67-2024年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2024年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．2024的絕對值是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．2．若∠A＝80°，則∠A的補角是（）A．100° B．80° C．40° D．10°3．2024年一季度，蘭州市堅持穩(wěn)中求進、綜合施策，全市國民經(jīng)濟起步平穩(wěn)，開局良好．一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值87790000000元，數(shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．87.79×109 B．8.779×109 C．8.779×1010 D．8.779×10114．計算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（）A．a(chǎn) B．﹣a C．2a D．﹣2a5．一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如圖，小明在地圖上量得∠1＝∠2，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據(jù)是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 D．對頂角相等7．如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在AB外取一點C，然后步測出AC，BC的中點D，E，并步測出DE的長約為18m，由此估測A，B之間的距離約為（）A．18m B．24m C．36m D．54m8．七巧板、九連環(huán)、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具．現(xiàn)將1個七巧板，2個九連環(huán)，1個華容道，2個魯班鎖分別裝在6個不透明的盒子中（每個盒子裝1個），所有盒子除里面的玩具外均相同．從這6個盒子中隨機抽取1個盒子，抽中七巧板的概率是（）A． B． C． D．9．關(guān)于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c＝（）A．﹣9 B．4 C．﹣1 D．110．?dāng)?shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載著這樣一個問題，大意是：999文錢買了甜果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7個苦果，問甜果，苦果各買了多少個？設(shè)買了甜果x個，苦果y個，則可列方程組為（）A． B． C． D．11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝（）A．100° B．115° C．130° D．145°12．如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，連接BD，點M從B出發(fā)沿BD方向以的速度運動至D，同時點N從B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運動至C，設(shè)運動時間為x（s），△BMN的面積為y（cm2）．y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形ABCD的邊長為（）A． B． C．4cm D．8cm二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．因式分解：a2﹣2a+1＝．14．如圖，四邊形ABCD為正方形．△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點F，若AD＝4，則EF＝．15．“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型．圖2是模型驅(qū)動部分的示意圖，其中⊙M，⊙N的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)⊙M順時針轉(zhuǎn)動3周時，⊙N上的點P隨之旋轉(zhuǎn)n°，則n＝．16．甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次．兩人的成績（單位：環(huán)）如圖所示．現(xiàn)有以下三個推斷：①甲的成績更穩(wěn)定；②乙的平均成績更高；③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高．其中正確的是.（填序號）三、解答題（本大題共12小題，共72分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（4分）計算：﹣×．18．（4分）解不等式組：．19．（4分）先化簡，再求值：，其中a＝4．20．（6分）如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝mx+1的圖象交于點A（2，3），點B是反比例函數(shù)圖象上一點，BC⊥x軸于點C，交一次函數(shù)的圖象于點D，連接AB．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝mx+1的表達(dá)式；（2）當(dāng)OC＝4時，求△ABD的面積．21．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的長．22．（6分）在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號水火箭的實物圖，水火箭發(fā)射后的運動路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)們進一步展開研究．如圖2建立直角坐標(biāo)系．水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號水火箭與地面成一定角度時，從發(fā)射到著陸過程中，水火箭距離地面OA的豎直高度y（m）與離發(fā)射點O的水平距離x（m）的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：水平距離x（m）0341015202227豎直高度y（m）03.244.168987.043.24（1）根據(jù)如表，請確定拋物線的表達(dá)式；（2）請計算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點O的水平距離為5m時，水火箭距離地面的豎直高度．23．（6分）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”．如圖1，他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如下：①木條的兩端分別記為點M，N，先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置記為點B，連接AB；②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點M的落點記為點C（點A，B，C不在同一條直線上）；③連接CB并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在CB延長線上的落點記為點D；④用另一根足夠長的木條畫線，連接AD，AC，則畫出的∠DAC是直角．操作體驗：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法．如圖2，BA＝BC．請畫出以點A為頂點的直角，記作∠DAC；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請你補全括號里的證明依據(jù)：證明：∵AB＝BC＝BD，∴△ABC與△ABD是等腰三角形．∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依據(jù)1）∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依據(jù)2）∴2∠DAC＝180°．∴∠DAC＝90°．依據(jù)1：：依據(jù)2：；拓展探究：（3）小亮進一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個以O(shè)為頂點的直角，記作∠POQ，使得直角邊OP（或OQ）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）24．（6分）為落實“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時代新人，某校組織調(diào)研學(xué)生體育和美育發(fā)展水平．現(xiàn)從七年級共180名學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生，對每位學(xué)生的體育和美育水平進行測評后按百分制分?jǐn)?shù)量化，并進行等級評定（成績用x表示，分為四個等級，包括優(yōu)秀：90≤x≤100；良好：80≤x＜90；合格：70≤x＜80；待提高：x＜70）．對數(shù)據(jù)進行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：體育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如圖．信息二：美育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下．分組90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜80x＜70人數(shù)m727信息三：20位學(xué)生的體育成績和美育成績得分統(tǒng)計如下（共20個點）．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：m＝；（2）下列結(jié)論正確的是；（填序號）①體育成績低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的40%；②參與測評的20名學(xué)生美育成績的中位數(shù)對應(yīng)的等級是“合格”；③在信息三中，相比于點A所代表的學(xué)生，點B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進一步提升；（3）請結(jié)合以上信息，估計七年級全體學(xué)生中體育和美育兩項成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù)．25．（6分）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動的裝置．某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關(guān)的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，BD⊥OA．∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；當(dāng)擺球運動至點C時，∠COA＝37°，CE⊥OA．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）實驗圖示解決問題：根據(jù)以上信息，求ED的長．（結(jié)果精確到0.1cm）參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．26．（7分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點D為⊙O上一點，BC＝BD，延長BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．（1）求證：ED是⊙O的切線；（2）若BO＝4，，求ED的長．27．（8分）綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景．探究動點運動的幾何問題．如圖，在△ABC中，點M，N分別為AB，AC上的動點（不含端點），且AN＝BM．【初步嘗試】（1）如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到MD，連接BD，則MN＝DB，請思考并證明；【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M一步探究：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于點E，交BC于點F，將MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到MD，連接DA，DB．試猜想四邊形AFBD的形狀，并說明理由；【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，連接BN，CM，請直接寫出BN+CM的最小值．28．（9分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，給出如下定義：點P是圖形W外一點，點Q在PO的延長線上，使得，如果點Q在圖形W上，則稱點P是圖形W的“延長2分點”．例如：如圖1，A（2，4），B（2，2），是線段AB外一點，Q（2，3）在PO的延長線上，且，因為點Q在線段AB上，所以點P是線段AB的“延長2分點”．（1）如圖1，已知圖形W1：線段AB，A（2，4），B（2，2），在，P2（﹣1，﹣1），P3（﹣1，﹣2）中，是圖形W1的“延長2分點”；（2）如圖2，已知圖形W2：線段BC，B（2，2），C（5，2），若直線MN：y＝﹣x+b上存在點P是圖形W2的“延長2分點”，求b的最小值；（3）如圖3，已知圖形W3：以T（t，1）為圓心，半徑為1的⊙T，若以D（﹣1，﹣2），E（﹣1，1），F(xiàn)（2，1）為頂點的等腰直角三角形DEF上存在點P，使得點P是圖形W3的“延長2分點”．請直接寫出t的取值范圍．

2024年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．2024的絕對值是（）A．﹣2024 B．2024 C． D．【分析】依據(jù)題意，根據(jù)絕對值的意義進行計算可以得解．【解答】解：由題意得，|2024|＝2024．故選：B．【點評】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，解題時要熟練掌握并能靈活運用是關(guān)鍵．2．若∠A＝80°，則∠A的補角是（）A．100° B．80° C．40° D．10°【分析】直接利用互補兩角的關(guān)系進而得出答案．【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠A補角為：180°﹣80°＝100°．故選：A．【點評】此題主要考查了互補兩角的關(guān)系，正確把握定義是解題關(guān)鍵．3．2024年一季度，蘭州市堅持穩(wěn)中求進、綜合施策，全市國民經(jīng)濟起步平穩(wěn)，開局良好．一季度全市地區(qū)生產(chǎn)總值87790000000元，數(shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．87.79×109 B．8.779×109 C．8.779×1010 D．8.779×1011【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對值小于1時，n是負(fù)整數(shù)；由此進行求解即可得到答案．【解答】解：數(shù)據(jù)87790000000用科學(xué)記數(shù)法表示為8.779×1010．故選：C．【點評】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵．4．計算：2a（a﹣1）﹣2a2＝（）A．a(chǎn) B．﹣a C．2a D．﹣2a【分析】根據(jù)單項式乘多項式去括號，再用整式的加減法則計算即可．【解答】解：2a（a﹣1）﹣2a2＝2a2﹣2a﹣2a2＝﹣2a．故選：D．【點評】本題主要考查了單項式乘多項式、整式的加減，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．5．一次函數(shù)y＝2x﹣3的圖象不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的a、b的符號判定該一次函數(shù)所經(jīng)過的象限即可．【解答】解：∵一次函數(shù)y＝2x﹣3的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，∴一次函數(shù)y＝2x﹣3經(jīng)過第一、三、四象限，即一次函數(shù)y＝2x﹣3不經(jīng)過第二象限．故選：B．【點評】本題考查了一次函數(shù)的圖象，即直線y＝kx+b所在的位置與k、b的符號有直接的關(guān)系．k＞0時，直線必經(jīng)過一、三象限．k＜0時，直線必經(jīng)過二、四象限．b＞0時，直線與y軸正半軸相交．b＝0時，直線過原點；b＜0時，直線與y軸負(fù)半軸相交．6．如圖，小明在地圖上量得∠1＝∠2，由此判斷幸福大街與平安大街互相平行，他判斷的依據(jù)是（）A．同位角相等，兩直線平行 B．內(nèi)錯角相等，兩直線平行 C．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行 D．對頂角相等【分析】根據(jù)∠1和∠2在圖中的位置判斷這兩個角是什么角，即可從選項中找出小明判斷的依據(jù)．【解答】解：∵∠1和∠2是內(nèi)錯角，∠1＝∠2，∴判斷幸福大街與平安大街互相平行的依據(jù)是：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．故選：B．【點評】本題主要考查平行線的判定，熟練掌握平行線的幾個判定方法是解決問題的關(guān)鍵．7．如圖，小張想估測被池塘隔開的A，B兩處景觀之間的距離，他先在AB外取一點C，然后步測出AC，BC的中點D，E，并步測出DE的長約為18m，由此估測A，B之間的距離約為（）A．18m B．24m C．36m D．54m【分析】依據(jù)題意，由D，E分別是邊AC，BC的中點，首先判定DE是三角形的中位線，然后根據(jù)三角形的中位線定理求得AB的值即可【解答】解：∵D、E分別是AC、BC的中點，∴DE是△ABC的中位線．∴根據(jù)三角形的中位線定理，得：AB＝2DE＝36m．故選：C．【點評】本題主要考查了三角形中位線定理的運用，解題時要能熟練掌握并能靈活運用三角形中位線定理是關(guān)鍵．8．七巧板、九連環(huán)、華容道、魯班鎖是深受大家喜愛的益智玩具．現(xiàn)將1個七巧板，2個九連環(huán)，1個華容道，2個魯班鎖分別裝在6個不透明的盒子中（每個盒子裝1個），所有盒子除里面的玩具外均相同．從這6個盒子中隨機抽取1個盒子，抽中七巧板的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)概率公式計算即可．【解答】解：從這6個盒子中隨機抽取1個盒子，抽中七巧板的概率．故選：D．【點評】本題考查概率公式以及七巧板，熟練掌握概率公式是解答本題的關(guān)鍵．9．關(guān)于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c＝（）A．﹣9 B．4 C．﹣1 D．1【分析】因為關(guān)于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，所以Δ＝b2﹣4ac＝0，建立關(guān)于c的方程，解方程即可．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程9x2﹣6x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×9×c＝0，解得：c＝1，故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條件．總結(jié)：一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．10．?dāng)?shù)學(xué)家朱世杰所著的《四元玉鑒》是中國元代重要的數(shù)學(xué)著作之一，書中記載著這樣一個問題，大意是：999文錢買了甜果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7個苦果，問甜果，苦果各買了多少個？設(shè)買了甜果x個，苦果y個，則可列方程組為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“999文錢買了甜果和苦果共1000個，11文錢可買9個甜果，4文錢可買7個苦果”列方程組求解．【解答】解：由題意得：，故選：A．【點評】本題考差了由實際問題抽象出二元一次方程組，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，則∠ADB＝（）A．100° B．115° C．130° D．145°【分析】根據(jù)等邊對等角得出∠B＝∠C，根據(jù)∠BAC＝130°即可求出∠C的度數(shù)，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，從而求出∠ADC的度數(shù)，問題得解．【解答】解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝130°，∴∠B＝∠C＝＝25°，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握這些知識點是解題的關(guān)鍵．12．如圖1，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，連接BD，點M從B出發(fā)沿BD方向以的速度運動至D，同時點N從B出發(fā)沿BC方向以1cm/s的速度運動至C，設(shè)運動時間為x（s），△BMN的面積為y（cm2）．y與x的函數(shù)圖象如圖2所示，則菱形ABCD的邊長為（）A． B． C．4cm D．8cm【分析】根據(jù)題意可知，BN＝xcm，BM＝xcm，結(jié)合菱形的性質(zhì)得∠DBC＝30°，過點M作MH⊥BC于點H，則HM＝xcm，那么y＝x2；設(shè)菱形的邊長為acm，則BD＝acm，那么點M和點N同時到達(dá)點D和點C，此時△BMN的面積達(dá)到最大值4，利用最大值即可求得x，即可知菱形的邊長a．【解答】解：根據(jù)題意可知，BN＝xcm，BM＝xcm，∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，過點M作MH⊥BC于點H，連接AC交BD于O，如圖，則MH＝BM×sin∠MBH＝x（cm），∴y＝S△BMN＝BN?MH＝x2（cm2），設(shè)菱形的邊長為acm，∴BD＝2BO＝2BCcos∠OBC＝2×a×＝a（cm），∴點M和點N同時到達(dá)點D和點C，此時△BMN的面積達(dá)到最大值4，∴x2＝4，解得x＝4（負(fù)值舍去），∴BC＝4，故選：C．【點評】本題考查動點問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)圖象得出△BMN的面積達(dá)到最大值4時，M，N的位置．二、填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．因式分解：a2﹣2a+1＝（a﹣1）2．【分析】本題直接利用完全平方公式進行因式分解即可．【解答】解：a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故答案為：（a﹣1）2．【點評】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．14．如圖，四邊形ABCD為正方形．△ADE為等邊三角形，EF⊥AB于點F，若AD＝4，則EF＝2．【分析】由等邊三角形得出AE＝AD＝4，再利用Rt△AEF即可求解．【解答】解：∵△ADE是等邊三角形，∴AE＝AD＝4，∠DAE＝90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD＝90°，∴∠EAF＝30°，∴EF＝AE＝2．故答案為：2．【點評】本題主要考查正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含有30°的直角三角形等內(nèi)容，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．15．“輪動發(fā)石車”是我國古代的一種投石工具，在春秋戰(zhàn)國時期被廣泛應(yīng)用，圖1是陳列在展覽館的仿真模型．圖2是模型驅(qū)動部分的示意圖，其中⊙M，⊙N的半徑分別是1cm和10cm，當(dāng)⊙M順時針轉(zhuǎn)動3周時，⊙N上的點P隨之旋轉(zhuǎn)n°，則n＝108．【分析】利用弧長公式根據(jù)點P移動的弧長＝3個⊙M周長，列出關(guān)于n的方程，解方程即可．【解答】解：∵⊙M的周長為2πcm，∴⊙M順時針轉(zhuǎn)動3周時，點P移動的弧長為6πcm，∴6π＝，解得n＝108，故答案為：108．【點評】本題考查了弧長的計算，掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．16．甲，乙兩人在相同條件下各射擊10次．兩人的成績（單位：環(huán)）如圖所示．現(xiàn)有以下三個推斷：①甲的成績更穩(wěn)定；②乙的平均成績更高；③每人再射擊一次，乙的成績一定比甲高．其中正確的是①②.（填序號）【分析】①根據(jù)方差的意義判斷即可；②根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的定義判斷即可；③根據(jù)隨機事件的意義判斷即可．【解答】解：由折線統(tǒng)計圖可知，甲的成績在3和5之間波動，乙的成績在3和9之間波動，所以甲的成績更穩(wěn)定，故①結(jié)論正確；乙的平均成績比5大，甲的平均成績比5小，所以乙的平均成績更高，故②結(jié)論正確；每人再射擊一次，乙的成績不一定比甲高，故③的結(jié)論錯誤．故答案為：①②．【點評】本題考查了方差和折線統(tǒng)計圖，掌握方差的意義是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共12小題，共72分．解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．（4分）計算：﹣×．【分析】先化簡二次根式，再按照實數(shù)的運算法則進行計算．【解答】解：﹣×＝＝．【點評】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的化簡是解題的關(guān)鍵．18．（4分）解不等式組：．【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分，得出解集．【解答】解：，由①得：x＞﹣6，由②得：x＜1，∴﹣6＜x＜1．【點評】本題考查了解一元一次不等式組，分別求出每一個不等式的解集，再求出公共部分是解題的關(guān)鍵．19．（4分）先化簡，再求值：，其中a＝4．【分析】利用分式的混合運算的法則化簡后，將a＝4代入運算即可．【解答】解：原式＝÷＝÷＝＝，當(dāng)a＝4時，原式＝＝．【點評】本題主要考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．20．（6分）如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝mx+1的圖象交于點A（2，3），點B是反比例函數(shù)圖象上一點，BC⊥x軸于點C，交一次函數(shù)的圖象于點D，連接AB．（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝mx+1的表達(dá)式；（2）當(dāng)OC＝4時，求△ABD的面積．【分析】（1）分別將點A坐標(biāo)代入兩個函數(shù)解析式求出m、k值即可得到兩個函數(shù)解析式；（2）將x＝4分別代入兩個函數(shù)解析式得到點B、D的坐標(biāo)求出BD長，根據(jù)三角形面積公式計算即可．【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)與一次函數(shù)y＝mx+1的圖象交于點A（2，3），∴k＝2×3＝6，3＝2m+1，解得：k＝6，m＝1，∴一次函數(shù)解析式為：y＝x+1，反比例函數(shù)解析式為y＝；（2）將x＝4代入一次函數(shù)得y＝5，∴D（4，5），將x＝4代入反比例函數(shù)得y＝，∴B（4，），∴BD＝5﹣＝，∴S△ABD＝＝．【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，熟練掌握交點坐標(biāo)滿足兩個函數(shù)解析式是關(guān)鍵．21．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC．（1）求證：四邊形ADCE是矩形；（2）若BC＝4，CE＝3，求EF的長．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，由CE∥AD得∠ECD＝∠ADB＝90°，由AE⊥AD得∠EAD＝90°，則∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，由此即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得BD＝CD＝BC＝2，根據(jù)四邊形ADCE是矩形，則AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，進而可在Rt△AEC中求出AC＝，然后根據(jù)三角形的面積公式可求出EF的長．【解答】（1）證明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°，∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°，∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°，∴四邊形ADCE是矩形；（2）解：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點，BC＝4，∴BD＝CD＝BC＝2，由（1）可知：四邊形ADCE是矩形，∵AE＝CD＝2，∠AEC＝90°，在Rt△AEC中，AE＝2，CE＝3，由勾股定理得：AC＝＝，∴EF⊥AC，由三角形的面積公式得：S△AEC＝AC?EF＝AE?CE，∴EF＝＝．【點評】此題主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，靈活運用勾股定理及三角形的面積公式進行計算是解決問題的關(guān)鍵．22．（6分）在校園科技節(jié)期間，科普員為同學(xué)們進行了水火箭的發(fā)射表演，圖1是某型號水火箭的實物圖，水火箭發(fā)射后的運動路線可以看作是一條拋物線．為了解水火箭的相關(guān)性能，同學(xué)們進一步展開研究．如圖2建立直角坐標(biāo)系．水火箭發(fā)射后落在水平地面A處．科普員提供了該型號水火箭與地面成一定角度時，從發(fā)射到著陸過程中，水火箭距離地面OA的豎直高度y（m）與離發(fā)射點O的水平距離x（m）的幾組關(guān)系數(shù)據(jù)如下：水平距離x（m）0341015202227豎直高度y（m）03.244.168987.043.24（1）根據(jù)如表，請確定拋物線的表達(dá)式；（2）請計算當(dāng)水火箭飛行至離發(fā)射點O的水平距離為5m時，水火箭距離地面的豎直高度．【分析】（1）依據(jù)題意可得，拋物線的對稱軸是直線x＝＝15，故拋物線的頂點為（15，9），從而可設(shè)拋物線為y＝a（x﹣15）2+9，又拋物線過（10，8），求出a即可得解；（2）依據(jù)題意，結(jié)合（1）y＝﹣（x﹣15）2+9，令x＝5，則y＝﹣（5﹣15）2+9＝5，計算即可得解．【解答】解：（1）由題意可得，拋物線的對稱軸是直線x＝＝15，∴拋物線的頂點為（15，9）．∴可設(shè)拋物線為y＝a（x﹣15）2+9．又拋物線過（10，8），∴25a＝﹣1．∴a＝﹣．∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x﹣15）2+9．（2）由題意，結(jié)合（1）y＝﹣（x﹣15）2+9，∴令x＝5，則y＝﹣（5﹣15）2+9＝5．∴水火箭距離地面的豎直高度為5m．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵．23．（6分）觀察發(fā)現(xiàn)：勞動人民在生產(chǎn)生活中創(chuàng)造了很多取材簡單又便于操作的方法，正如木匠劉師傅的“木條畫直角法”．如圖1，他用木條能快速畫出一個以點A為頂點的直角，具體作法如下：①木條的兩端分別記為點M，N，先將木條的端點M與點A重合，任意擺放木條后，另一個端點N的位置記為點B，連接AB；②木條的端點N固定在點B處，將木條繞點B順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度，端點M的落點記為點C（點A，B，C不在同一條直線上）；③連接CB并延長，將木條沿點C到點B的方向平移，使得端點M與點B重合，端點N在CB延長線上的落點記為點D；④用另一根足夠長的木條畫線，連接AD，AC，則畫出的∠DAC是直角．操作體驗：（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”中的信息重現(xiàn)劉師傅的畫法．如圖2，BA＝BC．請畫出以點A為頂點的直角，記作∠DAC；推理論證：（2）如圖1，小亮嘗試揭示此操作的數(shù)學(xué)原理，請你補全括號里的證明依據(jù)：證明：∵AB＝BC＝BD，∴△ABC與△ABD是等腰三角形．∴∠BCA＝∠BAC，∠BDA＝∠BAD．（依據(jù)1）∴∠BCA+∠BDA＝∠BAC+∠BAD＝∠DAC．∵∠DAC+∠BCA+∠BDA＝180°，（依據(jù)2）∴2∠DAC＝180°．∴∠DAC＝90°．依據(jù)1：等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）：依據(jù)2：三角形內(nèi)角和定理；拓展探究：（3）小亮進一步研究發(fā)現(xiàn)，用這種方法作直角存在一定的誤差，用平時學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖的方法可以減少誤差．如圖3，點O在直線l上，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖3中作出一個以O(shè)為頂點的直角，記作∠POQ，使得直角邊OP（或OQ）在直線l上．（保留作圖痕跡，不寫作法）【分析】（1）根據(jù)“觀察發(fā)現(xiàn)”延長CB至點D，且DB＝CB，連接CA，AD即可知以點A為頂點的∠DAC為直角；（2）根據(jù)作圖可知利用了等邊對等角，以及三角形內(nèi)角和定理；（3）根據(jù)過定點作已知直線的垂線的方法作圖即可．【解答】解：（1）；（2）依據(jù)1：等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；依據(jù)2：三角形內(nèi)角和定理；故答案為：等邊對等角（等腰三角形的性質(zhì)）；三角形內(nèi)角和定理；（3）．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理以及尺規(guī)作圖的作垂線操作體驗．24．（6分）為落實“雙減”政策，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的時代新人，某校組織調(diào)研學(xué)生體育和美育發(fā)展水平．現(xiàn)從七年級共180名學(xué)生中隨機抽取20名學(xué)生，對每位學(xué)生的體育和美育水平進行測評后按百分制分?jǐn)?shù)量化，并進行等級評定（成績用x表示，分為四個等級，包括優(yōu)秀：90≤x≤100；良好：80≤x＜90；合格：70≤x＜80；待提高：x＜70）．對數(shù)據(jù)進行整理，描述和分析，部分信息如下．信息一：體育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布圖如圖．信息二：美育成績的人數(shù)（頻數(shù)）分布表如下．分組90≤x≤10080≤x＜9070≤x＜80x＜70人數(shù)m727信息三：20位學(xué)生的體育成績和美育成績得分統(tǒng)計如下（共20個點）．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）填空：m＝4；（2）下列結(jié)論正確的是①③；（填序號）①體育成績低于80分的人數(shù)占抽取人數(shù)的40%；②參與測評的20名學(xué)生美育成績的中位數(shù)對應(yīng)的等級是“合格”；③在信息三中，相比于點A所代表的學(xué)生，點B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進一步提升；（3）請結(jié)合以上信息，估計七年級全體學(xué)生中體育和美育兩項成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù)．【分析】（1）用樣本總體減去良好、合格、待提高成績的人數(shù)即可得出答案；（2）①用體育成績低于80分的人數(shù)8除以樣本總體20即可得出判斷；②用中位數(shù)的定義判斷即可；③根據(jù)坐標(biāo)得出點A和點B各自的美育和體育的成績判斷即可；（3）用樣本估計總體即可．【解答】解：（1）m＝20﹣7﹣2﹣7＝4，故答案為：4，（2）①根據(jù)20位學(xué)生的體育成績得分統(tǒng)計圖可知：體育成績低于80分的人數(shù)有8人，因此體育成績低于80分的人數(shù)有占抽取人數(shù)的（8÷20）×100%＝40%，故①正確；②根據(jù)20位學(xué)生的美育成績得分統(tǒng)計圖可知一共有20人，成績從小到大排序，中位數(shù)為第10位和第11位的平均數(shù)，因此中位數(shù)位于80≤x＜90之間，即參與測評的20名學(xué)生美育成績的中位數(shù)對應(yīng)的等級是“良好”，故②錯誤；③在信息三中，點A的美育成績?yōu)?0，體育成績?yōu)?0，點B的美育成績?yōu)?0，體育成績?yōu)?0，所以相比于點A所代表的學(xué)生，點B所代表的學(xué)生的體育水平與其大致相同，但美育水平還存在一定差距，需要進一步提升，故③正確；故答案為：①③；（3）根據(jù)信息三，可知：美育和體育成績都在90分以及以上的只有2人，故七年級全體學(xué)生中體育和美育兩項成績均屬于“優(yōu)秀”等級的人數(shù)有180×＝18（人）．【點評】本題主要考查了頻數(shù)分布圖和分布表，個體占比，中位數(shù)的意義，用樣本估計總體等知識，能從圖表中獲取有用信息進行分析是解題的關(guān)鍵．25．（6分）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復(fù)擺動的裝置．某興趣小組利用擺球和擺線進行與單擺相關(guān)的實驗探究，并撰寫實驗報告如下．實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化實驗用具擺球，擺線，支架，攝像機等實驗說明如圖1，在支架的橫桿點O處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球開始往復(fù)運動．（擺線的長度變化忽略不計）如圖2，擺球靜止時的位置為點A，拉緊擺線將擺球拉至點B處，BD⊥OA．∠BOA＝64°，BD＝20.5cm；當(dāng)擺球運動至點C時，∠COA＝37°，CE⊥OA．（點O，A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)）實驗圖示解決問題：根據(jù)以上信息，求ED的長．（結(jié)果精確到0.1cm）參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05．【分析】在Rt△BOD中，根據(jù)BD的長，由tan∠BOA，求出OD的長，由sin∠BOA，求出OB的長，在Rt△COE中，根據(jù)OB＝OC，利用cos∠COE，求出OE的長，由OE﹣OD求出ED的長即可．【解答】解：在Rt△OBD中，∠ODB＝90°，∠BOA＝64°，BD＝20.5cm，∴tan∠BOA＝，sin∠BOA＝，∵2.05≈，0.90≈，∴OD≈10（cm），OB≈22.78（cm），在Rt△COE中，OC＝OB＝22.78cm，∠COA＝37°，∴cos∠COA＝，即cos37°≈，整理得：OE≈22.78×0.80≈18.224（cm），則ED＝OE﹣OD≈8.2（cm）．【點評】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．26．（7分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，點D為⊙O上一點，BC＝BD，延長BA至E，使得∠ADE＝∠CBA．（1）求證：ED是⊙O的切線；（2）若BO＝4，，求ED的長．【分析】（1）連接OD，則OD＝OB，進而得∠DBA＝∠BDO證明Rt△BCD和Rt△BDA全等得∠CBA＝∠DBA，根據(jù)∠ADE＝∠CBA，得∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，再根據(jù)∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°得∠ADE+∠ADO＝90°，即ED⊥OD，據(jù)此可得出結(jié)論；（2）根據(jù)BO＝4得AB＝2OB＝8，則EB＝AE+8，根據(jù)∠CBA＝∠DBA得tan∠DBA＝，則tan∠DBA＝AD/BD＝，設(shè)AD＝a，BD＝2a，證明△EAD∽△EDB得ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，由AE：ED＝a：2a，得AE＝ED，由ED：（AE+8）＝a：2a，得2ED＝AE+8，則2ED＝ED+8，據(jù)此可得ED的長．【解答】（1）證明：連接OD，如圖所示：∵AB為⊙O的直徑，∴∠BCD＝∠BDA＝90°，OB＝OD，∴∠DBA＝∠BDO，在Rt△BCA和Rt△BDA中，，∴Rt△BCA≌Rt△BDA（HL），∴∠CBA＝∠DBA，∵∠ADE＝∠CBA，∠DBA＝∠BDO，∴∠ADE＝∠DBA＝∠BDO，∵∠BDO+∠ADO＝∠BDA＝90°，∴∠ADE+∠ADO＝90°，即ED⊥OD，∵OD為⊙O的半徑，∴ED是⊙O的切線；（2）解：∵BO＝4，∴AB＝2OB＝8，∴EB＝AE+AB＝AE+8，∵tan∠CBA＝，∠CBA＝∠DBA，∴tan∠DBA＝，在Rt△ABD中，tan∠DBA＝，∴設(shè)AD＝a，BD＝2a，∵∠ADE＝∠DBA，∠E＝∠E，∴△EAD∽△EDB，∴ED：EB＝AE：ED＝AD：BD，即ED：（AE+8）＝AE：ED＝a：2a，由AE：ED＝a：2a，得：AE＝ED，由ED：（AE+8）＝a：2a，得：2ED＝AE+8，∴2ED＝ED+8，∵ED＝．【點評】此題主要切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運用相似三角形的性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)進行計算是解決問題的關(guān)鍵．27．（8分）綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學(xué)綜合實踐課上，同學(xué)們以特殊三角形為背景．探究動點運動的幾何問題．如圖，在△ABC中，點M，N分別為AB，AC上的動點（不含端點），且AN＝BM．【初步嘗試】（1）如圖1，當(dāng)△ABC為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到MD，連接BD，則MN＝DB，請思考并證明；【類比探究】（2）小梁嘗試改變?nèi)切蔚男螤詈筮M一步探究：如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE⊥MN于點E，交BC于點F，將MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到MD，連接DA，DB．試猜想四邊形AFBD的形狀，并說明理由；【拓展延伸】（3）孫老師提出新的探究方向：如圖3，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，連接BN，CM，請直接寫出BN+CM的最小值．【分析】（1）證明△ANM≌△MBD（SAS），得到MN＝DB；（2）證明AD∥BF，DB∥AF，得出四邊形AFBD為平行四邊形；（3）過點A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，連接GM、GC，BG，延長CB，過點G作GO⊥CB于點O，當(dāng)點G、M、C三點共線時，BN+CM的值最小，最小值為CG的值，在Rt△GOC中，，得出BN+CM的最小值為．【解答】（1）證明：∵△ABC為等邊三角形，∴∠A＝60°，AB＝AC，∵MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到MD，∴DM＝AM，∠AMD＝120°，∴∠DMB＝60°，∵AN＝BM，∠DMB＝∠A＝60°，∴△ANM≌△MBD（SAS），∴MN＝DB；（2）解：四邊形AFBD為平行四邊形，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵MA繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到MD，∴MA＝MD，∠MAD＝∠MDA＝45°，∠DMA＝∠DMB＝90°，∴∠MAD＝∠ABF＝45°，則AD∥BF，在△ANM和△MBD中，，∴△ANM≌△MBD（SAS），∴∠AMN＝∠MDB，∵AE⊥MN，∴∠AMN+∠MAE＝90°，∵∠MDB+∠MBD＝90°，∴∠DBM＝∠MAF，∴DB∥AF，∴四邊形AFBD為平行四邊形；（3）解：如圖，過點A作∠BAG＝45°，使AG＝CB，連接GM、GC，BG，延長CB，過點G作GO⊥CB于點O，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠GAM＝∠BCN＝45°，∵