2024年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷三

2024年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷第Ⅰ卷（選擇題)一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，，，則集合等于A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出A與B的并集，依據(jù)全集U＝R，求出并集的補集即可．【詳解】全集，，，或，則，故選：D．【點睛】此題考查了交、并、補集的混合運算，嫻熟駕馭各自的定義是解本題的關(guān)鍵．2．若復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．是實數(shù) B．是純虛數(shù) C． D．【答案】D【解析】分析：依據(jù)題中所給的條件，將兩個復(fù)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的運算，對選項中的結(jié)果一一比照，從而選出滿意條件的項.詳解：，是實數(shù)，故A正確，，是純虛數(shù)，故B正確，，，故C正確，，所以D項不正確，故選D.點睛：該題考查的是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和運算，在做題的時候，須要對選項中的問題一一檢驗，從而找到正確的結(jié)果.3．已知，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．m＞n＞1 B．n＞1＞m＞0 C．1＞n＞m＞0 D．1＞m＞n＞0【答案】C【解析】【分析】先化簡原不等式為，再對分四種狀況探討即得解.【詳解】由題得，所以，當(dāng)時，所以,所以選項A正確；當(dāng)時，所以，所以選項D正確；當(dāng)時，不等式明顯成立，所以選項B正確；當(dāng)時，不等式明顯不成立.所以選項C不正確.故選：C【點睛】本題主要考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平.4．某單位去年的開支分布的折線圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開支（單位：萬元）如圖2所示，則該單位去年的水費開支占總開支的百分比為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由折線圖找出水、電、交通開支占總開支的比例，再計算出水費開支占水、電、交通開支的比例，相乘即可求出水費開支占總開支的百分比.【詳解】水費開支占總開支的百分比為.故選：A【點睛】本題考查折線圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.5．已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，滿意f(1+x)=f(1-x),若f(1)=1，則f(1)+f(2)+f(3)+A．1 B．0 C．1 D．2024【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，由函數(shù)滿意f（1﹣x）＝f（x+1），分析可得f（﹣x）＝f（x+2），結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)可得f（x）＝f（x+2），則函數(shù)f（x）為周期為4的周期函數(shù)，又由f（1）、f（-1）與f（2）及f（0）的值分析可得f（1）=f（5）=……＝f（2024）＝1，f（3）=f（7）=……=f（2024）=-1，f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2024）＝0，將其相加即可得答案．【詳解】依據(jù)題意，函數(shù)f（x）滿意f（1﹣x）＝f（x+1），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則有f（﹣x）＝f（x+2），又由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，則f（﹣x）＝-f（x），則有f（x）＝-f（x+2），則f（x+2）=-f（x+4），可得f（x）=f（x+4）則函數(shù)f（x）為周期為4的周期函數(shù)，又由f（1）＝1，則f（1）=f（5）=……＝f（2024）＝1，f（-1）=-f（1）=-1，則f（3）=f（7）=……=f（2024）=-1，又f（-2）=f（2）＝-f（2），則f（2）=0，且f（0）=0，所以f（2）=f（4）＝f（6）＝f（8）＝……＝f（2024）＝0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2024）＝505-505+0=0；故選：B．【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)周期性的應(yīng)用，留意分析與利用函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題．6．若實數(shù)x，y滿意2x+2A．-4 B．-2 C．2 D．4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y的最大值得解.【詳解】由題得2x所以1≥22所以x+y≤-2.所以x+y的最大值為-2.故選：B【點睛】本題主要考查基本不等式，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實力.7．等差數(shù)列中，則（）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】D【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依據(jù)題意，求解，進(jìn)而可求得，即可得到答案.【詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，又由，故選D.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，其中解答中設(shè)等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的通項公式化簡求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎(chǔ)題.8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列推斷正確的是（）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)的最小正周期為D．當(dāng)時，函數(shù)的圖象與直線圍成的封閉圖形面積為【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，再依據(jù)余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，推斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．【詳解】解：函數(shù)的部分圖象，可得A＝2，?，∴ω＝2．再依據(jù)五點法作圖可得2?φ，∴φ，f（x）＝2sin（2x）．令x，求得f（x）＝﹣2，為函數(shù)的最小值，故A錯誤；令x，求得f（x）＝﹣1，不是函數(shù)的最值，故B錯誤；函數(shù)f（2x）＝2sin（4x）的最小正周期為，故C錯誤；當(dāng)時，2x，函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝2圍成的封閉圖形為x、x、y＝2、y＝﹣2構(gòu)成的矩形的面積的一半，矩形的面積為π?（2+2）＝4π，故函數(shù)f（x）的圖象與直線y＝2圍成的封閉圖形面積為2π，故D正確，故選：D．【點睛】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．9．中，角所對應(yīng)的邊分別為，表示三角形的面積，且滿意，則（）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】在△ABC中，∵S==acsinB，cosB=．代入原式子得到，tanB=，∵B∈（0，π），∴B=．故答案為B．10．如圖中共頂點的橢圓①②與雙曲線③④的離心率分別為e1，e2，e3，e4，其大小關(guān)系為()A．e1<e2<e3<e4B．e2<e1<e3<e4C．e1<e2<e4<e3D．e2<e1<e4<e3【答案】C【解析】試題分析：先依據(jù)橢圓越扁離心率越大推斷a1、a2的大小，再由雙曲線開口越大離心率越大推斷a3、a4的大小，最終依據(jù)橢圓離心率大于0小于1并且拋物線離心率大于1可得到最終答案．解：依據(jù)橢圓越扁離心率越大可得到0＜a1＜a2＜1依據(jù)雙曲線開口越大離心率越大得到1＜a3＜a4∴可得到a1＜a2＜a3＜a4故選A．考點：圓錐曲線的共同特征．11．《九章算術(shù)》中將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鰲臑.在鰲臑中，平面，，，鰲臑的四個頂點都在同一個球上，則該球的表面積是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】四個面都是直角三角形，由得，然后證明，這樣PC中點O，就是外接球球心，易求得其半徑，得面積．【詳解】四棱錐的四個面都是直角三角形，∵，∴，又平面，∴AB是PB在平面ABC上的射影，，∴，取PC中點O，則O是外接球球心．由得，又，則，，所以球表面積為．故選：C．【點睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是找尋外接球的球心：三棱錐的外接球的球心肯定在過各面外心且與此面垂直的直線上．12．已知定義域為的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，，若，則的大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)g（x），由g′（x），可得函數(shù)g（x）單調(diào)遞減，再依據(jù)函數(shù)的奇偶性得到g（x）為偶函數(shù)，即可推斷．【詳解】構(gòu)造函數(shù)g（x），∴g′（x），∵xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，∴g（x）是偶函數(shù)，∴cg（﹣3）＝g（3），∵ag（e），bg（ln2），∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），∴c＜a＜b，故選D．【點睛】本題考查了構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)行比較大小，考查了推理實力，屬于中檔題．第Ⅱ卷（非選擇題)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。13．已知向量滿意，，的夾角為，則__________．【答案】【解析】【分析】先計算，再由綻開計算即可得解.【詳解】由，，的夾角為，得.所以.故答案為.【點睛】本題主要考查了利用向量的數(shù)量積計算向量的模長，屬于基礎(chǔ)題.14．已知程序框圖如圖所示，其功能是求一個數(shù)列的前10項和，則數(shù)列的一個通項公式【答案】【解析】試題分析：程序執(zhí)行過程中的數(shù)據(jù)改變?nèi)缦拢翰怀闪?，輸出，是?shù)列的和，因此數(shù)列通項公式為考點：1．程序框圖；2．?dāng)?shù)列通項公式15．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則的解集為_______．【答案】【解析】【分析】先構(gòu)造函數(shù)設(shè)，再分析得到在上是減函數(shù),且，再解不等式得解.【詳解】設(shè)，因為，所以，，所以在上是減函數(shù),且.所以的解集即是的解集。所以.故答案為：【點睛】（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的駕馭水平和分析推理實力.(2)解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)設(shè)，再分析得到在上是減函數(shù),且.16．已知是橢圓（）和雙曲線（）的一個交點，是橢圓和雙曲線的公共焦點，分別為橢圓和雙曲線的離心率，若，則的最小值為________．【答案】.【解析】【分析】依據(jù)題意，不妨設(shè)點在第一象限，那么，依據(jù)橢圓與雙曲線的定義，得到，，依據(jù)余弦定理，整理得到，化為，依據(jù)基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】依據(jù)橢圓與雙曲線的對稱性，不妨設(shè)點在第一象限，那么，因為橢圓與雙曲線有公共焦點，設(shè)橢圓與雙曲線的半焦距為，依據(jù)橢圓與雙曲線的定義，有：，，解得，，在中，由余弦定理，可得：，即，整理得，所以，又，所以.故答案為【點睛】本題主要考查橢圓與雙曲線的離心率的相關(guān)計算，熟記橢圓與雙曲線的定義與簡潔性質(zhì)，結(jié)合基本不等式，即可求解，屬于常考題型.三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必做題,每個考生都必需作答.第22/23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17．記為數(shù)列的前項和，且滿意．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求滿意等式的正整數(shù)的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先利用數(shù)列的遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式；（2）先求出，再利用裂項相消法求出數(shù)列的和，解出即可．【詳解】（1）由為數(shù)列的前項和，且滿意．當(dāng)時，，得．當(dāng)時，，得，所以數(shù)列是以2為首項，以為公比的等比數(shù)列，則數(shù)列的通項公式為．（2）由，得由，解得．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的求法，裂項相消法求數(shù)列的和，屬于基礎(chǔ)題．18．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．(1)求證：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C－PB－A的余弦值．【答案】（1）見解析（2）6【解析】(1)由AB是圓的直徑，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.因為BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)過C作CM∥AP，則CM⊥平面ABC.如圖，以點C為坐標(biāo)原點，分別以直線CB、CA、CM為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．在Rt△ABC中，因為AB＝2，AC＝1，所以BC＝3.因為PA＝1，所以A(0,1,0)，B(3，0,0)，P(0,1,1)．故CB＝(3，0,0)，CP＝(0,1,1)．設(shè)平面BCP的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，則n1?不妨令y1＝1，則n1＝(0,1，－1)．因為AP＝(0,0,1)，AB＝(3，－1,0)，設(shè)平面ABP的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，則n2?不妨令x2＝1，則n2＝(1，3，0)．于是cos〈n1，n2〉＝322＝由題圖可推斷二面角為銳角，所以二面角C－PB－A的余弦值為6419．從某市的高一學(xué)生中隨機抽取400名同學(xué)的體重進(jìn)行統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)估計從該市高一學(xué)生中隨機抽取一人，體重超過60kg的概率；(2)假設(shè)該市高一學(xué)生的體重X聽從正態(tài)分布N(57，σ2).①利用(1)的結(jié)論估計該高一某個學(xué)生體重介于54～57kg之間的概率；②從該市高一學(xué)生中隨機抽取3人，記體重介于54～57kg之間的人數(shù)為Y，利用(1)的結(jié)論，求Y的分布列.【答案】（1）.（2）①.②見解析【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應(yīng)區(qū)間概率得體重超過的頻率為后兩個小矩形的面積；（2）①；②因為，依據(jù)二項分布求概率并列分布列.【詳解】(1)這400名學(xué)生中，體重超過的頻率為，由此估計從該市高一學(xué)生中隨機抽取一人，體重超過的概率為.(2)①∵，，∴，∴，∴.即高一某個學(xué)生體重介于54～57kg之間的概率為.②因為該市高一學(xué)生總體很大，所以從該市高一學(xué)生中隨機抽取3人，可以視為獨立重復(fù)試驗，其中體重介于之間的人數(shù)，，.所以的分布列為【點睛】本題考查正態(tài)分布，二項分布，意在考查分析問題和解決問題的實力，對于此類考題，要留意仔細(xì)審題，從數(shù)學(xué)與實際生活兩個角度來理解問題的實質(zhì),將問題勝利轉(zhuǎn)化為古典概型，獨立事務(wù)、互斥事務(wù)等概率模型求解，因此對概率型應(yīng)用性問題，理解是基礎(chǔ)，轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵.20．已知動圓過點且和直線：相切．（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知點，若過點的直線與軌跡交于，兩點，求證：直線，的斜率之和為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）由拋物線的定義知，點的軌跡為拋物線，由此能求出動圓圓心的軌跡方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達(dá)定理、斜率公式，即可證明結(jié)論．【詳解】由題意得：圓心到點的距離等于它到直線的距離，圓心的軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)圓心的軌跡方程為（），∵，∴．∴圓心P的軌跡方程為：；（2）證明：設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與拋物線可得，∴，，∴，即直線，的斜率之和為定值．【點睛】本題考查軌跡方程的求法以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，求軌跡方程常用的方法有干脆法、相關(guān)點法等，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常用代數(shù)法，屬于常考題.21．已知函數(shù)f(x)=x2+(x2-3x)lnx（1）求函數(shù)f(x)在x=e處的切線方程（2）對隨意的x)都存在正實數(shù)a，使得方程f(x)=a至少有2個實根,求a的最小值【答案】（1）(5e-6)x-y-3e2+3e=0（2）1【解析】分析：（1）求出,由的值可得切點坐標(biāo)，由的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線在點處的切線方程；（2）首先可得是方程的根，只需方程另外至少一個根即可，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖象，可得函數(shù)的極值與最值，從而可得的最大值.詳解：(1)f/(x)=3x-3+(2x-3)lnxk=f/(e)=5e-6切點為：(e,2-3e)切線方程為：y-2+3e=(5e-6)(x-e)(5e-6)x-y-3+3e=0（2）令f/(x)=0即3x-3+(2x-3)lnx=0明顯x=1是方程的根而f(x)=2lnx易知f(x)在（0，）上遞增，簡潔驗證f()=3-3ef(1),存在x1使得f(x1)=0所以當(dāng)x1)時，f(x)，f/(x)遞減，當(dāng)x1，時，f(x)，f(x)遞增且f(x1)(1)=0，又f()=，故存在x2x1)使得f(x2)=0，列出下表：x(0,x2)x2(x2,1)1(1,)f/(x)+0-0+f(x)增極大值減微小值增所以f(x)在x=x2處取極大值；在處取得微小值.因f(1)=1；x0時f(x)作出f(x)的示意圖可知：a的最小值為1點睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點出的切線斜率（當(dāng)曲線在處的