2021-2022學(xué)年上海市復(fù)旦附中高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題(解析版)

期中考試試卷(高中)PAGEPAGE1上海市復(fù)旦附中2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（共10小題，每小題4分，滿(mǎn)分40分）1．已知向量，則．2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是．3．已知，則的值為．4．函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間為．5．已知，則．6．將函數(shù)圖像上的點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍后得到函數(shù)的圖像，再將的圖像向上平移1個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，則的函數(shù)表達(dá)式是．7．設(shè)平行四邊形中，的重心為，，則．8．已知為虛數(shù)單位，，則．9．設(shè)函數(shù)，其中，且，則的最小值為．10．設(shè)銳角的外心為，且，則．二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分）11．①加速度是向量；②若且，則；③若，則直線(xiàn)與直線(xiàn)平行．上面說(shuō)法中正確的有個(gè)A．0 B．1 C．2 D．312．在中，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是A． B． C． D．，則為銳角三角形13．設(shè)函數(shù)，則在，上所有零點(diǎn)的和為A． B． C． D．14．有下面兩個(gè)命題：①若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)；②若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是A．①②都正確 B．①正確②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤②正確 D．①②都錯(cuò)誤三、解答題（共4小題，滿(mǎn)分60分）15．（12分）已知向量．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若可以構(gòu)成平面上的一個(gè)基底，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．（14分）設(shè)是實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有兩根，．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．

17．（16分）在工廠(chǎng)實(shí)習(xí)中，小宋拿到的材料是一塊頂角為的扇形鋁板（足夠大），現(xiàn)在需要將鋁板放在切割機(jī)上，加工成一個(gè)內(nèi)角為的三角形工件．（1）小宋的師傅拿出了一個(gè)工件樣品，其中，求，的值；（2）師傅在小宋的扇形鋁板的頂角的角平分線(xiàn)上打了一個(gè)點(diǎn)，且，并要求小宋加工的工件的邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則：①用角表示工件的面積；②求的最小值，以及取得最小值時(shí)角的大?。?8．（18分）已知函數(shù)，．若存在使得是嚴(yán)格增函數(shù)，那么稱(chēng)為緩降函數(shù)”．（本題可以利用以下事實(shí)：當(dāng)時(shí)，．（1）判斷以下函數(shù)是否是“緩降函數(shù)”①②（無(wú)需寫(xiě)出理由）；（2）求證：是“緩降函數(shù)”；（3）已知，求證：是“緩降函數(shù)”的充要條件是．

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁一、填空題（共10小題，每小題4分，滿(mǎn)分40分）1．〖解析〗．〖答案〗2．〖解析〗復(fù)數(shù)的虛部為1．〖答案〗13．〖解析〗已知，，解得．〖答案〗4．〖解析〗對(duì)于函數(shù)，令，，求得，，可得函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)減區(qū)間為，，．〖答案〗，，5．〖解析〗，則．〖答案〗6．〖解析〗將的圖像向下平移1個(gè)單位得到，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到．〖答案〗7．〖解析〗平行四邊形中，的重心為，，，，，．〖答案〗8．〖解析〗設(shè)，，，，，．〖答案〗99．〖解析〗由題意，函數(shù)，因?yàn)?，可得或，，因?yàn)椋沟萌〉米钚≈?，且，所以函?shù)關(guān)于，對(duì)稱(chēng)，可得，所以，，若，時(shí)，可得，其中，，所以，其中，，所以，其中，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，可得；若，時(shí)，可得，其中，，所以，其中，，所以，其中，，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得．〖答案〗10．〖解析〗設(shè)銳角的外接圓的半徑為，，，，化為，，化為，，，．〖答案〗8二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分）11．〖解析〗①加速度是向量，正確；②若且，取，則與可能不共線(xiàn)，因此不正確；③若，則直線(xiàn)與直線(xiàn)平行或重合，因此不正確．上面說(shuō)法中正確的有1個(gè)．〖答案〗B12．〖解析〗對(duì)于A，在中，，所以，故A正確；對(duì)于B，，則，且，，在上遞減，所以，即，故B正確；對(duì)于C，在中，，由正弦定理，得，所以，故C正確；對(duì)于D，，可得，則，所以，所以，所以為銳角，但三角形不一定是銳角三角形，所以D錯(cuò)誤．〖答案〗D13．〖解析〗令，則，故在，上所有零點(diǎn)問(wèn)題，即為函數(shù)，的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；作出函數(shù)在，上的大致圖象，如圖示：由于的最小正周期，故在，上正好有的11個(gè)周期，每個(gè)周期內(nèi)圖象和直線(xiàn)都有一個(gè)交點(diǎn)，故在，上共有個(gè)交點(diǎn)，由于點(diǎn)為，的對(duì)稱(chēng)中心，故在，上，，圖象的交點(diǎn)也有12個(gè)，且，和，上的交點(diǎn)兩兩關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因此，圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，即在，上所有零點(diǎn)的和為．〖答案〗D14．〖解析〗根據(jù)題意，依次分析兩個(gè)命題的真假：對(duì)于①，若是周期函數(shù)，則，也是周期函數(shù)，①正確；對(duì)于②，設(shè)，，則，，是周期函數(shù)，但不是周期函數(shù)，②錯(cuò)誤．〖答案〗B三、解答題（共4小題，滿(mǎn)分60分）15．解：（1）由已知可得，解得或2．（2）因?yàn)榭梢詷?gòu)成平面上的一個(gè)基底，所以不平行，所以，所以且，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，，，．16．解：（1），方程有兩實(shí)根或一對(duì)虛根，Δ，即，解得．（2）①若有兩個(gè)不等實(shí)根，由Δ，，，，則，，于是或，②若是兩個(gè)虛根，則兩根為，于是，得到，于是．的取值范圍為，，．17．解：（1）因?yàn)?，所以且為三角形?nèi)角，所以或，所以或．所以或，．（2）①在和中由正弦定理，得，，所以，于是；②利用二倍角公式和積化和差公式可得由題意可得．所以當(dāng)即時(shí)，取到最小值．18．（1）解：①是“緩降函數(shù)”，②不是“緩降函數(shù)”．（2）證明：當(dāng)時(shí)，由題意得，所以再結(jié)合所給事實(shí)可得：當(dāng)時(shí)，．令，再取，，于是，這說(shuō)明是“緩降函數(shù)”．（3）證明：令.充分性：已知，取，則，于是是嚴(yán)格增函數(shù)，所以是緩降函數(shù)．必要性：用反證法，當(dāng)時(shí)，若存在使是嚴(yán)格增函數(shù)，令，這里代表不大于的最大整數(shù)，?。藭r(shí)，我們知道，這說(shuō)明與嚴(yán)格增函數(shù)矛盾．此即說(shuō)明不是緩降函數(shù)．上海市復(fù)旦附中2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（共10小題，每小題4分，滿(mǎn)分40分）1．已知向量，則．2．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是．3．已知，則的值為．4．函數(shù)的嚴(yán)格減區(qū)間為．5．已知，則．6．將函數(shù)圖像上的點(diǎn)保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍后得到函數(shù)的圖像，再將的圖像向上平移1個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，則的函數(shù)表達(dá)式是．7．設(shè)平行四邊形中，的重心為，，則．8．已知為虛數(shù)單位，，則．9．設(shè)函數(shù)，其中，且，則的最小值為．10．設(shè)銳角的外心為，且，則．二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分）11．①加速度是向量；②若且，則；③若，則直線(xiàn)與直線(xiàn)平行．上面說(shuō)法中正確的有個(gè)A．0 B．1 C．2 D．312．在中，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是A． B． C． D．，則為銳角三角形13．設(shè)函數(shù)，則在，上所有零點(diǎn)的和為A． B． C． D．14．有下面兩個(gè)命題：①若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)；②若是周期函數(shù)，則是周期函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是A．①②都正確 B．①正確②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤②正確 D．①②都錯(cuò)誤三、解答題（共4小題，滿(mǎn)分60分）15．（12分）已知向量．（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若可以構(gòu)成平面上的一個(gè)基底，求實(shí)數(shù)的取值范圍．16．（14分）設(shè)是實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有兩根，．（1）若，求的取值范圍；（2）若，求的取值范圍．

17．（16分）在工廠(chǎng)實(shí)習(xí)中，小宋拿到的材料是一塊頂角為的扇形鋁板（足夠大），現(xiàn)在需要將鋁板放在切割機(jī)上，加工成一個(gè)內(nèi)角為的三角形工件．（1）小宋的師傅拿出了一個(gè)工件樣品，其中，求，的值；（2）師傅在小宋的扇形鋁板的頂角的角平分線(xiàn)上打了一個(gè)點(diǎn)，且，并要求小宋加工的工件的邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則：①用角表示工件的面積；②求的最小值，以及取得最小值時(shí)角的大?。?8．（18分）已知函數(shù)，．若存在使得是嚴(yán)格增函數(shù)，那么稱(chēng)為緩降函數(shù)”．（本題可以利用以下事實(shí)：當(dāng)時(shí)，．（1）判斷以下函數(shù)是否是“緩降函數(shù)”①②（無(wú)需寫(xiě)出理由）；（2）求證：是“緩降函數(shù)”；（3）已知，求證：是“緩降函數(shù)”的充要條件是．

▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁一、填空題（共10小題，每小題4分，滿(mǎn)分40分）1．〖解析〗．〖答案〗2．〖解析〗復(fù)數(shù)的虛部為1．〖答案〗13．〖解析〗已知，，解得．〖答案〗4．〖解析〗對(duì)于函數(shù)，令，，求得，，可得函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)減區(qū)間為，，．〖答案〗，，5．〖解析〗，則．〖答案〗6．〖解析〗將的圖像向下平移1個(gè)單位得到，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，得到．〖答案〗7．〖解析〗平行四邊形中，的重心為，，，，，．〖答案〗8．〖解析〗設(shè)，，，，，．〖答案〗99．〖解析〗由題意，函數(shù)，因?yàn)?，可得或，，因?yàn)椋沟萌〉米钚≈?，且，所以函?shù)關(guān)于，對(duì)稱(chēng)，可得，所以，，若，時(shí)，可得，其中，，所以，其中，，所以，其中，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，可得；若，時(shí)，可得，其中，，所以，其中，，所以，其中，，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，可得．〖答案〗10．〖解析〗設(shè)銳角的外接圓的半徑為，，，，化為，，化為，，，．〖答案〗8二、選擇題（共4小題，每小題5分，滿(mǎn)分20分）11．〖解析〗①加速度是向量，正確；②若且，取，則與可能不共線(xiàn)，因此不正確；③若，則直線(xiàn)與直線(xiàn)平行或重合，因此不正確．上面說(shuō)法中正確的有1個(gè)．〖答案〗B12．〖解析〗對(duì)于A，在中，，所以，故A正確；對(duì)于B，，則，且，，在上遞減，所以，即，故B正確；對(duì)于C，在中，，由正弦定理，得，所以，故C正確；對(duì)于D，，可得，則，所以，所以，所以為銳角，但三角形不一定是銳角三角形，所以D錯(cuò)誤．〖答案〗D13．〖解析〗令，則，故在，上所有零點(diǎn)問(wèn)題，即為函數(shù)，的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；作出函數(shù)在，上的大致圖象，如圖示：由于的最小正周期，故在，上正好有的11個(gè)周期，每個(gè)周期內(nèi)圖象和直線(xiàn)都有一個(gè)交點(diǎn)，故在，上共有個(gè)交點(diǎn)，由于點(diǎn)為，的對(duì)稱(chēng)中心，故在，上，，圖象的交點(diǎn)也有12個(gè)，且，和，上的交點(diǎn)兩兩關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因此，圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，即在，上所有零點(diǎn)的和為．〖答案〗D14．〖解析〗根據(jù)題意，依次分析兩個(gè)命題的真假：對(duì)于①，若是周期函數(shù)，則，也是周期函數(shù)，①正確；對(duì)于②，設(shè)，，則，，是周期函數(shù)，但不是周期函數(shù)，②錯(cuò)誤．〖答案〗B三、解答題（共4小題，滿(mǎn)分60分）15．解：（1）由已知可得，解得或2．（2）因?yàn)榭梢詷?gòu)成平面上的一個(gè)基底，所以不平行，所以，所以且，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，，，．16．解：（1），方程有兩實(shí)根或一對(duì)虛根，Δ，即，解得．（2）①若有兩個(gè)不等實(shí)根，由Δ，，，，則，，于是或，②若是兩個(gè)虛根，則兩根為，于是，得到，于是．的取值范圍為，，．17．解：（1）因?yàn)?，所以且為三角形?nèi)角，所以或，所以或．所以或，．（2）①在和中由正弦定理，