安徽省蕪湖市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期蕪湖市中學(xué)教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控高一年級(jí)數(shù)學(xué)試題卷本試題卷共4頁，22小題，滿分100分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校、考場(chǎng)/座位號(hào)、班級(jí)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卷上，將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卷上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息，點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試題卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效.4．考生必須保證答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將試題卷和答題卷一并交回.一、單選題（本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解方程得到，利用并集求出答案.【詳解】，故.故選：A2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，即可判斷.【詳解】的否定是，故選：C.3.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】通過求出，代入所求式消元，運(yùn)用基本不等式求解即得.【詳解】由可知，則，代入得：，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：D.4.下列函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷和單調(diào)性，判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，,所以是偶函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故A正確.對(duì)于選項(xiàng)B，非奇非偶，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，所以是奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，所以是偶函數(shù)，但是在有增有減，故D錯(cuò)誤.\故選：A5.“古典正弦”定義為：在如圖所示的單位圓中，當(dāng)圓心角的范圍為時(shí)，其所對(duì)的“古典正弦”為（為的中點(diǎn)）．根據(jù)以上信息，當(dāng)圓心角對(duì)應(yīng)弧長時(shí)，的“古典正弦”值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的定義，結(jié)合圓的性質(zhì)求出的“古典正弦”值.【詳解】由圓心角對(duì)應(yīng)弧長，得圓心角弧度數(shù)絕對(duì)值為2，則，所以.故選：B6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則可以是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)定義域、奇偶性及當(dāng)時(shí)值情況判斷即得.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，不符合題意，A不是；對(duì)于B，函數(shù)的定義域?yàn)?，圖象不過原點(diǎn)，不符合題意，B不是；對(duì)于C，函數(shù)的定義域?yàn)镽，，函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，的圖象恒在函數(shù)的上方，恒有，符合題意，C是；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，則，而函數(shù)在上的取值集合是，因此函數(shù)在上無最大值，不符合題意，D不是.故選：C7.已知，則以下四個(gè)數(shù)中最大的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，推導(dǎo)出，再利用對(duì)數(shù)的單調(diào)性可得出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，如下圖所示：設(shè)銳角，銳角的終邊交單位圓于點(diǎn)，設(shè)射線交過點(diǎn)且與單位圓相切的直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，則，，，因?yàn)?，即，即，因?yàn)?，則，，所以，，，又因?yàn)?，則，所以，，所以，，故選：D.8.函數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得到，繼而換元，令，再結(jié)合求解二次函數(shù)的最值問題，即可求得答案.【詳解】由，設(shè)，故，令，則，當(dāng)時(shí)，取到最大值，故y的最大值為，即函數(shù)的最大值為，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用兩邊取對(duì)數(shù)再結(jié)合換元的方法，將原問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題.二、多選題（本題共4小題，每小題4分，共16分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得4分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.已知角的頂點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，現(xiàn)將角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后與角的終邊重合，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義及誘導(dǎo)公式求解即得.【詳解】依題意，，A錯(cuò)誤，B正確；又，因此，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：BC10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的定義域?yàn)锽.是偶函數(shù)C.的值域?yàn)镈.【答案】BCD【解析】【分析】由分母不為0判斷A,奇偶性定義判斷B,分離參數(shù)求解值域判斷C;代值化簡(jiǎn)判斷D.【詳解】有意義,則解得，故的定義域?yàn)?，A錯(cuò)；的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，故是偶函數(shù)，B對(duì)；,令，易知在單調(diào)遞增，故或，即的值域?yàn)?，C正確；，故D正確.故選：BCD11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式整體求值判斷A,同角三角函數(shù)基本關(guān)系判斷B,利用二倍角余弦公式判斷CD.【詳解】已知，則,A正確；因?yàn)?則，故，故B錯(cuò)誤；，C正確；，故，D正確.故選：ACD12.已知函數(shù)，則（）A.是周期函數(shù)B.的最小值是C.的圖象至少有一條對(duì)稱軸D.在上單調(diào)遞增【答案】BCD【解析】【分析】由周期定義判斷A，整體和復(fù)合函數(shù)思想判斷BD，對(duì)稱性質(zhì)判斷C.【詳解】若是周期函數(shù)，則存在非零常數(shù),使得，化簡(jiǎn)得，則，或，可知均與x有關(guān)，故非零常數(shù)不存在，A錯(cuò)誤；令，則，故的最小值是，故B正確；結(jié)合B選項(xiàng)，因?yàn)?，故圖象的對(duì)稱軸為，故C正確；由B易知：在單調(diào)遞增，且，故單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查三角函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用，注意復(fù)合函數(shù)思想應(yīng)用判斷BD.三、填空題（本題共4小題，每題4分，共16分．）13.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和過點(diǎn)，求解解析式.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)，則，又由過點(diǎn)，所以，故，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用奇函數(shù)的定義可得出，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算可得出實(shí)數(shù)的值.【詳解】設(shè)，則，可得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，則，即，即，解得.故答案為：.15.已知，符號(hào)表示不大于的最大整數(shù)，比如，，若函數(shù)有且僅有個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解】當(dāng)時(shí)，由可得，問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則有，可得；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，則有，可得.由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.若函數(shù)與在區(qū)間單調(diào)性一致，則的最大值為_________．【答案】##【解析】【分析】要考慮的最大值，只需考慮，當(dāng)時(shí)，求出、的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】要考慮的最大值，只需考慮，當(dāng)時(shí)，則，，所以，函數(shù)與在區(qū)間上同時(shí)單調(diào)遞增，則，解得，故的最大值為.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共44分．）17.化簡(jiǎn)求值：（1）；（2）．【答案】17.18.1【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算出答案；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到答案.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】原式．18.如圖，動(dòng)點(diǎn)從邊長為2的正方形的頂點(diǎn)開始，順次經(jīng)過點(diǎn)繞正方形的邊界運(yùn)動(dòng)，最后回到點(diǎn)，用表示點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的的路程，表示的面積，求函數(shù)．（當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，規(guī)定）【答案】【解析】【分析】依據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況分類討論求面積即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，.19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等變換化簡(jiǎn)的解析式，再利用單調(diào)性質(zhì)求解；（2）由圖象變換得解析式，再利用整體法求值域.【小問1詳解】因?yàn)椋?，?所以的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得到，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變得到，當(dāng)，故，所以的值域?yàn)椋?0.設(shè)函數(shù)，關(guān)于的一元二次不等式的解集為．（1）求不等式的解集；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或（2）．【解析】【分析】（1）利用韋達(dá)定理求參數(shù)后再解不等式即可.（2）對(duì)變量范圍進(jìn)行討論，分離參數(shù)法求解參數(shù)即可.【小問1詳解】因?yàn)橐辉尾坏仁降慕饧癁?，所以?是方程的兩個(gè)實(shí)根，則，解得．因此所求不等式即為：，解集為或．【小問2詳解】可化為：，當(dāng)時(shí)顯然成立；當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，令，則，當(dāng)，即時(shí)，所以，即．21.如圖，已知是之間的一點(diǎn)，點(diǎn)到的距離分別為，且是直線上一動(dòng)點(diǎn)，作，且使與直線交于點(diǎn)．設(shè)．（1）若，求的最小值；（2）若，求周長的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可得，即，進(jìn)而利用基本不等式即可求解；（2）由題意可得，由勾股定理得，進(jìn)而得的周長，令，利用輔助角公式求的取值范圍，在利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，從而進(jìn)行化簡(jiǎn)并利用函數(shù)的單調(diào)性求最小值.小問1詳解】由題意知，，于是，則.當(dāng)時(shí)，，即，所以，又，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故最小值為.【小問2詳解】由題意知：，因?yàn)?，所以，又中，所以的周長，令，由得，所以周長，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)，即時(shí)周長最小，最小值為．故當(dāng)時(shí)，周長最小值為.22.已知函數(shù)．（1）若，且圖象關(guān)于對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，（i）方程恰有一個(gè)實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）設(shè)，若對(duì)任意，當(dāng)時(shí)，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）．【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性與對(duì)稱性待定系數(shù)計(jì)算即可；（2）（i）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性含參討論解方程即可；（ii）利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性先確定單調(diào)遞減，借助函數(shù)單調(diào)性將條件不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，變換主元利用二次函數(shù)的性質(zhì)及計(jì)算即可.【小問1詳解】由題意知圖象關(guān)于對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，即，所以，故；【小問2詳解】由題意知，（i）方程，所以，整理可得，，即，當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，此時(shí)，不符合條件；當(dāng)時(shí)，同上，解方程得，也不符合條件；當(dāng)且時(shí)，方程有兩不等解，若滿足，則，若滿足，則，顯然若時(shí)，