初中數(shù)學(xué)逆向思維的教學(xué)案例

初中數(shù)學(xué)逆向思維的教學(xué)案例【案例背景：】人們習(xí)慣于沿著事物發(fā)展的正方向去思考問(wèn)題并尋求解決辦法。其實(shí)，對(duì)于某些問(wèn)題，尤其是一些特殊問(wèn)題，從結(jié)論往回推，倒過(guò)來(lái)思考，從求解回到已知條件，反過(guò)去想或許會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使解決它變得輕而易舉，甚至因此而有所發(fā)現(xiàn)，創(chuàng)造出驚天動(dòng)地的奇跡來(lái)，這就是逆向思維和它的魅力。

有一道趣味題是這樣的：有四個(gè)相同的瓶子，怎樣擺放才能使其中任意兩個(gè)瓶口的距離都相等呢？可能我們琢磨了很久還找不到答案。那么，辦法是什么呢？原來(lái)，把三個(gè)瓶子放在正三角形的頂點(diǎn)，將第四個(gè)瓶子倒過(guò)來(lái)放在三角形的中心位置，答案就出來(lái)了。把第四個(gè)瓶子“倒過(guò)來(lái)”，多么形象的逆向思維??！一、從正、逆兩個(gè)方向去理解概念數(shù)學(xué)概念、定義總是雙向的，因此在概念的教學(xué)中，除了讓學(xué)生理解概念本身及其常規(guī)應(yīng)用外，還要善于引導(dǎo)啟發(fā)學(xué)生反過(guò)來(lái)思考，從而加深理解概念的內(nèi)涵和外延。作為定義的數(shù)學(xué)命題，其逆命題總是成立的。因此，學(xué)習(xí)一個(gè)新概念，如果注意從逆向提問(wèn)，學(xué)生不僅對(duì)概念辨析得更清楚，理解得更透徹，而且能夠培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成雙向考慮問(wèn)題的良好習(xí)慣。如：講述：“同類二次根式”時(shí)明確“化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同的幾個(gè)二次根式是同類二次根式”。反過(guò)來(lái)，若兩個(gè)根式是同類二次根式，則必須在化簡(jiǎn)后被開(kāi)方數(shù)相同。例1、若與是同類二次根式，求x略解，2x-1=2-x，即x＝1。如：“方程的解”這一概念，它就包含了以下兩方面的特征：“凡使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，就是方程的解”與“方程的解，就是使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值”。還可以通過(guò)下列問(wèn)題進(jìn)一步認(rèn)識(shí)方程的解的特征。例2、不解方程，求作一個(gè)新方程，使它的根分別是方程x2－6x＋5＝0的兩根的2倍。略解，若設(shè)所求方程的根y，依題意，y=2x，則x=，因?yàn)槭且阎匠痰母裕ǎ?－6×+5＝0，即y2－12y＋20=0即為所求方程．例3、已知a≠b，且a2＋3a－7＝0，b2＋3b一7=0，求a2＋b2解：由方程根的定義知，a、b是方程x2＋3x－7=0的兩根，∴a＋b＝－3，ah=一7，∴a2＋b2=（a＋b）2-2ab=23。二、加強(qiáng)公式逆向應(yīng)用的訓(xùn)練數(shù)學(xué)中的公式都具有雙向性。正向運(yùn)用它們的同時(shí)，加強(qiáng)公式的逆向應(yīng)用訓(xùn)練，不僅可以加深學(xué)生對(duì)公式的理解的掌握，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用公式的能力，還可以培養(yǎng)學(xué)生的雙向思維能力。例4、設(shè)a、b、c、d均為實(shí)數(shù)，且ad－bc=1，＝l，求abcd的值。分析：由第二個(gè)等式聯(lián)想到用完全平方公式．由已知得，即：即得a＝b=d＝－c，而ad－bc=l，可得=，從而得abcd=一=-三、逆用運(yùn)算法則的訓(xùn)練數(shù)學(xué)中的很多運(yùn)算都有一個(gè)與它相反的運(yùn)算作為逆運(yùn)算，如：加法和減法、乘法和除法、乘方和開(kāi)方都是互為逆運(yùn)算，彼此依存，共同反映某種變化中的數(shù)量關(guān)系。而且在同一級(jí)運(yùn)算中，可以互相轉(zhuǎn)化，如利用相反數(shù)的概念，減法可以轉(zhuǎn)化為加法，利用倒數(shù)的概念，除法可以轉(zhuǎn)化為乘法。例5、計(jì)算，有些學(xué)生竟然對(duì)它進(jìn)行通分，卻不會(huì)逆用分式的減法法則作變形。解：原式＝例6、已知：，，求：的值.分析：該題將同底數(shù)冪除法法則逆用后得到結(jié)果。解：原式.四、定理教學(xué)中逆向思維的訓(xùn)練不是所有的定理的逆命題都是正確的，引導(dǎo)學(xué)生探究定理的逆命題的正確性，不僅能使學(xué)生學(xué)到的知識(shí)更加完備，而且能激發(fā)學(xué)生去探索新的知識(shí)。勾股定理、一元二次方程根的判別式定理、韋達(dá)定理的逆定理都是存在的，應(yīng)用也十分廣泛。例7、設(shè)、、滿足，求：的取值范圍。解：原方程組變形得：，根據(jù)韋達(dá)定理的逆定理可知：、為關(guān)于的一元二次方程的兩根，的取值范圍為：。五、加強(qiáng)執(zhí)果索因的思維方法訓(xùn)練（即分析法訓(xùn)練）分析法是執(zhí)果索因，綜合法是由因?qū)Ч?。在研究?wèn)題時(shí)，往往兼用這兩種思維方法，從分析中得到思路，用綜合法嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乇硎鼋忸}過(guò)程。這樣可促進(jìn)雙向思維的培養(yǎng)，也可簡(jiǎn)化思維過(guò)程。例8、已知a，b，c，d均為正數(shù)，求證，即證明就是要證，找到證題起點(diǎn)。、已知p＞0,q＞0且＝2，求證p＋q≤2，即證：顯然成立。六、加強(qiáng)從反面思考的思維方式訓(xùn)練（一）加強(qiáng)反證法訓(xùn)練反證法是一種間接證法，當(dāng)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題用直接證法相當(dāng)困難時(shí)，常常被采用的證法。它是從待證結(jié)論的反面出發(fā)，推出矛盾，從而否定要證結(jié)論的反面，肯定待證的結(jié)論。加強(qiáng)反證法的訓(xùn)練是促進(jìn)學(xué)生逆向思維逐步形成的必要措施．例10、取什么實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)不在第四象限？［分析］拋物線的頂點(diǎn)“不在第四象限”，所指的范圍很廣，可以在第一象限、第二象限、第三象限，還可以在坐標(biāo)軸上。如果對(duì)上述各種情況逐一討論，在各種情況下求出的集合，再取其并集，可見(jiàn)其討論范圍之大。若反過(guò)來(lái)，從問(wèn)題的反面考慮，直接求出拋物線的頂點(diǎn)在第四象限時(shí)的集合，再取其補(bǔ)集，顯然簡(jiǎn)便得多。解：令拋物線的頂點(diǎn)在第四象限，由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得：解這個(gè)不等式得：．可知，當(dāng)時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)在第四象限。所以，當(dāng)≤2或≥4時(shí)，拋物線的頂點(diǎn)不在第四象限。例11、若關(guān)于的方程至多有一個(gè)負(fù)根，求的取值范圍。分析：逆向思維，用反證法，“一元二次方程至多一個(gè)負(fù)根”的反面就是“兩個(gè)根都是負(fù)根”，由此下手，此題可解。解：假設(shè)兩個(gè)根都是負(fù)根，則必須滿足下列不等式組：解得：，∴的取值范圍為。（二）加強(qiáng)舉反例訓(xùn)練用命題形式給出的一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，要判斷它是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)滿足命題的條件，但結(jié)論不成立的例子，就足以否定這個(gè)命題，這樣的例子就是通常意義下的反例。學(xué)會(huì)構(gòu)造反倒不僅對(duì)加深記憶，深入理解定義、定理或公式等起著重要的作用，同時(shí)它也是糾正錯(cuò)誤的常用方法，是培養(yǎng)逆向思維能力的重要手段。例如：命題“若兩多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，則必相似”，只需舉一個(gè)菱形或一個(gè)正方形即可判其為假命題。說(shuō)明“一組對(duì)邊平行，一組對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形”為假命題，只需舉一個(gè)等腰梯形即可。七、編排逆向訓(xùn)練的習(xí)題為了訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，在教學(xué)中，可有意識(shí)地編排順逆雙向配對(duì)的練習(xí)題供學(xué)生訓(xùn)練。學(xué)生通過(guò)練習(xí)，可以逐步養(yǎng)成逆向思維的習(xí)慣，提高逆向思維的能力?？傊诔踔袛?shù)學(xué)教學(xué)中，確保學(xué)生具備豐富而扎實(shí)的“雙基”知識(shí)的前提下，量力而行；有意識(shí)地對(duì)