數(shù)林外傳系列典藏版16直線形（待校對）

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯內(nèi)容簡介本書共分平面上點(diǎn)和直線的相關(guān)位置、三角形、四邊形、合同變換、相似形和相似變換六個部分，較系統(tǒng)地推薦了有關(guān)直線形的性質(zhì)以及平面圖形中兩種初等變換的知識.為了便于讀者閱讀，文字講述比較詳細(xì)，內(nèi)容由淺入深，由易到難，循序漸進(jìn)，習(xí)題、總復(fù)習(xí)題附有答案或須要的提醒.本書主要供中學(xué)生學(xué)習(xí)使用，也可供中學(xué)數(shù)學(xué)教師參考.第1章平面上點(diǎn)和直線的相關(guān)位置1.1幾何論證的根據(jù)幾何學(xué)的邏輯性異常顯然,每碰到一個新的概念,都要給出它的定義;每證實(shí)一個新的定理,都要說明它的理由.但追溯上去,一定有一些概念是不能再下定義的,一定有一些理由是不能再去證實(shí)的,這就是說,必須有一組公理體系作為幾何論證的根據(jù).古希臘的歐幾里得(Euclid,約公元前330一公元前275)早已注重到這個問題,但是他提出的公理體系不夠殘破.現(xiàn)代公理體系是德國的希爾伯特(Hilbert,1862-1943)奠定的.在希爾伯特的公理體系中,點(diǎn)、直線、平面是沒有定義的;點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在平面上、一點(diǎn)介于另兩點(diǎn)之間、兩線段相等和兩角相等也是沒有定義的.希爾伯特關(guān)于線段的定義也和普通書籍略有不同.他把線段AB定義為一對點(diǎn)A和B,不過介于A和B之間的點(diǎn)依然叫做線段AB上的點(diǎn).希爾伯特關(guān)于射線的定義是:直線a上,點(diǎn)O的同側(cè)的點(diǎn)的全體,叫做從點(diǎn)O起的一條射線.不過他對于“同側(cè)”一詞是先給出了定義的,而普通書籍上則省略掉了.希爾伯特提出了五類共計20條公理.I結(jié)合公理公理I1通過不同兩點(diǎn)的直線必存在公理I2通過不同兩點(diǎn)的直線至多有一條公理I3在每向來線上至少有兩點(diǎn),至少有三點(diǎn)不同在線上.公理I4通過不同在向來線上的三點(diǎn)的平面必存在.在每一平面上至少有一點(diǎn)公理I5通過不同在向來線上的三點(diǎn)的平面至多有一個公理I6若向來線有不同的兩點(diǎn)在某平面上,則該直線全在這平面上.公理I7若兩平面有一公共點(diǎn),則它們至少還有另一公共點(diǎn)公理I8至少有四點(diǎn)不在同一平面上II順序公理公理I1若點(diǎn)B介于A、C兩點(diǎn)之間,則A、B、C是向來線上的三個不同的點(diǎn)公理I2對于任何不同的A、B兩點(diǎn),在直線AB上至少有一點(diǎn)C,使得B介于公理II3在向來線上任何不同的三點(diǎn)中,至多有一點(diǎn)介于其余兩點(diǎn)之間公理I4(帕施(Pasch)公理)設(shè)A、B、C是不同在向來線上的三點(diǎn),a是平面ABC上的向來線,它不通過A、B、C中任何一點(diǎn).若a有一點(diǎn)介于A、III合同公理公理II1設(shè)AB是給定的線段,A'X'是自點(diǎn)A'發(fā)出的一條射線,則A'X'上必有一點(diǎn)B',公理II2倘若線段A'B'=AB,公理II3設(shè)點(diǎn)B介于A、C兩點(diǎn)之間,點(diǎn)B'介于A'、C'兩點(diǎn)之間,若線段公理II4設(shè)∠XOY是給定的一個非平角的角,O'X'是自點(diǎn)O'發(fā)出的一條射線,λ'是自O(shè)'X'所在直線伸出的一個半平面,則在λ'上必有且僅有一條自點(diǎn)O'發(fā)出的射線O公理III5設(shè)A、B、C是不在同向來線上的三點(diǎn),A'、B'、C'也是不在同向來N平行公理公理N通過不在已知直線上的一點(diǎn)至多可引一條直線與已知直線平行.V延續(xù)公理公理V1(阿基米德(Archimedes)公理)設(shè)AB和CD是兩條給定的線段,且AB>CD,則必然存在一個正整數(shù)m,公理V2(康托爾(Cantor)公理)設(shè)在直線a上給定無限多條線段AiBi(i=1,2,3,?),其中線段Ai+1Bi+1的點(diǎn)全屬于AiBi.倘若給定無論怎樣小的線段PQ,在這一系列線段A按照希爾伯特所奠定的這一組公理體系,就可以推出下面的一(1)希爾伯特的最后一條公理與此不同,他把它叫做完備公理,但是完備公理的內(nèi)容太抽象,后人都改用與它等效的康托爾公理來代替.些定理:定理1.1直線上隨意兩點(diǎn)之間至少還有一點(diǎn)存在.定理1.2兩條不同直線至多有一個公共點(diǎn).定理1.3一條線段必有且僅有一個中點(diǎn).定理1.4一個角必有且僅有一條角平分線.定理1.5倘若A、B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè),則線段AB和直線l由此繼續(xù)推導(dǎo)下去,就可以得到幾何學(xué)的所有定理,但是推導(dǎo)過程異常繁冗.怎樣推導(dǎo)是“幾何基礎(chǔ)”這一門學(xué)科的任務(wù),不在本書的范圍.值得注重的是:希爾伯特沒有把“圖形可以移動到任何位置而不改變其形狀和大小”作為一條公理,而普通幾何書籍則把這個命題作為公理來用,有的書籍把這個命題叫做“運(yùn)動公理”.因?yàn)楣鞩I1已保證線段可以移置,公理II4已保證角可以移置,所以圖形的移置依然1.2平面上點(diǎn)、直線的位置關(guān)系平面上兩點(diǎn)的位置關(guān)系惟獨(dú)兩種:重合和不重合(不同).平面上點(diǎn)和直線的位置關(guān)系也惟獨(dú)兩種:點(diǎn)在直線上和點(diǎn)不在直線上(點(diǎn)在直線外).平面上兩直線的關(guān)系有三種:(1)兩直線沒有公共點(diǎn),這時我們說兩直線平行;(2)兩直線有一個公共點(diǎn),這時我們說兩直線相交;(3)兩直線有兩個公共點(diǎn),這時,按照公理I2,這兩直線就成為一條直線,因而有無窮多個公共點(diǎn),我們就說這兩直線重合1.3距離和角為了研究點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與直線、直線與直線的位置關(guān)系的進(jìn)一步劃分,現(xiàn)引入距離和角的概念1.距離設(shè)Ai是圖形FA的點(diǎn),Bi是圖形FB的點(diǎn),那么圖形FA和圖形由此可以知道,兩點(diǎn)間的距離就是銜接這兩點(diǎn)的線段.2. 角從一點(diǎn)O引出兩條射線OA、OB,這樣得到的圖形叫做角,OA和OB叫做角的邊.或者說,一條射線繞著它的端點(diǎn)O由初始位置OA旋轉(zhuǎn)到終止位置OB,這樣得到的圖形叫做角,OA叫做角的始邊,OB倘若一個角的終邊和始邊重合,那么這個角叫做周角;倘若一個角的始邊和終邊在向來線上,且方向相反,那么這個角叫做平角.倘若兩個角有公共的頂點(diǎn)和一條邊,并且它們位于公共邊的兩側(cè),那么這兩個角叫做鄰角.倘若兩個角有一邊公共,而它們的另一邊互為反向延伸線,那么這兩個角互為鄰補(bǔ)角;倘若兩個角的兩邊都互為反向延伸線,那么這兩個角互為對頂角.倘若一個角等于它的鄰補(bǔ)角,那么這個角叫做直角.小于直角的角叫做銳角,大于直角而小于平角的角叫做鈍角.倘若兩個角的和等于一個平角,那么這兩個角互為補(bǔ)角;倘若兩個角的和等于一個直角,那么這兩個角互為余角.習(xí)慣上,將一個周角記為360°,1°分為60',1'分為60''.因此平角是1.4兩相交直線1.兩相交直線的性質(zhì)兩條直線AB和CD相交于點(diǎn)O,就形成了兩組對頂角(圖1.1).因?yàn)橥堑泥徰a(bǔ)角相等,所以∠AOC=∠BOD定理1.6對頂角相等.2.垂線(1)垂線的定義兩條直線相交,所成四個角中如有一個是直角,則另外三個角也都是直角.這時,我們就說這兩條直線互相垂直,交點(diǎn)叫做垂直足或垂足(圖1.2).垂直用符號““”表示,直線AB和CD垂直記為AB⊥CD倘若一條線段的垂線通過該線段的中點(diǎn),那么這條直線就叫做該線段的垂直平分線.圖1.1圖1.2倘若相交的兩條直線不互相垂直,那么其中的一條直線就叫做另一條的斜線,交點(diǎn)叫做斜線足或斜足.（2）垂線的性質(zhì)定理1.7過一點(diǎn)必有且僅有一條垂線垂直于已知直線.證實(shí)下面分兩種情形來研究:(1)點(diǎn)在直線上.設(shè)O為直線AB上的一點(diǎn),則點(diǎn)O將直線AB分成兩條射線,從而構(gòu)成一個平角∠AOB.設(shè)∠AOB的平分線是OD,那么OD為AB的垂線(因?yàn)橐粋€角必有且惟獨(dú)一條平分線,所以過點(diǎn)O必有且惟獨(dú)一條直線和AB垂直.(2)點(diǎn)在直線外.設(shè)M為直線AB外的一點(diǎn),由公理I3知,AB上至少有兩點(diǎn),設(shè)其一為D.由公理I4知,必有一條射線DN存在,它和DM在AB的兩側(cè),并且∠BDM=∠BDN.由公理III1知,射線DN上必有一點(diǎn)M'存在,使DM=DM'.圖1.3點(diǎn)C.再由公理II5知,因?yàn)镈M=DM',DC=DC,∠CDM=∠CDM'第二,設(shè)E為直線AB上除C以外的任一點(diǎn),由定理1.2可知,E不是直線MM'和直線AB的交點(diǎn),所以EM和EM'不互為反向延伸線,因此∠BEM與∠BEM'不互為鄰補(bǔ)角,這個定理也可以通過將平面繞AB翻轉(zhuǎn)180°來證實(shí),請讀者自行研究1.5三線八角兩條直線AB、CD都和第三條直線EF相交,構(gòu)成8個角(圖1.4中用數(shù)字表示).依照這些角的位置關(guān)系,圖1.4∠1和∠5(同在左上方)、∠2和∠6(同在右上方)、∠3和∠7(同在左下方)、∠4和∠8(同在右下方)叫做同位角.∠3和∠6(同在內(nèi)部,一在左下方,另一在右上方)、∠4和∠5(同在內(nèi)部,一在右下方,另一在左上方)叫做內(nèi)錯角.∠3和∠5(同在左方內(nèi)部)、∠4和∠6(同在右方內(nèi)部)叫做同旁內(nèi)角.∠1和∠7(同在左方外部)、∠2和∠8(同在右方外部)叫做同旁外角.∠1和∠8(同在外部,一在左上方,另一在右下方)、∠2和∠7(同在外部,一在右上方,另一在左下方)叫做外錯角.有了三線八角的概念,就可以研究在什么條件下兩條直線平行,在什么條件下兩條直線相交了.1.6兩平行直線1.平行線定理1.8在同一平面上,垂直于同向來線的兩條直線平行.證實(shí)倘若AB和CD不平行,設(shè)它們相交于一點(diǎn)P,那么PA⊥MN,PC⊥MN（圖1.5）.這樣過點(diǎn)P就有兩條直線和MN垂直,這與過直線外一點(diǎn)只能有一條直線和已知直線垂直相矛盾圖1.5能相交.這就是說,必有AB//2.平行線的唯一性公理IV指出,過已知直線外一點(diǎn)至多有一條直線與已知直線平行.這是英國數(shù)學(xué)家普萊費(fèi)爾(Playfair,1748-1819)首先提出來代替歐幾里得的第五公設(shè)的.歐幾里得的《幾何原本》的第五公設(shè)是:倘若兩條直線和第三條直線相交,并且某一側(cè)的一對同旁內(nèi)角的和小于兩直角,這兩條直線一定在這一側(cè)相交.后來許多數(shù)學(xué)家曾經(jīng)企圖用其他公理來證實(shí)這個命題,這種企圖延續(xù)了兩千年以上,但都沒有勝利.直到19世紀(jì)初期,才由俄國的羅巴切夫斯基(Лобачевский,1792-1856)、匈牙利的波爾約(Bolyai,1802-1860)和德國的高斯(Gauss,1777-1855)各自自立發(fā)現(xiàn):這個命題不能由其他公理推導(dǎo)出來.但是高斯一直沒有敢公布他的發(fā)現(xiàn),而羅巴切夫斯基和波爾約則先后于1829年和1832年發(fā)表了他們的結(jié)果,創(chuàng)立了一種新的幾何學(xué).因?yàn)檫@種幾何學(xué)不同于歐幾里得的幾何學(xué),所以習(xí)慣上叫做非歐幾何學(xué).后來,高斯的學(xué)生黎曼(Riemann,1826-1866)于1854年又創(chuàng)立了一種非歐幾何學(xué).德國數(shù)學(xué)家克萊因(Klein,1849-1925)把羅巴切夫斯基和波爾約創(chuàng)立的幾何學(xué)叫做雙曲線幾何學(xué),把黎曼創(chuàng)立的幾何學(xué)叫做橢圓幾何學(xué),而把歐幾里得的幾何學(xué)叫做拋物線幾何學(xué).3.平行線的判定定理定理1.9兩條直線都和第三條直線相交,若內(nèi)錯角相等,則兩直線平行.圖1.6證實(shí)如圖1.6所示,設(shè)直線l1和l2與直線l分離相交于A、B,且內(nèi)錯角∠1=∠2.取線段AB的中點(diǎn)O,過點(diǎn)O作l1的垂線OD,交l1于D,交l2于E.將圖形OAD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°放置到圖形OBE上,因?yàn)椤?=∠2,所以射線AD和射線BE重合.又因?yàn)椤螦OD=∠BOE,所以射線OD和射線OE重合.因此點(diǎn)D和點(diǎn)E重合.這樣,∠ADO和∠BEO徹低重合.因?yàn)椤螦DO=90°,因此∠BEO推論1兩條直線都和第三條直線相交,若同位角相等(或外錯角相等),則兩直線平行.推論2兩條直線都和第三條直線相交,若同旁內(nèi)角(或同旁外角)互補(bǔ),則兩直線平行.這個定理與平行公理無關(guān).這個定理不用旋轉(zhuǎn)的主意(不用運(yùn)動公理)也可以證實(shí),只需先證實(shí)“三角形的外角大于它的不相鄰的內(nèi)角”.因?yàn)樘热鬺1和l2相交,那么就和AB形成三角形,這時∠1和∠2必有一個是三角形的內(nèi)角,另一個是不相鄰的外角,因此不是∠1>∠2,就是∠2>∠1,4.平行線的性質(zhì)定理定理1.10倘若兩條平行直線被第三條直線所截,那么:（1）內(nèi)錯角相等;（2）外錯角相等;(3)同位角相等;（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ);（5）同旁外角互補(bǔ).證實(shí)(1)設(shè)直線AB//CD,并與直線EF分離交于G、H(圖1.7).倘若內(nèi)錯角∠AGH≠∠GHD,可設(shè)∠AGH>∠GHD,那么由公理III4知,過點(diǎn)G必有一條直線KL,能使∠KGH=∠GHD.圖1.7平行公理矛盾.所以∠AGH(2)-(5)同理可證.推論1垂直于兩平行直線中的一條的直線必垂直于另一條.推論2平行于同一條直線的兩條直線平行.平行線的性質(zhì)定理是由平行公理推導(dǎo)而得到的.在雙曲線幾何里,平行線就沒有這些性質(zhì);而在橢圓幾何里,平行線根本不存在.1.7平面上三直線的位置關(guān)系1.兩直線相交的判定定理1.11倘若兩條直線都和第三條直線相交,并且一對同旁內(nèi)角的和小于兩直角,則這兩條直線相交.圖1.8證實(shí)設(shè)直線EF與直線AB、CD分離交于G、H(圖1.8),且∠BGH+∠DHG<180°.因?yàn)椤螧GH+∠DHG<180°,∠DHG+∠CHG=180°,所以∠BGH<∠CHG.以H為頂點(diǎn),HG為邊在∠這一命題是歐幾里得第五公設(shè),它是平行公理的等價命題。推論1兩條直線與第三條直線相交,若內(nèi)錯角不等,或同位角不等,則兩直線相交.推論2倘若一條直線和兩條平行線中的一條相交,則必然也和另一條相交.2.平面上三直線的位置關(guān)系按照以上研究,我們得到三直線的位置關(guān)系有以下四種情形(圖1.9):(1)三直線共點(diǎn);(1)(2)(3)(4)圖1.9(2)三直線兩兩平行;(3)向來線與兩平行直線分離相交;(4)三直線兩兩相交.1.8對應(yīng)邊互相平行或直的兩角定理1.12倘若兩個角的對應(yīng)邊互相平行:(1)若平行方向都相同或都相反,則這兩個角相等;(2)若一組邊平行方向相同,另一組邊平行方向相反,則這兩個角互補(bǔ).證實(shí)(1)如圖1.10所示,設(shè)在∠AOB與∠CO'D中,OA//O'C,OB//O'D,且平行方向相同.由定理1.11的推論知,直線DO圖1.10(2)設(shè)在∠AOB與∠DO'E中,OA//EO',OB//O'D定理1.13倘若兩個角的對應(yīng)邊互相垂直,并且從同一旋轉(zhuǎn)方向(例如從逆時針方向)來說:(1)第一個角的始邊垂直于第二個角的始邊,第一個角的終邊垂直于第二個角的終邊,那么這兩個角相等;(2)第一個角的始邊垂直于第二個角的終邊,第一個角的終邊垂直于第二個角的始邊,那么這兩個角互補(bǔ).圖1.11證實(shí)(1)設(shè)∠AOB與∠CO'D的旋轉(zhuǎn)方向相同,OA⊥O'C,OB⊥O'D(圖1.11).過O'作O'A'//OA,(2)設(shè)∠BOE與∠CO'D的旋轉(zhuǎn)方向相同,而OB⊥O'D,OE⊥O'C,則習(xí)題11. 如圖,M為線段AB的中點(diǎn),C為線段AB上的一點(diǎn),求證:CM=第1題圖2. 如圖,M為線段AB的中點(diǎn),C為AB延伸線上的一點(diǎn),求證:CM=第2題圖3. 如圖,OM為∠AOB的平分線,射線OC在∠AOB內(nèi),求證:4. 證實(shí):對頂角的平分線互為反向延伸線.5. 證實(shí):鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直.6. 如圖,直線l和兩條平行線AB、CD分離相交于E、F,∠CFE和∠第3題圖第6題圖7.如圖,已知AB//CD,∠D第7題圖第8題圖8.如圖,已知AB//CD,∠9.如圖,已知AD//BC,AD平分∠EAC第9題圖第10題圖10.如圖,在△ABC中,BE為∠B的平分線,CF為∠C的平分線,求證:BE與CF11. 如圖,已知AC⊥BC,CD⊥第11題圖第2章三角形2.1三角形及其有關(guān)概念三角形是常常碰到的一種圖形,無數(shù)幾何問題都可以化為有關(guān)三角形的問題.三角形常用表示它的三個頂點(diǎn)的字母來表示,記為△ABC.每個三角形有三條邊BC、CA、AB和三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C,稱為三角形的元素.偶爾也用小寫字母a、b、c分離表示△ABC的三條邊BC、CA、AB.∠A、∠B、∠C分離叫做邊1.三角形的分類按照各邊的相等與不等的關(guān)系,三角形可以分為兩類:三邊都不等的叫做不等邊三角形(圖2.1);三邊中至少有兩邊相等的叫做等腰三角形(圖2.2).在等腰三角形中,相等的兩邊叫做腰,另一邊叫做底,底所對的角叫做頂角.底和腰相等的等腰三角形(圖2.2圖2.1圖2.2右)叫做等邊三角形或正三角形.按照角的大小,三角形可以分為三類:三個角都是銳角的叫做銳角三角形;有一個角是直角的叫做直角三角形;有一個角是鈍角的叫做鈍角三角形.在直角三角形中,直角的兩條邊叫做直角邊,直角的對邊叫做斜邊.2.三角形中主要的線三角形一個角的平分線和對邊相交,角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線.銜接三角形一個頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.從三角形的一個頂點(diǎn)向它的對邊或?qū)叺难由炀€引垂線,頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高(三角形的高偶爾也指它所在的直線).每一個三角形都有三條角平分線、三條中線和三條高.三角形的角平分線、中線都在三角形的內(nèi)部.銳角三角形的三條高都在形內(nèi).直角三角形斜邊上的高在形內(nèi),而兩直角邊中任何一條直角邊上的高就是另一條直角邊.鈍角三角形鈍角對邊上的高在形內(nèi),另兩條邊上的高在形外(圖2.3).圖2.3另外,通過三角形每一條邊的中點(diǎn)而垂直于這條邊的直線叫做這條邊的垂直平分線或中垂線.2.2三角形的全等1.全等三角形倘若一個三角形的六個元素和另一個三角形的六個元素對應(yīng)相等,我們就說這兩個三角形全等.全等用“氣”符號表示.推論全等三角形的對應(yīng)元素相等.2.全等三角形的判定定理定理2.1(三角形全等的判定定理I)倘若兩個三角形中有兩邊和它們所夾的角對應(yīng)相等,則這兩個三角形全等(應(yīng)用本定理時,簡記為SAS).證實(shí)在△ABC與△DEF中,設(shè)AB=DE,AC=DF,∠BAC=∠EDF(圖明BC=假設(shè)BC≠EF,由公理I1知在射線BC上必有一點(diǎn)G,使BG=EF.在△ABG與△DEF中,有AB=DE,BG=EF,∠ABG=∠DEF,再由公理II5知,應(yīng)有∠BAG定理2.2(三角形全等的判定定理II)倘若兩個三角形中有兩個角和它們所夾的邊對應(yīng)相等,則這兩個三角形全等(應(yīng)用本定理時,簡記為ASA)：圖2.5證實(shí)在△ABC與△DEF中,設(shè)∠ABC=∠DEF,∠假設(shè)AB≠DE,由公理II1知,在射線BA上必有一點(diǎn)H,使HB=DE.在△HBC與△DEF中,有HB=DE,BC=EF,∠HBC=∠DEF,由公理II5知∠HCB=∠DFE.以上兩個定理在普通課本上都是用“疊合法”來證實(shí)的.本書的證法充足說明希爾伯特的公理體系是可以避免圖形的運(yùn)動的.定理2.3(三角形全等的判定定理III)倘若兩個三角形中有三邊對應(yīng)相等,則這兩個三角形全等(應(yīng)用本定理時,簡記為SSS).證實(shí)在△ABC與△DEF中,設(shè)AB=DE,BC=EF,CA=FD,并設(shè)BC和EF是最大邊.由公理III4知,必有射線BL圖2.6知,BL上必有一點(diǎn)K,使KB=DE.連KC,則△KBC?△DEF(SAS),所以KC=DF.連AK(圖2.6),將△BAK先看做△BAK再看做△BKA,那么在這兩個三角形中,AB=DE=KB,KB=這個證法相傳是古希臘數(shù)學(xué)家斐羅(Philo)所創(chuàng).例1在△ABC中,AB=AC,在AB和AC的延伸線上取BF證實(shí)在△ABG和△ACF中,AB=AC,AG=AF,∠BAG=∠CAF,由定理2.1知△ABG?△ACF歐幾里得在他的《幾何原本》中證實(shí)了三圖2.7角形全等的判定定理I之后,就是用本例的主意來證實(shí)“等腰三角形底角相等”這個定理的.他在證實(shí)△BFC?△CGB之后,先證實(shí)∠CBF=∠BCG,再例2已知AB?CD,AD與BC交于O,過點(diǎn)O的直線分離交AB和CD于E和F證實(shí)因?yàn)锳B//CD,所以∠A=∠D,∠B=∠C.又因?yàn)锳B圖2.8△ODF中,∠A=∠D,∠例3AA'、B證實(shí)在△AOB與△A'OB'中,OA=OA',OB=注重欲證兩線段相等或兩角相等,最常用的主意就是證實(shí)它們是全等三角形的對應(yīng)元素.圖2.9習(xí)題21. 如圖,BD是△ABC的中線,延伸BD至E,使DE=2. 如圖,過△ABC的頂點(diǎn)A作AF⊥AB并使AF=AB,又作AH3. 如圖,BE、CF是△ABC的高,在射線BE上截取BP=AC,在射線CF4. 如圖,在△ABC中,BD、CE分離為AC、AB上的中線,分離延伸BD、CE第1題圖第3題圖第2題圖第4題圖5.如圖,在∠A的兩邊上分離取AB=AC,又取BD=CE,BE6. 如圖,△PAB和△QAB在AB的同側(cè),且∠1=∠2,∠3=∠4,連PQ,求證:第5題圖第6題圖2.3三角形中邊角之間的關(guān)系1.同一三角形中各角的關(guān)系定理2.4三角形的外角大于和它不相鄰的內(nèi)角.證實(shí)設(shè)在△ABC中,∠ACB的外角是∠ACD,要證實(shí)∠ACD首先,設(shè)∠ACD=∠BAC,則在射線BC上必有一點(diǎn)D,使CD=AB.連AD(圖2.10),則因?yàn)镃D=AB,CA=AC,∠DCA=∠BAC,由公理II5,知∠CAD=∠ACB.所以∠圖2.10第二,設(shè)∠ACD<∠BAC,則由公理II4知,必有射線AE,使∠EAC=∠ACD,并且AE與AB在AC的同側(cè).因?yàn)椤螦CD<∠BAC,所以∠EAC<∠BAC,因此AE在∠BAC的內(nèi)部.設(shè)AE交所以∠ACD>∠BAC.同理,∠ACD>∠定理2.5三角形的三個內(nèi)角之和等于180°證實(shí)從隨意一點(diǎn)O引出四條射線OA'、OB'、OC'、OA'',設(shè)OA圖2.11倘若將圖2.11右邊的圖形疊合在左邊的圖形上,使點(diǎn)O落在點(diǎn)C上,OA'和OB'分離落在CB和CA上,就可以得到《幾何原本》中的證法;倘若將圖2.11右邊的圖形倒過來再疊合在左邊的圖形上,使點(diǎn)O落在點(diǎn)A上,OC'和O這個定理是平行公理的直接結(jié)果.推論1三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角之和.推論2倘若兩個三角形中有兩對角相等,那么它們的第三對角也相等.推論3一個三角形最多有一個直角.推論4一個三角形最多有一個鈍角。由本定理很容易推得下列定理：定理2.6(三角形全等的判定定理N)倘若兩個三角形中有兩個角和其中一角所對的邊對應(yīng)相等,則這兩個三角形全等(應(yīng)用本定理時,簡記為AAS或SAA).這個定理的證實(shí)留給讀者.2.同一三角形中邊與角之間的關(guān)系定理2.7在同一三角形中,倘若兩邊相等,則它們所對的角也相等;倘若兩邊不等,則它們所對的角也不等,并且大邊所對的角較大.證實(shí)先設(shè)在△ABC中,AB=AC(圖2.12).將這個三角形先看做△ABC再看做△ACB,則因AB圖2.12圖2.13再設(shè)在△ABC中,AB>AC(圖2.13).則由公理III1知,在AB上必有一點(diǎn)D,使AD=AC,連CD.由本定理第一部分的證實(shí),得∠ACD定理2.8在同一三角形中,倘若兩角相等,則它們所對的邊也相等;倘若兩角不等,則它們所對的邊也不等,并且大角所對的邊較大.證實(shí)先設(shè)在△ABC中,∠B=∠C,則AB不能大于AC.因?yàn)樘热鬉B>AC,由定理2.7,應(yīng)有∠C第二,倘若∠B>∠C,用類似的主意,可以證實(shí)AB≠AC注重一個命題倘若將正面、反面各種情況所有包括在內(nèi),則這個命題叫做分?jǐn)嗍矫}.事實(shí)上,分?jǐn)嗍矫}是原命題與否命題合并而成的.所以分?jǐn)嗍矫}的逆命題必然成立,并且一定可以用反證法證實(shí).定理2.7和定理2.8就是分?jǐn)嗍矫}.這類形式的命題以后還將碰到。3.同一三角形中邊與邊之間的關(guān)系定理2.9在三角形中,任何兩邊之和一定大于第三邊;任何兩邊之差一定小于第三邊.證實(shí)設(shè)三角形為ABC,在射線BA上必有一點(diǎn)D,使AD=AC,連CD(圖2.14).由定理2.7,得∠ADC=∠ACD.但∠ACD<∠DCB,所以∠ADC<∠DCB圖2.14同理.另一證法:由定理1.4,得∠BAC必有一條角平分線,設(shè)為AE.則由定理2.4,知∠AEB>∠CAE,即∠AEB>∠BAE.由定理2.8,得AB定理2.10(三角形全等的判定定理V)倘若兩個三角形中有兩邊對應(yīng)相等,并且這兩邊中較大的邊所對的角相等,則這兩個三角形全等.證實(shí)設(shè)在△ABC與△DEF中,E2.15欲證△ABC?△DEF,只需證BC=EF.用反證法:設(shè)BC<EF,則可在EF上取GF=BC,連DG(圖2.15).在△ABC與△DGF中,AC=DF,BC=GF,∠C=∠F,由定理2.1,得△ABC?△2.4.兩雙邊對應(yīng)相等的兩個三角形定理2.11倘若兩個三角形有兩雙邊對應(yīng)相等而夾角不等,則夾角所對的邊也不等,并且夾角大所對的邊也大.證實(shí)設(shè)在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'圖2.16和AB在AC的同側(cè),如圖2.16所示.因?yàn)椤螦>∠A',所以A'B'落在∠BAC的內(nèi)部.設(shè)B'落在△ABC的外面,連BB',則因?yàn)樘热鬊'落在△ABC的里面,如圖2.17所示,連BB'.則證實(shí)∠ABB'=∠圖2.17∠CB'倘若B'落在BC本定理也可以通過作∠BAB'的平分線AD交BC于D,利用定理2.1及定理2.9來證實(shí),但也要考慮B'落在定理2.12倘若兩個三角形有兩雙邊對應(yīng)相等而第三雙邊不等,則第三雙邊所對的角也不等,邊大則所對的角也大.這是定理2.11的逆定理.因?yàn)槎ɡ?.11和定理2.1組成分?jǐn)嗍矫},所以逆定理一定成立.請讀者用反證法自行證實(shí).例1倘若兩個三角形的各邊對應(yīng)平行,則各角對應(yīng)相等.證實(shí)設(shè)在△ABC與△A'B'C'中,BC//B'C',CA//首先,設(shè)∠A+∠A'=第二,設(shè)∠A相加,得∠A+∠B+∠C最后,設(shè)∠A例2設(shè)三角形的一邊不大于另一邊的一半,則其對角小于另一邊對角的一半.圖2.18證實(shí)如圖2.18所示,設(shè)在△ABC中,AB?12AC.延伸CB至D,使BD=AB,連AD.因?yàn)锳B?12AC,所以2AB?AC.由定理2.9,得AD<AB+注重(1)欲作一個角等于三角形內(nèi)角的一半,常反向延伸夾這個內(nèi)角的一邊,使延伸部分等于夾這個內(nèi)角的另一邊,銜接得等腰三角形,則等腰三角形的底角等于原三角形內(nèi)角的一半。（2）欲證兩角不等，常設(shè)法將它們移置到同一三角形中，利用大邊對大角的定理來證實(shí).反之,欲證兩線段不等,也常設(shè)法將它們移置到同一三角形中,利用大角對大邊的定理來證實(shí).例3在三角形中,一邊上的中線小于另兩邊之和的一半.證實(shí)在△ABC中,延伸AD至E,使DE=AD(圖2.19),連BE,則△BDE?△CDA(SAS),所以BE=AC.在△ABE注重（1）欲證兩線段之和大于另兩線段之和時，可設(shè)法作出另兩線段的“和線段”,再設(shè)法移置到同一三角形內(nèi),利用三角形中邊與邊之間的關(guān)系(或邊與角之間的關(guān)系)舉行證實(shí)。（2）已知條件中有中線時，常采用將中線延伸一倍的主意舉行證實(shí)。這在以后浮上平行四邊形時,尤為方便.圖2.19圖2.20例4在△ABC中,AC>AB,AD為∠BAC的平分線,證實(shí)在AC上取AE=AB,連PE.因?yàn)锳B=AE,AP=AP,∠1=∠2此立得PC-注重（1）欲證兩線段之差大于另兩線段之差,可設(shè)法作出另兩線段的“差線段”,再設(shè)法移置到同一三角形內(nèi),利用三角形中邊與邊之間的關(guān)系(或邊與角之間的關(guān)系)舉行證實(shí).（2）已知條件中有角平分線時，常采用以角平分線為軸將圖形所在平面翻轉(zhuǎn)180°的主意舉行證實(shí)例5三角形中倘若有兩個內(nèi)角的平分線相等,則此三角形為等腰三角形.圖2.21證實(shí)如圖2.21所示,設(shè)在△ABC中,BD、CE分離為∠ABC、∠ACB的平分線.將△BEC繞BC翻轉(zhuǎn)180°,設(shè)點(diǎn)E的新位置為F,則△BEC?△BFC.又將△BFC沿著CA向上移動,因FC=CE=BD,故可使FC落在BD上,并設(shè)點(diǎn)B的新位置為G,則△BFC?△GBD,連CG.在△BCG與△DGC中,BC=DG,GC=GC.并且,∠GBC=∠GBD+∠DBC=∠BFC+本題用反證法可稍容易,用直接證法則比較艱難.上面這個證法是德國數(shù)學(xué)家黑塞(Hesse)給出的.原證法中沒有“將△BEC翻轉(zhuǎn)成△BFC”這一步,這里為了閱讀方便,將△BEC先翻轉(zhuǎn)再移置.例6在△ABC中,∠C證實(shí)因?yàn)椤螩>∠B,所以AB>AC.在△圖2.222.12,得∠ADB>∠ADC.在△BDE和△CDE中,BD注重欲證兩線段或兩角不等,而這兩線段或兩角分布在兩個三角形中,且能證實(shí)這兩個三角形有兩雙邊對應(yīng)相等時,常用定理2.11和定理2.12舉行證實(shí).習(xí)題31. D是△ABC內(nèi)隨意一點(diǎn),求證:(1)∠BDC>∠2. 如圖,已知AD=BC,∠第2題圖第3題圖3.如圖,已知OA=OB 34?直線形>∠BOP4. 如圖,在線段BC的同側(cè)作等腰三角形ABC和隨意三角形DBC,且AD//BC,求證:5. 在△ABC中,D是∠BAC的外角平分線上隨意一點(diǎn),求證:6. 設(shè)D為△ABC內(nèi)的一點(diǎn),若AB>AC7. CD為直角三角形ABC的斜邊AB上的高,求證:AB+8. 如圖,在△ABC中,AB=AC,P為△ABC外一點(diǎn),且PB+第4題圖第8題圖2.4等腰三角形和直角三角形1.等腰三角形全等和直角三角形全等的判定定理定理2.13兩個等腰三角形倘若有頂角和一腰對應(yīng)相等,則這兩個等腰三角形全等.定理2.14兩個等腰三角形倘若有頂角和底邊對應(yīng)相等,則這兩個等腰三角形全等.定理2.15兩個等腰三角形倘若有一腰和一底角對應(yīng)相等,則這兩個等腰三角形全等.定理2.16兩個等腰三角形倘若有底邊和一底角對應(yīng)相等,則這兩個等腰三角形全等.定理2.17兩個等腰三角形倘若有一腰和底邊對應(yīng)相等,則這兩個等腰三角形全等.定理2.18兩個直角三角形倘若有兩直角邊對應(yīng)相等,則這兩個直角三角形全等.定理2.19兩個直角三角形倘若有一銳角和向來角邊對應(yīng)相等,則這兩個直角三角形全等.定理2.20兩個直角三角形倘若有斜邊和一銳角對應(yīng)相等,則這兩個直角三角形全等.定理2.21兩個直角三角形倘若有斜邊和向來角邊對應(yīng)相等,則這兩個直角三角形全等.以上這幾個定理都可由三角形全等的判定定理I-V推得,請讀者自行2.等腰三角形的性質(zhì)和判定定理2.22等腰三角形的底角相等.這個定理可以直接用公理III5來證實(shí)證實(shí)設(shè)∠BAC的平分線交BC于D(圖2.23),在△ABD與△ACD中,AB=AC圖2.23推論1等腰三角形頂角的平分線也是底邊上的中線和高,又是底邊的垂直平分線.推論2等邊三角形的各角都相等,并且每個角都等于60°定理2.23倘若一個三角形有兩個角相等,那么這個三角形就是等腰三角形.這是定理2.8的直接結(jié)果.推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形.推論2有一個角是60°推論3倘若三角形的一個角的平分線和它的對邊上的高、對邊上的中線以及對邊的垂直平分線這四線中有任何兩線重合,則這個三角形是等腰三角形.3.直角三角形的性質(zhì)和判定定理2.24直角三角形的兩個銳角互為余角.這是定理2.5的直接結(jié)果.推論等腰直角三角形的兩個銳角都等于45°定理2.25直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.圖2.24證實(shí)設(shè)在△ABC中,∠C=90°,D為斜邊AB的中點(diǎn).在∠ACB內(nèi)部作∠ACD'=∠A,設(shè)CD'與AB交于D'(圖2.24),則AAD=BD=12AB要證實(shí)本定理,也可將CD延伸一倍至E,連AE.先證△ADE?△BDC,再證定理2.26有兩個角互為余角的三角形是直角三角形.這是定理2.5的直接結(jié)果.定理2.27在三角形中,倘若一邊上的中線等于這邊的一半,則這邊所對的角是直角.證實(shí)設(shè)在△ABC中,CD是AB上的中線,CD=AD=BD(圖2.25),則∠定理2.28倘若直角三角形有一個圖2.25銳角為30°,則30圖2.26證實(shí)在△ABC內(nèi)作中線CD(圖2.26),由定理2.25,得CD=AD=BD,所以∠ACD=∠定理2.29在直角三角形中,倘若有一條直角邊等于斜邊的一半,則這條直角邊所對的角等于30°.證實(shí)例1在△ABC中,AB=AC,過BC上的一點(diǎn)圖2.27交AB、AC的延伸線于E、證實(shí)因?yàn)锳B=AC,所以∠B=∠C.在△CFD中,因?yàn)镕D⊥BC,所以∠C+∠AFD注重(1)欲證兩線段相等,而這兩線段在同一三角形中，常通過等角對等邊的關(guān)系舉行證實(shí).（2）欲證兩角相等,如條件中有直角三角形,常利用同角(或等角)的余角相等舉行證實(shí).例2在△ABC中,BD、CE分離為AC、AB上的高,F證實(shí)因BD⊥AC,CE⊥AB,故△BDC和△BEC皆為直角三角形,且BC為公共斜邊.因?yàn)镕為圖2.28畫的是銳角三角形,但本題對于鈍角三角形也成立,請讀者自行畫圖證實(shí).注重（1）欲證兩角相等,而這兩角在同一三角形中，常通過等邊對等角的關(guān)系舉行證實(shí).（2）在條件中有直角三角形時,應(yīng)圖2.28想到直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.例3如圖2.29所示,在△ABC中,AB>AC,∠BAC=90°,AE是∠BAC的平分線,M是斜邊BC證實(shí)因?yàn)锳M為直角△ABC的斜邊BC上的中線,所以MA=MB,因此∠圖2.29∠BAE=∠CAE,所以∠MAB+∠MAE=∠MAC-∠MAE,即∠B+∠MAE=∠C-∠MAE,所以∠MAE=12在本例中,同時也證實(shí)了直角三角形斜邊上的中線和斜邊上的高所夾的角被直角的平分線所平分.例4如圖2.30所示,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,CE⊥AD,交AD于G,交AB于E,EF//BC,交證實(shí)因?yàn)锳D平分∠BAC,AD⊥CE,所以△AEC為等腰三角形,故G為EC的中點(diǎn).在△DEC中,DG為EC上的高,又為EC上的中線,所以△DEC為等腰三角形,因此∠DEC=∠DCE圖2.30注重(1)欲證一三角形為等腰三角形,而條件中又有底邊上的高(或中線),常證實(shí)該邊上的高(或中線)也是該邊上的中線(或高).(2)在已知條件中,如有直線垂直于一角的平分線,應(yīng)想到此直線截角的兩邊所得的三角形為等腰三角形.例5∠E和∠F的兩邊相交于A、B、C、D四點(diǎn),如圖2.31所示,∠ABC證實(shí)設(shè)FG與ED交于M,與EC交于N.因?yàn)椤螦BC+∠D=180°,圖2.31∠ENM=∠FBC+∠2,而∠1=∠2,所以∠EMN=∠ENM圖2.32例6從等腰直角△ABC的直角頂點(diǎn)C向AC邊上的中線BD引垂線CE,延伸后交AB于F,求證:∠證實(shí)作AG⊥AC,延伸CF,與AG交于G.在直角△CAG和△BCD中,因?yàn)镃E⊥BD,CD⊥BC,所以∠DCE=∠CBD;又因?yàn)镃A=BC,所以△CAG?△注重（1）已知條件中有等腰直角三角形時,應(yīng)注重它的兩個銳角都為45°（2）已知條件中如有直角三角形及斜邊上的高,應(yīng)注重高與向來角邊的夾角等于斜邊與另向來角邊的夾角.習(xí)題41. 在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,2. △ABC的兩角∠B和∠C的平分線相交于O,過O作BC的平行線,與AB、AC分離3. 在直角三角形ABC的斜邊AC上取兩點(diǎn)D、E,使AD=AB,4. 在△ABC中,AB=AC,BD5. 在△ABC中,∠B與∠C的平分線交于I,IH//AB,IG//AC6. 在△ABC中,CE是∠ACB的平分線,AD//EC,AD與BC的延伸線交于7. 在△ABC中,∠B的平分線與∠C的外角平分線交于D,過D作DE//CB,分離交AB8. △ABC為等邊三角形,∠A與∠B的平分線交于F,作FG//CA,FH//CB9. 在△ABC中,∠ACB=90°,CD和CE分離為斜邊上的高和中線,且∠10. 如圖,△ABC為等腰三角形,在腰AC上取一點(diǎn)E,在腰BA的延伸線上取一點(diǎn)D,使AD=AE,DE交BC11. 如圖,MN//PQ,自MN上一點(diǎn)A向PQ引斜線AB和垂線AC,過B作直線BD,交MN于D,交AC于E,若線段ED=2第10題圖第11題圖12.在△ABC中,∠C=2∠B,AD⊥AB,13. 如圖,在△ABC中,∠ABC=2∠C,AD⊥BC,延伸AB至E,使BE=第13題圖第14題圖14.如圖,在△ABC中,BD⊥AC,CE⊥AB,若BC的中點(diǎn)為O15. 如圖,以△ABC的AB和AC為一邊在形外分離作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,則DC=BE.又設(shè)DC與BE相交于O16. 如圖,C為線段AB上的一點(diǎn),△ACD和△BCE都是等邊三角形,且在AB的同側(cè),AE交CD于P,BD交CE于第15題圖第16題圖17.如圖,在等腰直角三角形ABC中,P為斜邊BC的中點(diǎn),D為BC上任一點(diǎn),DE⊥AB,第17題圖18. 在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,G是BC的中點(diǎn),過G作直線平行于AD,分離交AB、AC的延伸線于2.5垂線、斜線和射影1.垂線的長和斜線的長從直線外一點(diǎn)向這條直線引垂線和斜線,則從這點(diǎn)到垂線足的線段叫做垂線的長;從這點(diǎn)到斜線足的線段叫做斜線的長.定理2.30從直線外一點(diǎn)向這條直線引垂線和若干條斜線,則垂線的長小于任何一條斜線的長.這個定理是定理2.8的直接結(jié)果.由此定理可知,從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線的長是銜接這點(diǎn)和直線上任一點(diǎn)所得諸線段中最短的.因此,我們把直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線的長叫做這點(diǎn)到直線的距離.定理2.31兩條直線平行,則從任向來線上任一點(diǎn)向另向來線所引垂線的長都相等.圖2.33證實(shí)設(shè)l1//l2,A、B為l1上隨意兩點(diǎn),AC⊥l2,BD⊥l2(圖2.33).由定理1.10的推論1知,AC由本定理可知,在l1和l2上隨意各取一點(diǎn),則這兩點(diǎn)的距離必然大于或等于推論兩條平行線的距離到處相等.2.斜線和射影從直線外一點(diǎn)向這條直線引垂線和斜線,在垂線足和斜線足之間的線段叫做斜線在這條直線上的正射影,簡稱射影.定理2.32從直線外一點(diǎn)向這條直線引垂線和兩條斜線,倘若兩條斜線的射影相等,則這兩條斜線相等;倘若兩條斜線的射影不等,則這兩條斜線也不等,射影較長的斜線較長.證實(shí)設(shè)A為直線MN外的一點(diǎn),AB⊥MN,首先,易見△ABC?△ABD(SAS),所以AC=AD.第二,在△ADE圖2.34∠AEC.因此在△ACE中,AE>定理2.33從直線外一點(diǎn)向這條直線引垂線和兩條斜線,倘若兩條斜線相等,則它們在這條直線上的射影相等;倘若兩條斜線不等,則它們在這條直線上的射影也不等,斜線較長則其射影也較長.本定理易用反證法證實(shí),請讀者自行補(bǔ)足.圖2.35例1△ABD為等腰直角三角形,過直角頂點(diǎn)D作直線DC//AB,C是DC上的點(diǎn),且AC=AB,AC與DB較難的問題往往不能趕緊解決.這時需要從“求證”逆推,如能推得一個已知的結(jié)果,問題就可以解決了.這樣的思維主意叫做“分析法”.分析欲證BC=BE,只需證∠BCE=∠BEC.因?yàn)锳B=AC,所以∠BCE=∠ABC=∠1+∠2;又因∠BEC=∠1+∠3,故只需證∠2=∠3.但在△ABC中,有2(∠1+∠2)+∠3=180°,而∠1=45°,所以2∠2+∠3=90°.倘若∠2=∠3,應(yīng)有3∠3=90°,故只需證∠3=30°.由定理2.29知只需證實(shí)有向來角三角形,它的一個銳角等于∠3,而此角所對的邊等于斜邊的一半即可.作AF⊥CD,交CD的延伸證實(shí)作DG⊥AB,AF⊥CD,G、F分離為垂足.因?yàn)镃D//AB,所以DG=AF.又因?yàn)椤鰽BD為等腰直角三角形,所以DG為AB上的中線,DG=12AB.而AB=AC,所以AF=12AC倘若C在DF的延伸線上,本題依然成立,請讀者自行畫圖證實(shí).注重(1)條件中有平行線時,應(yīng)想到兩平行線的距離到處相等.(2)條件中有一些線段不相聯(lián)系時,?？衫闷叫幸苿邮蛊浒l(fā)生聯(lián)系。例2從直線l外一點(diǎn)P向l作垂線PH,又在PH的同側(cè)作斜線PA、PB、PC(圖2.36),倘若PA、PB、證實(shí)因?yàn)镻A-PB=PB-圖2.36AC邊上的中線PM,由2.3節(jié)的例3得2PM<PA+PC,所以PM<PB.由定理2.33得HM<HB,從而AM習(xí)題51. AD是△ABC中BC邊上的高,P是AD上任一點(diǎn),若∠ABC<∠2. AB、CD兩線段互相垂直相交于O,若AC3. 等腰三角形底邊(或延伸線)上任一點(diǎn)到兩腰距離的代數(shù)和等于定值(等于腰上的高).這里,線段正負(fù)的決定主意如下:從一點(diǎn)到三角形一邊的距離,倘若這點(diǎn)與這邊所對頂點(diǎn)在這邊的同側(cè),則線段之前附以正號;倘若這點(diǎn)與這邊所對頂點(diǎn)在這邊的異側(cè),則線段之前附以負(fù)號.4. 等邊三角形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離的代數(shù)和等于定值.線段正負(fù)的決定主意同上題.2.6平行線截等分線段1.平行線截等分線段定理定理2.34夾在兩平行線間的平行線段相等.圖2.37證實(shí)設(shè)直線a//直線b,C、E在直線a上,D、F在直線b上,且CD//EF(圖2.37),連CF.在△定理2.35一組平行線若在一條直線上截得的線段相等,則在其他直線上截得的線段也相等.證實(shí)設(shè)直線AB//CD//EF,交直線GH于A、C、E,交直線KL于B、D、F,且AC=CE(圖2.38).過B、D作GH的平行線,分離交CD于M,交EF于圖2.38所以BM//DN.在△BDM與△DFN中,BM=DN,∠MBD=∠推論經(jīng)過三角形一邊中點(diǎn)而與另一邊平行的直線必平分第三邊.證實(shí)設(shè)D是△ABC中AB的中點(diǎn),DE//BC,DE交AC于E(圖2.39),過A作MN//BC,則MN2.三角形中位線定理銜接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三圖2.39角形的中位線.定理2.36三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.圖2.40證實(shí)設(shè)D、E分離是△ABC中AB、AC的中點(diǎn)(圖2.40).過D作DE'//BC,交AC于E',由定理2.35的推論可知,E'必然是AC的中點(diǎn),所以E'重合于E.因?yàn)镈E'//BC,所以DE//BC.再過E作例1過△ABC的頂點(diǎn)A任作直線PQ,從B、C向直線PQ分離引垂線BP、CQ,P圖2.41PQ,CQ⊥PQ,所以MN//BP//CQ.因?yàn)锽M=MC,所以PN=若PQ通過△ABC的內(nèi)部,本題依然成立,請讀者自行畫圖證實(shí)圖2.42例2在△ABC中,AB=AC,在AB上取BD,在AC的延伸線上取CE,使BD=CE證實(shí)過D作DF//BC,交AE于F.因?yàn)锳B=AC,所以∠B=∠ACB.因?yàn)镈F//BC,所以∠ADF=∠B,∠AFD=∠ACB,故例3在△ABC中,分離以AB和AC為一邊作等邊三角形ABD和ACE,F、G、證實(shí)連BE、CD.因?yàn)椤鰽BD圖2.43形,所以∠BAD在△ABE和△ADC中,AB=AD,AE=AC,∠BAE=60°+∠BAC=∠DAC,所以△ABE?△ADC注重欲證兩線段相等,而條件有其他線段的中點(diǎn)時,?？衫萌切沃形痪€定理,作出該兩線段的兩倍或一半,再證其相等.例4線段AD=BC,連AB及CD,設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分離為E、F,連證實(shí)設(shè)EF與AD、BC延伸后分離相交于G、H(圖2.44).連AC,設(shè)AC的中點(diǎn)為M,連ME、MF,則ME//BC,圖2.44AD、BC與直線不論線段AD、BC的位置關(guān)系如何(例如線段AD與線段BE相交,或其中任一條延伸后與另一條相交),本題都成立,請讀者自行畫圖圖2.45例5從三角形的一個頂點(diǎn)向另外兩角的平分線作垂線,則兩個垂足的連線平行于底邊.證實(shí)設(shè)在△ABC中,AE垂直于∠ACB的平分線CG,AF垂直于∠ABC的平分線BD,垂足分離為AF,分離與BC交于N、M.因?yàn)锳E垂直于∠ACN的平分線,所以△CAN為等腰三角形,E為底邊AN的中點(diǎn).同理,F為AM的中點(diǎn).所以本題尚可擴(kuò)充如下:從三角形的一個頂點(diǎn)向另外兩角的內(nèi)、外角平分線作垂線,則四個垂足和兩腰的中點(diǎn)共六點(diǎn)在向來線上,此直線平行于底邊.圖2.46例6在△ABC中,∠B=2∠C,證實(shí)作直角△ABD斜邊上的中線DE,則DE=12AB.連EM,則EM為△BAC的中位線,EM//AC,所以∠EMD=∠C.因?yàn)椤螧=2∠C,所以∠B注重欲證一線段等于另一線段的一半時,常設(shè)法作出短線段的兩倍,證其等于長線段,或設(shè)法作出長線段的一半,證其等于短線段.在此,直角三角形斜邊上中線定理及三角形中位線定理往往實(shí)用.習(xí)題61. 如圖,在△ABC中,BD是∠ABC的平分線,AD⊥BD,E是AC的中點(diǎn),求證:DE//BC.2.如圖,AD是△ABC中∠第1題圖第2題圖3.在△ABC中,AB=AC,延伸AB至D,使BD=AB,E4. 如圖,AB>CD,E、F分離為BC、AD的中點(diǎn),連EF,延伸后分離交5. 如圖,在△ABC中,AB=3AC,AD為∠BAC的平分線,BE⊥AD,交6. 在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,E是AD的中點(diǎn),7. 如圖,在△ABC中,D是AB的中點(diǎn),E在AC上且AE=2EC,BE與CD8. E、F分離是AB、CD的中點(diǎn),連9. 過等腰△ABC的頂點(diǎn)A任作向來線MN,與過B、C且垂直于BC的兩條垂線分離交于M、N第4題圖第5題圖第7題圖10.已知AC=BD,AC與BD相交于E,M、N分離為AB、CD的中點(diǎn).連MN,交2.7三角形中主要線的一些性質(zhì)1. 線段的垂直平分線和角的平分線定理2.37線段的垂直平分線上隨意一點(diǎn)到這條線段兩端的距離相等.定理2.38倘若一點(diǎn)到線段的兩端距離相等,則這點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.定理2.39角的平分線上隨意一點(diǎn)到這角的兩邊距離相等.定理2.40倘若一點(diǎn)到角的兩邊距離相等,則這點(diǎn)在這角的平分線上.以上四個定理的證實(shí)都很容易,請讀者自行補(bǔ)足.2.三角形的心定理2.41在三角形中,三邊的垂直平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)等距離(圖2.47).證實(shí)設(shè)在△ABC中,AB、BC、CA的垂直平分線分離為DH、EG、FJ.因?yàn)锳B和AC相交于A,所以它們的垂直平分線DH與FJ不可能平行.設(shè)DH與FJ相交于O,連AO、BO、CO圖2.47此O也在BC的垂直平分線上,所以DH、三角形三邊的垂直平分線的交點(diǎn)叫做三角形的外心.圖2.48定理2.42在三角形中,三個內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)到三角形各邊等距離(圖2.48).證實(shí)設(shè)在△ABC中,AD、BE、CF分離為∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分線.因?yàn)椤螮BC+∠FCBO到AB的距離相等.同理,O到BC與O到AC的距離也相等.所以O(shè)到AB與O到AC的距離相等,因此O也在∠BAC的平分線上,所以AD三角形三個內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.定理2.43在三角形中,一個內(nèi)角的平分線與不相鄰的兩外角的平分線交于一點(diǎn),這點(diǎn)到三角形的一邊和到三角形的另兩邊所在直線等距離(圖2.49).圖2.49證實(shí)設(shè)BE、CF分離為△ABC中兩外角∠CBX和∠BCY的平分線,因?yàn)椤螮BC+∠FCB<180°,所以BE與CF必相交,設(shè)交點(diǎn)為D.因?yàn)镈在∠CBX的平分線上,所以D到BC與D到AX的距離相等.同理,D到BC與D到AY的距離也相等.因此D到AX與三角形一個內(nèi)角的平分線與不相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)叫做三角形的旁心.三角形有三個旁心.定理2.44在三角形中,三條高(所在直線)交于一點(diǎn)(圖2.50).證實(shí)設(shè)AD、BE、CF為△ABC的三條高,過A、B、C分離作對邊的平行線,相交于A'、圖2.50△ABC?△BAC',因此AC'=BC.同理,AB'=BC.而AD⊥BC,BC//B'C'三角形三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心.定理2.45在三角形中,三條中線交于一點(diǎn),這點(diǎn)到任何一邊中點(diǎn)的距離等于這邊上中線的三分之一.證實(shí)設(shè)AD、BE、CF為△ABC的三條中線(圖2.51).因?yàn)椤螮BC+∠FCB<180°,所以BE與CF必相交,設(shè)交點(diǎn)為O,連EF,則圖2.51EF.因此∠1=∠2,∠3=∠4,立得△OMN?△OEF,所以O(shè)M=OE因此,BE與CF的交點(diǎn)O是BE上到E的距離等于13BE的分點(diǎn).同理,中線AD與BE的交點(diǎn)也應(yīng)該是BE上到E的距離等于13BE的分點(diǎn).但在BE上,這樣的分點(diǎn)同理可證,OD=三角形三條中線的交點(diǎn)稱為三角形的重心.定理2.46在等邊三角形中,外心、內(nèi)心、垂心、重心四心合為一點(diǎn)(這點(diǎn)叫做等邊三角形的中央).推論倘若一個三角形的外心、內(nèi)心、垂心、重心四心中有兩個重合,則這個三角形就是等邊三角形.這個定理和推論請讀者自行證實(shí).3.三角形的邊、角與主要線之間的關(guān)系定理2.47在等腰三角形中,兩腰上的中線相等,兩底角的平分線相等,兩腰上的高相等.本定理的證實(shí)留給讀者.推論在等邊三角形中,各邊上的高、各邊上的中線、各內(nèi)角的平分線都相等.定理2.48倘若三角形的兩邊不等,那么這兩邊上的中線也不等,大邊上的中線較小.圖2.52證實(shí)設(shè)在△ABC中,AB>AC,BD、CE分離為AC、AB上的中線(圖2.52).設(shè)BD與CE交于G,連AG,交BC于F,則F為BC的中點(diǎn).在△ABF與△ACF中,因?yàn)锳B>AC,BF=CF定理2.49倘若三角形的兩邊不等,則這兩邊所對的角的平分線也不等,大邊所對的角的平分線較小.證實(shí)設(shè)在△ABC中,AB>AC,BE、CF分離為∠ABC、∠ACB圖2.532.53),則∠GBC<∠GCB,所以BG>CG.故可在BG上取BH=CG,作HK//CG.在△BHK和△CGF定理2.50倘若三角形的兩邊不等,則這兩邊上的高也不等,大邊上的高較小.證實(shí)設(shè)在△ABC中,AB>AC,BD、CE分離為AC、AB上的高.將BD、CE分離延伸一倍至F、G,連CF、圖2.54∠ACB,∠GBE=∠ABC.因?yàn)锳B>AC,所以∠ABC<∠ACB,因此∠GBC<∠FCB倘若允許利用面積定理,則本定理的證實(shí)將異常容易.因?yàn)閳D2.55S△ABC=12定理2.51倘若三角形的兩邊不等,則第三邊上的中線與小邊所夾之角大于它與大邊所夾之角.證實(shí)設(shè)在△ABC中,AB>AC,AD至E,使DE=AD,連BE(圖2.55).則△BED?△CAD(SAS),所以BE=AC,∠BED=∠CAD定理2.52在三角形中,任一邊上的中線小于另兩邊之和的一半.證實(shí)由定理2.51的證實(shí)及圖2.55可見,AE<AB+BE,但BE=定理2.53在三角形中,頂角的平分線與底邊上的高所夾的角等于兩底角之差的一半.圖2.56證實(shí)設(shè)在△ABC中,AB>AC,AD為∠A的平分線,AE為BC上的高(圖2.56).因?yàn)锳B>AC,所以∠C>∠B,因此∠A+∠C+∠C>∠若AB<AC,同理可證;若AB=AC,則AD重合于例1三角形的垂心到一個頂點(diǎn)的距離等于其外心到這個頂點(diǎn)所對邊的距離的2倍.證實(shí)設(shè)在△ABC中,三條高AD、BE、CF相交于垂心H,BC和AB的垂直平分線OM、ON相交于外心O.取AH、圖2.5712AC,所以IJBC,AD⊥BC,所以O(shè)M//AD.同理,ON//CF.由定理1.12知,圖2.58例2三角形的外心、重心和垂心三點(diǎn)共線,且重心將銜接外心與重心的線段分成1:2的兩部分證實(shí)設(shè)在△ABC中,L是BC的中點(diǎn),O是外心,AD是BC上的高,H是垂心,連HO,設(shè)交中線AL于G取AG和HG的中點(diǎn)E、F,連EF,則EF//AH,EF=12AH.由前面例1知,OL//AH,OL=12AH.因此EF?OL,所以∠GEF 62.直線形三角形的外心、重心、垂心所在直線稱為三角形的歐拉(Euler)線.例3倘若三角形中有兩個內(nèi)角的平分線相等,則它們所對的邊也相等.本題的直接證法前面已經(jīng)推薦過(見2.3節(jié)的例5),現(xiàn)在推薦一種反證法圖2.59證實(shí)設(shè)在△ABC中,BD、CE分離為∠ABC、∠ACB的平分線.過D、E分離作BE、先設(shè)AC<AB,則∠ABC<∠ACB,所以∠ABD<∠ACE,即∠DFE<∠DCE.因?yàn)镋F=BD=CE,所以∠EFC=∠ECF.因此∠DFC>∠DCF同理,AB<AC也是不可能的.所以例4在△ABC中,AB>AC,AM為BC上的中線,AD為∠BAC的平分線,證實(shí)由定理2.51知,∠BAM<∠CAM,所以∠圖2.60∠BAD的內(nèi)部.由定理2.53的證實(shí)可知,AH在∠CAD的內(nèi)部.所以點(diǎn)D在點(diǎn)M、H之間,HM>HD.由定理2.32,得習(xí)題71. 三角形任一內(nèi)角的平分線小于兩夾邊之和的一半.2. 三角形的三條中線之和小于周長而大于周長的四分之三.3. 三角形內(nèi)隨意一點(diǎn)到三邊(所在直線)的距離之和介于最長與最短的兩條高之間.4. 設(shè)G是△ABC的重心,分離延伸BG、CG至E、F5. 設(shè)O是正三角形的中央,求證:BO與CO的垂直平分線必三等分BC邊.6. 設(shè)I、I1、I(1)∠BIC(2)∠B(3)∠B7. 設(shè)O是△ABC的外心,求證:∠BOC等于2∠A8. 設(shè)H為△ABC的垂心,求證:∠BHC等于180°2.8有關(guān)三角形的作圖題例1已知三條線段ha、mb、mc,求作△ABC,使圖2.61分析設(shè)△ABC已作出(圖2.61),BE和CF相交于重心G.過E作EH⊥BC,因?yàn)锳D⊥BC,所以EH//AD.又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn),所以EH為△CAD的中位線,EH=12AD.在直角△BEH中,BE=mb,EH=12作法作EH=12ha.過H作EH的垂線,以E為圓心mb為半徑作弧,交這垂線于B.在BE上取點(diǎn)G,使GE=13BE,以G為圓心、23mc為半徑作弧,交BH證實(shí)作AD⊥BC,因?yàn)锳E=CE,所以AD=2EH=ha,BE=mb.因?yàn)镚E=13研究要使本題有解,首先必須有直角△BEH存在.所以EH?BE,即12ha?mb,所以ha<2mb注重像這樣的作圖題,先作出△BEH,再以它為基礎(chǔ),作出所需要的圖形,這種主意例2已知底角β、底邊與一腰的和l,求作等腰三角形.分析設(shè)△ABC已作出,AB=AC,∠B=β,AB+BC=l(圖2.62).延伸BC至D,使CD=AC,連AD,則BD=l.在△ACD中,∠ACB=∠D+∠CAD,而圖2.62作法作∠XBY=β,在BX上取BD=l.以D為頂點(diǎn)、DB為一邊在∠B的同側(cè)作∠BDA=12β,設(shè)這角的另一邊交BY于A.連AD證實(shí)因?yàn)辄c(diǎn)C在AD的垂直平分線上,所以CA=CD,因此∠ACB=2∠D=β研究β>例3已知△ABC及線段d,在BC上求一點(diǎn)P,使點(diǎn)P到AB的距離減點(diǎn)P到AC的距離等于d圖2.63作法在△ABC內(nèi)作DE//AB,并使DE與AB之間的距離等于d,設(shè)DE與AC、BC分離相交于D、E,作∠證實(shí)過P作PG⊥AB及PH⊥AC，PG與DE交于F.因?yàn)镈E//AB,所以PF⊥DE.又因?yàn)镻在研究作CK⊥AB,若d<CK,本題必有一解;若d=注重例2是利用“與線段兩端等距離的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線”的原理舉行作圖的;例3是利用“與角的兩邊等距離的點(diǎn)的軌跡是這角的平分線”的原理舉行作圖的.像這樣利用軌跡來求所需的點(diǎn)的作圖法叫做軌跡交截法.習(xí)題8在下列各題中,以a、b、c表示三角形的三邊,以1. 已知∠A2.已知∠A3. 已知∠A4. 已知斜邊和向來角邊的差,又知另向來角邊,求作直角三角形.5. 已知斜邊與向來角邊的和,又知一銳角,求作直角三角形.6.已知∠A7. 已知a、第3章四邊形3.1多邊形的概念1.折線有限個已知點(diǎn)A、B、C、?、K、L及線段AB、折線的隨意兩邊都不相交,隨意頂點(diǎn)都不在邊上.隨意兩頂點(diǎn)都不重合時,這條折線叫做容易折線.圖3.1中(1)、(2)為容易折線,(3)、(4)、(5)為非容易折線.(1)(2)圖3.1(3)(4)(5)把折線的每一條邊向兩方延伸成直線,倘若這條折線的其他各邊都在這條直線的同側(cè),那么這樣的折線叫做凸折線.圖3.1中的(1)為凸折線,(2)為非凸折線.凸折線一定是容易折線,容易折線不一定是凸折線.2.多邊形端點(diǎn)重合的折線叫做多邊形,折線的邊叫做多邊形的邊.或者說,有限個點(diǎn)(不少于三個)A、B、C、由容易折線所構(gòu)成的多邊形叫做容易多邊形.圖3.2中,(2)、(3)、(5)、(6)為容易多邊形.非容易多邊形叫做星形多邊形.圖3.2中,(1)、(4)為星形多邊形.由凸折線所構(gòu)成的多邊形叫做凸多邊形.凸多邊形都是容易多(1)(3)(5)(2)(4)(6)圖3.2邊形,但容易多邊形不一定是凸多邊形.倘若多邊形的每三條鄰接邊中,第一邊和第三邊位于第二邊所在直線的一側(cè),那么這樣的多邊形叫做局部凸多邊形,如圖3.2中的(3)、(4).多邊形按邊數(shù)分類,有三邊的叫三邊形(習(xí)慣上叫做三角形),有四邊的叫四邊形……多邊形的相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的角.多邊形的邊和角叫做多邊形的元素.銜接多邊形不相鄰兩頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線.凸多邊形的每條對角線上的所有點(diǎn)都在多邊形的內(nèi)部.由n邊形的每個頂點(diǎn)可以引n-3條對角線.由n個頂點(diǎn)共可引n(n-3)條對角線,但每條對角線都算了兩次,因而例如:四邊形有12×4×1=2條對角線;五邊形有本書重點(diǎn)研究凸多邊形,今后在本書中說到多邊形而不加說明時,都是指凸多邊形。3.多邊形的內(nèi)角和定理3.1n邊形的內(nèi)角和等于n證實(shí)由n邊形的一個頂點(diǎn)可引n-3條對角線,從而將多邊形分成n因?yàn)槊總€三角形的內(nèi)角和為180°,所以n-2個三角形的內(nèi)角和為(n-2)?180推論1順次延伸凸多邊形的各邊所得的凸多邊形的外角(每一頂點(diǎn)僅取一個)之和等于2個平角.推論2正n邊形每個內(nèi)角都等于(n等于360°4.多邊形的全等倘若兩個多邊形的對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角也相等,那么這兩個多邊形叫做全等多邊形.定理3.2倘若兩個多邊形能夠分解成個數(shù)相等并且羅列位置相同的全等三角形,那么這兩個多邊形全等(須要時須將其中一個多邊形翻轉(zhuǎn)180°證實(shí)設(shè)多邊形ABC?K可以分解為△ABC、△CDE、△ACE、?,多邊形A'B'C'?圖3.3推論在兩個n邊形中,倘若有2n-3個相鄰的元素對應(yīng)相等,那么這兩個多邊形全等,但這2n習(xí)題91. 容易四邊形的一雙對角的平分線相交所成的角中,有一個角等于另一雙對角的差的一半.2. 星形四邊形的一雙對角的平分線相交所成的角中,有一個角等于另一雙對角的和的一半.3. 四邊形的兩條對角線的和小于周長而大于周長的一半.4. 凸多邊形的銳角不能多于三個.5. 如圖,證實(shí)隨意五角星形的五個角之和等于180°.隨意第5題圖3.2平行四邊形1.平行四邊形的判定在四邊形中,沒有公共頂點(diǎn)的兩條邊叫做對邊;沒有公共邊的兩個角叫做對角.兩雙對邊分離平行的四邊形叫做平行四邊形.平行四邊形的隨意一邊都可以作為底邊.那么這一邊和它的對邊之間的距離叫做平行四邊形的高.平行四邊形的兩條對角線的交點(diǎn)叫做平行四邊形的中央.定理3.3在四邊形中,倘若下列諸條件有任何一個成立,這個四邊形就是平行四邊形:(1)兩雙對邊分離相等;(2)兩雙對角分離相等;(3)兩條對角線互相平分;(4)一雙對邊既平行又相等.2.平行四邊形的性質(zhì)定理3.4倘若一個四邊形是平行四邊形,則下列結(jié)論所有成立:（1）兩雙對邊分離平行;(2)兩雙對邊分離相等;(3)兩雙對角分離相等;(4)兩條對角線互相平分.定理3.3和定理3.4的證實(shí)留給讀者.例1證實(shí)三角形的中位線定理.圖3.4證實(shí)設(shè)D、E分離是△ABC中AB和AC的中點(diǎn).延伸DE至F,使EF=DE,連AF、CD、CF(圖3.4).因?yàn)锳E=EC,DE是平行四邊形,因此DF?BC.但DE與DF在同向來線上,且DE=注重欲證兩線平行或相等,?？衫闷叫兴倪呅蔚男再|(zhì).例2從?ABCD的各頂點(diǎn)作對角線的垂線AF、BE、CG、DH,F證實(shí)設(shè)AC、BD交于O,連FH、圖3.5形,所以AD=BC,∠ADF=∠CBG,因此直角△ADF?直角△CBG,所以DF=BG圖3.6例3在△ABC中,∠BAC≠60°,以BC為一邊在△ABC的同側(cè)作正△BCE,又以AB、AC為一邊在△證實(shí)連EF.在△DBE和△ABC中,DB=AB,BE=BC,∠DBE=60°-∠EBA=∠ABC,所以△DBE?△ABC,因此DE=AC.在△FEC和△ABC圖3.7例4ABCD為平行四邊形,EF//AB,EF分離交BC、AD于E、F,DE與CF證實(shí)因?yàn)锳BCD為平行四邊形,所以AD//BC,AB//DC.因?yàn)镋F//AB,所以EF//DC.因此ABEF及EFDC均為平行四邊形,所以習(xí)題101. E、F是?ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn),AE=2. 在?ABCD中,∠A、∠C的平分線分離交對角線BD于E、3. 如圖,在△ABC中,AK為∠A的平分線,在BA、CA上取BD=CE,G第3題圖4.在?ABCD中,G、H分離是AB、CD的中點(diǎn),DG、BH分離與對角線5. 在?ABCD中,過A和C作兩條平行線,分離交CD、AB于E和F,BE、DF分離交6. 如圖,在△ABC中,M為AB的中點(diǎn),D為AB上任一點(diǎn),N、P分離為CD、BC的中點(diǎn),Q為MN的中點(diǎn),PQ與AB相交于E7. 如圖,AD、BE、CF是△ABC的三條中線,又有FG第6題圖第7題圖8.△ABC的三邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分離為P、Q、R,9. 在?ABCD中,AD=2AB,將CD向兩側(cè)延伸至E和F,使CE=10. 在?ABCD的兩邊AD和CD上各取一點(diǎn)F和E,使AE=CF,AE與CF交于P,求證:11. 在四邊形ABCD中,AB和CD的中點(diǎn)分離為E和F,AD和BC的中點(diǎn)分離為G和H,對角線AC和BD的中點(diǎn)分離為M和N,求證:3.3異常平行四邊形1.矩形有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.定理3.5在平行四邊形中,倘若兩條對角線相等,則這個平行四邊形就是矩形.定理3.6在四邊形中,倘若下列兩條件有任何一個成立,這個四邊形就是矩形:（1）有三個角是直角;(2)兩條對角線相等且互相平分.矩形是平行四邊形的一種,所以除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)之外,它還具有一些異常的性質(zhì).定理3.7矩形具有下列性質(zhì):（1）四個角都是直角;(2)兩條對角線相等;（3）任何一雙對邊中點(diǎn)的連線垂直于這雙對邊.2.菱形有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.定理3.8在平行四邊形中,倘若下列兩條件有任何一個成立,這個平行四邊形就是菱形:(1)兩條對角線互相垂直;(2)一條對角線平分一對內(nèi)角.定理3.9在四邊形中,倘若四條邊都相等,則這個四邊形就是菱形.菱形也是平行四邊形的一種,所以除了具有平行四邊形的一切性質(zhì)之外,它還具有一些異常的性質(zhì).定理3.10菱形具有下列性質(zhì):(1)四條邊都相等;（2）兩條對角線互相垂直;（3）每一條對角線平分一組對角.3.正方形有一個角是直角,并且有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做正方形.定理3.11在矩形中,倘若下列諸條件有任何一個成立,這個矩形就是正方形:(1)一組鄰邊相等;（2）兩條對角線互相垂直;(3)一條對角線平分任何一個內(nèi)角.定理3.12在菱形中,倘若下列兩條件有任何一個成立,這個菱形就是正方形:(1)一個角等于直角;(2)兩條對角線相等.定理3.13在平行四邊形中,倘若下列諸條件有任何一個成立,這個平行四邊形就是正方形:(1)一個角是直角并且一組鄰邊相等;（2）兩條對角線互相垂直且相等;（3）兩條對角線相等并且有一條對角線平分任何一個內(nèi)角.定理3.14在四邊形中,倘若下列兩條件有任何一個成立,這個四邊形就是正方形:(1)四角都相等,且四邊都相等;（2）兩條對角線互相垂直、平分且相等.正方形是矩形的一種,也是菱形的一種,同時又是平行四邊形的一種,所以除了具有矩形、菱形、平行四邊形的一切性質(zhì)外,它還具有一些異常的性質(zhì).定理3.15正方形的任何一條對角線與任何一條邊所夾的角等于45°從定理3.5至定理3.15,這幾條定理的證實(shí)都比較容易,請讀者自己完成.例1以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACFG,正方形ABDE的對角線相交于P,正方形ACFG的對角線相交于Q,又BC的中點(diǎn)為M(1)MQNP是正方形;(2)AM=(3)AM⊥圖3.8證實(shí)(1)連BG、CE,相交于H(圖3.8).在△ABG和△AEC中,AB=AE,AG=AC,∠BAG=∠BAC+90°=∠EAC,所以△ABG?△但MP是△BCE的中位線,所以MP//CE,MP=12CE.同理,MQ(2)將CA延伸一倍至K,連BK,交AE于S,交EG于T.在△ABK和△AEG中,AB=AE,AK=AC=AG,∠BAK=180°-∠BAC,∠EAG(3)在△BAS和△ETS中,∠ABS=∠TES,∠ASB=∠TSE,所以∠BAS=∠例2E是正方形ABCD中BC邊上的一點(diǎn),AF是∠DAE的平分線,AF交CD于F,求證:證實(shí)延伸FD至G,使DG=BE(圖3.9),則FG=FD+BE,連AG.在直角△ABE和直角△ADG中,AB=AD,BE=DG,所以△圖3.9CD,因此∠BAF=∠GFA,所以∠GAF=∠GFA,因而例3自正方形ABCD的頂點(diǎn)A引向來線,交CD于X,交BC的延伸線于Y,求證:AX+證實(shí)取XY的中點(diǎn)E,則AX+AY=AE-EX+AE∠CAX>45°,因此∠ACE>90例4作平行四邊形各內(nèi)角的平分線,求證:（1）四條角平分線圍成一個矩形;(2)這個矩形的對角線平行于平行四邊形的相應(yīng)邊且等于平行四邊形的兩條鄰邊之差.證實(shí)(1)設(shè)AE、BF、CG、DH是?ABCD各內(nèi)角的平分線,分離交CD、AB于E、F、G、H圖3.1190°,所以∠PMQ=90°.同理,∠MPN、(2)因?yàn)锳B//CD,所以∠DEA=∠EAB,但∠EAB=∠DAE,所以∠DEA=∠DAE,因此DE=AD,所以EC=DC-AD.同理,AG=AB-BC.所以EC=AG,但EC//AG例5證實(shí):菱形的各邊的垂直平分線又圍成一個菱形.證實(shí)設(shè)E、F、G、H分離是菱形ABCD中AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),各邊的垂直平分線兩兩相交于M、P、N、Q(圖3.12).因?yàn)镼E圖3.12△AMH,故∠點(diǎn)M在菱形ABCD的對角線AC上.同理,點(diǎn)N也在AC上.又有P和Q都在菱形的對角線BD的延伸線上.因此,平行四邊形MPNQ的對角線互相垂直.所以MPNQ是菱形.習(xí)題111. 順次銜接矩形四邊的中點(diǎn)得一菱形.2. 順次銜接菱形四邊的中點(diǎn)得一矩形.3. 在△ABC中,AD是∠BAC的平分線,AD的垂直平分線分離交AB、AC于4. 平行四邊形各外角的平分線圍成一個矩形,這個矩形的對角線平行于平行四邊形的相應(yīng)邊,且等于平行四邊形的兩條鄰邊之和.5. 如圖,ABCD為矩形,AB=2BC,∠6. 如圖,在?ABCD中,AB=2AD,F為AB的中點(diǎn),CE⊥AD,CE交AD的第5題圖第6題圖7.P是正方形ABCD的對角線BD上的任一點(diǎn),引PE⊥BC,PF⊥CD8. 如圖,AA1為等腰△ABC的底邊BC上的高,CD為∠ACB的平分線,作DE⊥BC,第8題圖9. 在△ABC中,AB=AC,D為BC上任一點(diǎn),由D作BC的垂線,與AB、AC(或延伸線)分離相交于E10. 以正方形ABCD的邊AB為一邊在形內(nèi)作一個等腰△ABE,若∠EAB=∠11. 如圖,ABCD為正方形,CE//BD且DE=BD,