數(shù)學二階線性微分方程理論及解法課件

34-12024/8/28二階線性微分方程：時,稱為二階非齊次線性微分方程.時,稱為二階齊次線性微分方程；復習:

一階非齊次線性微分方程：通解:非齊次方程特解齊次方程通解Y第1頁/共34頁34-22024/8/28證畢.一、二階齊次線性微分方程解的結構是二階線性齊次微分方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得（解的疊加原理）定理1.第2頁/共34頁34-32024/8/28注：未必是已知方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解！但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關性的概念.第3頁/共34頁34-42024/8/28定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個函數(shù),使得則稱這

n個函數(shù)在I

上線性相關,否則稱為線性無關.例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關;又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必須全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關.若存在不全為0

的常數(shù)第4頁/共34頁34-52024/8/28☆

兩個函數(shù)線性相關性的充要條件：線性相關線性無關常數(shù)注：0與任意函數(shù)必線性相關成比例！不成比例！即第5頁/共34頁34-62024/8/28定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關特解,則為該方程的通解.例如,方程有特解且故方程的通解為推論*.是

n

階齊次線性微分方程的n

個線性無關解,則該方程的通解為第6頁/共34頁34-72024/8/28二、二階非齊次線性微分方程解的結構是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解

.證:

將代入方程①左端,得②①證畢！又Y中含有兩個獨立任意常數(shù)，即y是①的解.第7頁/共34頁34-82024/8/28例如,

方程有特解而對應齊次方程的通解為因此該方程的通解為第8頁/共34頁34-92024/8/28推廣*.是對應齊次方程的n

個線性無關特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次線性微分方程通解非齊次線性微分方程特解第9頁/共34頁34-102024/8/28定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.（非齊次方程之解的疊加原理）第10頁/共34頁34-112024/8/28常數(shù),則該方程的通解是().設線性無關函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例1.提示:線性無關.（反證法可證）（89考研）第11頁/共34頁34-122024/8/28例2.

已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關,故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三第12頁/共34頁34-132024/8/28三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法和它的導數(shù)只差常數(shù)倍,代入①得稱②為微分方程①的特征方程,1.當時,②有兩個相異實根方程有兩個線性無關的特解:因此方程的通解為(r

為待定常數(shù)),①所以令①的解為②則微分其根稱為特征根.第13頁/共34頁34-142024/8/282.當時,

特征方程有兩個相等實根則微分方程有一個特解設另一特解，u(x)待定.代入方程得:是特征方程的二重根取u=x,則得因此原方程的通解為常數(shù)變易法第14頁/共34頁34-152024/8/283.當時,

特征方程有一對共軛復根此時微分方程有兩個復數(shù)解:

利用解的疊加原理，得原方程的線性無關特解:因此原方程的通解為在第十三章中介紹第15頁/共34頁34-162024/8/28小結:特征方程:實根特征根通解此表必背！第16頁/共34頁34-172024/8/28★

若含k

重復根★

若含k

重實根r,則其通解中必含則其通解中必含特征方程:推廣*：n階常系數(shù)齊次線性微分方程第17頁/共34頁34-182024/8/28例3.的通解.解:

特征方程特征根:因此原方程的通解為例4.

求解初值問題解:

特征方程有重根因此原方程的通解為利用初始條件得于是所求初值問題的解為第18頁/共34頁2024/8/28四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法根據(jù)解的結構定理，其通解為非齊次線性微分方程的一個特解對應齊次線性微分方程通解已經(jīng)解決面臨解決第19頁/共34頁34-202024/8/28求特解的方法①根據(jù)

f(x)的特殊形式,的待定形式,②代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù).—待定系數(shù)法1、2、第20頁/共34頁34-212024/8/281、設特解為其中為待定多項式,（其中為實數(shù)，為m

次多項式）則代入得化簡得第21頁/共34頁34-222024/8/28(1)若

非特征方程的根，故特解形式為則Q(x)為

m次多項式，(2)若是特征方程的單根，為m

次多項式,故特解形式為(3)若

是特征方程的重根,為m

次多項式,故特解形式為即即第22頁/共34頁34-232024/8/28結論對方程①,*注：此結論可推廣到高階情形！當是特征方程的k重根時,可設特解第23頁/共34頁34-242024/8/28例5.的一個特解.解：本題而特征方程為不是特征方程的根.故設所求特解為代入方程:比較系數(shù),得于是所求特解為第24頁/共34頁34-252024/8/28例6.的通解.

解：特征方程為其根為對應齊次方程的通解為設非齊次方程特解為比較系數(shù),得因此特解為代入方程得所求通解為解得第25頁/共34頁34-262024/8/28例7*.求解解：特征方程為其根為設非齊次方程特解為代入方程得對應齊次方程通解為故原方程通解為第26頁/共34頁34-272024/8/282、第二步求出如下兩個方程的特解分析思路*:第一步將f(x)轉化為第三步利用疊加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特點（歐拉公式）第27頁/共34頁34-282024/8/28結論:對于非齊次線性微分方程則可設特解:其中為特征方程的

k

重根(k=0,1),*注：此結論可推廣到高階情形！第28頁/共34頁34-292024/8/28例8.的一個特解.解：特征方程為故設特解為不是特征方程的根,代入方程得比較系數(shù)，得故一個特解為因為第29頁/共34頁34-302024/8/28例9.的通解.

解:特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數(shù)，得因此特解為代入得通解為為特征方程的單根,故設非齊次方程特解第30頁/共34頁34-312024/8/28例10*.解:(1)特征方程有二重根所以設非齊次方程特解為(2)特征方程有根利用疊加原理,可設非齊次方程特解為構造下列微分方程的特解形式：第31頁/共34頁34-322024/8/28內(nèi)容小結

為特征方程的k(＝0,1,2)重根,則設特解為為特征方程的k(＝0,