立體幾何知識(shí)點(diǎn)

PAGE6-立體幾何知識(shí)點(diǎn)【重點(diǎn)知識(shí)整合】1.直線與平面平行的判定和性質(zhì)（1）判定：①判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行；②面面平行的性質(zhì)：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行.（2）性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.注意：在遇到線面平行時(shí)，常需作出過(guò)已知直線且與已知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì).2.直線和平面垂直的判定和性質(zhì)（1）判定：①如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面垂直.②兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直.（2）性質(zhì)：①如果一條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直.②如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.3.平面與平面平行（1）判定：一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.注意：這里必須清晰“相交”這個(gè)條件.如果兩個(gè)平面平行，那么在其中一個(gè)平面內(nèi)的所有直線與另一個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)，即這些直線都平行于另一個(gè)平面.（2）性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.注意：這個(gè)定理給出了判斷兩條直線平行的方法，注意一定是第三個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，其交線平行.4.兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)（1）判定：①判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.②定義法：即證兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角；注意：在證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般先從已知有的直線中尋找平面的垂線，若不存在這樣的直線，則可以通過(guò)添加輔助線解決，而作輔助線應(yīng)有理論依據(jù)；如果已知面面垂直，一般先用面面垂直的性質(zhì)定理，即在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂直，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直.（2）性質(zhì)：①如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.②兩個(gè)平面垂直，則經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).注意：性質(zhì)定理中成立有兩個(gè)條件：一是線在平面內(nèi)，二是線垂直于交線，才能有線面垂直.(3)立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即：5.直線與平面所成的角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的角.當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，就說(shuō)直線和平面所稱的角為直角；當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時(shí)，就說(shuō)直線和平面所稱的角為SKIPIF1<0角.（2）范圍：SKIPIF1<0；（3）求法：作出直線在平面上的射影,關(guān)鍵是找到異于斜足的一點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，可根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理來(lái)確定垂線.（4）最小角定理：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角是斜線與平面所成的角.6.二面角（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面.二面角的大小是通過(guò)其平面角來(lái)度量的平面角，而二面角的平面角的三要素：①頂點(diǎn)在棱上；②角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；③角的兩邊與棱都垂直.（2）作平面角的主要方法：①定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；②三垂線法：過(guò)其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：過(guò)一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角；（3）二面角的范圍：SKIPIF1<0；7利用向量處理平行問(wèn)題（1）證明線線平行，找出兩條直線的方向向量，證明方向向量共線；（2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線（平行）；②證明直線的方向向量與平面的兩個(gè)不共線向量是共線向量，即利用共面向量定理進(jìn)行證明；③證明直線的方向向量與該平面的法向量垂直.（3）平面與平面平行的證明方法：證明兩個(gè)平面的法向量平行.8（理）利用向量處理垂直問(wèn)題（1）證明線線垂直，可證明兩條線的方向向量的數(shù)量積為0；（2）證明線面垂直方法：①根據(jù)線面垂直的判定定理利用向量證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；②轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線.（3）證明面面垂直的方法：①根據(jù)面面垂直的判定定理利用向量證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線方向向量為另一個(gè)平面的法向量；②證明一個(gè)平面的法向量與另一人平面平行；③轉(zhuǎn)化為證明這兩個(gè)平面的法向量互相垂直.9.利用向量處理角度問(wèn)題1.求異面直線所成的角的向量法：其基本步驟是（1）在a、b上分別取SKIPIF1<0；或者建立空間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示SKIPIF1<0;(2)由公式SKIPIF1<0確定異面直線a與b所成角SKIPIF1<0的大小.2.求直線和平面所成的角的向量法：在斜線上取一方向向量SKIPIF1<0，并求出平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，若設(shè)斜線和平面所成的角為SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0.3.求二面角的向量法：方法（1）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是平面SKIPIF1<0的法向量，則向量SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的夾角與二面角SKIPIF1<0的平面角相等或互補(bǔ).方法（2）二面角的棱SKIPIF1<0上確定兩個(gè)點(diǎn)SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0分別在平面SKIPIF1<0內(nèi)求出與SKIPIF1<0垂直的向量SKIPIF1<0，則二面角SKIPIF1<0的大小等于向量SKIPIF1<0的夾角，即SKIPIF1<0【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】1.線線平行與垂直的證明證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件.證明線線垂直的方法：（1）異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條件.解題過(guò)程中要特別體會(huì)平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的多樣性.2.線面平行與垂直的證明方法線面平行與垂直位置關(guān)系的確定，也是高考考查的熱點(diǎn)，在小題中考查關(guān)系的確定，在解答題考查證明細(xì)節(jié).線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量互相平行；證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直.線面平行的證明思考途徑：線線平行線面平行面面平行.線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互平行.線面垂直的證明思考途徑：線線垂直線面垂直面面垂直.3.面面平行與垂直的證明（1）面面平行的證明方法：①反證法:假設(shè)兩個(gè)平面不平行，則它們必相交，在導(dǎo)出矛盾；②面面平行的判斷定理；③利用性質(zhì):垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；④向量法：證明兩個(gè)平面的法向量平行.（2）面面垂直的證明方法：①定義法；②面面垂直的判斷定理；③向量法：證明兩個(gè)平面的法向量垂直.解題時(shí)要由已知相性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找證明思路，關(guān)鍵在于對(duì)題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進(jìn)行垂直之間的轉(zhuǎn)化.4.探索性問(wèn)題探求某些點(diǎn)的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個(gè)方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算.5.如何求線面角（1）利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑.（2）利用三棱錐的等體積，省去垂足在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時(shí)可以利用求點(diǎn)面距常用方法等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因?yàn)榇咕€段的長(zhǎng)度實(shí)際就是點(diǎn)面距h，利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進(jìn)行求解.（3）妙用公式，直接得到線面角課本習(xí)題出現(xiàn)過(guò)這個(gè)公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個(gè)公式在求解一些選擇填空題時(shí)，可直接應(yīng)用.但是一定要注意三個(gè)角的位置，不能張冠李戴.（4）萬(wàn)能方法，空間向量求解不用找角設(shè)AB是平面的斜線，BO是平面的垂線，AB與平面所成的角,向量與的夾角，則.6.如何求二面角（1）直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計(jì)算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個(gè)角就是所求二面角的平面角,然后再計(jì)算這個(gè)角的大小.用直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個(gè)方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角；③利用定義確定平面角；（2）射影面積法.利用射影面積公式＝；此方法常用于無(wú)棱二面角大小的計(jì)算；對(duì)于無(wú)棱二面角問(wèn)題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.法二：設(shè),是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)（同等異補(bǔ)），則二面角的平面角SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<07.如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系根據(jù)幾何體本身的幾何性質(zhì)，恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系最為關(guān)鍵，如果坐標(biāo)系引入的恰當(dāng)，合理，即能夠容易確定點(diǎn)的坐標(biāo)，需要總結(jié)一些建系方法.常見(jiàn)建系方法：（1）借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標(biāo)軸，如正方體，長(zhǎng)方體等規(guī)則幾何體，一般選擇三條線為三個(gè)坐標(biāo)軸，如圖1、2；（2）借助面面垂直的性質(zhì)定理建系，若題目中出現(xiàn)側(cè)面和底面垂線的條件，一般利用此條件添加輔助線，確定z軸，如圖3；（3）借助棱錐的高線建系等.對(duì)于正棱錐，利用定點(diǎn)在底面的射影為底面的中心，可確定z軸，然后在底面確定互相垂直的直線分別為x，y軸.如圖4.8.如何確定平面的法向量（1）首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，若有可直接確定，若不存在，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)法；（2）待定系數(shù)法：由于法向量沒(méi)有規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有一個(gè)自由度，于是可把法向量的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個(gè)坐標(biāo).由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的兩條相交向量，設(shè)由解方程組求得.9.向量為謀求解立體幾何的探索性問(wèn)題空間向量最合適于解決立體幾何中探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理，只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷，在解題過(guò)程中，往往把“是否存在”問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問(wèn)題的解集更加簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題.【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】1．在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．2．可以考慮向量的工具性作用，能用向量解決的盡可能應(yīng)用向量解決，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化．3．在解決直線與平面垂直的問(wèn)題過(guò)程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化．4．面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助