山東省青島第十九中學2023-2024學年高一下學期期中數(shù)學試題（解析版）

青島十九中2023-2024學年度第二學期期中模塊檢測高一數(shù)學試題2024.05說明：1.本試卷分第I卷和第II卷.滿分150分.答題時間120分鐘.2.請將第I卷題目的答案選出后用2B鉛筆涂在答題紙對應題目的代號上；第II卷用黑色簽字筆將正確答案寫在答題紙對應的位置上，答在試卷上作廢.第I卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題（共8題，每小題5分）1.（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由相反向量和向量加法的運算規(guī)則計算.【詳解】.故選：A2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用誘導公式及和角的余弦公式計算即得.【詳解】.故選：B3.中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，，則B的大小為（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理可得,由于,，所以或,故選：D4.若，則（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】通過“1”的替換，齊次化，然后得到關(guān)于的方程，解方程即可【詳解】,解得故選：C5.如圖，在中，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故選：C.6.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，則△ABC的形狀為（）A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】用正弦定理化邊為角，再由誘導公式和兩角和的正弦公式化簡變形可得．【詳解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故選：D.【點睛】本題考查正弦定理，考查三角形形狀的判斷．解題關(guān)鍵是誘導公式的應用．7.已知是函數(shù)一個周期內(nèi)的圖象上的四個點，如圖所示，為軸上的點，為圖象上的最低點，為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，與關(guān)于點對稱，在軸上的投影為，則的值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用最值求出,利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點求出.【詳解】如圖所示，為軸上的點，為圖象上的最低點，為該函數(shù)圖象的一個對稱中心，與關(guān)于點對稱，在軸上的投影為根據(jù)對稱性得出，最大值點的橫坐標為，，，，則，，.故選：C.8.如圖，在中，，，為邊AB的中點，線段AC與DE交于點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助幾何性質(zhì)可得，借助余弦定理可得，再借助余弦定理的推論即可得解.【詳解】因為，，所以等邊三角形，所以，因為，所以，所以，設，則，在中，由余弦定理可得，所以．故選：C.二、多項選擇題（共3題，每小題6分）9.已知復數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.對應的點位于第二象限 B.的虛部為C. D.【答案】BCD【解析】【分析】求得對應的點所在象限判斷選項A；求得的虛部判斷選項B；求得的值判斷選項C；求得的值判斷選項D.【詳解】，則選項A：對應的點為，位于第一象限.判斷錯誤；選項B：的虛部為.判斷正確；選項C：.判斷正確；選項D：.判斷正確.故選：BCD10.已知是夾角為的單位向量，且，則下列選項正確的是（）A. B.C.與的夾角為 D.在方向上的投影向量為【答案】ACD【解析】【分析】對A：借助向量模長與數(shù)量積的關(guān)系計算即可得；對B：借助數(shù)量積公式計算即可得；對C：借助向量夾角公式計算即可得；對D：借助投影向量的定義計算即可得.【詳解】對A：，故A正確；對B：，故B錯誤；對C：，故，即，故C正確；對D：，故D正確.故選：ACD.11.已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】借助輔助角公式可將函數(shù)化為正弦型函數(shù)，借助正弦型函數(shù)的單調(diào)性即可得的范圍.【詳解】，當，由，則，則有，，解得，，即，，有，，即，即或，當時，有，時，有，故的取值可能在或.故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題（共3題，每小題5分）12.已知平面向量，若，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算和垂直判定進行計算即可.【詳解】因為，所以，解得．故答案為：.13.已知，是不共線的向量，且，，，若、、三點共線，則______.【答案】【解析】分析】根據(jù)向量共線即可求解.【詳解】由，可得,由于,,三點共線，則,故，解得，故答案為：14.在中，，O是的外心，，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由正弦定理求出，余弦定理結(jié)合重要不等式解得，再由數(shù)量積的定義得，可求的取值范圍【詳解】在中，外接圓半徑，由正弦定理得，所以．由余弦定理，解得，當且僅當時等號成立，所以，即的取值范圍為．故答案為：.四、解答題（共5小題，應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15.平面內(nèi)給定三個向量，，．（1）求滿足的實數(shù)m，n．（2）若滿足，且，求的坐標．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由向量的坐標運算列方程組，解出即可；（2）設，由向量共線的坐標表示和模長計算解出即可.【小問1詳解】由題意可得，解得【小問2詳解】設，由題意可得，因為，則，①又，所以，②由①②解得或，所以的坐標為或.16.已知復平面內(nèi)表示復數(shù)（）的點為.（1）若點在函數(shù)圖像上，求實數(shù)的值；（2）若為坐標原點，點，且與的夾角為鈍角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）由復數(shù)的幾何意義求出點，再代入直線方程解出即可；（2）由向量的夾角為鈍角時數(shù)量積小于零且除去共線反向的情況解出即可.【小問1詳解】因為點在函數(shù)圖像上，所以，解得.【小問2詳解】，，因為與的夾角為鈍角，所以，所以，即，即，當兩向量共線且反向時，設，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.17.已知，，，（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的范圍，利用同角三角函數(shù)可求得，從而構(gòu)造，利用兩角和差正弦公式求解得到結(jié)果；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)求出；根據(jù)兩角和的正切公式求得結(jié)果.【詳解】（1），，.（2），則由（1）可知，，，，18.已知函數(shù)，x∈R（1）求函數(shù)的對稱中心與對稱軸；（2）當時，求函數(shù)的最值；（3）當時，求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）對稱軸為，，對稱中心為，（2）最大值為1，最小值為（3）和【解析】【分析】（1）用兩角和的正弦公式、二倍角公式、降冪公式及輔助角公式化簡為，再用整體的思想求解函數(shù)的對稱中心與對稱軸;（2）先求的范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值；（3）先求再的上的單調(diào)遞區(qū)間，再取與區(qū)間上的交集部分即可.【小問1詳解】∵，令，解得，所以對稱軸為；令，解得，所以對稱中心為.【小問2詳解】∵，∴，∴，所以的最大值1，最小值.【小問3詳解】由（1）得，令，得，又因為，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和.19.如圖，圓的半徑為3，其中為圓上的兩點.（1）若，當為何值時，與垂直？（2）若為的重心，直線過點交邊于點，交邊于點，且.證明：為定值；（3）若的最小值為1，求的值.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理可得，再由向量垂直和數(shù)量積的關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）由向量的線性運算和共線的條件得到，即可證明；（3）由向量的數(shù)量積的定義得到，再由模長的計算得到