元)于行李重量x

(千克)之間的函數(shù)關(guān)系，并作出圖形.一、1、基本初等函數(shù)；2、[e,e

3

]；x

23、y

e

； 4、y

sin

u,

u

ln

v,

v

2

x

；5、[-1,1],[2k

,2k

],[

a,1

a],

122a

[a,1

a] 0

a

1

.

1,

x

1

1,

x

0三、f

[g(x)]

0,x

0；

1,

x

1

e

e,

x

1g[

f

(

x)]

,

x

1

1

.練習(xí)題答案

10

0.3(

x

50),

x

50

0

x

20四、y

0.2

x,20

x

501、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”播放——?jiǎng)⒒找?、概念的引入R正六邊形的面積A1正十二邊形的面積A2

正6

2n

1

形的面積AnA1

,

A2

,

A3

,

,

An

,

S2、截丈問題：“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”21第一天截下的杖長為

X

1

;2222第二天截下的杖長總和為

X

1

1

;

222

2nn第n天截下的杖長總和為

X

1

1

1

;n2nX

1

1

1二、數(shù)列的定義定義:按自然數(shù)1,2,3,

編號依次排列的一列數(shù)x1

,

x2

,

,

xn

,

(1)稱為無窮數(shù)列,簡稱數(shù)列.其中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng),xn

稱為通項(xiàng)(一般項(xiàng)).數(shù)列(1)記為{xn

}.例如2,4,8,

,2n

,

;2

4

81

,

1

,

1

,

,

1

,

;2n{2n

}{

1

}2n注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個(gè)點(diǎn)列.可看作一動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上依次取x1

,x2

,

,xn

,

.x2

x4x3

x1

xn2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)

xn

f

(n).1,

1,1,

,

(

1)n

1

,

;{(

1)n

1

}2,

,

,

,1

4

n

(

1)n

1},

;

{n

(

1)n

12

3

n

n3, 3

3,

, 3

3

3

,

觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1播放三、數(shù)列的極限問題:

當(dāng)

n

無限增大時(shí),

xn是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?無限接近于1.n(

1)n

1當(dāng)n

無限增大時(shí),xn

1

問題:

“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.n

x

1

(

1)n

1

1

1n

n通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:1001

,n給定

1

,

由

1

1

,

只要

n

100時(shí),

有

x

1

100

n

10010001給定

,只要n

1000時(shí),,100001n有

x

1

,100001給定只要n

10000時(shí),,10001n有

x

1

[

])時(shí),給定

0,

只要

n

N

(

1n有

x

1

成立.定義

如果對于任意給定的正數(shù)

(不論它多么小),總存在正數(shù)N

,使得對于n

N

時(shí)的一切xn

,不等式xn

a

都成立,那末就稱常數(shù)a

是數(shù)列

xn

的極限,或者稱數(shù)列xn

收斂于a

,記為n

a

(n

).lim

xn

a,

或xn如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：1.不等式

xn

a

刻劃了xn與a的無限接近;2.N與任意給定的正數(shù)

有關(guān).xx2

x1x

N

1x3幾何解釋:a

a

x

N

22

a當(dāng)n

N時(shí),

所有的點(diǎn)

xn都落在(a

,

a

)內(nèi),只有有限個(gè)(至多只有N個(gè))落在其外.其中

:

每一個(gè)或任給的;

:

至少有一個(gè)或存在.

N定義:

lim

xn

a

n

0,

N

0,

使n

N時(shí),

恒有

xn

a

.

1.nn

(

1)n

1n

例1

證明lim證nx

1n

n

(

1)n

1n

1

1n任給

0,

要

xn

1

,

只要1

,

或n

1

,[

],所以,

取N

1則當(dāng)n

N時(shí),

1

nn

(

1)n

1就有

1.nn

(

1)n

1n

即lim注意：數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.例2設(shè)xn

C

(C為常數(shù)),

證明lim

xn

C

.證xn所以,

C

C

C

0

成立,n

任給

0,對于一切自然數(shù)n

,lim

xn

C

.n

說明:常數(shù)列的極限等于同一常數(shù).小結(jié):用定義證數(shù)列極限存在時(shí),關(guān)鍵是任意給定

0,尋找N,但不必要求最小的N.例3證明lim

qn

0,

其中q

1.xn

0

q

,

n

ln

q

ln

,nln

q取N

[

ln

],則當(dāng)n

N時(shí),就有qn

0

,n

lim

qn

0.n

證

任給

0,

若q

0,則lim

qn

lim

0

0;n

n

若0

q

1,ln

q

n

ln

,例4n

求證

lim

xn

a

.設(shè)xn

0,且lim

xn

a

0,證n

任給

0,故lim

xn

a.n

n

lim

xn

a,

N使得當(dāng)n

N時(shí)恒有

xn

a

1

,nnx

xn

a從而有

x

a

aa

axn

a

1

四、數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性定義:

對數(shù)列xn

,

若存在正數(shù)M

,

使得一切自然數(shù)n,

恒有

xn

M

成立,

則稱數(shù)列xn

有界,否則,

稱為無界.

n

1nn例如,數(shù)列xn數(shù)軸上對應(yīng)于有界數(shù)列的點(diǎn)xn都落在閉區(qū)間[

M

,M

]上.;有界數(shù)列

x

2n

.無界定理1

收斂的數(shù)列必定有界.n

證

由定義,設(shè)

lim

xn

a,

取

1,則

N

,

使得當(dāng)n

N時(shí)恒有

xn

a

1,即有a

1

xn

a

1.記

M

max{

x1

,

,

x

N

,

a

1

,

a

1

},則對一切自然數(shù)n,皆有

xn

M

,故

xn

有界.注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論

無界數(shù)列必定發(fā)散.2.唯一性定理2

每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.證

設(shè)

lim

xn

a,

又lim

xn

b,

由定義,n

n

a

;

0,

N1

,N

2

.使得當(dāng)n

N1時(shí)恒有xn當(dāng)n

N

2時(shí)恒有

xn

b

;

取N

max

N1

,

N

2

,則當(dāng)n

N時(shí)有a

b

(xn

b)

(xn

a)

xn

b

xn

a

2

.上式僅當(dāng)a

b時(shí)才能成立.故收斂數(shù)列極限唯一.例5n

1證明數(shù)列xn

(

1)

是發(fā)散的.證nn

設(shè)

lim

x

a,2由定義,

對于

1

,則

N

,

使得當(dāng)n

N時(shí),

有

x

a

1

成立,n2

2n即當(dāng)n

N時(shí),

x

(a

1

,

a

1),2區(qū)間長度為1.而xn無休止地反復(fù)取1,

1兩個(gè)數(shù),不可能同時(shí)位于長度為1的區(qū)間內(nèi).事實(shí)上,{xn

}是有界的,但卻發(fā)散.3.(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系)

如果數(shù)列{xn

}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a五.小結(jié)數(shù)列:研究其變化規(guī)律;數(shù)列極限:極限思想,精確定義,幾何意義;收斂數(shù)列的性質(zhì):有界性唯一性.n

思考題

指出下列證明lim

n

n

1中的錯(cuò)誤。證明

要使n

n

1

,只要使1

ln

n

ln(1

)n從而由1

ln(1

)

ln(1

)n得

0,ln

2

1

ln(1

)

ln

n

ln

2取N

n

當(dāng)

n

N

時(shí)，必有

0

n

n

1

成立

lim

n

n

1思考題解答

n

n

1

n1

ln

n

ln(1

)（等價(jià)）證明中所采用的1

ln(1

)

ln(1

)n

ln

n

ln

2實(shí)際上就是不等式ln

2

ln

n

ln(1

)n

n即證明中沒有采用“適當(dāng)放大”的值nln

n僅有l(wèi)n

2

ln(1

)成立，n但不是

ln

n

ln(1

)

的充分條件．nn從而

n

N

ln(1

)

時(shí)，ln

2反而縮小為ln

2一、利用數(shù)列極限的定義證明:n

2n

1

21、lim

3n

1

3

；2、lim0.999....9

1n

二、設(shè)數(shù)列xnn

有界，又lim

yn

0，n

證明：lim

xn

yn

0.練習(xí)題1、割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒找?、概念的引入觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限觀察數(shù)列{1

}當(dāng)n

時(shí)的變化趨勢.n(

1)n

1三、數(shù)列的極限x觀察函數(shù)sin

x

當(dāng)x

時(shí)的變化趨勢.播放一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限問題:函數(shù)

y

f

(

x)在x

的過程中,

對應(yīng)函數(shù)值

f

(

x)無限趨近于確定值

A.f

(x)

A

表示f

(x)

A

任意小;x

X

表示x

的過程.當(dāng)

x

無限增大時(shí),

f

(

x)

sin

x

無限接近于

0.通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:x問題:

如何用數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.定義

1

如果對于任意給定的正數(shù)

(不論它多么小),總存在著正數(shù)X

,使得對于適合不等式

x

X

的一切x,所對應(yīng)的函數(shù)值

f

(

x)都滿足不等式

f

(

x)

A

,那末常數(shù)A就叫函數(shù)

f

(

x)當(dāng)x

時(shí)的極限,記作lim

f

(

x)

A

或

f

(

x)

A(當(dāng)x

)x

1.定義:"

X

"定義

0,

X

0,

使當(dāng)

x

X時(shí),

恒有

f

(

x)

A

.x

lim

f

(

x)

A

10

.x

情形:

0,

X

0,使當(dāng)x

X時(shí),恒有f

(x)

A

.20

.x

情形:x

lim

f

(

x)

Ax

lim

f

(

x)

A2.另兩種情形:x

x

x

0,

X

0,使當(dāng)x

X時(shí),恒有f

(x)

A

.定理:

lim

f

(

x)

A

lim

f

(

x)

A且lim

f

(

x)

A.3.幾何解釋:

XX當(dāng)x

X或x

X時(shí),

函數(shù)

y

f

(

x)圖形完全落在以直線y

A為中心線,

寬為2

的帶形區(qū)域內(nèi).y

sin

xx

Axsin

xy

xx

例1

證明lim

sin

x

0.證x

xx

sin

x

0

sin

x

1X

1

,

0,

取

X

1

,則當(dāng)

x

X時(shí)恒有xsin

x

0

,xx

故lim

sin

x

0.定義:

如果lim

f

(

x)

c,則直線

y

c是函數(shù)y

f

(

x)x

的圖形的水平漸近線.二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問題:函數(shù)

y

f

(

x)在

x

x0

的過程中,對應(yīng)函數(shù)值

f

(

x)無限趨近于確定值

A.xx0x0

f

(

x)

A

表示

f

(

x)

A

任意小;0

x

x0

表示x

x0的過程.

x0

點(diǎn)x0的去心

鄰域,

體現(xiàn)x接近x0程度.定義

2

如果對于任意給定的正數(shù)

(不論它多么小),總存在正數(shù)

,使得對于適合不等式0

x

x0

的一切x

,對應(yīng)的函數(shù)值f

(x)都x

x0滿足不等式f

(x)

A

,那末常數(shù)A就叫函數(shù)f

(x)當(dāng)x

x0時(shí)的極限,記作lim

f

(

x)

A

或

f

(

x)

A(當(dāng)x

x0

)1.

定義:"

"定義

0,

0,

使當(dāng)0

x

x0

時(shí),恒有f

(x)

A

.y

f

(

x)A

AA

x0

x0

x0

xyo2.幾何解釋:當(dāng)x在x0的去心

鄰域時(shí),函數(shù)y

f

(x)圖形完全落在以直線y

A為中心線,寬為2

的帶形區(qū)域內(nèi).注意：1.函數(shù)極限與f

(x

)在點(diǎn)x0是否有定義無關(guān);2.

與任意給定的正數(shù)

有關(guān).顯然,找到一個(gè)

后,

越小越好.例2證明lim

C

C

,(C為常數(shù)).x

x0f

(

x)

A

C

C

0

成立,

limC

C

.x

x0證

任給

0,

任取

0,當(dāng)0

x

x0

時(shí),例3x

x0證明

lim

x

x0

.任給

0,取

,證

f

(

x)

A

x

x0

,當(dāng)0

x

x0

時(shí),f

(

x)

A

x

x0

成立,

lim

x

x0

.x

x0例4

2.

1x

1x

2x

1證明lim證

1x

2

f

(

x)

A

任給

0,只要取

,當(dāng)0

x

x0函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.x

1

2

x

1要使f

(x)

A

,

2

,

1x

1x

2

時(shí),

就有

2.

1

limx

1x

2x

1

limx

x00x0

},當(dāng)0

x

x00證

f

(

x)

A

x

x

x

x0

,

時(shí),

就有x

x0

.,0x

x

x0任給

0,

要使

f

(

x)

A

,只要

x

x0

x0

且不取負(fù)值.

取

min{

x0

,x

x0

.x

x0x

xx

x0例5

證明:

當(dāng)x0

0時(shí),

lim3.單側(cè)極限:例如,2

x

0x

1,

x

0證明lim

f

(x)

1.設(shè)f

(x)

1

x,x

0分x

0和x

0兩種情況分別討論x從左側(cè)無限趨近x0

,

記作x

x0

0;x從右側(cè)無限趨近x0

,

記作x

x0

0;ox1yy

1

xy

x

2

1左極限

0,

0,使當(dāng)x0

x

x0時(shí),右極限

0,

0,

使當(dāng)x0

x

x0

時(shí),恒有f

(x)

A

.

{

x

0

x

x0

}

∪

{

x

x

x0

0}0(

x

x

)恒有f

(x)

A

.記作

lim

f

(

x)

A

或

f

(

x0

0)

A.x

x0

00注意:{

x

0

x

x0

}(

x

x

)記作

lim

f

(

x)

A

或

f

(

x0

0)

A.x

x0

0

0)

A.

0)

f

(

x0x

x0定理:

lim

f

(

x)

A

f

(

x0xx

0yx1

1oxx

0x

0

xlim

x

lim

xx

0左右極限存在但不相等,

lim

f

(

x)

不存在.例6

驗(yàn)證

lim

x

不存在.證

lim

(

1)

1x

0xx

0

x

x

0lim

x

lim

x

lim

1

1x

0三、函數(shù)極限的性質(zhì)有界性定理

若在某個(gè)過程下,

f

(

x)

有極限,則存在過程的一個(gè)時(shí)刻,在此時(shí)刻以后

f

(

x)有界.唯一性定理 若lim

f

(

x)存在,則極限唯一.推論則

0,

x

U

0

(

x

,

),有f

(

x)

g(

x).0設(shè)lim

f

(

x)

A,

lim

g(

x)

B,且A

Bx

x0

x

x03.不等式性質(zhì)定理(保序性)若

0,

x

U

0

(

x

,

),有f

(

x)

g(

x),則A

B.0設(shè)lim

f

(

x)

A,

lim

g(

x)

B.x

x0

x

x0x

x0則

0,當(dāng)x

U

0

(

x

,

)時(shí),

f

(

x)

0(或f

(

x)

0).0若lim

f

(

x)

A,且A

0(或A

0),定理(保號性)0x

x0f

(x)

0(或f

(x)

0),則A

0(或A

0).若lim

f

(

x)

A,且

0,當(dāng)x

U

0

(

x

,

)時(shí),推論4.子列收斂性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)設(shè)在過程x

a(a可以是x

,

x

,或x

)中0

0

0有數(shù)列xn

(

a),使得n

時(shí)xn

a.則稱數(shù)列

f

(xn

)

,即f

(x1

),f

(x2

),

,f

(xn

),

為函數(shù)f

(x)當(dāng)x

a時(shí)的子列.定義n

x

a時(shí)的一個(gè)子列,則有l(wèi)im

f

(xn

)

A.若lim

f

(x)

A,數(shù)列f

(xn

)是f

(x)當(dāng)x

a定理

時(shí),恒有

0,

0,

使當(dāng)0

x

x0證

lim

f

(

x)

Ax

x0x

對上述

0,

N

0,

使當(dāng)n

N時(shí),

恒有0

xn

x0

.從而有

f

(

xn

)

A

,

故

lim

f

(

xn

)

A.n

f

(

x)

A

.又

lim

xn

x0

且

xn

x0

,xsin

xy

1xsin

x例如,

limx

0nlim

n

sin

1

1,n

1nlim

n

sin

1,n

lim

sin2

1nn

1n2n

n

1函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.1xy

sin例7證明lim

sin

1

不存在.xx

0證

n

n取

x

1

,n

lim

xn

0,21

,

且xn

0;

4n

1n取

x

0,n

lim

xn且x

n

0;xnn

n

2n

x

nn

而limsin

1

limsin

4n

1

lim1

1,n

二者不相等,

故limsin

1

不存在.xx

0而limsin

1

limsin

n

0,四、小結(jié)函數(shù)極限的統(tǒng)一定義lim

f

(n)

A;n

lim

f

(

x)

A;x

lim

f

(

x)

A;x

lim

f

(

x)

A;x

lim

f

(

x)

A;0

0lim

f

(

x)

A;x

x

x

x

0lim

f

(

x)

A.x

x

恒有f

(x)

A

.lim

f

(x)

A

0,

時(shí)刻,從此時(shí)刻以后,(見下表)過

程n

x

x

x

時(shí)

刻N(yùn)從此時(shí)刻以后n

Nx

Nx

Nx

Nf

(

x)f

(

x)

A

過

程x

x0x

x

0x

x

0時(shí)

刻

從此時(shí)刻以后0

x

x0

0

x

x0

x

x0

0f

(

x)f

(

x)

A

思考題

1

5

x

2

,

x

0

x

sin

x

,試問函數(shù)f

(x)

10,

x

0x

0

在x

0

處的左、右極限是否存在？當(dāng)x

0時(shí)，f

(x)的極限是否存在？思考題解答x

0

lim

f

(

x)

lim

(5

x2

)

5,x

0

左極限存在,x

0

xlim

f

(

x)

lim

x

sin

1

0,x

0

右極限存在,

lim

f

(

x)

lim

f

(

x)x

0

x

0

x

0

lim

f

(

x)不存在.

3

1x

2x

2

1，問當(dāng)

z

取

2、當(dāng)x

時(shí)，y

y

4

0.001

.只要

0

x

2

，必有時(shí)，只要

x

z，必有

y

1

0.01

.二、用函數(shù)極限的定義證明2

2x2

x

11

4

x

2x

x

12、lim

sin

x

01、lim練習(xí)題一、填空題:1、當(dāng)

x

2

時(shí)，y

x

2

4，問當(dāng)

取

時(shí)三、試證:函數(shù)f

(x)當(dāng)x

x0

時(shí)極限存在的充分必要條件是左極限、右極限各自存在并且相等.在x

0

時(shí)的極限是否xx四、討論：函數(shù)

(x)

存在?2、397

.一、1、0.0002；四、不存在.練習(xí)題答案x觀察函數(shù)sin

x

當(dāng)x

時(shí)的變化趨勢.一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限x觀察函數(shù)sin

x

當(dāng)x

時(shí)的變化趨勢.一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限x觀察函數(shù)sin

x

當(dāng)x

時(shí)的變化趨勢.一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限x觀察函數(shù)sin

x

當(dāng)x

時(shí)的變化趨勢.一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限x觀察函數(shù)sin

x

當(dāng)x

時(shí)的變化趨勢.一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限x觀察函數(shù)sin

x

當(dāng)x

時(shí)的變化趨勢.一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限x觀察函數(shù)sin

x

當(dāng)x

時(shí)的變化趨勢.一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限x觀察函數(shù)sin

x

當(dāng)x

時(shí)的變化趨勢.一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限x觀察函數(shù)sin

x

當(dāng)x

時(shí)的變化趨勢.一、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限一、無窮小f

(x)都滿足不等式f

(

x)

,那末稱函數(shù)f

(x)當(dāng)x

x0

(或x

)時(shí)為無窮小記作lim

f

(

x)

0

(或lim

f

(

x)

0).x

x0

x

1.定義:極限為零的變量稱為無窮小.定義1如果對于任意給定的正數(shù)

(不論它多么小),總存在正數(shù)

(或正數(shù)X

),使得對于適合不等式

0

x

x0

(或x

X

)的一切x

,對應(yīng)的函數(shù)值例如,x

0

limsin

x

0,

函數(shù)sin

x是當(dāng)x

0時(shí)的無窮小.x

x

lim

1

0,1

函數(shù) 是當(dāng)x

時(shí)的無窮小.xn(

1)nn

lim數(shù)列{

0

,}是當(dāng)n

時(shí)的無窮小.n(

1)n注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:x

x0設(shè)

lim

f

(

x)

A,

令

(

x)

f

(

x)

A,x

x0則有l(wèi)im

(x)

0,

f

(

x)

A

(