人教版九年級數(shù)學上冊《實際問題與二次函數(shù)（第1課時）》示范教學課件

實際問題與二次函數(shù)（第1課時）一般地，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c可以通過配方法化成

y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，即_______________________．因此，拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是____________，頂點是_________________．問題

從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球運動的時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？分析：畫出函數(shù)h＝30t－5t2(0≤t≤6)的圖象（如圖）．可以看出，這個函數(shù)的圖象是一條拋物線的一部分．這條拋物線的頂點是這個函數(shù)的圖象的最高點，最高點也就是說，當t

取頂點的橫坐標時，這個函數(shù)有最大值．，．

小球運動的時間是

3

s

時，小球最高．

h＝30t－5t2(0≤t≤6)，小球運動中的最大高度是45

m．歸納一般地，當a＞0(a＜0)時，拋物線y＝ax2＋bx＋c

的頂點是最低（高）點，也就是說，當時，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．圖中是拋物線形拱橋，當拱頂離水面2

m

時，水面寬4

m．水面下降1

m，水面寬度增加多少？分析：二次函數(shù)的圖象是拋物線，建立適當?shù)淖鴺讼?，就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù)．探究xyOP(－2，2)

B(－4，0)(0，0)xyOP(2，2)

A(4，0)(0，0)

y＝ax2＋bx

y＝ax2＋k

xyOP(0，2)

A(2，0)(0，0)xyO

y＝ax2

A(2，－2)(0，0)yxP(2，2)

A(4，0)O(0，0)

解：方法1：以拋物線和水面的兩個交點的連線為x

軸，以左邊的交點為原點，建立直角坐標系．設這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝a(x－2)2＋2．由拋物線經過點A(4，0)，可得

0＝a×22＋2，a＝．這條拋物線表示的二次函數(shù)為．yxP(2，2)

A(4，0)O(0，0)當水面下降1

m

時，所以C

，D

．所以

．所以水面下降1

m，水面寬度增加m．水面上C，D的縱坐標為－1．1mCDyOx(0，0)

方法2：以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y

軸建立直角坐標系（如圖）．設這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝ax2．由拋物線經過點A(2，－2)，可得－2＝a×22，a＝．這條拋物線表示的二次函數(shù)為．A(2，－2)yOx(0，0)A(2，－2)1mCD3m當水面下降1

m

時，所以C

，D

．此時水面的寬度CD

為m．所以水面下降1

m，水面寬度增加m．水面上C，D

的縱坐標為－3．yOx(0，0)A(2，0)P(0，2)

方法3：以拋物線和水面的兩個交點的連線為x

軸，以拋物線的對稱軸為y

軸，建立直角坐標系（如圖）．設這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝ax2＋k．這條拋物線表示的二次函數(shù)為．由拋物線經過點A(2，0)，

P(0，2)，可得

a＝，k＝2．yOxC(0，0)A(2，0)P(0，2)

D1m當水面下降1

m

時，所以C

，D

．此時水面的寬度CD

為m．所以水面下降1

m，水面寬度增加m．水面上C，D

的縱坐標為－1．對比三種解法，哪種解法更簡便？√歸納“拱橋類”問題建立坐標系的“竅門”（1）根據(jù)拋物線的對稱性建立以對稱軸為

y軸的坐標系；（2）若頂點在原點上，一般設y＝ax2；若頂點不在原點上，一般設y＝ax2＋k．歸納解決“拱橋類”問題的一般步驟（1）建立適當?shù)淖鴺讼?，并將已知條件轉化為點的坐標；（2）合理設出所求函數(shù)的表達式，并代入已知條件或點的坐標，求出關系式；（3）利用關系式求解實際問題．

例1某工廠大門是一拋物線形水泥建筑物（如圖），大門地面寬AB＝4m，頂部C離地面高度為4m．現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面2.5

m，裝貨寬度為2

m．請判斷這輛汽車能否順利通過大門．CA

B

CA

B

設這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為y＝ax2．

解：以點C為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立直角坐標系（如圖）．yx(2，－4)H

由圖象知，拋物線過點(2，－4)，∴－4＝a×22，a＝－1．∴

y＝－x2．CA

B

yxH

裝貨寬度為2

m，在圖象上為EF，E

F

G

即F點的橫坐標為1．當x＝1時，y＝－1，即CG＝1m．∵大門的頂部C離