廣東省惠州市2025屆高三數(shù)學(xué)6月模擬試題理含解析

PAGE23-廣東省惠州市2025屆高三數(shù)學(xué)6月模擬試題理（含解析）全卷滿分150分，時間120分鐘.留意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號、學(xué)校、班級等考生信息填寫在答題卡上.2.作答選擇題時，選出每個小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案信息點(diǎn)涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，寫在本試卷上無效.3.非選擇題必需用黑色字跡簽字筆作答，答案必需寫在答題卡各題指定的位置上，寫在本試卷上無效.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.設(shè)集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出集合，然后再求并集運(yùn)算.【詳解】由，得集合B=所以A=故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的描述法和集合的并集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知為虛數(shù)單位，下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算對選項進(jìn)行逐一化簡可得答案．【詳解】對于A，不是純虛數(shù)；對于B，是實(shí)數(shù)；對于C，為純虛數(shù)；對于D，不是純虛數(shù).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．3.已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則（）A.170 B.190 C.180 D.189【答案】B【解析】【分析】把條件轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列的基本量，即和，依據(jù)條件列出方程組，解出和，利用等差數(shù)列求和公式可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，解得故選B項.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列通項和求和公式的考查，考查內(nèi)容比較單一，綜合性不高，屬于簡潔題.4.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，其始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)角終邊上的點(diǎn)坐標(biāo)，求得，代入二倍角公式即可求得的值.【詳解】由定義知sinα=，，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角恒等變換的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有三角函數(shù)的定義，正弦二倍角公式，嫻熟記憶公式即可解決，屬于基礎(chǔ)題目..5.函數(shù)的圖象大致形態(tài)是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別在和兩種狀況下得到函數(shù)解析式，依據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可推斷出所求函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而得到所求圖象.詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，，為上的增函數(shù)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知正確.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，解題關(guān)鍵是能夠通過分類探討的方式得到函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的解析式，進(jìn)而依據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性推斷出結(jié)果.6.已知某次考試之后，班主任從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本，他們的數(shù)學(xué)、物理成果（單位：分）對應(yīng)如下表，對應(yīng)散點(diǎn)圖如圖所示：學(xué)生編號12345678數(shù)學(xué)成果6065707580859095物理成果7277808488909395依據(jù)以上信息，則下列結(jié)論：①依據(jù)散點(diǎn)圖，可以推斷數(shù)學(xué)成果與物理成果具有線性相關(guān)關(guān)系；②依據(jù)散點(diǎn)圖，可以推斷數(shù)學(xué)成果與物理成果具有一次函數(shù)關(guān)系；③從全班隨機(jī)抽取2名同學(xué)（記為甲、乙），若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成果為80分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成果為60分，則可以推斷出甲同學(xué)的物理成果肯定比乙同學(xué)的物理成果高；④從全班隨機(jī)抽取2名同學(xué)（記為甲、乙），若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成果為80分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成果為60分，則不能推斷出甲同學(xué)的物理成果肯定比乙同學(xué)的物理成果高；其中正確的個數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】視察題中所給的散點(diǎn)圖，結(jié)合有關(guān)概念，對選項逐一分析，得到正確結(jié)果.【詳解】由散點(diǎn)圖知兩變量間是相關(guān)關(guān)系，非函數(shù)關(guān)系，所以①正確，②錯誤；利用概率學(xué)問進(jìn)行預(yù)料，得到結(jié)論有肯定的隨機(jī)性，所以③錯誤，④正確；所以正確命題的個數(shù)為2，故選：B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)相關(guān)關(guān)系的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有線性相關(guān)的有關(guān)概念，兩個量具有相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題目..7.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】依據(jù)各選項的條件及結(jié)論，可畫出圖形或想象圖形，再結(jié)合平行、垂直的判定定理即可找出正確選項．【詳解】選項A錯誤，同時和一個平面平行的兩直線不肯定平行，可能相交，可能異面；選項B錯誤，兩平面平行，兩平面內(nèi)的直線不肯定平行，可能異面；選項C錯誤，一個平面內(nèi)垂直于兩平面交線直線，不肯定和另一平面垂直，可能斜交；選項D正確，由，便得，又，，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查空間直線位置關(guān)系的判定，這種位置關(guān)系的推斷題，可以舉反例或者用定理簡潔證明，屬于基礎(chǔ)題.8.“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”是由中宣部主管，以深化學(xué)習(xí)宣揚(yáng)習(xí)近平新時代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員、面對全社會的優(yōu)質(zhì)學(xué)習(xí)平臺.該平臺設(shè)有“人物”、“視聽學(xué)習(xí)”等多個欄目.假設(shè)在這些欄目中，某時段“人物”更新了2篇文章，“視聽學(xué)習(xí)”更新了4個視頻.一位學(xué)習(xí)者打算從更新的這6項內(nèi)容中隨機(jī)選取2個視頻和2篇文章進(jìn)行學(xué)習(xí)，則這2篇文章學(xué)習(xí)依次相鄰的學(xué)法有（）種.A.36 B.48 C.72 D.144【答案】C【解析】【分析】依據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①在4個視頻中任選2個進(jìn)行學(xué)習(xí)，②再對2篇文章全選，最終利用利用捆綁法，結(jié)合分步計數(shù)原理計算可得答案．【詳解】依據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：從4個視頻中選2個有種方法，2篇文章全選種方法，2篇文章要相鄰則可以先捆綁看成1個元素，三個學(xué)習(xí)內(nèi)容全排列為種方法，最終須要對捆綁元素進(jìn)行松綁全排列，故滿意題意的學(xué)法有.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)，則周長的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】曲線右焦點(diǎn)為，周長要使周長最小，只需最小，如圖：當(dāng)三點(diǎn)共線時取到,故l=2|AF|+2a=故選B點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線的定義，兩條線段之和取得最小值的轉(zhuǎn)化，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.10.函數(shù)的最小正周期為，若其圖象向右平移個單位后得到函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（）A.關(guān)于點(diǎn)對稱 B.在上單調(diào)遞增C.關(guān)于直線對稱 D.在處取最大值【答案】A【解析】【分析】由最小正周期為得出，由的圖象向右平移個單位后得到函數(shù)為奇函數(shù)得出，進(jìn)而得出，然后依據(jù)正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)逐一對選型進(jìn)行推斷即可得出答案.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期為，可得，向右平移個單位后得到的函數(shù)為，因為此函數(shù)為奇函數(shù)，又，所以.故函數(shù)，對于選項：正確；對于選項：當(dāng)，不具有單調(diào)性，故B錯；對于選項：，故C錯；對于選項：，沒有取到最大值，，故D錯.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于中檔題.11.已知、、是在同一平面內(nèi)的單位向量，若與的夾角為，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出的值，設(shè)向量與的夾角為，利用平面對量數(shù)量積運(yùn)算律和定義可求得的最大值.【詳解】單位向量與的夾角為，則，，則，所以，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面對量數(shù)量積最值的計算，考查平面對量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律的應(yīng)用，考查計算實(shí)力，屬于中等題.12.已知偶函數(shù)的定義域為R，對，，且當(dāng)時，，若函數(shù)在R上恰有6個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)，運(yùn)用特別值法，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可以求出，這樣可以求出函數(shù)的周期，函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】令，則，所以，所以，即函數(shù)的周期為2.若恰有6個零點(diǎn)，則，則的圖象與有6個不同的交點(diǎn)，因為和均為偶函數(shù)且，故的圖象與在上有三個不同的交點(diǎn).畫出函數(shù)和的圖象如下圖所示，由圖可知：，得，，得，.（或即，故）故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)周期性、奇偶性的應(yīng)用，考查了利用數(shù)形結(jié)合法求解已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.設(shè)直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)的值是_______.【答案】4【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，得切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線方程可得參數(shù)值．【詳解】∵，∴，∵直線是曲線的一條切線，∴，解得，即切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，代入曲線方程得切點(diǎn)坐標(biāo)，∵切點(diǎn)在切線上，∴，解得，∴實(shí)數(shù)m的值為4.故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)是解題基礎(chǔ)，本題屬于基本題．14.已知數(shù)據(jù)的方差為4，若，則新數(shù)據(jù)的方差為___________.【答案】16【解析】【分析】依據(jù)方程的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則的方差為；因為的方差為4，且，則的方差為.故答案為：16【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的性質(zhì)：若樣本數(shù)據(jù)的方差為，則的方差為.屬于基礎(chǔ)題.15.已知數(shù)列滿意，，則________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)遞推公式逐項計算可得的值.【詳解】且，則，，，，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式寫出數(shù)列中的項，考查計算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.16.在平面上給定相異兩點(diǎn)A,B，設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿意，當(dāng)λ＞0且λ≠1時，P點(diǎn)的軌跡是一個圓，這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)覺，故我們稱這個圓為阿波羅斯圓，現(xiàn)有橢圓,A,B為橢圓的長軸端點(diǎn)，C,D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動點(diǎn)P滿意，△PAB面積最大值為,△PCD面積最小值為，則橢圓離心率為______．【答案】【解析】【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式求得點(diǎn)的軌跡方程，依據(jù)兩個三角形面積的最值列方程，由此求得的值及離心率的值.【詳解】依題意，設(shè)，依題意的,，兩邊平方化簡得，故圓心為，半徑.所以的最大面積為，解得，的最小面積為，解得.故橢圓離心率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查阿波羅斯圓軌跡方程的求法，考查三角形的面積公式，考查橢圓的離心率以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.要求一個動點(diǎn)的軌跡方程，可以先設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入題目所給的方程，如本題中比值為這個方程，化簡后可求得動點(diǎn)的軌跡方程.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，已知內(nèi)角所對的邊分別為，向量，向量，且，角為銳角.（1）求角的大小；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得，再化簡得到角的大小；（2）先利用余弦定理得到，利用重要不等式可以整理得出，之后應(yīng)用三角形的面積公式求得最大值，留意等號成立的條件；也可以應(yīng)用正弦定理，將邊用角表示，之后將面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的正弦型函數(shù)，求函數(shù)最值即可.【詳解】（1）解法一：由得，即所以，為銳角，，，即解法二：由得，即所以即，，即為銳角，所以.（2）解法一：，由余弦定理，得又代入上式得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號成立.，故的面積最大值為.解法二：，由正弦定理，得所以，--由因為，則當(dāng)即時，，故的面積最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，考查余弦定理解三角形、利用不等式求最值；正弦定理解三角形和三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.18.已知幾何體中，，，，面，，.（1）求證：平面平面；（2）求二面角E－BD－F的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由勾股定理逆定理證得，再由已知得平面，，從而有線面垂直，得面面垂直；（2）分別以DA、DC所在直線為軸、軸，以D為垂足作面DAC的垂線DZ為軸，建系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出二面角兩個面的法向量，由法向量夾角的余弦值得二面角的余弦值（留意推斷二面角是銳角還是鈍角）．【詳解】（1）證明：在直角梯形中由已知可得，且面，平面，面，，，面，面∴面且面，故面面；（2）分別以DA、DC所在直線為軸、軸，以D為垂足作面DAC的垂線DZ為軸，建系如圖，則，設(shè)面DEB的法向量為，則，取，則，故設(shè)面DBF的法向量為，則，取，則，故則，由圖可得二面角E-BD-F的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的證明，考查用空間向量法求二面角，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，把求二面角問題化為純粹的計算．19.某種水果依據(jù)果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果，優(yōu)質(zhì)果，精品果，禮品果.某選購 商從選購 的一批水果中隨機(jī)抽取100個，利用水果的等級分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個數(shù)10304020（1）用樣本估計總體，果園老板提出兩種購銷方案給選購 商參考：方案1：不分類賣出，單價為20元/.方案2：分類賣出，分類后的水果售價如下表：等級標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果售價（元/）16182224從選購 商的角度考慮，應(yīng)當(dāng)采納哪種方案較好？并說明理由.（2）從這100個水果中用分層抽樣的方法抽取10個，再從抽取的10個水果中隨機(jī)抽取3個，表示抽取到精品果的數(shù)量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）分布列見解析；期望為.【解析】【分析】（1）計算方案2的數(shù)學(xué)期望值，與方案1比較、分析，即可得到答案；（2）用分層抽樣法求抽出精品果個數(shù)，計算對應(yīng)概率值，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．【詳解】（1）解答一：設(shè)方案2的單價為，則單價的期望值為：因為，所以從選購 商的選購 資金成本角度考慮，實(shí)行方案1比較好.-解答二：設(shè)方案2的單價為，則單價的期望值為：雖然，，但從選購 商后期對水果分類的人力資源和時間成本角度考慮，實(shí)行方案2較好.（2）用分層抽樣的方法從100個水果中抽取10個，則其中精品果4個，非精品果6個.現(xiàn)從中抽取3個，則精品果的數(shù)量X聽從超幾何分布，X全部可能的取值為：0，1，2，3.則，，，全部X的分布列如下：X0123P【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，也考查了概率與統(tǒng)計學(xué)問的應(yīng)用問題，是中檔題．20.已知直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且與圓相切.（1）求直線在x軸上截距的取值范圍；（2）設(shè)F是拋物線的焦點(diǎn)，，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】(1)設(shè)直線的方程為，依據(jù)與圓相切可得，再聯(lián)立拋物線的方程，依據(jù)判別式大于0可得或，再結(jié)合求解的取值范圍即可.(2)設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線的方程，代入韋達(dá)定理化簡，結(jié)合(1)中可得關(guān)于的方程求解即可.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，的圓心為，半徑為1.由直線與圓相切得：，化簡得，直線的方程代入拋物線，消去得：，由直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，得，將代入不等式，得或，留意到或綜上知，c的取值范圍是（2）設(shè)由得將代入上式，由，得，所以，解得或（舍去），-故所以直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題主要考查了聯(lián)立直線與拋物線方程，利用判別式以及直線滿意的條件，求解參數(shù)的問題.同時也考查了利用韋達(dá)定理代入所給條件，求解參數(shù)的問題.屬于中檔題.21.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)，時，恒成立，求的范圍；（2）若在處的切線為，求、的值.并證明當(dāng)時，.【答案】（1）（2）見解析【解析】【試題分析】（1）當(dāng)時，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，最小值為.（2）利用切點(diǎn)和斜率為建立方程組，解方程組求得的值.利用導(dǎo)數(shù)證得先證，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證，從而證明原不等式成立.【試題解析】解：由，當(dāng)時，得.當(dāng)時，，且當(dāng)時，，此時.所以，即在上單調(diào)遞増，所以，由恒成立，得，所以.（2）由得，且.由題意得，所以.又在切線上.所以.所以.所以.先證，即，令，則，所以在是增函數(shù).所以，即.①再證，即，令，則，時，，時，，時，.所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以.即，所以.②由①②得，即在上成立.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式.第一問由于題目給出，并且導(dǎo)函數(shù)沒有含有，故可干脆有導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此得到函數(shù)的最小值，令函數(shù)的最小值大于或等于零，即可求得的取值范圍，從而解決了不等式恒成立問題.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.答題時請在答卷中寫清題號并將相應(yīng)信息點(diǎn)涂黑.[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐