2023-2024學年北京市西城區(qū)三帆中學九年級（上）期中數(shù)學試卷【含解析】

第1頁（共1頁）2023-2024學年北京市西城區(qū)三帆中學九年級（上）期中數(shù)學試卷一、選擇題（共8小題，每小題2分，滿分16分）1．（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）拋物線y＝﹣3（x﹣2）2+4的開口方向和頂點坐標分別是（）A．向上，（2，4） B．向上，（﹣2，4） C．向下，（2，4） D．向下，（﹣2，4）3．（2分）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，若∠D＝70°，則∠B的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．70° D．109°4．（2分）把拋物線y＝x2+1向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線（）A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+35．（2分）拋物線y＝mx2﹣2mx﹣3與x軸交于A，B兩點，若點A的坐標是（﹣1，0），則點B的坐標為（）A．（3，0） B．（5，0） C．（0，﹣3） D．（1，0）6．（2分）如圖，已知⊙O的半徑OC經過弦AB的中點D，分別連接OB，AC，則2∠A+∠B的度數(shù)為（）A．80° B．45° C．90° D．70°7．（2分）數(shù)學課上，邱老師提出如下問題：已知：如圖，AB是⊙O的直徑，射線AC交⊙O于C．求作：BC的中點D．同學們分享了如下四種方案：①如圖1，連接BC，作BC的垂直平分線，交⊙O于點D．②如圖2，過點O作AC的平行線，交⊙O于點D．③如圖3，作∠BAC的平分線，交⊙O于點D．④如圖4，在射線AC上截取AE，使AE＝AB，連接BE，交⊙O于點D．上述四種方案中，正確的方案的序號是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④8．（2分）下面的三個問題中都有兩個變量：①邊長為3dm的正方形紙片中間剪去一個邊長為xdm的正方形紙片，剩下紙片的面積y與x；②用長為50cm的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x；③某種商品的價格為4元，準備進行兩次降價，如果每次降價的百分率都是x，經過兩次降價后的價格y與x．其中變量y與x之間的函數(shù)關系可以利用如圖所示的圖象表示的是（）A．① B．② C．③ D．①③二、填空題（共8小題，每小題2分，滿分16分）9．（2分）已知x＝1是關于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一個根，則m＝．10．（2分）已知拋物線y＝（x﹣1）2+4經過兩點A（2，y1）和B（3，y2），則y1y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．11．（2分）扇形圓心角為120°，半徑長為6cm，（計算結果保留π）則弧長為cm，扇形的面積為cm2．12．（2分）杭州亞運會射擊項目比賽，中國隊取得16金9銀4銅的成績，繼續(xù)保持著亞洲射擊運動霸主的位置．如圖，是射擊靶的示意圖，環(huán)靶為圓形，直徑122cm，自中心向外共10個等寬的同心圓環(huán)區(qū)，得分標準如圖所示．若最小的圓半徑為6.1cm，最大的圓半徑為61cm，某運動員一次訓練中，擊中了與圓心O的距離為15cm的位置，則該運動員本次射擊得分為分．13．（2分）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點E，若AB＝4，∠A＝15°，則弦CD的長為．14．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c滿足以下條件：當3＜x＜4時，它的圖象位于x軸的下方；當4＜x＜5時，它的圖象位于x軸的上方，則c的值為．15．（2分）如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，有下面四個結論：①ac＜0；②b＞2a；③9a﹣3b+c＜0；④關于x的方程ax2+bx+c＝1（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根．其中所有正確結論的序號是．16．（2分）在平面直角坐標系中，已知點A（﹣3，0），B（3，0），T（0，2）．點C為坐標平面內的一個動點，滿足∠ACB＝60°，則線段CT長度的最大值為．三、解答題（共12小題，滿分68分，17-19，21-23每題5分，20，24-26每題6分，27，28每17．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．18．（5分）已知關于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．（1）求證：不論k為何值，該方程總有兩個實數(shù)根；（2）設該方程有兩個根為x1，x2，若x1+x2＝7，求k的值．19．（5分）如圖，A是⊙O外一點，AB與⊙O相切于點B，連接OA，交⊙O于點C．若AC＝2，AB＝2，求圓的半徑．20．（6分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的y與x的部分對應值如下表：x…﹣10123…y…﹣3010﹣3…（1）根據上表畫出函數(shù)圖象，并填空：①該函數(shù)的頂點坐標為；②拋物線與坐標軸的交點坐標為；③當y＞0時，x的取值范圍是；（2）求該二次函數(shù)的解析式．21．（5分）2023年9月，以“人文自主庚七秩，二附一心向未來”為主題的北師大二附中建校70周年慶?；顒釉谛Ｂ≈嘏e行，師生校友參與了豐富多彩的校慶活動，并通過購買文創(chuàng)紀念品的方式獻上愛心，其中的“三帆熊”和“二附兔”受到大家青睞，這兩種吉祥物成本價均為每個40元，設兩種吉祥物的銷售單價均為x元，每小時共售出兩種吉祥物y個，經研究發(fā)現(xiàn)y與x之間有如下關系：y＝﹣x+60．設在這次活動中兩種吉祥物每小時的利潤共w元．（1）求w與x之間的函數(shù)表達式（需寫出x的取值范圍）．（2）這兩種吉祥物的銷售單價定為多少元，可以使每小時的利潤最大？22．（5分）閱讀對話，解答問題．（1）分別用m，n表示好好從珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上標有的數(shù)字，請用列表法寫出（m，n）的所有取值：nm1234（2）求在（m，n）的所有取值中使關于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有實數(shù)根的概率P．23．（5分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC．求作：△ABC的外接圓．下面是小張的作法：①如圖，作BC的垂直平分線l1；②作AC的垂直平分線l2，與l1交于點O；③以O為圓心，OA長度為半徑作圓．則⊙O是△ABC的外接圓．（1）請你用無刻度直尺和圓規(guī)在圖中補全圖形．（2）小李看到他的作法后靈機一動，找到了△ABC的內心．下面是小李的作法：直線l2與交于點D，連接DB，交AO于點I，則點I是△ABC的內心．請你補全下面證明．∵l2⊥AC，l2經過點O，∴（①）（填推理的依據），∴∠ABD＝②（③）（填推理的依據），∵l2⊥BC，AB＝AC，∴∠BAO＝∠CAO，∵DB與AO交于點I，∴點I是△ABC的內心．24．（6分）籃球是大家平時接觸非常多的運動之一，投籃時，球出手后籃球飛行的軌跡可以近似的看作一條拋物線的一部分，建立如圖所示平面直角坐標系，從出手到球進籃筐的過程中，籃球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）某球員一次投籃時，記錄了籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據如下：水平距離x/m00.511.522.533.5…豎直高度y/m22.723.283.683.9243.923.68…請你根據表格中數(shù)據，直接寫出籃球飛行軌跡的最高點坐標，并求出滿足的函數(shù)解析式．（2）小明同學在此基礎上想要研究自己的投籃情況，已經求得第一次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關系式：y＝﹣（x﹣2.4）2+4.5，請回答下列問題：①小明同學第一次投籃的出手點高度為m；②已知籃筐中心位置在水平距離4.2m，豎直高度3m處．當籃球的豎直高度為3m時對應的水平距離與籃筐中心位置的水平距離相差0.1m以內，籃球可以進入籃筐．若小明第二次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關系式：y＝﹣（x﹣2.1）2+4，已知兩次投籃只有一次投中，則投中（填寫“第一次”或“第二次”）．25．（6分）如圖，BC是⊙O的直徑，點A是⊙O上一點，PO⊥AB，PB⊥BO于B，分別連接AC，AP．（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）作AD平分∠BAC交⊙O于點D，連接CD．若AB＝OB，，請補全圖形，并求OP的長．26．（6分）平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝t．（1）若拋物線經過點（2，c），求t的值；（2）若拋物線上存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜3，且y1＝y(tǒng)2，求t的取值范圍．27．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D，E為線段BC上的一動點，連接ED，將ED繞點E逆時針旋轉90°，得到線段EF，連接AF交直線CD于點G．（1）當E與C重合時，如圖1，求證：AG＝FG；（2）當E與C不重合時，如圖2，則（1）中的結論是否成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（3）若AC＝2，直接寫出CG長的最大值．28．（7分）設T是平面內的幾何變換，它使得平面內任意一點P都有唯一的對應點P′，從而使任何圖形G都能經過變換T得到另一圖形G′．在此基礎上：若點P的對應點是它本身，則稱點P是變換T的不動點；若圖形G經過變換T后得到的圖形仍然是它本身，則稱圖形G是變換T的不動圖形．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（1，1），B（0，2），C（2，0）．（1）變換T1：先關于y軸對稱，再將坐標為（a，b）的點變?yōu)辄c（4﹣a，b）．①若點A在經過變換T1后得到點A′，則AA′＝；②有下列圖形：（A）過點A且平行于x軸的直線；（B）開口向下，且以B為頂點的拋物線；（C）以點C為圓心的半徑為1的圓．其中是變換T1的不動圖形的是；（2）變換T2：先關于直線y＝kx+1對稱，再關于y軸對稱．請判斷點B、點C中哪個點經過變換T2后可能得到點A，并求出此時k的值；（3）變換T3：先繞點O順時針旋轉90°，再繞點C逆時針旋轉60°．①以C為圓心作半徑為r的圓，若⊙C上存在點M，它經過變換T3后的對應點恰好在x軸上，直接寫出r的取值范圍；②變換T3是否有不動點？若有，寫出其不動點的坐標；若沒有，說明理由．

2023-2024學年北京市西城區(qū)三帆中學九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題2分，滿分16分）1．（2分）下列圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．【解答】解：A．既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形，符合題意；B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D．是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故此選項不合題意．故選：A．【點評】本題考查中心對稱圖形和軸對稱圖形的知識，關鍵是掌握好中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉180°后與原圖重合．2．（2分）拋物線y＝﹣3（x﹣2）2+4的開口方向和頂點坐標分別是（）A．向上，（2，4） B．向上，（﹣2，4） C．向下，（2，4） D．向下，（﹣2，4）【分析】根據題意可知a＝﹣3，然后依據拋物線的頂點式做出判斷即可．【解答】解：∵a＝﹣3＜0，∴拋物線開口向下．∵拋物線的解析式為y＝﹣3（x﹣2）2+4，∴頂點坐標為（2，4）．故選：C．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的三種形式是解題的關鍵．3．（2分）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點，若∠D＝70°，則∠B的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．70° D．109°【分析】根據圓內接四邊形的對角互補計算即可．【解答】解：∵四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝70°，∴∠B＝180°﹣70°＝110°，故選：B．【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟記圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．4．（2分）把拋物線y＝x2+1向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到拋物線（）A．y＝（x+3）2﹣1 B．y＝（x+3）2+3 C．y＝（x﹣3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2+3【分析】易得原拋物線的頂點及平移后拋物線的頂點，根據平移不改變拋物線的二次項系數(shù)可得新的拋物線解析式．【解答】解：由題意得原拋物線的頂點為（0，1），∴平移后拋物線的頂點為（3，﹣1），∴新拋物線解析式為y＝（x﹣3）2﹣1，故選：C．【點評】考查二次函數(shù)的幾何變換；用到的知識點為：二次函數(shù)的平移不改變二次項的系數(shù)；得多新拋物線的頂點是解決本題的突破點．5．（2分）拋物線y＝mx2﹣2mx﹣3與x軸交于A，B兩點，若點A的坐標是（﹣1，0），則點B的坐標為（）A．（3，0） B．（5，0） C．（0，﹣3） D．（1，0）【分析】根據拋物線解析式，可以得到對稱軸，然后根據二次函數(shù)具有對稱性，即可寫出點B的坐標．【解答】解：∵拋物線y＝mx2﹣2mx﹣3，∴該拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，∵拋物線y＝mx2﹣2mx﹣3與x軸交于A，B兩點，點A的坐標是（﹣1，0），∴點B的坐標為（3，0），故選：A．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．6．（2分）如圖，已知⊙O的半徑OC經過弦AB的中點D，分別連接OB，AC，則2∠A+∠B的度數(shù)為（）A．80° B．45° C．90° D．70°【分析】由圓周角定理得到∠O＝2∠A，即可得到結論．【解答】解：∵OC⊥AB，∴∠ODB＝90°，∴∠O+∠B＝90°∵∠O＝2∠A，∴2∠A+∠B＝90°，故選：C．【點評】本題考查了圓周角定理的知識，解題的關鍵是得到∠O＝2∠A，難度不大．7．（2分）數(shù)學課上，邱老師提出如下問題：已知：如圖，AB是⊙O的直徑，射線AC交⊙O于C．求作：BC的中點D．同學們分享了如下四種方案：①如圖1，連接BC，作BC的垂直平分線，交⊙O于點D．②如圖2，過點O作AC的平行線，交⊙O于點D．③如圖3，作∠BAC的平分線，交⊙O于點D．④如圖4，在射線AC上截取AE，使AE＝AB，連接BE，交⊙O于點D．上述四種方案中，正確的方案的序號是（）A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④【分析】①利用垂徑定理可以證明．②證明BC⊥OD，可得結論．③利用圓周角定理可得結論．④利用等腰三角形的三線合一的性質證明即可．【解答】解：①由∵OD⊥BC，∴＝．②如圖2中，連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵OD∥AC，∴OD⊥BC，∴＝．③∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴＝．④如圖4中，連接AD．∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BE，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAC，∴＝．故答①②③④正確，故選：D．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，垂徑定理，圓周角定理，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握垂徑定理，圓周角定理解決問題，屬于中考?？碱}型．8．（2分）下面的三個問題中都有兩個變量：①邊長為3dm的正方形紙片中間剪去一個邊長為xdm的正方形紙片，剩下紙片的面積y與x；②用長為50cm的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x；③某種商品的價格為4元，準備進行兩次降價，如果每次降價的百分率都是x，經過兩次降價后的價格y與x．其中變量y與x之間的函數(shù)關系可以利用如圖所示的圖象表示的是（）A．① B．② C．③ D．①③【分析】①根據正方形的面積公式解答即可；②根據矩形的面積公式解答即可；③根據每次降價的百分率都是x，經過兩次降價后的價格y，列出函數(shù)關系式即可求解．【解答】解：①邊長為3dm的正方形紙片中間剪去一個邊長為xdm的正方形紙片，剩下紙片的面積y與x的關系式為y＝32﹣x2（x＞0），y是x的二次函數(shù)，拋物線的開口方向向下，故①不符合題意；用長為50cm的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x的關系式為y＝＝﹣x2+25x（x＞0），y是x的二次函數(shù)，拋物線的開口方向向下，故②不符合題意；③某種商品的價格為4元，準備進行兩次降價，如果每次降價的百分率都是x，經過兩次降價后的價格y與x．其中變量y與x之間的函數(shù)關系為y＝4（1﹣x）2（x＞0），y是x的二次函數(shù)，拋物線的開口方向向上，故③符合題意．故選：C．【點評】本題考查了利用函數(shù)的圖象解決實際問題，正確理解函數(shù)圖象表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應解決．二、填空題（共8小題，每小題2分，滿分16分）9．（2分）已知x＝1是關于x的一元二次方程x2+mx﹣6＝0的一個根，則m＝5．【分析】把x＝1代入一元二次方程得1+m﹣6＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：把x＝1代入一元二次方程x2+mx﹣6＝0得1+m﹣6＝0，解得m＝5，即m的值為5．故答案為：5．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．10．（2分）已知拋物線y＝（x﹣1）2+4經過兩點A（2，y1）和B（3，y2），則y1＜y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．【分析】由a＞0可得拋物線開口方向，由二次函數(shù)解析式可得拋物線的對稱軸，進而求解．【解答】解：∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵y＝（x﹣1）2+4，∴拋物線對稱軸為直線x＝1，∵1＜2＜3，∴y1＜y2，故答案為：＜．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次函數(shù)的增減性是解題關鍵．11．（2分）扇形圓心角為120°，半徑長為6cm，（計算結果保留π）則弧長為4πcm，扇形的面積為12πcm2．【分析】根據弧長公式和扇形的面積公式求出答案即可．【解答】解：∵扇形圓心角為120°，半徑長為6cm，∴弧長為＝4π（cm），扇形的面積是＝12π（cm2）．故答案為：4π，12π．【點評】本題考查了扇形面積的計算和弧長的計算，能熟記扇形的面積公式和弧長公式是解此題的關鍵，注意：圓心角為n度，半徑為r的扇形的弧長為，扇形的面積為．12．（2分）杭州亞運會射擊項目比賽，中國隊取得16金9銀4銅的成績，繼續(xù)保持著亞洲射擊運動霸主的位置．如圖，是射擊靶的示意圖，環(huán)靶為圓形，直徑122cm，自中心向外共10個等寬的同心圓環(huán)區(qū)，得分標準如圖所示．若最小的圓半徑為6.1cm，最大的圓半徑為61cm，某運動員一次訓練中，擊中了與圓心O的距離為15cm的位置，則該運動員本次射擊得分為8.0分．【分析】求出10個等寬的同心圓環(huán)區(qū)的寬，即可解決問題．【解答】解：10個等寬的同心圓環(huán)區(qū)的寬＝61÷10＝6.1cm，∵6.1×2＜15＜6.1×3，∴該運動員本次得分為8.0分．故答案為：8.0．【點評】本題考查圓環(huán)，關鍵是求出10個等寬的同心圓環(huán)區(qū)的寬．13．（2分）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點E，若AB＝4，∠A＝15°，則弦CD的長為2．【分析】連接OD．判斷出∠EOD＝30°，再證明CE＝ED＝OD＝1，可得結論．【解答】解：連接OD．∵OA＝OD＝AB＝2，，∴∠A＝∠ODA＝15°，∴∠EOD＝∠A+∠ODA＝30°，∵AB⊥CD，∴CE＝ED＝OD＝1，∴CD＝2CE＝2．故答案為：2．【點評】本題考查圓周角定理，垂徑定理，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形解決問題．14．（2分）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c滿足以下條件：當3＜x＜4時，它的圖象位于x軸的下方；當4＜x＜5時，它的圖象位于x軸的上方，則c的值為0．【分析】先求出該函數(shù)的對稱軸，然后根據當3＜x＜4時，它的圖象位于x軸的下方，當4＜x＜5時，它的圖象位于x軸的上方，即可得到x＝4時，y＝0，從而可以求得c的值．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+c＝（x﹣2）2﹣4+c，∴該函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸是直線x＝2，∵當3＜x＜4時，它的圖象位于x軸的下方，當4＜x＜5時，它的圖象位于x軸的上方，∴當x＝4時，y＝0，即0＝42﹣4×4+c，解得c＝0，故答案為：0．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．15．（2分）如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，有下面四個結論：①ac＜0；②b＞2a；③9a﹣3b+c＜0；④關于x的方程ax2+bx+c＝1（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根．其中所有正確結論的序號是①④．【分析】根據二次函數(shù)的圖象及性質即可判斷．【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線與y軸的交點在y軸負半軸，∴c＜0，∴ac＜0，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，故②錯誤；∵拋物線與x軸的交點為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線與x軸的另一交點為（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，故③錯誤；由圖象可知，1＞c，∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝1有兩個交點，∴關于x的方程ax2+bx+c＝1（a≠0）有兩個不相等的實數(shù)根，故④正確；故答案為：①④．【點評】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質，正確理解二次函數(shù)與方程的關系，本題屬于中等題型．16．（2分）在平面直角坐標系中，已知點A（﹣3，0），B（3，0），T（0，2）．點C為坐標平面內的一個動點，滿足∠ACB＝60°，則線段CT長度的最大值為3+2．【分析】作△ABC的外接圓⊙P，當C、P、T在同一直線上，且T在⊙P外，線段CT長度的最大，然后利用勾股定理求得OC，進一步即可求得線段CT長度的最大值為3+2．【解答】解：作△ABC的外接圓⊙P，當C、P、T在同一直線上，且T在⊙P外，線段CT長度的最大，如圖，∵點A（﹣3，0），B（3，0），∴OA＝OB，∵點P在AB的垂直平分線上，∴點P在y軸上，∵T（0，2）在y軸上，∴點C在y軸上時，線段CT長度的最大，∴CT垂直平分AB，∴AC＝BC，∵∠ACB＝60°，∴此時△ACB是等邊三角形，∴AC＝AB＝6，∴OC＝＝3，∵OT＝2，∴CT＝3+2，故線段CT長度的最大值為3+2．故答案為：3+2．【點評】本題考查了點與圓的位置關系，坐標與圖形性質，圓周角定理，勾股定理，明確C、P、T在同一直線上時，線段CT長度的最大是解題的關鍵．三、解答題（共12小題，滿分68分，17-19，21-23每題5分，20，24-26每題6分，27，28每17．（5分）解方程：x2﹣4x+3＝0．【分析】利用因式分解法解出方程．【解答】解：x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0x﹣1＝0或x﹣3＝0x1＝1，x2＝3．【點評】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關鍵．18．（5分）已知關于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0．（1）求證：不論k為何值，該方程總有兩個實數(shù)根；（2）設該方程有兩個根為x1，x2，若x1+x2＝7，求k的值．【分析】（1）求出Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）＝k2，可知Δ≥0，故x2﹣（k+4）x+2k+4＝0總有兩個實數(shù)根；（2）由x2﹣（k+4）x+2k+4＝0兩個根為x1，x2，可得x1+x2＝k+4，故k+4＝7，即可解得k的值為3．【解答】（1）證明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4）＝k2+8k+16﹣8k﹣16＝k2，∵k2≥0，∴Δ≥0，∴x2﹣（k+4）x+2k+4＝0總有兩個實數(shù)根；（2）∵x2﹣（k+4）x+2k+4＝0兩個根為x1，x2，∴x1+x2＝k+4，∵x1+x2＝7，∴k+4＝7，解得k＝3；∴k的值為3．【點評】本題考查一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是掌握一元二次方程有實數(shù)根的條件和根與系數(shù)的關系．19．（5分）如圖，A是⊙O外一點，AB與⊙O相切于點B，連接OA，交⊙O于點C．若AC＝2，AB＝2，求圓的半徑．【分析】根據切線的性質可得三角形AOB是直角三角形，再根據勾股定理列方程求解即可．【解答】解：如圖，連接OB，∵AB與⊙O相切于點B，∴∠OBA＝90°，設半徑為r，即OB＝r，OA＝2+r，在Rt△AOB中，由勾股定理得，OB2+AB2＝OA2，即r2+（2）2＝（r+2）2，解得r＝2，答：圓的半徑為2．【點評】本題考查切線的性質，掌握切線的性質以及勾股定理是正確解答的前提．20．（6分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的y與x的部分對應值如下表：x…﹣10123…y…﹣3010﹣3…（1）根據上表畫出函數(shù)圖象，并填空：①該函數(shù)的頂點坐標為（1，1）；②拋物線與坐標軸的交點坐標為（0，0），（2，0）；③當y＞0時，x的取值范圍是0＜x＜2；（2）求該二次函數(shù)的解析式．【分析】（1）根據表格中的數(shù)據，可以畫出相應的函數(shù)圖象；①根據圖象中的數(shù)據，可以直接寫出頂點坐標；②根據圖象中的數(shù)據，可以直接寫出拋物線與坐標軸的交點坐標；③根據圖象中的數(shù)據，可以寫出當y＞0時，x的取值范圍；（2）先設該函數(shù)的頂點式，再根據經過點（0，0），即可求得a的值，從而可以寫出該函數(shù)解析式．【解答】解：（1）圖象如右圖所示，①該函數(shù)的頂點坐標為（1，1）；②拋物線與坐標軸的交點坐標為（0，0），（2，0）；③當y＞0時，x的取值范圍是0＜x＜2；故答案為：①（1，1）；②（0，0），（2，0）；③0＜x＜2；（2）設該函數(shù)解析式為y＝a（x﹣1）2+1，∵點（0，0）在該函數(shù)圖象上，∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+1．【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合的思想解答．21．（5分）2023年9月，以“人文自主庚七秩，二附一心向未來”為主題的北師大二附中建校70周年慶?；顒釉谛Ｂ≈嘏e行，師生校友參與了豐富多彩的校慶活動，并通過購買文創(chuàng)紀念品的方式獻上愛心，其中的“三帆熊”和“二附兔”受到大家青睞，這兩種吉祥物成本價均為每個40元，設兩種吉祥物的銷售單價均為x元，每小時共售出兩種吉祥物y個，經研究發(fā)現(xiàn)y與x之間有如下關系：y＝﹣x+60．設在這次活動中兩種吉祥物每小時的利潤共w元．（1）求w與x之間的函數(shù)表達式（需寫出x的取值范圍）．（2）這兩種吉祥物的銷售單價定為多少元，可以使每小時的利潤最大？【分析】（1）根據“兩種吉祥物每小時的利潤＝兩種吉祥物的單個利潤×每小時銷售數(shù)量”列函數(shù)解析式即可；并根據單個利潤非負，每小時銷售量非負列不等式組即可求出x的范圍；（2）根據二次函數(shù)的性質即可求出答案．【解答】解：（1）根據題意，得w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+60），即w＝﹣x2+100x﹣2400，自變量x需滿足，解得40≤x≤60，答：w＝﹣x2+100x﹣2400，40≤x≤60；（2）w＝﹣x2+100x﹣2400＝﹣（x﹣50）2+100，∵a＝﹣1＜0，對稱軸為直線x＝50，∴拋物線開口向下，有最大值，∴在40≤x≤60時，當x＝50時，w有最大值，最大值為100元，答：這兩種吉祥物的銷售單價定為50元，可以使每小時的利潤最大．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，理解題意，弄清題目中的數(shù)量關系時解題的關鍵．22．（5分）閱讀對話，解答問題．（1）分別用m，n表示好好從珊珊、帆帆袋子中抽出卡片上標有的數(shù)字，請用列表法寫出（m，n）的所有取值：nm1234（2）求在（m，n）的所有取值中使關于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有實數(shù)根的概率P．【分析】（1）根據題意列表即可．（2）由題意可得Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2n＝m2﹣8n≥0，由表格可得出所有等可能的結果數(shù)以及能使m2﹣8n≥0的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）列表如下：nm1231（1，1）（1，2）（1，3）2（2，1）（2，2）（2，3）3（3，1）（3，2）（3，3）4（4，1）（4，2）（4，3）（2）∵關于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有實數(shù)根，∴Δ＝（﹣m）2﹣4×1×2n＝m2﹣8n≥0．由表格可知，共有12種等可能的結果，其中能使m2﹣8n≥0的結果有：（3，1），（4，1），（4，2），共3種，∴在（m，n）的所有取值中使關于x的一元二次方程x2﹣mx+2n＝0有實數(shù)根的概率P＝＝．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、根的判別式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及根的判別式是解答本題的關鍵．23．（5分）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC．求作：△ABC的外接圓．下面是小張的作法：①如圖，作BC的垂直平分線l1；②作AC的垂直平分線l2，與l1交于點O；③以O為圓心，OA長度為半徑作圓．則⊙O是△ABC的外接圓．（1）請你用無刻度直尺和圓規(guī)在圖中補全圖形．（2）小李看到他的作法后靈機一動，找到了△ABC的內心．下面是小李的作法：直線l2與交于點D，連接DB，交AO于點I，則點I是△ABC的內心．請你補全下面證明．∵l2⊥AC，l2經過點O，∴（①垂直平分弦的直徑平分弦所對的劣弧）（填推理的依據），∴∠ABD＝②∠DBC（③等弧所對的圓周角相等）（填推理的依據），∵l2⊥BC，AB＝AC，∴∠BAO＝∠CAO，∵DB與AO交于點I，∴點I是△ABC的內心．【分析】（1）根據要求作出圖形；（2）根據內心是角平分線的交點即可．【解答】（1）解：圖形如圖所示：（2）證明：∵l2⊥AC，l2經過點O，∴（①垂直平分弦的直徑平分弦所對的劣弧）（填推理的依據），∴∠ABD＝②∠DBC（③等弧所對的圓周角定理）（填推理的依據），∵l2⊥BC，AB＝AC，∴∠BAO＝∠CAO，∵DB與AO交于點I，∴點I是△ABC的內心．故答案為：垂直平分弦的直徑平分弦所對的劣弧，∠DBC，等弧所對的圓周角定理．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，等腰三角形的性質，三角形的外心，內心等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．24．（6分）籃球是大家平時接觸非常多的運動之一，投籃時，球出手后籃球飛行的軌跡可以近似的看作一條拋物線的一部分，建立如圖所示平面直角坐標系，從出手到球進籃筐的過程中，籃球的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）某球員一次投籃時，記錄了籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據如下：水平距離x/m00.511.522.533.5…豎直高度y/m22.723.283.683.9243.923.68…請你根據表格中數(shù)據，直接寫出籃球飛行軌跡的最高點坐標（2.5，4），并求出滿足的函數(shù)解析式．（2）小明同學在此基礎上想要研究自己的投籃情況，已經求得第一次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關系式：y＝﹣（x﹣2.4）2+4.5，請回答下列問題：①小明同學第一次投籃的出手點高度為2.1m；②已知籃筐中心位置在水平距離4.2m，豎直高度3m處．當籃球的豎直高度為3m時對應的水平距離與籃筐中心位置的水平距離相差0.1m以內，籃球可以進入籃筐．若小明第二次的投籃軌跡近似滿足函數(shù)關系式：y＝﹣（x﹣2.1）2+4，已知兩次投籃只有一次投中，則第一次投中（填寫“第一次”或“第二次”）．【分析】（1）根據二次函數(shù)的對稱性即可確定籃球飛行軌跡的最高點坐標；利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；（2）①當x＝0時，求出函數(shù)值，即可求出第一次投籃的出手點高度；②分別求出y＝3時，x的值，在與4.2比較，相差0.1以內的即可以進入籃筐．【解答】解：（1）由拋物線的對稱性可知，拋物線的對稱軸為直線x＝＝2.5，∴可由表格知籃球飛行軌跡的最高點坐標為（2.5，4），故答案為：（2.5，4），函數(shù)關系可設為：y＝a（x﹣2.5）2+4，將點（0，2）代入，得2＝a（0﹣2.5）2+4，解得a＝，∴滿足的函數(shù)解析式為：y＝（x﹣2.5）2+4；（2）①當x＝0時，y＝﹣（x﹣2.4）2+4.5＝﹣（0﹣2.4）2+4.5＝2.1，故答案為：2.1；②第一次投籃：當y＝3時，3＝﹣（x﹣2.4）2+4.5，解得x1＝2.4+0.6，x2＝2.4﹣0.6（舍去），|2.4+0.6﹣4.2|＜0.1，故籃球可以進入籃筐；第二次投籃：當y＝3時，3＝﹣（x﹣2.4）2+4，解得x1≈3.95，x2≈0.85（舍去），|3.95﹣4.2|＝0.25＞0.2，故籃球不能進入籃筐，故答案為：第一次．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，理解題意，掌握二次函數(shù)的性質時解題的關鍵．25．（6分）如圖，BC是⊙O的直徑，點A是⊙O上一點，PO⊥AB，PB⊥BO于B，分別連接AC，AP．（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）作AD平分∠BAC交⊙O于點D，連接CD．若AB＝OB，，請補全圖形，并求OP的長．【分析】（1）根據“經過直徑的外端，且垂直于直徑的直線是圓的切線”進行證明；（2）根據等邊三角形的性質、勾股定理、圓的性質求解．【解答】（1）證明：連接OA，∵OA＝OB，PO⊥AB，∴∠AOP＝∠BOP，∴OP＝OP，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∵OA是⊙O的半徑，∴AP是⊙O的切線；（2）解：補全圖形如圖所示：連接BD，∵AB＝OB＝OA，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠POB＝∠AOB＝30°，∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD＝2，∵BC是直徑，∴∠CDB＝90°，∴CB＝2，∴OB＝，∴OP＝＝2．【點評】本題考查了基本作圖，掌握等邊三角形的性質、勾股定理、圓的性質及切線的判定定理是解題的關鍵．26．（6分）平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝t．（1）若拋物線經過點（2，c），求t的值；（2）若拋物線上存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜3，且y1＝y(tǒng)2，求t的取值范圍．【分析】（1）利用拋物線的對稱性即可求得t的值；（2）利用拋物線的對稱性即可求得t的取值范圍．【解答】解：（1）由y＝ax2+bx+c可知，拋物線與y軸的交點為（0，c），∵拋物線經過點（2，c），∴拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝t＝＝1，∴t的值為1；（2）∵拋物線上存在兩點A（x1，y1），B（x2，y2），y1＝y(tǒng)2，∴t＝，∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜3，∴＜t＜，即0＜t＜．【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知拋物線的對稱性是解題的關鍵．27．（7分）已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D，E為線段BC上的一動點，連接ED，將ED繞點E逆時針旋轉90°，得到線段EF，連接AF交直線CD于點G．（1）當E與C重合時，如圖1，求證：AG＝FG；（2）當E與C不重合時，如圖2，則（1）中的結論是否成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；（3）若AC＝2，直接寫出CG長的最大值．【分析】（1）由“AAS”可證△ADG≌△FCG，可得AG＝FG；（2）由“SAS”可證△DEJ≌△FEB，可得∠EBF＝∠EJB＝45°，由平行線分線段成比例可求解；（3）由（2）可知，點F過點B且垂直于AB的直線上運動，由等腰三角形的性質可求解．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝CD＝DB，∵將ED繞點E逆時針旋轉90°，∴CD＝CF，∠DCF＝∠ADC＝90°，∴AD＝CF，由∠AGD＝∠CGF，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴AG＝FG；（2）解：結論仍然成立，理由如下：連接BF，過點E作EJ⊥BC，交AB于J，∵EJ⊥BC，∠ABC＝45°，∴∠EJB＝∠ABC＝45°，∴EJ＝EB，∵∠JEB＝∠DEF＝90°，∴∠JED＝∠BEF，又∵DE＝EF，∴△DEJ≌△FEB（SAS），∴∠EBF＝∠EJB＝45°，∴∠ABF＝90°，∴CD∥BF，∴，∵AD＝DB，∴AG＝GF；（3）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB，∴AB＝2，∴AD＝CD＝DB＝，由（2）可知，點F過點B且垂直于AB的直線上運動，∴當點E與點B重合時，DG＝EF＝，此時CG有最大值為，∴CG的最大值為．【點評】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質等知識