四邊形的證明與計算（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)題型歸納與變式演練（全國卷）

專題04四邊形的證明與計算

目錄

題型01四邊形與全等...........................................................................

題型02四邊形與相似...........................................................................

題型03四邊形邊角計算.........................................................................

中考練場.......................................................................................

熱點題型歸納

題型01四邊形與全等

【解題策略】

六個全等模型

幺

。

Z

I1

直

2

兩

手拉手模型

第1頁共51頁

【典例分析】

例1.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖，在菱形43co中，對角線AC,8。相交于點。，點尸,。

分別是邊BC,線段0。上的點，連接ARORA尸與相交于點E.

（1汝口圖1,連接QA.當(dāng)QA=Q尸時，試判斷點。是否在線段PC的垂直平分線上，并說明

理由；

（2）如圖2,若/AP3=90。，且4L4P=/4DB,

①求證：AE=2EP；

②當(dāng)OQ=OE時，設(shè)即=*求PQ的長（用含0的代數(shù)式表示）.

【答案】（1）點。在線段PC的垂直平分線上⑵①證明見解析，②2。=缶

【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及垂直平分線的判定證明即可；

（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出筋=3。=?！?gt;=加，再由各角之間的關(guān)系得出

ZBAP=ZABD=ZCBD=30°,由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；③連接QC.利

用等邊三角形的判定和性質(zhì)得出鉆=2。,”=3。，再由正切函數(shù)及全等三角形的判定和性

質(zhì)及勾股定理求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，點2在線段PC的垂直平分線上.

理由如下：連接QC.

???四邊形ABCD是菱形，對角線AC3D相交于點。，

第2頁共51頁

：.BD±AC,OA=OC

:.QA=QC.

QA=QP,

：.QC=QP,

，點。在線段PC的垂直平分線上.

（2）①證明：如圖，?.?四邊形是菱形,

/.AB=BC=CD=DA,

：.ZABD=ZADB,ZCBD=ZCDB,

BDLAC,

：.ZADO=ZCDO,

:.ZABD=ZCBD=ZADO.

ZBAP=ZADB,

:.ZBAP=ZABD=ZCBD.

AE=BE,

ZAPB=90°,

:.ZBAP+ZABP=90°,

:.ZBAP=ZABD=ZCBD=30°.

在RtABPE中，/EPB=90°,/PBE=30°,

第3頁共51頁

:.EP=-BE.

2

AE=BE.

:.EP=-AE,

2

:.AE=2EP；

②如圖，連接

AB=BC,ZABC=60°,

???.ABC是等邊三角形.

ZAPB=90°,

：.BP=CP,EP=a,

AE=2a,AP=3a

在RtAP5中，ZAPB=90°,

-/tanZABP=—,

BP3

BP=yfici.

CP=BP=y[3a

AO=CO9^AOE=ZCOQ,OE=OQ,

.,.△AOE之△CO。，

AE=CQ=2a,/EAO=ZQCO.

第4頁共51頁

AE//CQ,

NAPB=90。,

:.ZQCP=90°.

在Rt/XPCQ中，ZQCP=90°,

由勾股定理得PQ2=PC2+CQ2,

PQ2=(73a)2+(2a)2=7a2

PQ=幣a.

A

【點睛】題目主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性

質(zhì)及解直角三角形，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵.

例2.（2023?黑龍江哈爾濱?中考真題）已知四邊形A3C。是平行四邊形，點E在對角線

上，點/在邊8C上，連接AE,EF,DE=BF,BE=BC.

圖①圖②

（1）如圖①，求證△AED絲△EFB;

（2）如圖②，^AB=AD,AE^ED,過點C作CH〃AE交班于點H,在不添加任何軸助線

的情況下，請直接寫出圖②中四個角（44E除外），使寫出的每個角都與，54E相等.

【答案】⑴見解析；（2），aE4=/EFC=，OC"=/OHC=/54E,理由見解析.

第5頁共51頁

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得ADuBCuBE,BC//AD,進而有NADE=NEBB,

從而利用SAS即可證明結(jié)論成立；

（2）先證四邊形A3CD是菱形，得AS=3C=3E=CD=AD,又證ABE芬CDH（AAS）,

得NBAE=/DCH=NBEA=/DHC,由（1）得，AED烏EFB（SAS）得ZAED=/EFB,

根據(jù)等角的補角相等即可證明.

【詳解】（1）證明：二?四邊形A8CD是平行四邊形，BE=BC

：.AD=BC=BE,BC//AD,

：.ZADE^ZEBF,

"：DE=BF,ZADE=ZEBF,AD=BE

.?.一AEDqEFB（SAS）；

（2）解:/BEA=/EFC=NDCH=NDHC=NBAE,理由如下：

AB=AD,四邊形ABC。是平行四邊形，

，四邊形ABC。是菱形，BC//AD,ABCD

：.AB=BC=BE=CD=AD,ZADE=NEBF,NABE=/CDH,

：.ZBEA=ZBAE,

'：CH//AE,

:.NBEA=/DHC,

,ABEqCDH（AAS）,

：.ZBAE=NDCH="BEA=NDHC,

由（1）得，AED當(dāng)EFB（SAS）,

ZAED=ZEFB,

?//AED+NBEA=NEFB+NEFC=180°,

，/BEA=/EFC=NDCH=NDHC=ZBAE.

第6頁共51頁

AD

He

1JF_T

圖②

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定及性質(zhì)、等邊對等角、全等三角形的判

定及性質(zhì)以及等角的補角相等.熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.(2023?北京海淀?一模)如圖，正方形A3CD中，點E,尸分別在5cCDh,

BE=CF,AE,BF交于點G；

(1)ZAGF=.

(2)在線段AG上截取MG=3G,連接OM,NAGF的角平分線交DM于點N.

①依題意補全圖形；

②用等式表示線段MN與ND的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)90。⑵①見解析；②MN=ND

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定，等腰直角三角形性質(zhì)和判定等知識,

解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，合理作出輔助線.

(1)通過證明ABE^BCF(SAS),得出NBAE=NCBF,根據(jù)NB4E+NA￡B=90。，得出

ZCBF+ZAEB^90°,即可解答；

(2)①根據(jù)題意補全圖形即可;②過點A作A”交GN延長線于點打,連接￡)〃，

先證明,54G絲ADAH(SAS),得出3G=D8,/AHD=/AG3=90。，貝l|

第7頁共51頁

GM=DH,NDMV=NNGM=45。，再證明HND^GW（AAS）,即可得出結(jié)論W=ND.

【詳解】⑴解：,??四邊形ABC。為正方形,

AB=BC,ZABE=/BCF=90°,

在4A既和△BCF中，

AB=BC

<ZABE=ZBCF,

BE=CF

???，ABE^.,SCF（SAS）,

???NBAE=NCBF,

'：ZBAE+ZA￡B=90°,

???ZCBF-^-ZAEB=90°,

：.NBGE=9U。,

???NAG尸=90。，

故答案為：90°.

（2）解：①根據(jù)題意補全圖形如圖所示：

②證明：過點A作AHLAE,AH交GN延長線于點連接

VZAGF=90°,GN平分AAGF,

：.ZAGN=-ZAGF=45°,

2

,:AH.LAE,

第8頁共51頁

ZGAH=90°,

：.ZAHG=ZAGH=45°,

：.AG=AH,

???四邊形ABC。為正方形，

ZBAD=90°,AB=AD,

'：ZGAH=90°,

：.ZBAG=ZDAHf

VAG=AH,NBAG=/DAH,AB=AD,

：._BAG均DAH(SAS),

：.BG=DH,ZAHD=ZAGB=90°,

?:BG=GM,ZAHG=45。，

.?.GM=DH,/DHN=ZNGM=45°,

?.?ZDHN=/NGM,/DNH=/MNG,GM=DH,A^HND^GNM(AAS),

：.MN=ND.

2.（2023?山東泰安?三模）已知如圖1,。為正方形ABC。的邊上任意一點，BEJ.AP于

點、E,在AP的延長線上取點尸，使EF=AE,連接NC5廠的平分線交AF于點G.

第9頁共51頁

圖1圖2

⑴求證：BF=BC；

(2)求證：3EG是等腰直角三角形；

(3)如圖2,若正方形ABC。的邊長為4,連接CF,當(dāng)尸點為8C的中點時，求CF的長.

【答案】(1)詳見解析

(2)詳見解析

⑶警

【分析】(1)利用線段的垂直平分線的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)即可證明；

(2)想辦法證明ZF=Z&4F=Z￡BP,由NEBG=NEBP+NPBG,ZEGB=ZF+ZGBF,

即可解決問題；

(3)等面積法求出3E,證明CBG當(dāng)RBG(SAS)得到CG=FG,證明△EBPgAGCP,

即可推出CG=3E,NCGP=NBEP=90。,由此即可解決問題.

【詳解】(1)證明：QBELAF,AE=EF,

二.3E是線段AF的垂直平分線，

:.AB=BF,

四邊形ABCO是正方形，

:.AB=BC,

：.BF=BC.

(2)證明：-四邊形ABCD是正方形，

第10頁共51頁

/.ZABC=90°,

:.ZABE+ZEBP=90°,

QBELAF,

:.ZABE+NBAP=90。,

:.ZBAP=/EBP,

AB=BF,

:.ZBAP=ZBFP,

:.ZEBP=ZBFPf

ZCBF的平分線交"于G,

:.NCBG=NFBG,

/./EBP+/CBG=/BFP+/FBG,

:.ZEBG=ZEGB,

又QBE_LAT,

??.△BEG是等腰直角三角形.

(3)解：連接CG.

D

圖2

尸是中點，正方形的邊長為4,

.\AB=4,BP=CP=2,

在RtA&P中，AP=dBy+AB?=1*+畢=2小，

第11頁共51頁

BE上AP,

S.p=2y/5xBE=—x4x2,

.RF_4A/5

5

AB=BC,AB=BF,

:.BC=BF,

/CBG=NFBG,BG=BG,

/.CBGmFBG(SAS),

:.ZBFP=/BCG,CG=FG,

由(2)可知NEBP=ZBFP,:./EBP=/BCG,

/EPB=/CPG,..-GC尸(ASA),

...CG=FG=BE=型,NCGP=NBEP=9Q。，

5

NCG尸=90。，

:.CF=y/CG2+FG2

故答案為：生地.

5

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等

腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題.

3.(2022?湖南長沙?三模)如圖，在，ABC和一。CB中，AB^DC,AC=DB,AC與DB交

于點M.

第12頁共51頁

D

M

(1)求證：ABC-DCB；

(2)將BMC關(guān)于BC所在直線翻折，得到BNC,試判斷四邊形3NCM的形狀，并證明你

的結(jié)論；

⑶若AC平分/BCD,DM=1,BM=2,求BC的長.

【答案】⑴見解析

(2)四邊形BNCN的形狀為菱形；理由見解析

(3)BC=2A/3

【分析】(1)根據(jù)SSS直接證明△ABCZADCB；

(2)根據(jù)△ABC四△OCB,可得ZACB=NDBC,進而可得BM=CM,根據(jù)翻折的性質(zhì)

可得：BM=BN,CM=CN,即可得出結(jié)論；

(3)連接MN交8C于點0,過點M作MHLCD交CO的延長線于點H.利用面積法證明

BC=2CD,再利用全等三角形的性質(zhì)證明NCDM=90。，再利用勾股定理

求出。8即可.

【詳解】(1)證明：如圖，在.ABC和△DCB中，

AB=DC

AC^DB,

BC=CB

.?.AABC^ADCB(SSS)；

(2)四邊形3NCM的形狀為菱形；理由如下：

ABC會DCB,

:.ZACB=ZDBC,

:.BM=CM,

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根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：BM=BN,CM=CN

:.BM=BN=CN=CM,

四邊形3NCN為菱形

（3）如圖，連接交3c于點。，過點M作MHLCD交8的延長線于點H.

四邊形是菱形，

MN1CB,

AC平分ZBCD,MHLCD,

MO=MH,

0-CDxMH1

S7DM1

-^=4-=——=-,:.BC=2CD,

BM2

SCBM-CBxMO

2

OB=OC,:.CO=CD,

ZMCO=ZMCD,CM=CM,MCgMCD(SAS),

:.ZMOC=ZCDM=90°,即點。，點//重合，:.MO=MD=\,

OB=\lBM2—MO2=A/22—I2=+,

BC=2?

【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理,

勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用面積法解決問題.

題型02四邊形與相似

【解題策略】

第14頁共51頁

【典例分析】

例.（2023?內(nèi)蒙古?中考真題）已知正方形ABC。，E是對角線AC上一點.

⑴如圖1,連接BE,DE.求證：△ABEMAADE;

（2）如圖2,b是DE延長線上一點，DF交AB于點、G,BF±BE.判斷△五BG的形狀并說

明理由；

AE

⑶在第（2）題的條件下，BE=BF=2,求不；的值.

AB

【答案】（1）見解析

（2）△陽G是等腰三角形，理由見解析

⑶0-1

【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得出AB=AD,ZBAE=ZDAE=45。,進而即可得到

ABE三ADE（SAS）；

第15頁共51頁

(2)先判斷出NAGZ)=/FG3,進而判斷出NFGB=NR3G,即可得到結(jié)論；

(3)先求出FG的長，可證明一EBE是等腰直角三角形.從而得到所的長，再利用

AEEG

ZBEF=ZBAE=45°,ZABE=NEBG,可證得A4BE八ERG,進而得到一=—,從

ABBE

而可得到答案.

【詳解】(1)解：???四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，

AAB=AD,ZBAE=ZDAE=45°,

在/ABE和VAD￡中

AB=AD

</BAE=/DAE

AE=AE

：.4ABE=^ADE(SAS).

(2)解：△FBG是等腰三角形，理由如下：

:△ABEwAADE,

???ZABE=ZADE,

???四邊形ABC。是正方形，

ZDAG=90°,

：.ZADE+ZAGD=90°f

???ZAGD=ZFGB9

：.ZADE+ZFGB=90°,

?:FB±BE,

：./EBF=9伊,

：.ZABE+ZFBG=90°f

：.NFGB=NFBG,

：.BF=FG,

第16頁共51頁

，ZkEBG是等腰三角形.

(3)解：,:BE=BF=2,BF=FG,

：.BE=BF=FG=2,

又：FB1BE,

，一汽仍是等腰直角三角形.

ZBEF=ZBAE=45°,BF2+BE2=EF2，

A￡F2=22+22=8,

；?EF=25/2，

：.GE=2垃-2,

'：NBEF=Z.BAE=45°,ZABE=ZEBG,

：.AABEAEBG,

.AEEG

2A/2-2

.AE_EF-FG=5/2—1.

"~2

【點睛】本題考查四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形，等腰三角形以及

相似三角形，熟練掌握等腰三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（22-23浙江?模擬預(yù)測）在ABC中，D,E分別是A3,AC的中點，延長ED至點F

使得DF=DE,連接

第17頁共51頁

A

⑴求證：四邊形3CEF是平行四邊形.

(2)3G，CE于點G,連接CF,若G是CE的中點，CF=6,tanZBCG=3,

①求CG的長.

②求平行四邊形BCEF的周長.

【答案】⑴見解析；⑵①&；②4君+40.

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線定理證明跖〃BC,EF=BC,進而可以解決問題；

(2)①設(shè)BG與尸C交于點設(shè)EG=CG=x,貝ljEB=EC=2尤，證明二一CG〃，

得包=里=①=2,所以m=4,HC=2,由tan/2CG=/=3,得3G=3CG=3尤；

CGHCGH1CG

證明GHC是等腰直角三角形，再利用勾股定理求出x的值，進而可以解決問題；

②利用①中的結(jié)論，求出BF、BG,再利用勾股定理求出BC,最后利用平行四邊形的性質(zhì)

即可得出答案.

【詳解】(1)證明：E分別是A3,AC的中點,

ADE//BC,DE=-BC,

2

DF=DE=-EF,

2

EF//BC,EF=BC,

四邊形BCEF是平行四邊形；

(2)解：①設(shè)BG與FC交于點

第18頁共51頁

A

???G是CE的中點，

???EC=2EG=2CG,

V四邊形5CEF是平行四邊形，

:.FB=EC,EF=BC,FB//EC,

設(shè)EG=CG=x,貝ljFB=EC=2x,

?/FB//EC,

:"FBH=/CGH,2BFH?GCH

：.’FBHsaCGH,

.FBFHBH_2

**CG-GH-T，

???FH+HC=CF=6,

：.FH=4,HC=2,

VtanZBCG=—=3,

CG

：.BG=3CG=3x,

VBH=2GH,BG=BH+GH,

BH=2x,GH=x,

:.GH=CG=x,

?：BG工CE,

第19頁共51頁

???是等腰直角三角形,

,:HC=2,

：.GH=CG=x=—HC=y/2,

2

②由①知，EG=CG=X=6，

：.BG=3x=3及，F(xiàn)B=EC=2x=2y/2

在Rt3CG中，根據(jù)勾股定理得：

BC=^BG2+CG2=加可+⑼=2后,

：.平行四邊形BCEF的周長=2(8C+冏=2(2有+2⑹=4有+4近.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，勾股定

理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到，RB"s,CG".

2.(2024?陜西西安?模擬預(yù)測)如圖，在矩形A3CD中，點E在BC上，且N4￡D=ZDEC,

延長BC至點孔使CF=8E,連接AF,交DE、DC分別于/、N.

⑴求證：四邊形但D為菱形；

(2)若BE:EC=4:1且MN=2,求DN的長度.

【答案】(1)見解析(2)2&5

【分析】(1)先證明四邊形AEED是平行四邊形，再證明=即可由菱形的判定得

出結(jié)論；

(2)設(shè)EC=k,則3E=43AD=BC=5k,再由菱形的性質(zhì)得A￡=AD=5A,然后根據(jù)

勾股定理求得CD=AB=3左，由勾股定理，得DE=?k,最后證明△OMNS^OCE,得

第20頁共51頁

DNMNDN2

---=----,即Hn-/==—~—即可求解.

DECE，10kk

【詳解】(1)證明：??,矩形ABC。,

AAD=BC,AB=CD,AD//BC,

：.AD//EF,

?：BE=CF,BC=BE+EC,EF=EC+CF,

:.BC=EF,

AD=EF,

???四邊形AEED是平行四邊形,

AD//EF,

：.ZADE=/DEC,

'：ZAED=ZDEC,

ZADE^ZAED,

???AE=AD,

???四邊形AEFD是菱形.

(2)解：VBE:EC=4:1,

：.^EC=k,貝!J3￡=4左，AD=BC=5k,

???四邊形AEED是菱形，

???AE=AD=5k,

???矩形ABC。，

???/BCD=NB=9。。,

由勾股定理，得AB=JAE2-BE2=3k，

CD=AB=3k,

第21頁共51頁

由勾股定理，DE=-JEC2+CD2=y/lOk>

:四邊形AEFD是菱形，

???AF1DE，

：.NDMN=90°,

：.NDMN=ZECD,

ZMDN=NCDE,

.DNMN

"~DE~~CE'

.DN_2

，?而k一工，

?*.DN=2M.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三

角形的判定與性質(zhì).（1）證明四邊形AEED是平行四邊形，（2）證明△DMNsADCE是

解題的關(guān)鍵.

3.（2022?湖北武漢?模擬預(yù)測）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1,四邊形ABCD中，ZBAC=ZACD,

ZB=ZD,求證：四邊形A3CD是平行四邊形.

【靈活運用】（2）如圖2,YA3CD中，點E,尸分別在邊AB,BC±,ZEDF=ZBAC,

EF〃AC,政的延長線交DC的延長線于點G,若EF=3,DE=4,求AC的長.

【拓展提高】（3）如圖3,矩形ABCD中，AB=2,8C=4,點E,尸分別在邊AB,BC

上，tanZEDF=2,EF〃AC,求AE■的長度.

【答案】（1）見解析；（2）AC=y；（3）AE的長度為四-5

第22頁共51頁

【分析】(1)易得ABCD,再證明人鉆。絲△CZM(AAS),得AB=CD,即可作答;

DE216

(2)易得四邊形AEGC是平行四邊形，再證明，￡1用s,EG。，得EG=——=一，即可作

EF3

答；

(3)如圖，延長M，DC相交于點P,易得四邊形AEPC是平行四邊形，然后在Rt^ABC

中，AB=2,3C=4,得tanNBAC=^=2,結(jié)合tan/ED尸=2,所以==

AB

證明EDFtEPD,則DE2=EF,EP，根據(jù)勾股定理，即可作答.

【詳解】(1)證明：???NBAC=NAS,

ABCD.

在，ABC和CZM中，/BAC=ZACD,ZB=ZD,AC=CAf

AABC四△CZM(AAS)

：.AB=CD,

???四邊形ABC。是平行四邊形.

(2)解：??,四邊形ABCD是平行四邊形，

AE//CG.

:EF//AC,

???四邊形AEGC是平行四邊形，

AZBAC=ZG,EG=AC.

?；/EDF=/BAC,：.ZEDF=ZG.

DEEF

9：ZDEF=ZGED,：.EDF^EGD,：.—=—,

EGDE

(3)如圖，延長石尸，DC相交于點尸,

第23頁共51頁

B

..?四邊形ABC。是矩形，

?.AB//CD,NBAD=ZABC=NBCD=90。.

；EF〃AC,；.四邊形是平行四邊形，；./BAC=/P,EP=AC,AE=CP.

在RtZXABC中，AB=2,BC=4,：.tanZBAC=—=2.

AB

VtanZ￡DF=2,:?/EDF=/BAC=/P.

r）ppp

2

?；ZDEF=ZPED,:?EDFs&EPD,EPDE,-,-DE=EF-EP.

VtanZP=^=2,.?.設(shè)CP=x,則/C=2x,FP=45x-

222

VAC=7AS+BC=26，DE=EF.EP=2#X（2#一顯）=26-M

,在RtAAED中，OE?=AOZ+AE?=16+彳2,/.16+x2=20-10%,

，菁=亞一5,9=一回一5<0（舍去），:_=亞-5,

AE的長度為屈-5.

【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、矩形性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直

角三角形以及勾股定理等知識內(nèi)容，難度適中，綜合性較強，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題

的關(guān)鍵.

4.（2022.安徽?模擬預(yù)測）如圖1,E是正方形A3CD的邊3C上一個動點，連接

的平分線EM交。。于點直線MN，DE于點N,交A3于點G,交BC的延長線于點產(chǎn)，

連接EG,CN.

第24頁共51頁

⑴求證：FN=AB.

(2)如圖2,若NC〃GE,連接BN并延長，交CD于點P.

①求證：BE=CE；

②求昔的值.

【答案】(1)見解析(2)①見解析；②史二1

2

【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟

練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，(1)根據(jù)正方

形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得=△￡?1%和ADEC^AFEN即可求證FN=AB；(2)

①利用(1)的結(jié)論和NC〃GE,可證明△GEN四△GEB進而得證；②延長CN交4)于點

Q.利用①的結(jié)論和NPBC+/3PC=90。可得==進而證明

△BCP四△CD。，AECNsADQN和ADNPs^)CN,從而得出NV?=CD.OP,設(shè)

CD=1,CP=x,根據(jù)等量關(guān)系建立方程即可求解.

【詳解】(1)(1)如圖1,.四邊形ABC。是正方形.

MN±DE,ZENF=ZDCE=90°.

EM平分/DEC,：.ZDEM=ZCEM,

EM=EM,LEMN%AEMC,：.EN=CE,

又：ZDEC=ZFEN,

:.^DEC^AFEN,:.CD=FN,;.FN=AB.

(2)解：由(1)知EN=CE,：.NENC=NECN.

NC//GE,匕GEN=NENC,ZGEB=ZECN,Z.GEN=ZGEB.

第25頁共51頁

ZABE=ZGNE=90°,GE=GE,4GEN經(jīng)4GEB,

:.BE=EN,：.BE=CE.

②延長CN交AZ）于點

圖】

由①知5E=RV=C石，

/.ZEBN=/BNE,ZENC=ZECN,

/.ZBNC=ZBNE+ZENC=90°,

:.NPCN+NBPC=900.

ZPBC+ZBPC=90°.

ZPBC=ZPCN=ABNE.

又?ZBCD=ZCDA=90°,BC=CD,

：.ABCP/ACDQ,:.CP=DQ,

AD//BC,

DNEN

:.△ECNs^DQN,=1,DN=DQ=CP.

ZPCN=/BNE,ZDNP=ZBNE,

DNCD

4DNP=ZPCN,^\DNP^ADCN,：.—=-,..DN2=CD,DP.

DPDN

設(shè)CD=1,CP=%,即f=i—%,解得%^Zl,%（舍去），.f二昱L

222CD2

第26頁共51頁

題型03四邊形邊角計算

【解題策略】

勾股定理常見折疊模型:

【典例分析】

例1.（2023?湖南?中考真題）如圖，在YABCD中，￡）歹平分/ADC,交BC于點、E,交AB

的延長線于點F.

⑴求證：AD=AF；

⑵若AD=6,AB=3,NA=120。，求所的長和△ADR的面積.

【答案】（1）見解析（2）8/=3；△4方的面積為9石

第27頁共51頁

【分析】(I)根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NCDE=/F,根據(jù)角平分線的定義得到ZADE=ZCDE,

求得ZF=ZADF,根據(jù)等腰三角形的判定定理即可得到AD=AF；

(2)根據(jù)線段的和差得到W=AF-AB=3；過。作WJ.A尸交融的延長線于氏根據(jù)直

角三角形的性質(zhì)得到AW=3AD=3,根據(jù)三角形的面積公式即可得到△的的面積.

【詳解】(1)證明：在YABCD中，AB//CD,；.NCDE=NF,

：￡)尸平分NADC,Z.ZADE=ZCDE,：.ZF=ZADF,/.AD=AF.

(2)解：=A尸=6,AB=3,ABF=AF-AB=3；

過。作。HLA尸交R4的延長線于H,

VZBAZ)=120°,ADAH^60°,：,ZADH=30°,

*>-AH=^AD=3,；.DH=—AH。=''△AD廠的面積

=；AF-DH=；x6x3也=9力.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積的計算、等腰三角形的判定和性質(zhì)

等知識點，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

例2.(2023?湖北?中考真題)如圖，將邊長為3的正方形ABCD沿直線所折疊，使點2的

對應(yīng)點M落在邊AD上(點M不與點A,。重合)，點C落在點N處，MN馬CD交于點、P,

折痕分別與邊A3,CD交于點E,F,連接

第28頁共51頁

AMD

BC

⑴求證：ZAMB=ZBMPy

(2)若￡>P=1,求MD的長.

19

【答案】(1)證明見解析(2)血億》=(

【分析】(1)由折疊和正方形的性質(zhì)得到N￡MP=N￡BC=90。，EM=EB,貝U

ZEMB=ZEBM,進而證明=再由平行線的性質(zhì)證明NAMB=/MBC即可

證明NAAffi=/BMP；

(2)如圖，延長MN,BC交于點Q.證明△ZWPsacQP得到QC=2M￡>,QP=2MP,

設(shè)MD=x,則QC=2無，3。=3+2尤.由ZBMQ=NMB。，得到=8。=3+2元.貝I]

MP=^MQ=^^.由勾股定理建立方程/+12=(1±m(xù)],解方程即可得到=

【詳解】(1)證明：由翻折和正方形的性質(zhì)可得，NEMP=NEBC=90。,EM=EB.

???ZEMB=ZEBM.

：.ZEMP-ZEMB=ZEBC-ZEBM,^ABMP=ZMBC,

???四邊形ABC。是正方形，

AD//BC.

JZAMB=ZMBC.

：.ZAMB=/BMP.

(2)解：如圖，延長”N,BC交于點Q.

VAD//BC,：.ADMP^ACQP.

又：DP=1,正方形A3CD邊長為3,

第29頁共51頁

MDMPDP_1

~QC~~QP~~CP~2

：.QC=2MD,QP=2MP,

設(shè)MD=x,則QC=2x,BQ=3+2x.

■:/BMP=ZMBC,BPZBMQ=ZMBQ,

MQ=BQ=3+2x.：.MP=^MQ=^^.

在RtAJWP中，MD2+DP?=MP?,

【點睛】本題主要考查了正方形與折疊問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)

與判定，勾股定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式演練】

1.（2024.貴州貴陽?模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB<BC,將矩形沿斯折疊，使

點C與點A重合.

⑴若/瓦田=20。，求NG4E的度數(shù);

第30頁共51頁

⑵求證：AGE^ABF；

（3）若AB=6cm,BC=8cm,求跳'的長.

7

【答案】（1）20°；（2）證明見解析；（3）8初=

4

【分析】（1）根據(jù)矩形和翻折的性質(zhì)即可解決問題；

（2）根據(jù)矩形和翻折的性質(zhì)可得NG=N3=90。，AG=AB,即可解決問題；

（3）設(shè)班』xcm,則CF=3C—M=（8-x）cm,根據(jù)勾股定理列出方程求解即可；

本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟

記各性質(zhì)并作利用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：：四邊形A3CD是矩形，

Z.BAD=NC=ND=90°,

由翻折可知：ZFAG=ZC=90°,

：.ZGAE=90°-ZEAF=ZBAF=20°,

/G鉆度數(shù)為20。；

（2）證明：二?四邊形ABCD是矩形，

Z.BAD=AC=Z,D^90°,AB=CD

由翻折可知：ZG=ZD=9O°,AG^CD,

：.ZG=ZB=90°,AG=AB,

在；AGE和中，

ZG=ZB=90

<AG=AB,：.AGE^ABF（ASA）；

ZGAE=ZBAF

（3）解：設(shè)〃^xcm,則CF=BC—_BP=（8-x）crn,

???沿EF翻折后點C與點A重合，

第31頁共51頁

AF=CF=（8-x）cm,

,77

22

在RtABR中，由勾股定理得鈣2+①尸=詼2,即6+X=（8-X），mx=-,：.BF=-.

v744

2.（2023?廣東廣州?一模）如圖，在菱形A8CD中，對角線AC,30相交于點O.

⑴尺規(guī)作圖：過點C作AB的垂線，垂足為E；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）若AC=4,BD=2,求cos/BCE的值.

4

【答案】（1）見解析（2）二

【分析】（1）以點C為圓心，大于C到AB的距離為半徑，畫弧交AB的延長線于兩點，再

分別以這兩點為圓心，大于兩點距離的一半為半徑畫弧，相交于一點，連接該點與點C所

在的直線，交A3延長線于點E即可；

（2）根據(jù)已知條件及菱形的對角線互相垂直平分性質(zhì)，得到。4、08的值，再利用勾股定

理求得加=而百灰=6,再利用等角的正弦值相等sinNBAO=eg=且=4,即可

AB5AC

求出CE的值，由菱形的四邊相等可得8C的值，然后根據(jù)余弦公式求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，CE為所作；

（2）解：；四邊形ABCD為菱形，AC=4,BD=2,

第32頁共51頁

OA=OC=—AC=2,OB=OD——BD=1,AB±BD,AB=BC,

22――

在Rt_OAB中，AB=yJo^+OB2=45>

OB75CE

sin/BAO=

AB~~5~~AC

4J5

CE=AC-sinZBAO=—

5

BC=AB=5

475

CE4

cosNBCE=—=H=-=-

BC亞5

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，菱形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，掌握垂線的尺規(guī)作

圖法，“菱形的對角線互相垂直平分且平分每一組對角”等菱形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)公式

是解本題關(guān)鍵.

3.(2023?廣東深圳?一模)綜合與探究

在矩形ABCD的CD邊上取一點E,將3CE沿助翻折，使點C恰好落在AD邊上的點尸處.

(1汝口圖①，若3c=254,求NC3E的度數(shù);

(2)如圖②，當(dāng)AB=5,且AF-FD=10時，求取的長；

(3)如圖③，延長政，與NAB尸的角平分線交于點M,BM交AD于點N,當(dāng)NF=AN+FD

時，請直接寫出要AR的值.

3

【答案】(1)/。3石=15。(2)即=3(3)]

第33頁共51頁

【分析】(1)由折疊的性質(zhì)可推出6F=2AB,再由含30。的直角三角形的特征即可求解;

(2)證△皿?即可求解；

NGFGMF1

(3)過點N作NG_LB/于點G,證可得——=——=——設(shè)AN=x,

ABFABF2

設(shè)FG=y,由鉆2+”2=5尸即可求解.

【詳解】(1)解：,??四邊形ABCD是矩形，

???ZC=90°,

??,將一5CE沿跖翻折，使點C恰好落在A。邊上的點尸處

/.BC=BF,/FBE=/EBC,ZC=ZBFE=90°,

'：BC=2AB,

???BF=2AB,

：.ZAFB=30°f

??,四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

ZAFB=ZCBF=30°,

：.NCBE=gNFBC=15。；

(2)解：??,將3CE沿BE翻折,使點。恰好落在4)邊上的點尸處

AZBFE=ZC=90°,CE=EF,

又???矩形ABCD中，ZA=ZD=90°,

ZAFB+ZDFE=90°,/DEF+ZDFE=90°,

ZAFB=/DEF,

/\FABS^EDF,

.AFAB

??五一旅'

第34頁共51頁

AFDF=ABDE,

?；AFDF=10,AB=5,

：.DE=2,

：.CE=DC—DE=5—2=3,

：.￡F=3；

（3）解：過點N作月于點G,

,:NF=AN+FD,，NF=gAD=|BC,

VBC=BF,:?NF=”F,

VZNFG=ZAFB,ZNGF=ZBAF=90°,

：./\NFGS/\BFA,

,NG_FGMF

**AB--E4--2?

設(shè)4V=龍，?:BN平分AABF,ANLAB,NG1BF,

：.AN=NG=x,AB=BG=2X,

設(shè)廠G=y,則A/=2y,

,**AB2+AF2=BF2，*,?（2x）2+（2y）2=（2x+y）2,解得y=

410—=—=3

:?BF=BG+GF=2x+—x=一x.BCBF10=-.

33~^x5

【點睛】本題以矩形中的折疊問題為背景，考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等.熟

第35頁共51頁

記相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

中考練場

1.（2023?山東?中考真題）（1）如圖1,在矩形ABCD中，點E,尸分別在邊DC,8c上,

AE±DF,垂足為點G.求證：AADE^ADCF.

圖1圖2圖3

【問題解決】

（2）如圖2,在正方形ABCD中，點E,尸分別在邊。C,BC上，AE=DF,延長BC到

點、H,使CH=DE,連接D8.求證：ZADF=ZH.

【類比遷移】

（3）如圖3,在菱形A3CE）中，點E,歹分別在邊。C,BC±,AE=DF=U,DE=8,

ZA￡E>=6O°,求CF的長.

【答案】（1）見解析