2024年中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題典型例題分類

2024年中考數(shù)學二次函數(shù)壓軸題典型例題分類

垂直平分線

方法說明

垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線。

如圖，若OA=OB,且直線1LAB,則直線1是線段AB的垂直平分線.

垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的任意一點與這條線段兩個端點的距離相等。如圖,PA=PB。

典型例題

例1在平面直角坐標系中，拋物線y=-#+b久+c經(jīng)過點看和點B(4,0),與y軸交于點C,點P為為物線上一動

點。

(D求拋物線和直線AB的解析式。

(2)如圖，點P為第一象限內(nèi)拋物線上的點，過點P作PDLAB,垂足為D,作PE_Lx軸,垂足為E,交AB于點F,設(shè)APDF的面積為

Si,△BEF的面積為Sz,當年=豢寸.求點P坐標。

(3)點N為拋物線對稱軸上的動點，是否存在點N,使得直線BC垂直平分線段PN?若存在，請直接寫出點N坐標，若不存在，

思路點撥

(1)根據(jù)待定系數(shù)法，把點A,B的坐標分別代入拋物線和直線AB的解析式即可。

(2)本題有兩種方向，一種是用未知數(shù)表示出S】和Sz,代入已知條件解方程，另一種是根據(jù)相似把Si與S2的比轉(zhuǎn)化為線段

的比，再進行求解。

(3)設(shè)直線BC與拋物線的對稱軸交于點E。由已知條件易得△BOC為等腰直角三角形，則BC與拋物線的對稱軸的夾角為45。。

若直線BC垂直平分線段PN,則NBEP=NBEN=45。且NE=PEO此時PE與x軸平行，那么易得點P的坐標，進而根據(jù)NE=PE求出點

N的坐標。當然，本題還可以根據(jù)直線BC垂直平分線段PN構(gòu)造全等三角形進行求解。

解題過程

111,27

一爐廠7#+。=看b=l

解:⑴：拋物線y=-\x2+bx+c經(jīng)過點4(-］高和點B(4,0),

/xl6+4b+c=0口=4,，拋物線的解析式為y

1O

=--X+汽+4。

127z3

T+bf'=豆，解得/=一/直線AB的解析式為y=-jx+3.

(4k+b'=0(，=34

(2)【方法一】

如圖，設(shè)直線AB與y軸交于點G,.IG(0,3),OG=3。

YOB=4,/BOG=90。,BG=5....sinzOBG啜哼

VPD±AB,PE±x軸,ZPDF=ZBEF=90°o

?/ZPFD=ZBFE,AAPDF^ABEF,???$=儒。

,4=￡?,￡=.即5PF=7BFO

、2brb

設(shè)點P的橫坐標為m，則P(m,—|^2+m+4)(0<m<4),F(m>—|m+3^,E(m,0)PF——1m2+m+4-m+3^=

1c273BF2

——m+-m+1,BE=4—m,FE=——m+3。==-：租+5,；?5(-|m+^m+l)=7(-1m+5),解得mx=3,m2

244

=4(舍去),P(3,§。

【方法二】

如圖，設(shè)直線AB與y軸交于點G,AG(0,3),OG=3,OB=4,BG=5o

VPD±AB,PE±OB,.\ZPDF=ZBEF=ZGOB=90°o

?/ZP+/PFD=NBFE+/OBE=90°,NPFE=ZBFE,ZP=ZOBE,AAPDF^ABOG,/.PD:DF:PF=OB:OG\AB=4:3:5,:.PD

=^PF,DF=|PF,SL/PD.DF=

設(shè)點P的橫坐標為m,則P(m,—^m2+m+4)(0<m<4),F(m>—|mPF=—|m2+m+4—(一*0

27n22

+3^=—jm++1,BE=4—m,FE=-+3,???=卷(一巳病+j+1)=—4).(2m+V),S2=|?BE-FF=|(4

-m).(-*+3)=1(m-4)2。

22

咤=孩,二島(血-4-(2m+l)]:[|(m-4)]=.解得=3,m2=一4(舍去),:.P(3,|)。

(3)存在點N，使得直線BC垂直平分線段PN,點N的坐標為(1，3-停)或(1,3+V3)o理由如下。

【方法一】

如圖，設(shè)BC與對稱軸交于點E,過點E作x軸的平行線分別交拋物線于點Pi,P2,Z.ZP2EB=ZOBC=45°o

???ZBDE=90°,ZOBC=45°,AZOBC=ZDEB=45°,.，.DE=BD=3,AE(l,3)o

乙PzEB=乙DEB=45。,直線PxP2和直線DE都經(jīng)過點E,.?.直線P】P?和直線DE關(guān)于直線BC對稱。

當y=3時,一。/+久+4=3,解得久1=+V3,x2=1-V5,Pt（l-3）,P2（l+V3,3）,PrE=P2E=VL

...直線BC垂直平分線段PN,.,.PE=NE,ENi=EN2=PrE=P2E=W.點N的坐標為（（h3-舊）或（1-3+V3）.

存在點N，使得直線BC垂直平分線段PN,此時點N的坐標為（（1，3-V5）或（（1，3+V3）.

【方法二】

拋物線y=+x+4與y軸交于點C,；.C（0,4）,，OB=OC=4,.,.ZOBC=ZOCB=45°o

①如圖，當點P在直線AB上方時，過點P作PH〃x軸過點B作x軸的垂線交PH于點H。

：BC垂直平分PN,BN=BP,NPBC=NNBC。

ZOBC=ZCBH=45°,/.ZPBH=ZOBNo

ZH=ZBKN=90°,二APHBANKB（AAS）,HB=BK,PH=NKO

拋物線的對稱軸為x=l,BK=3,BH=3。

2

當y=30^,-1x+x+4=3,解得小=1+V3,x2=1-遍（舍去），P（1+V5,3）。:NK=PH=4-（1+相）=3-痘，:.N

（L3-V3）O

②當點P在直線AB下方時，過點N作NM〃x軸，過點B作x軸的垂線BM交NM于點M,過點P作PQ_Lx軸于點Qo

角的平分線

方法歸納

角的平分線的定義：一般地，從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫作這個角的平分線。三角形的角平

分線是線段。

如圖,若NAOC=NBOC,則射線0C是NAOB的平分線。

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。如圖，若PD_LOA,PE_LOB,則PD=PE。

典型例題

例2如圖拋物線y=ax2+bx-3與x軸交于A(-1,O),B(3,O)兩點，與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點。

(D求拋物線的解析式。

(2)點N是y軸負半軸上的一點,且ON=魚,，點Q在對稱軸右側(cè)的拋物線上運動，連接QO,QO與拋物線的對稱軸交于點M,

連接MN,當MN平分NOMD時,求點Q的坐標。

(3)直線BC交對稱軸于點E,P是坐標平面內(nèi)一點，請直接寫出△PCE與^ACD全等時點P的坐標。

(備用圖)

思路點撥

(1)待定系數(shù)法，代入點A,B的坐標求解。

(2)根據(jù)角的平分線的定義得到NOMN=NDMN,又因為MN〃ON,所以得到NONM=ZDMN=ZOMN.JJI!]OM=0N,以0

為圓心，ON為半徑畫圓即可得到點M的坐標，進而得到0M的解析式，聯(lián)立求出點Q的坐標即可。

(3)易得點A,C,D,E的坐標，可以求得△ACD的三邊長，再得CD=CE,因止熾需PC與PE和另外兩條邊分別對應(yīng)相等即可0點P分

別位于CE的兩側(cè)，共4種可能，并組成矩形。直接設(shè)點P的坐標列方程求解，或構(gòu)造全等進行求解。

解題過程

2312

解:⑴I?拋物線y=ax+bx-3經(jīng)過人(-1,0),13(3,0)兩點,”[0。；院=%解得=r...拋物線的解析式為y=x-2x-30

wa十DO—3=u=—z

⑵如圖，設(shè)對稱軸與X軸交于點H。

,/MN平分NOMD,Z.ZOMN=ZDMN0

又DM〃ON,JZDMN=ZMNO,:.ZMNO=ZOMN,:.OM=ON=伉

222

在RtAOHM中,NOHM=90°,OH=,HM=VOM-OH=J(V2)-1=L「?Mi(1,1),M2(l,-l)o

2

①當Mi(1,1)時，直線OM解析式為y=x,*,*%=%-2%-3,解得xr=9嚴,x2=咨互。

???點Q在對稱軸右側(cè)的拋物線上運動一IQ點的縱坐標為y=xi=手,；.Qi(手)手)。

②當(1,-1)時,直線OM解析式為y=-xo

同理可得Qz(誓，-誓)。

綜上所述，點Q的坐標為Qi(1)手),Q2(電竺一子)。

(3)答案為:點P的坐標為(-3,-4),(-1,-6),(2,1)或(4,-1),理由如下。

.?,拋物線的解析式為丫=7-2%-3,.\A(-l,0),C(0,-3),D(1,-4),AC=J(-l-0尸+(0+3解=同==

J(0-1尸+(-3+4產(chǎn)=也

...直線BC經(jīng)過B(3,0),C(0,-3),...直線BC解析式為y=x-3o

.?,拋物線對稱軸為x=l,而直線BC交對稱軸于點E,/.E坐標為(1,-2),.,.CE=V(0-l)2+(-2+3)2=也

設(shè)P點坐標為伍》),則(CP2=(x-0)2+(y+3產(chǎn)EP2=(x-I)2+(y+2)2

,.^CE=CD,若△PCE與^ACD全等，則共有兩種情況。

①PC=AC,PE=AD%PCE當ACD(SSS),一%=非,解得片Z一；相：二.?.點P的坐標為(-3,-4)或(-1.

z

((%-l)+(y+2)/=20(.71--4{y2一

-6)o

②PC=AD,PE=AC9PCE之△ADC(SSS),??.舊一"X=T，解得:之,，點P的坐標為Q.l)或(4,-1)。

((%—1)/+(y+2)z=10U3-1174-T

綜上所述，當△PCE與AACD全等時，點P有四個，坐標分別為(-3,-4),(7,-6),(2,1)或(4,-1)。

舉一反三

⑵如圖.在平面直角坐標系中，拋物線y=-/+4久經(jīng)過坐標原點，與X軸正半軸交于點A，點M(m,n)是拋物線上一動點。

動點軌跡問題

方法歸納

⑴到定點距離為定長的點的軌跡為圓。

如圖，若點A到點0的距離等于d,則點A在以點O為圓心，d為半徑的圓上。

0I

⑵與兩定點連線形成的角度數(shù)不變，則該點的軌跡為圓弧。

如圖，點A,B為平面內(nèi)的兩個定點，若NAPB的大小不變，則點P在以AB為弦,且AB所對圓周角為NAPB的圓（即△ABP的

外接圓）的弧上。

⑶與兩定點的距離相等的點的軌跡為直線。

如圖，點A,B為平面內(nèi)的兩個定點，若AP=BP,則點P在線段AB的垂直平分線上。

⑷到定直線的距離不變的點的軌跡為直線。

如圖，點A到直線1的距離d不變，則點A在直線1的平行線r上。

AA

I-----------------1---------------V

典型例題

例3在矩形ABCD中點P在AD上.AB=2,AP=L將直角尺的頂點放在點P處,直角尺的兩邊分別交AB.BC于點E,F,連接EF

（見圖Do

⑴當點E與點B重合時，點F恰好與點C重合(見圖2),求PC的長。

⑵探究：將直尺從圖2中的位置開始，繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，當點E和點A重合時停止。在這個過程中，請你觀察、猜想，并

解答：

①tanZPEF的值是否發(fā)生變化？請說明理由。

②直接寫出從開始到停止，線段EF的中點經(jīng)過的路線長。

思路點撥

(1)觀察圖2可以發(fā)現(xiàn)△APB^ADCP,利用相似比可以求得PC的長。

⑵①過點F作FGAD,垂足為G,同⑴的方法證明八APEs/XGPF,得相似比^=^=|=2,所以tanZPEF的值不變。

②先判斷EF中點運動的路徑，設(shè)EF的中點為O,易得OP=OB,所以點。運動的路線為線段，找出起始位置，連接即可求出。

解題過程

解:⑴在矩形ABCD中,NA=ND=90o,AP=1,CD=AB=2,則.PB=V5,.\ZABP+ZAPB=90°o

又：ZBPC=9O0,.,.ZAPB+ZDPC=90°,AZABP=ZDPC,△APBADCP,???m=霹，即|=PC=2而。

(2)①tan/PEF的值不變。理由如下。

如圖,過點F作FG_LAD,垂足為G,則四邊形ABFG是矩形,，ZA=ZPGF=90°,GF=AB=2,ZAEP+ZAPE=90°1,

ZEPF=90。,；.ZAPE+ZGPF=90°,AZAEP=ZGPF,AAAPEsGPF,|=2,1-,RtEPF中,

tanZ-PEF=—=2,tan/PEF的值不變。

②【方法一】

如圖，設(shè)線段EF的中點為O,連接OP,OB。

,在RtAEPF中,OP=gEF,在RtAEBF中,(OB=^EF,.-.OP=OB=..點O在線段BP的垂直平分線上，，如圖，線段E

F的中點經(jīng)過的路線長為內(nèi)生=號PC=瓜

【方法二】

如圖，分別以邊AB,BC所在直線為y軸，x軸，點B為坐標原點建立平面直角坐標系。過點F作FG±AD于點G,設(shè)線段EF

的中點O的坐標為(x,y),則點E的坐標為(0,2y),點F的坐標為(2x,0),.\AE=2-2y,FG=2,PG=2x-l。

由(2)①得△APE^AGPF,PAE=弟即2^2y=2工\,'y=-+*即點o在直線y=-"+1上運動，，點o運動的路線為線

段。

當點F的橫坐標2x=l,即x=泄,y=l,此時點O的坐標為(&1)。

當點F的橫坐標2x=5,即x=用寸,y=0,此時點O的坐標為((|,0)。

線段EF的中點經(jīng)過的路線長為d=J(|-1)2+(l-0)2=瓜

例4在矩形ABCD中,BC=gCD,點E,F分別是邊AD,BC上的動點，且AE=CF,連接EF,將矩形ABCD沿EF折疊，點C落在點G

處，點D落在點H處。

(1)如圖1,當EH與線段BC交于點P時.求證:PE=PFO

⑵如圖2,當點P在線段CB的延長線上時,GH交AB于點M,求證:點M在線段EF的垂直平分線上。

(3)當AB=5時在點E由點A移動至I」AD中點的過程中，計算出點G運動的路線長。

(備用圖)

思路點撥

(1)根據(jù)折疊與平行彳導(dǎo)到NPEF=/DEF=NEFP,貝?。軵E=PF。

⑵只需證明ME=MF或PM垂直平分EF,需要根據(jù)矩形與軸對稱的性質(zhì)得到全等進行證明。

(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)易得矩形對角線的交點0到點A,D,G的距離相等，那么在點E的運動過程中，點G始終在以O(shè)為圓心、

OA為半徑的圓上運動。確定起點、終點，再得到扇形圓心角的度數(shù)即可得到結(jié)論。

解題過程

解：(1)：四邊形ABCD是矩形,r.AD〃:BC".NDEF=NEFB。

將矩形ABCD沿EF折疊，,ZDEF=ZPEF,AZPEF=ZPFE,PE=PFO

⑵【方法一】

如圖，連接AC交EF于O,連接PM,ME,MF。

?/四邊形ABCD是矩形,，AD=BC,ND=NABC=90。。

?.,AE=CF,/.DE=BF0

:將矩形ABCD沿EF折疊點C落在點G處，點D落在點H處,DE=HE,ZEHG=ZD=90°,BF=DE=HE0

由⑴得PE=PF,PH=PB。

VPM=PM,.,.RtAPMH咨RtAPMB(HL),ZMPE=ZMPF,/.AMPE^AMPF(SAS),.,.ME=MF,PM為EF的垂直平分線，即點

M在線段EF的垂直平分線上。

【方法二】

如圖，連接AC交EF于0,連接PM,POo

VAE^CF,ZEAO=ZFCOo

AE=CF,NAOE=NCOF,AAEO咨ACFO(AAS),AOE=OF.

PE=PF,PO平分NEPF。

VPE=PF,AD=BC,AE=FC,，ED=BFO

,?,將矩形ABCD沿EF折疊點C落在點G處，點D落在點H處".ED=EH,BF=EH,PE-EH=PF-BF,PB=PH。

ZPHM=ZPBM=90°,PM=PM,.,.RtAPMH^RtAPMB(HL),，NMPH=/MPB,即PM平分/EPF,.?.點P,M,O三點共線。

PO_LEFQE=OF..?.點M在線段EF的垂直平分線上。

(3)如圖.：0A=0D=0G,.-.點E由點A移動到AD中點的過程中，點G運動的路徑是圖中弧BC.

在RtABCD中,tanzCBD=—=ZCBD=30°,/.ZABO=ZOAB=60o,.\AAOB是等邊三角形,.,.OA=OD=OB=OC=AB=5,N

BC3

BOC=120。,...點G運動的路徑的長為I=U鬻=號兀。

技巧點撥

建立平面直角坐標系,用函數(shù)思想解幾何題。如圖，四邊形ABCD為矩形，分別以邊AB,BC所在直線為y軸,x軸點B為坐標

原點建立平面直角坐標系。

Cx

舉一反三

[3]如圖在RtAABC中,/C=9(r,AC=6,BC=8,動點P從點A開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度運動，動點Q從

點C開始沿邊CB向點B以每秒2個單位長度的速度運動，過點P作PD〃:BC,交AB于點D,連接PQ。點P.Q分別從點A,C同時出

發(fā)，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為ts(t>0)o

(D直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB=_,PD=_O

⑵是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由。并探究如何改變點Q的速度(勻速運

動)，使四邊形PDBQ在某一時刻為菱形，求點Q的速度.

⑶如圖，在整個運動過程中，求出線段PQ中點M所經(jīng)過的路徑長。

C——pA

[4]如圖,在菱形ABCD中./DAB=6(r,AB=2,點E為邊AB上一動點，延長BA到點F,使AF=AE,且CF,DE相交于點G。

D-

(備用圖)

⑴當點E運動到AB中點時,證明:四邊形DFEC是平行四邊形。

⑵當CG=2時,求AE的長。

⑶當點E從點A開始向右運動到點B時，求點G運動路徑的長度。

比例問題

方法說明

遇到線段乘積或比例的問題時，常常利用相似三角形的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化。

典型例題

例5(2021?泰安)二次函數(shù)y=ax2+bx+4(a*0)的圖象經(jīng)過點A(-4,0),B(l,0),與y軸交于點C,點P為第二象限內(nèi)拋物線上一

點，連接BP,AC,交于點Q,過點P作PD_Lx軸于點D.

(1)求二次函數(shù)的表達式。

⑵連接BC,當NDPB=2NBCO時,求直線BP的表達式。

⑶請判斷:黑是否有最大值，如有，請求出有最大值時點P的坐標；如沒有，請說明理由。

思路點撥

(1)根據(jù)待定系數(shù)法，把點A,B的坐標代入求解。

(2)設(shè)BP與y軸交于點E,易得NBEO="DPB=2NBCO,則BE=CEO因此可以求得點E的坐標，再求BE(直線BP)的函數(shù)表達

式即可。

(3)構(gòu)造相似三角形，把器轉(zhuǎn)化為其他的線段的比即可。可以過點B作x軸的垂線，構(gòu)造X字型相似，或者過點P作x軸的平

行線構(gòu)造X字型相似進行轉(zhuǎn)化。

解題過程

解:⑴?二次函數(shù)y=公2+"+4(a力0)的圖象經(jīng)過點A(-4,0),B(1,0),二｛a■(-4)2+b.(-4)+4=0,解得...二

次函數(shù)的表達式為y=-%2一3%+4。

(2)如圖，設(shè)BP與y軸交于點E。

PD〃y軸,?,.ZDPB=ZOEBo

■:ZDPB=2ZBCO,AZOEB=2ZBCO,AZECB=ZEBC,/.BE=CEO

當x=0時,y=4,.?.C(0,4)。

設(shè)OE=a則CE=4-a,BE=4-a。

在RtABOE中，由勾股定理得.BE2=OE2+。加，即(4-a)2=a2+-解得@=不:.E(0，￡)。

_15I772------

n8

~~8魂牟得|15,.,.直線BP的表達式為y=-得久+M

{m+n=OIn=-88

(3)當點P的坐標為(-2,6)時,笠取最大值。理由如下。

QB

如圖.設(shè)PD與AC交于點N.過點B作y軸的平行線與AC相交于點M。

設(shè)直線AC表達式為y=px+q把點A(-4,0),C(0,4)代入得。解得*二:，，直線AC表達式為y=x+4".M點的坐標為(1,

5),ABM=5O

,/BM〃PN,.,.△PNQ^ABMQ,.?嗡=需=.。

設(shè)P(a(f-詬—3ao+4)(-4<a0<0)廁.N(a(),a0+4),

.PQ__-若-3ao+4_(ao+4)

"QB~5

_-就-4ao_-(劭+2)2+4

一5一5，

.?.當a=-2時,黑有最大值，此時點P的坐標為(-2,6)。

0QB

【總結(jié)】見比例，則相似。

舉一反三

[6]攻口圖拋物線y=a/+|x+c與x軸交于點A,B,與y軸交于點C.已知A,C兩點坐標分別是A(l,0),C0-2),連接AC,BC。

⑴求拋物線的表達式和AC所在直線的表達式。

⑵將^ABC沿BC所在直線折疊，得到△DBC，點A的對應(yīng)點D是否落在拋物線的對稱軸上，若點D在對稱軸上，請求出點D

的坐標；若點D不在對稱軸上，請說明理由。

(3)若點P是拋物線位于第三象限圖象上的一動點，連接AP交BC于點Q,連接BP,ABPQ的面積記為S1，AABQ的面積記為S2,

求總的值最大時點P的坐標。

(備用圖)

典型例題

例6如圖，在平面直角坐標系中，坐標原點為0,點A坐標為(4,0),點B坐標為(-1,0),以AB的中點P為圓心,AB為直徑作。P,與

y軸的正半軸交于點C。

⑴求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式。

⑵設(shè)M為⑴中拋物線的頂點，求直線MC對應(yīng)的函數(shù)解析式。

⑶試說明直線MC與。P的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論。

思路點撥

(D連接PC,因為AB為直徑，所以可以得出點P的坐標以及PC的長度，根據(jù)勾股定理易得點C的坐標。把點A,B,C代入拋

物線的解析式中，即可求出結(jié)論。

⑵根據(jù)頂點坐標公式，得出點M的坐標，由待定系數(shù)法把點M,C代入直線的解析式中，即可求出直線MC的解析式。

(3)假設(shè)直線MC與x軸交于點D,容易發(fā)現(xiàn)^PCD為直角三角形，根據(jù)勾股定理的逆定理得出NPCD=90。,即可得出直線MC與

OP相切。

解題過程

解:⑴連接PC。

?.,A(4,0),B(--l,0),.\AB=5,半徑PC=PB=P.4=OP=|-1=|?

在RtACPO中.由勾股定理得OC=7cp2一OP?=2".C(0,2)。

設(shè)經(jīng)過A,B,(2三點的拋物線解析式是y=a(x-4)(x+l)。

把C(0,2)代入得2=a(0-4)(0+l),a=，，經(jīng)過A,B,C三點的拋物線解析式是y=-4)(久+1)=+|x+2.

22

(2)y=-ix+|x+2=-i(x-|)+^,M(|^)0

253(3

V=2k+4，解得卜=。?.直線MC的函數(shù)解析式為y="+

(b=2(b=24

(3)MC與。P的位置關(guān)系是相切。理由如下。

如圖.設(shè)直線MC交x軸于點D,當y=0時,0=：久+2,二x=-￡。。=。(一上。

在RtACOD中,C￡>2=22+(芋=等=署PC2=(丁=B=篝,p02=(I+[_1)2=署...亦+p(：2=p02,...“⑺=

90°,；.PC_LDC。

1?,PC為半徑,；.MC與OP的位置關(guān)系是相切。

例7如圖，已知拋物線y=-|x2+bx+c與x軸相交于A,B兩點，其對稱軸為直線x=2,且與x軸交于點D,AO=1。

(1)填空b=____,c=____，點B的坐標為(____,____).

⑵若線段BC的垂直平分線EF交BC于點E,交x軸于點F,求FC的長。

⑶探究：在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使。P與x軸，直線BC都相切？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理

思路點撥

(1)由OA=1,得點A的坐標。又由對稱軸為直線x=2,可得點B的坐標，代入即可求出b,c的值。

(2)因為直線EF垂直平分線段BC,所以FC=FB,先設(shè)出FC的長度，再得出FD,CD的長在R3FCD中，利用勾股定理建立等量關(guān)

系即可。

(3)作NOBC的平分線交DC于點P,并設(shè)出點P的坐標。在RtABCD中,求出NBCD的正弦值。易得sinzBCD=/建立等量關(guān)

系，即可得出點P的坐標。本題應(yīng)該分類討論，分別為點P在x軸的上方或下方。

解題過程

解:⑴???AO=1,...A(-1,0)。

-b

-8

點A,B關(guān)于直線x=2對稱,.,.B(5,y，解得=g,點B的坐標為(5,0)。

0=------b+c

99

⑵【方法一】

:y=-#+/+鄉(xiāng)=-2-2)2+4,，C(2,4)".D(2,0),CD=4,BD=3。

...直線EF垂直平分線段BC,FC=FBO

設(shè)FC=x，則FB=x,FD=x-3o

在RtAFCD中,FC2=CD2+FD2,BPx2=42+(x-3產(chǎn)解得x=g,.1FC的長用為。

66

【方法二】

由⑴求得y=-/2+畀+g=一數(shù)-2)2+4,C(2,4)。

E為BC的中點，由中點坐標公式求得點E的坐標為(，,2),.,.直線BC的表達式為y=-[x+當整理得4x+3y-20=0o

設(shè)直線EF的表達式為y=kx+b(krO)。

VEF為BC的中垂線,???EF_LBC。

???互相垂直的兩條直線的斜率的積是-1,二k=符巴E6,2)代入求得b=-3.?直線EF的表達式為y=|x-1.

在y=%-沖.令y=o得x=F0),.-.FC=FB=5-1

4OOXO/OO

(3)存在。如圖，作/OBC的平分線交DC于點P,則點P滿足條件。

設(shè)P(2,a),則點P到x軸的距離為等于點P到直線BC的距離,都是|a|。

:拋物線解析式是y=-久久-2尸+4,.?.點C的坐標是(2,4)。

7點B的坐標是(5,0),，CD=4,DB=5-2=3,BC=VCD2+DB2=V42+32=5

,?"OP與x軸，直線BC都相切,

ZCGP=ZCDB=90°,Z.ZPCG+ZCPG=90°,ZCBA+ZCPG=90°,AZCPG=ZCBAO

當點P在x軸上方時,sinZBCD=-^—=|,解得a=,。當點P在x軸的下方時，同法得出者=|,解得a=-6。

4—a524—a5

即點P的坐標是(2,-6)或((2,|

綜上所述，在拋物線的對稱軸上存在點P,使OP與x軸、直線BC都相切，點P的坐標是(2,-6)或((2,|)0

例8如圖，已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過原點，直線AC解析式為y=kx+4。

y

K\

Tv

⑴求二次函數(shù)解析式。

⑵若衿=今求k。

、BOC§

(3)若以BC為直徑的圓經(jīng)過原點，求k0

思路點撥

⑴由對稱軸為x=2,且經(jīng)過原點(0,0)，代入即可得出二次函數(shù)解析式。

(2)由醇=今易得黑=今過點B,C分別作y軸的垂線，可得點B,C的橫坐標的比為=i分別設(shè)B&山),C(x2,y2),聯(lián)

JBOC3DC3AC4

立直線AC與二次函數(shù)的解析式，由根與系數(shù)的關(guān)系，可得k的值。

(3)以BC為直徑的圓經(jīng)過原點，可得/BOC=90。。過點B,C分別作y軸的垂線，垂足分別為E,F,分別表示出EB,EO,OF,OC的長,

根據(jù)4EBOS^FOC,得EBFC=EO-FO,建立等量關(guān)系即可得出k的值。

解題過程

22

解:⑴.二次函數(shù)y=-x+bx+c的對稱軸為x=2,且經(jīng)過原點，.：-^―=2,0=0+0+c,b=4,c=0,y=-x+4xo

(2)【方法一】

如圖，連接OB,OC,過點B作BE±y軸于點E,過點C作CF_Ly軸于點F。

設(shè)點B,C的坐標分別為((X]),(x2,丫2)，%2=4%i，：,%1+%2==4%工

;直線y=kx+4與拋物線y=—x2+4%交于點B,C,kx+4=—x2+4%,整理得%2+(fc-4)%+4=0,:.%i+%2=5%i=4—

,%1%2==4,:.=±1,???當Xi=1時,k=-l;當％2=—1時,k=9,「.kug或k=-l。

【方法二】

如圖，連接OBQC,過點B作BE±y軸于點E,過點C作CF±y軸于點F。

..SAOB_1.絲_工.

?SBOC_3，,,BC一3，,,AC-4

*/y=kx+4交y=—x2+4%于點B,C,:.kx+4=—x2+4比，即%2+(k-4)x+4=0.,J=(k-4)2—4-4=k2—8k,:.x=

(4-k)-Vk2-8k_ix_(4-k)+Vk2-8k

"或X=2°________________

VXB<xc,.-.EB=XB=就FC=xc=絲竽E巫，...42產(chǎn)吏=生岑三更，解得k=9或k=-l,...k=9或k=-l。

(3)【方法一】

如圖，連接OBQC,過點B作BE_Ly軸于點E,過點C作CF_Ly軸于點F。；.ZBEO=ZCFO=90°,/.ZEOB+ZEBO=90°o

,/以為直徑的圓經(jīng)過原點,，。，

BCNBOC=90+ZFOC=90°,AZEBO=ZFOC,/.AEBO^AFOC,.?.EBO=FC

EB?FC=EO?F0o

設(shè)點B,C的坐標分別為(xi,yi),(x2,、2)，…％62=-%丫2。

22

由(2)得Xi+%2=4—k,%i%2=4,S/2=(kx1+4)(kx2+4)=kxrx2+1k(x、+x2)+16=4k+4k(4—k)+16,:.4=—[4

2

k+4k(4—k)]+16,Jc=-1o

【方法二】

???ZBOC=90°,.\ZEOB+ZFOC=90°o

■:ZEOB+ZEBO=90°,?.ZEBO=ZFOCo

ZBEO=ZOFC=90°,AEBO^FOC,.?.吧=U:.EB-FC=EO-F01

EOFC

：XB=5一嚴,Xc=鋁等E嗎且點B,c在y=kx+4上".yB=k-(1)-尸+4,yc=-+%...EO=”=k

22222

(4-/c)-Vfc-8k?4小廠.(4-fc)+Vk-8k.(4-k)-y/k-8k(4-fc)+V/c-8fcr,(4-k)-Vfc-8k,\-k-(4國+產(chǎn)』_可,整理得

---------------+4,OF=-yc=-k-------------------4,----------------.---------------=[k-----------------+4]?

16k=-20,k=--

4o

舉一反三

[8]如圖,拋物線y=ax2+\+c經(jīng)過點A(-l,0)和點C(0,3)與x軸的另一交點為點B,點M是直線BC上一動點，過點M作M

P〃y軸，交拋物線于點P。

⑴求該拋物線的解析式。

(2)在拋物線上是否存在一點Q,使得△QCO是等邊三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

⑶以點M為圓心.MP為半徑作。M,當G>M與坐標軸相切時，求出。M的半徑。

新定義

方法說明

1.點

⑴在矩形ABCD的內(nèi)部(不含邊界)，把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為“好點工

⑵M(m,O)為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點P,No若三個點M,P,N中恰有一點

是其他兩點所連線段的中點(三點重合除外)，則稱M,P,N三點為“共諧點”。

(3)在平面直角坐標系中，把橫坐標和縱坐標相等的點叫“夢之點'，例如點(1,1),(-2,-2),……都是“夢之點”。

(4)如圖，在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A,B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成3個三角

形，如果其中有2個三角形相似，我們就把點E叫作四邊形ABCD的邊AB上的“相似點”；如果這3個三角形都相似，我們就把點E

叫作四邊形ABCD的邊AB上的“強相似點”。

2.線

(D如果一條直線把一個平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個平面圖形的一條“面積等分線工

⑵如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫作這個三角形的“三分線”。

(3)我們常見的炒菜鍋和鍋蓋都是拋物

線面，經(jīng)過鍋心和蓋心的縱斷面是兩段拋物線組合而成的封閉圖形，不妨簡稱為“鍋線”。

(4)如圖，在平面直角坐標系中，A,B為x軸上兩點,C,D為y軸上的兩點,經(jīng)過點A,C,B的拋物線的一部分Cx與經(jīng)過點A,D,B

的拋物線的一部分C?組合成一條封閉曲線，我們把這條封閉