2024年中考押題預測卷2（成都卷）-數(shù)學（全解全析）

絕密★啟用前

2024年中考押題預測卷02【成都卷】

數(shù)學

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

A卷（共100分）

第I卷（選擇題，共32分）

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分。每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）

1.-2024的相反數(shù)是（）

【答案】A

【分析】此題考查了相反數(shù)的定義.根據(jù)相反數(shù)的定義“只有符號不同的兩個數(shù)是互為相反數(shù)”解答即可.

【詳解】解：-2024的相反數(shù)是2024,故選：A.

2.地月距離是指地球與月球之間的距離，有平均距離、月球與地球近地點的距離、月球與地球遠地點的距

離三種.其中，地月平均距離約為384000km,用科學記數(shù)法表示為（）

A.384x103kmB.38.4x104kmC.3.84x105kmD.0.384x106km

【答案】C

【分析】此題考查科學記數(shù)法的定義，關鍵是理解運用科學記數(shù)法.利用科學記數(shù)法的定義解決.科學記

數(shù)法的表示形式為axlO”的形式，其中141al<10,〃為整數(shù).確定”的值時，要看把原數(shù)變成a時，小

數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：384000km=3.84x105km.故選：C.

3.下列運算正確的是（）

A.（a**）=abB.（a—Z?）2=cr—ab+b1C.6a3b+2ab=3a2D.a2+a4-a6

【答案】C

【分析】本題考查了事的乘方、完全平方公式、單項式與單項式相除、合并同類項，掌握每一種運算法則

的正確應用是解題關鍵.

【詳解】解：A、該選項不符合題意；

B、(a-/?)2=a2-2ab+b2a2-ab+b2,該選項不符合題意；

C、6a%+2次?=3/，該選項符合題意；

D、/與/不是同類項，不能合并，該選項不符合題意；

故選：C.

4.某校為了了解全校965名學生的課外作業(yè)負擔情況，隨機對全校100名學生進行了問卷調查，下面說法

正確的是()

A.總體是全校965名學生B.個體是每名學生的課外作業(yè)負擔情況

C.樣本是100D.樣本容量是100名

【答案】B

【分析】本題主要考查直接利用總體、個體、樣本容量、樣本的定義，掌握各定義是解題的關鍵

直接利用總體、個體、樣本容量、樣本的定義逐項分析即可解答.

【詳解】解：A、總體是全校965名學生的課外作業(yè)負擔情況，故此選項錯誤；

B、個體是每名學生的課外作業(yè)負擔情況，故此選項正確；

C、樣本是100名學生的課外作業(yè)負擔情況，故此選項錯誤；

D、樣本容量是100,故此選項錯誤.

故選B.

5.如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC與BO相交于點O,下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形

A.AB=CD,AD=BCB.ABCD,AD=BCC.AB//CD,AD//BC

D.OA=OC,OB=OD

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定定理，解答即可，本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解

題的關鍵.

【詳解】A.AB=CD,AD=BC,可以，不符合題意，

B.ABCD,AD=BC,不可以，符合題意，

C.AB//CD,AD//BC,可以，不符合題意，

D.OA=OC,OB=OD,可以，不符合題意，

故選B.

6.四張看上去無差別的卡片上分別印有正方形、正三角形、正八邊形和圓，現(xiàn)將印有圖形的一面朝下，混

合均勻后從中隨機抽取兩張，則抽到的卡片上印有的圖形都是中心對稱圖形的概率為（）

A.—B.-C.gD.—

4324

【答案】C

【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，中心對稱圖形的定義，先確定正六邊形和圓是中心對稱圖形,

正三角形和正五邊形不是中心對稱圖形，再畫樹狀圖分析，最后由概率計算公式進行求解即可.

【詳解】解：正方形、正八邊形和圓是中心對稱圖形，正三角形不是中心對稱圖形，

???一共有四張卡片，每張卡片被抽到的概率相同，其中印有圖形都是中心對稱圖形的卡片有三張，

設正方形、正三角形、正八邊形和圓分別為A、B、C、D,

畫樹狀圖如下：

開始

/N/l\/N/1\

BCDACDABDABC

.??從中隨機抽取兩張，一共有12種結果，其中抽到的卡片上印有圖形都是中心對稱圖形的結果有6種，

.??抽到的卡片上印有圖形都是中心對稱圖形概率為2故選：C.

122

7.幻方的歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書（圖1）”，把洛書用今天的數(shù)學符號翻譯出來，就

是一個三階幻方.如圖2三階幻方的每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都相等.如圖3,這是另一個

三階幻方，則a+b的值為（）

(>0000000004

A.3B.-4C.-5D.6

【答案】C

【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出方程是解題的關鍵.

根據(jù)幻方中的每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等，可得關于a,b的一元一次方程，解之即可.

【詳解】解：如圖所示.

圖3

???三階幻方的每行，每列及每條對角線上的三個數(shù)之和都相等，且都等于中間數(shù)的三倍

0+(-3)+b=-3x3,解得：b=—6

a+(-3)=4+Z?

，a+(-3)=4+(-6),解得：<2=1

=1+(-6)=-5,故選：C.

8.如圖，二次函數(shù)>="2+法+。的圖象與無軸的交點的橫坐標分別為t,3,則下列結論：①ac<0；②

2a+b-Q；(3)4a+2Z>+c<0；④對于任意x均有W6.正確的有()個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質，拋物線與x軸的交點問題，解題關鍵是掌握二次函數(shù)的圖象與

性質.根據(jù)二次函數(shù)拋物線的開口方向判斷出a>0,再根據(jù)拋物線與X軸的交點，即可得y<0時，X的取

值范圍是-l<x<3,令x=0,即可判定。的值，進而對結論①進行判斷；求出拋物線的對稱軸為

x=：(-1+3)=1,得-==1,即可對結論②和④進行判斷；由y<0時，得X的取值范圍，即可對結論③進

22a

行判斷.

【詳解】解：由題意得二次函數(shù)拋物線開口向上，,〃〉。，

又，二次函數(shù)y=ad+bx+c的圖象與x軸的交點的橫坐標分別為T,3,

.,.當一1<X<3時，y<0,

X=0時，y=c<0,

ac<0,故結論①正確；

?「拋物線的對稱軸為x=1(-l+3)=l,

2

--—=1,:.b=-2a,

2a

2a+b=2a-2a=0,故結論②正確；

；?當一1〈尤<3時，y<0,

當x=2時，y=4a+2b+c<0,故結論③正確；

.拋物線的對稱軸為尤=1,a>0,

.?.當x=l時，二次函數(shù)y的值最小，

2

y=ax+bx+c>a+b+c9即"+笈之々+〃，故結論④正確;

綜上所述得正確的結論有①，②，③，④，故選：D.

第II卷(非選擇題，共68分)

二、填空題(本大題共5個小題，每小題4分，共20分)

9.分解因式mn2+6mn+9m=.

【答案】m(?+3)2

【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再

用其他方法進行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止.

先提取公因式m,再對余下的多項式利用完全平方公式繼續(xù)分解.

【詳解】解：mn2+6mn+9m=m^n2+6n+9)=m{n+3)2,故答案為：%(〃+3y.

10.已知反比例函數(shù)y=上亨的圖象上兩點A(-3,%),5(1,%).若必<%，則根的取值范圍是

【答案】機<；

【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質，根據(jù)反比例函數(shù)的性質，可以得到關于利的不等式，從而可以求

得m的取值范圍.

【詳解】解：?.?反比例函數(shù)y=W史的圖象上兩點4(-3,%),3(1,%)，%<%，

.,.l-3m>0,解得機<；,故答案為：m<1.

11.兩個大小不同的等腰直角三角板按圖1所示擺放，將兩個三角板抽象成如圖2所示的J1BC和△也,

其中N54C=NE4D=90。，點5、C、E依次在同一條直線上，連結C￡>.若3c=4,CE=2,則ADCE的

【答案】6

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質等知識,根據(jù)SAS證明AACE^AABE,

由全等三角形的性質得出NACD=NBCD=BE,則可得出答案.

【詳解】解：NBAC=NEAD=90。,

:.ZBAC+ZCAE=ZEAD+ZCAE,BPZfiAE=ZG4D,

在△MD和，ACE>中，

AB^AC

<NBAE=ZCAD,...ACD^ABE(SAS),

AD=AE

:.ZACD=AB,CD=BE,

ZB=45°,

/.ZACD=45°f

/BCD=ZACB^-ZACD=90°,

BC=4,CE=2,

BE—6,

.".CD=6,

:.S^-CEDC^-X2X6=6,故答案為：6.

DcCE22

12.已知線段MN=6,MN〃y軸，若點M坐標為(-4⑵，則N點坐標為.

【答案】1,8)或(-4T)

【分析】本題主要考查了平行于坐標軸的點的坐標的特點，解題的關鍵是熟知：與y軸平行的直線，其橫

坐標均相等.

根據(jù)平行于y軸的直線的坐標特點及兩點間距離的表示法即可求得答案.

【詳解】解：軸，M(Y,2),

.?.點N的橫坐標也為T,

又MN=6,設"點的縱坐標為a,則|a-2|=6,

;?a=2±6,

a=8或a=Y.

.?.N點的坐標為(T8)或(-4T).故答案為：(<8)或(<7).

13.如圖，線段AB=6,分別以A,8為圓心，大于［AB的長為半徑畫弧交于點C,。，作直線8,連

2

接C4,CB,DA,DB.若AC=5,則四邊形AC3。的面積為.

【答案】24

【分析】本題主要考查了作圖-基本作圖及中垂線的性質.由作圖可知C3是線段的中垂線，四邊形

AC3D是菱形，利用S菱形ACQ=gxABxC。求解即可.

由作圖可知8是線段AB的垂直平分線，

:.AC=AD=BC=BD,

二?四邊形AC3D是菱形，

..OA=OB=-AB=3CD1AB,

2f

AC=5,

:.OC=4AC1-O^=4^

CD=8,

5XXCDX

?-??ACBD=|^=16X8=24,故答案為：24.

三、解答題(本大題共5個小題，共48分)

14.(本小題滿分12分，每題6分)

(1)計算：(3—7)°一|屈一2|+(；J+4sin60°-(-1)2023

(2)先化簡，再求值：(三二］.告［3x其中％是方程一一2彳一3=0的根.

(x-3x)x+6x+9

【答案】(1)13；⑵」7，：

【分析】本題考查分式化簡求值、解一元二次方程、實數(shù)的運算、負整數(shù)指數(shù)癌、及特殊角三角函數(shù)值、

絕對值，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵.

(1)先計算絕對值、銳角三角函數(shù)、負整數(shù)指數(shù)幕，再進行加減計算即可；

(2)先利用分式的性質進行化簡，再解一元二次方程求出x的值，再代入分式進行計算即可.

【詳解】⑴解：(3-萬)°一|疝一2，匕)+4sin60°-(-I)2023

=1-2國2+9+4義立+1

2

=1-2括+2+9+2用1=13；

/c、(21)尤2-3尤

(2)解：----—?--------

1%-3X)x+6x+9

_2x-x+3x(x-3)

x(x-3)(X+3)2

x+3x(x-3)i

x(x—3)(x+3)2—x+3'

角軍方程％之—2x—3=0得玉=3,x2=—l,

?「x=3時，分式無意義

??x——1,

當了=—1時，原式=J'=：.

—1+32

15.（本小題滿分8分）“安全責任重于泰山”，為切實做好學校消防安全、反恐防暴等安全工作，提高學校

的應急處置能力，打造平安校園，培養(yǎng)讓學生終身受益的災害應急能力，某校開展了一次消防、反恐防暴

培訓及演練活動.為了解此次活動效果，隨機抽取了七年級、八年級、九年級學生若干名（抽取的各年級

學生人數(shù)相同）進行網(wǎng)上問卷測試，并對得分情況進行整理和分析（得分用整數(shù)x表示，單位：分），且分

為A,B,C三個等級，分別是：優(yōu)秀為A等級：85<x<100；合格為8等級：70Vx<85；不合格為C等

級：0<x<70.分別繪制成如下統(tǒng)計圖表，其中七年級學生測試成績的眾數(shù)出現(xiàn)在A組.A組測試成績情

況分別為：85,85,87,92,95,95,95,95,97,98,99,100；八年級學生測試成績中A組共有。個人.

筌霸試或韁”依分布自力網(wǎng)4年鷺7生?；鹣?*晚計網(wǎng)人午M學上您試出“箝紋及計陽

七年級、八年級、九年級三組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差如表所示:

年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差

七年級85Cd163

八年級88919695.1

九年級8991.510077.7

根據(jù)以」二信息，解答下列問題：

⑴填空:b=,c,d=

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該學校哪個年級的測試成績最好，并說明理由;

(3)若該校七年級、八年級、九年級各有200人，請估計該校初中學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生共有多少人？

【答案】(1)14;86;95；(2)九年級學生的測試成績更穩(wěn)定，理由見詳解；(3)估計該校初中名學生中成績?yōu)閮?yōu)

秀的學生共有390名

【分析】本題考查了方差，眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)，掌握眾數(shù)、中位數(shù)以及平均數(shù)的定義和方差的意義

是解題的關鍵.

(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖可得隨機抽取各年級人數(shù)，再乘65%可得。的值；根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得d

的值；

(2)可從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差角度分析求解；

(3)用樣本估計總體解答即可.

【詳解】(1)解：由題意可知，人=(3+5+12)-(1+5)=14；

七年級學生測試成績從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)是85、87,

故中位數(shù)。=空詈=86,眾數(shù)4=95；故答案為：14；86；95；

2

(2)九年級學生的測試成績更穩(wěn)定，理由如下：

①九年級測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)均大于七、八年級；

②九年級測試成績的方差均小于七、八年級；

1214

(3)200x——+200x65%+200x——=390(名)，

2020

答：估計該校初中名學生中成績?yōu)閮?yōu)秀的學生共有390名.

16.(本小題滿分8分)某興趣小組研制的智能操作機器人，如圖1,水平操作臺為Z,高A8為50cm,連

桿BC長度為70cm,手臂CO的長度為60cm,B,C是轉動點，且AB、3c與始終在同一平面內.

(1)轉動連桿BC,手臂使NABC=143。，CD//1,如圖2,求手臂端點。離操作臺/的高度DE的長(精

確到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin53°?0.8,cos53°?0.6).

(2)物品在操作臺/上，距離底座A端122cm的點M處，轉動連桿BC,手臂端點。能否碰到點M?請說明

理由.

【答案】(1)106cm；(2)手臂端點。不能碰到點聞,理由見解析.

【分析】本題考查了解直角三角形的應用，勾股定理，矩形的性質，掌握銳角三角函數(shù)及勾股定理是解題

的關鍵.

(1)過點C作于點。過點B作于點Q,在中，CQ=BC.sin530,再根據(jù)

。石=CP=CQ+尸。即可解答；

（2）當3,C,。共線時，根據(jù)勾股定理可得AD的長，進而可進行判斷.

【詳解】（1）解：過點。作CPLAE于點夕，過點5作BQJ_CP于點。，如圖:

ZABC=143°f

：.ZCBQ=ZABC-ZABQ=53°,

*/BC長度為70cm,

:?在RtBCQ中，CQ=BC-sin53°?70x0.8=56cm,

CD//I,AB=50cm,

/.AB=PQ=50cm,

DE=CP=CQ+PQ=56+50=106cm；

(2)解：手臂端點。不能碰到點M,理由如下：

由題意得，當3,C,。共線時，手臂端點。能碰到距離最遠,

如圖：

B

???高A5為50cm,BC長度為70cm,手臂CO的長度為60cm,

???BD=60+70=130cm,AB=50cm,

在RtAABD中，AD=^BD2-AB2=120cm，

:距離底座A端122cm的點/處，

AM=122cm,

AD=120cm<122cm,，手臂端點。不能碰到點M.

17.（本小題滿分10分）如圖所示，。的半徑為5,點A是。上一點，直線/過點A；P是O上的一個

動點（不與點A重合），過尸作PB_L/于點B,交。于點E,直徑BD的延長線交直線I于點尸，點A是DE

的中點.

⑴求證：直線/是Q的切線;

(2)若PA=8,求心的長.

【答案】⑴見解析；(2專32

【分析】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是：

(1)利用圓周角定理可得出=利用等邊對等角可得出NO4P=NOP4,則NQ4P=NAP石,

進而可證Q4〃形，利用平行線的性質可證依，。4,最后根據(jù)切線的判定即可得證；

(2)證明.PB4sPAD,利用相似三角形的性質求解即可.

**,AD=AE，

:.ZAPD=ZAPE,

;OP=OA,

：.ZOAP=ZOPAf

：./OAP=ZAPE,

??.OA//PB,

???P51/,

JPB±OA,

又。4是。的半徑，

.?.直線/是?。的切線;

尸。是直徑，

ZPAD=90°,

又NP3A=90°,

ZPBA=ZPAD,

又ZAPD=ZAPE,

:?.PBA^_PAD,

PBPA,PB8

——,即nr——二

PAPD810

32

PB=——

5

18.(本小題滿分10分)如圖，一次函數(shù)丫=入+萬與反比例函數(shù)>=:的圖像相交于點A(2,3),

(1)求一次函數(shù)及反比例函數(shù)的解析式;

(2)請直接寫出關于x的不等式乙+6>'的解集；

X

(3)點尸是x軸負半軸上一動點，連接AP、BP,當一面積為12時，求點P的坐標.

【答案】⑴反比例函數(shù)表達式為：y=9,一次函數(shù)的表達式為：y=-！x+4；(2)2<x<6或x<0；⑶(-4,0)

x2

【分析】本題考查的是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用，涉及到面積的計算、待定系數(shù)法求函數(shù)表達式,

利用圖象法求不等式解集，綜合性強，難度適中.

(1)由待定系數(shù)法即可求解；

(2)觀察函數(shù)圖象即可求解；

(3)由AB尸面積=S詠-S詼x(”-%)，即可求解.

【詳解】⑴解：將42,3)代入雙曲線y=g

/.m=6,

雙曲線的解析式為y=9,

X

將點川〃,1)代入y=}

n=6f

將A(2,3),3(6,l)代入y=fcr+6,

2k+b=3k=--

,解得2

6k+b=l

b=4

.??直線解析式為y=-；x+4；

(2)解：觀察函數(shù)圖象知，不等式日+>>'的解集為：2<x<6或x<0；

X

(3)解：設直線交x軸于點以，設點尸(x,0),

由直線A3的表達式知，點”(8,0),

則,面積=S*一5.=；'尸"/(以一力)=；*(8-尤)、(3-1)=12,解得：x=T,

即點尸的坐標為：(-4,0).

B卷(共50分)

一、填空題(本大題共5個小題，每小題4分，共20分)

19.若。是方程*2+彳一1=0的根，則代數(shù)式2024+/+±的值是.

a

【答案】2027

【分析】本題考查代數(shù)式求值，涉及方程根的定義、整體代入法求代數(shù)式值、分式的混合運算等知識，根

據(jù)題中所給代數(shù)式的結構特征，結合已知條件，恒等變形代值求解即可得到答案，熟練掌握分式混合運算

法則化簡求值是解決問題的關鍵.

【詳解】解：。是方程/+工一1=0的根，

a2+a—1=01即/=i_a,

1

/.2024+片9十

a

=2024+(1—〃)+^—

1

=2024++-----

1—CL

_?..a?_2。+2

=2024+--------------

1—CL

(l-a\-2a+2

=2024+^——』----------

1-〃

=2024+-^——L

1—a

=2024+3=2027,故答案為：2027.

20.如圖，在-ABC中，NACB=90。，Afi=10,BC=8,AD為,ABC的角平分線.M為AC邊上一動點,

N為線段AD上一動點，連接及W、CN、MN,當CN+MN取得最小值時，_的面積為.

【答案】y

【分析】本題考查了軸對稱最短路線問題.在A3上取點C，，使AC'=AC.作CMLAC,交AD于點、N.則

CN=C'N,CN+MN=C'N+MN,c'M即為CN+MN的最小值.再根據(jù)C'M〃3C,列出比例式求出AM,

即可求出uABA/的面積.

【詳解】解：如圖，在上取點C',使AC'=AC.作C'WLAC,交AD于點N.

則CN=C'N,

：.CN+MN=C'N+MN,

C'M即為CV+M2V的最小值.

AB=10,BC=8,

AC=6,

AC=6f

ZACB=90°,CMLAC,

：.CM//BC,

.AMAC

一~AC~~\B'

.AM_6

,?一，

610

iiio7,72

ABM的面積為：^AMBC=1x^x8=y.故答案為：二.

21.如圖，正方形ABCD的邊長是4cm,E是8邊的中點.將該正方形沿8E折疊，點C落在點C處.O

分別與48,AD,8C'相切，切點分別為尸，G,H,則。的半徑為cm.

【分析】如圖所示，延長8C'交AD于連接ME,先證明得到DM=C'M,設設

DM=CM=xcm,則創(chuàng)/=（4+x）cm,AM=（4-%）cm,利用勾股定理建立方程（4+x）2=4?+（4-x）2,解

方程求出AW=3,BM=5,如圖所示，連接。4、OB、OM、OF、OG、OH,利用等面積法求出半徑即可.

【詳解】解：如圖所示，延長BC'交AD于連接腔，

?.?四邊形ABCD是正方形，

Za4D=ZD=ZC=90°,

為8的中點,

?.CE=DE,

由折疊的性質可得以7=8。=公01,ZBC'E=ZC=90°,EC=EC=ED,

：.ZEC'M=ZD=90°,

又,：EM=EM,

：.Rtr>EM^Rt_CW（HL）,

Z.DM=CM,

設DM=C'Al=xcm,則8M=（4+x）cm,AM=（4-x）cm,

在RtABM中，由勾股定理得=鉆2+4口，

/.（4+%）2=42+（4-%）2,解得x=l,

AM=3,BM=5,

如圖所示，連接。4、OB、OM、OF、OG、OH

分別與A8，AD,BC'相切，切點分別為尸，G,H,

OF=OH=OG,OGI.AD,OFrAB,OHYBM,

=

^AAOB+SAMOB+SMOM，

AB+AM+BM”

—x3x4=--------------------OF,

22

OF=1cm,

.I。的半徑為1cm,故答案為；1.

22.如圖，矩形ABC。中，AB=2,8C=3,點E是AB的中點，點P是2c邊上一動點.將一沿著所

翻折，使得點2落在點8,處，若點P是矩形內一動點，連接P3、PC、PD,則PB+&PC+P￡）的最小值

為.

【答案】V26-1

【分析】本題考查了圖形的折疊與旋轉，兩點之間線段最短的應用，勾股定理等知識點，將△CDP繞點C

順時針旋轉90。得到△&）「'，連接PP,連接ED',由等腰三角形CPP得出PP=0PC，再由折疊得出點

8'的軌跡在以點E為圓心，EB為半徑的圓周上，所以明+P3'+PP+P7y的最小值為ED',即

P9+也PC+尸。的最小值為￡D'-EB'，經(jīng)計算得出答案即可，熟練掌握圖形的旋轉及圖形的折疊對稱的

性質是解決此題的關鍵.

【詳解】將△CDP繞點C順時針旋轉90°得到△CDP,連接PP1,連接ED',

則8C,。'三點共線，PD=PD,

：.CD'=CD=AB=2,

二PP'=拒PC，

:點E是AB的中點，

EB=-AB=-x2=l,

22

"?BD'=BC+CD'=3+2=5,

ED=y/BE2+D'B2=712+52=>/26,

由△3EF折疊成一3'EF,

/.EB=EB'=EA,

點夕在以點￡為圓心，EB為半徑的圓上，

二EB'=1,

???兩點間線段最短，

二ED<EB'+PB'+PP'+P'iy,

即ED'<EB'+PB，+盤PC+PD，

,V26<\+PB'+s/2PC+PD，

：-PB'+y/2PC+PD>y/26-l,

則尸9+&PC+P。的最小值為后-1，

故答案為：^26-1?

23.若一個四位正整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0,百位數(shù)字的2倍等于千位數(shù)字與十位數(shù)字的和，個位

數(shù)字比十位數(shù)字大1,則稱這樣的四位正整數(shù)為“吉祥數(shù)”.比如2345就是一個“吉祥數(shù)”，那么最小的“吉祥

數(shù)”是,若A是一個“吉祥數(shù)”，由A的千位數(shù)字和百位數(shù)字依次組成的兩位數(shù)與A的十位數(shù)字和

個位數(shù)字依次組成的兩位數(shù)的和記為M(A),N(A)比A的各個數(shù)位上的數(shù)字之和大2,若M(A；；N(A)為整

數(shù)，則滿足條件中的A的最大值為.

【答案】11129634

【分析】本題考查了二元一次方程的解，整式的加減，根據(jù)最大的四位數(shù)和最小的四位數(shù)的特點，結合題

意，依次確定百位數(shù)和十位數(shù)，進而即可求解.

【詳解】解：依題意，一個四位正整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字均不為0,

.?.最小四位數(shù)的千位與百位數(shù)字為1,

???百位數(shù)字的2倍等于千位數(shù)字與十位數(shù)字的和，

.??十位數(shù)字為1,

???個位數(shù)字比十位數(shù)字大1,

???個位數(shù)字為2,

???這個數(shù)為1112；

依題意，設A=1000a+100b+(2〃-少10+2匕-〃+1

=989a+122〃+1

M(A)=10a+b+10(2b-Q)+2Z?-Q+l=23b—a+1,

???N(A)比A的各個數(shù)位上的數(shù)字之和大2,

N(A)=a+Z?+(2Z?—a)+2Z?—a+1+2=5b—a+3

/.M(A)+N(A)=236-4+1+56-0+3=286-2a+4=22。+66-2“+4又為整數(shù)，

；.66-2a+4能被11整除

要使得A最大，則。=9,

當a=9時，66-18+4=66—14能被11整除

b=6

，2b-a=3,

,滿足條件中的A的最大值為9634

故答案為：1112,9634.

二、解答題（本大題共3個小題，共30分）

24.（本小題滿分8分）利群商場準備購進甲、乙兩種服裝出售，甲種服裝每件售價130元，乙種服裝每件

售價100元，每件甲種服裝的進價比乙種服裝的進價貴20元，購進3件甲種服裝的費用和購進4件乙種服

裝的費用相等，現(xiàn)計劃購進兩種服裝共100件，其中甲種服裝不少于65件.

（1）甲、乙兩種服裝每件的進價分別是多少元？

（2）若購進這100件服裝的費用不得超過7500元.

①求甲種服裝最多購進多少件；

②利群商場對甲種服裝每件降價〃（。＜。＜40）元，乙種服裝價格不變，如果這100件服裝都可售完，那么如何

進貨才能獲得最大利潤？

【答案】（1）甲種服裝每件的進價80元，乙種服裝每件的進價60元；

（2）①甲種服裝最多購進75件；②當0＜。＜10時，購進甲種服裝75件，乙種服裝25件利潤最大；當。=10

時，所有進貨方案利潤都是4000元；x=65時，購進甲種服裝65件，乙種服裝35件利潤最大.

【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用、一元一次方程組的應用，一元一次不等式組的應用，解題的關鍵是

分類討論思想的應用.

（1）設甲種服裝每件的進價加元，根據(jù)題意得：3帆=4（租-20）,解出機的值可得答案；

（2）①設甲種服裝購進x件，根據(jù)甲種服裝不少于65件，購進這100件服裝的費用不得超過7500元得不

等式組，求出/范圍可知甲種服裝最多購進75件；

②設獲得利潤為,元，根據(jù)題意得＞=（130-。-80〃+（100-60）（100-巧=（10-。）》+4000,分三種情況討論可得答

案.

【詳解】（1）解：設甲種服裝每件的進價加元，則乙種服裝每件的進價（機-20）元，

根據(jù)題意得：3租=4（吁20）,解得加=80,

.,.m-20=80—20=60,

二甲種服裝每件的進價80元，乙種服裝每件的進價60元；

（2）解：①設甲種服裝購進x件，

理種服裝不少于65件，購進這100件服裝的費用不得超過7500元，

fx＞65,

,[80x+60（100-x）＜7500,解得65W75；

二甲種服裝最多購進75件；

②設獲得利潤為y元，

根據(jù)題意得：y=(130-a-80)x+(100-60)(100-x)=(10-a)x+4000,

當o<a<io時，y隨式的增大而增大，

.??當工=75時，y取最大值，此時購進甲種服裝75件，乙種服裝25件利潤最大；

當a=10時，所有進貨方案利潤都是4000元；

當時，y隨x增大而減小，

???當x=65時，y取最大值，此時購進甲種服裝65件，乙種服裝35件利潤最大.

綜上所述，當0<a<10時，購進甲種服裝75件，乙種服裝25件利潤最大；當a=10時，所有進貨方案利

潤都是4000元；x=65時，購進甲種服裝65件，乙種服裝35件利潤最大.

25.（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線^=依2+笈+。（。<0）與無軸交于4（一2,0）,

（1）試求拋物線的解析式；

（2）直線、=依+1（左>0）與y軸交于點。，與拋物線在第一象限交于點尸，與直線BC交于點記

s

根=—L,試求加取最大值時點尸的坐標；

（3）在（2）的條件下，加取最大值時，點。是y軸上的一個動點，點N是坐標平面內的一點，是否存在這樣

的點。、N,使得以P、D、Q、N四點組成的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出滿足條件的N點的坐

標；若不存在，請說明理由.

【答案】（l）y=-gx2+x+4；（2）P（2,4）；（3）N點坐標為（2,4+而）或（2,4-而）或（一2,4）或（2,卷）

【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

1

（2）過尸點作尸G〃丁軸交于G點，則CD〃PG,根據(jù)已知可得機=奇，設+,十由，求

G9V+4）,進而根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可求解；

（3）當DP為菱形的邊時，，PN//DQ,PN=DQ=DP=岳,貝1]"（2,4+萬）或（2,4-而）；當DP〃NQ,

PO=PQ時，根據(jù)對稱性得出N（-2,4）；當。尸為菱形的對角線時，QNLDP交于H點、,過P點作以〃彳軸

交y軸于點K,則K（0,4）,由/KPD=/DQH,可求。。=午，則N的縱坐標為4-^=^,即可求解.

OOO

【詳解】(1)解：4-2,0),

.3=2,

OC=2OA,

.\OC=4,

.-.C(0,4),

將A(—2,0),5(4,0),。(0,4)代入>=加+嬴+°,

4〃-20+c=0a~2

<16a+4b+c=0,解得<b=l,

c=4c=4

???拋物線的解析式為y=-+%+4；

(2)當％=0,則y=l,

如圖1,過P點作PG〃y軸交5C于G點,

ffil

:.CD〃PG,

.PGPM

一~CD~~DM"

S^CPM_PM

.~S^~DMf

:.m=-P-G-,

CD

設尸產(chǎn)+看+4),

設直線BC的解析式為y=丘+4,

/.4k+4=0,解得k=—ly

???直線BC的解析式為y=-冗+4,

/.+4),

11

PG=一一t9+r+4+r-4=一一t9+2t,

22

—/+21)

m=二-------=--(r-2)2+-'

363

...當r=2時，加有最大值此時尸(2,4)；

(3)存在這樣的點。、N,使得以尸、D、N四點組成的四邊形是菱形，理由如下:

.0(0,1),P(2,4),

:.DP=y/13,

當。P為菱形的邊時，PN//DQ,PN=DQ=DP=713,

：.陽2,4+疝)或(2,4-屈)；

當。尸〃NQ,尸。=尸。時，

rrv

點N和點P關于y軸對稱軸，則此-2,4)；

當。P為菱形的對角線時，QNLDP交于H點、,

血力尸二理,

過P點作PK〃x軸交y軸于點K,則K(0,4),

7TT

.?.尸K=2,KD=3,

3

...sinZKPD=-=,

岳

ZKPD+ZKDP=ZDQH+ZKDP=90°,

/.ZKPD=ZDQH,

713

sinZ2DH=—=^-=-1=>

DQDQV13

..DQ=^,則N的縱坐標為4T=?,.1N2,二

666ko

綜上所述：N點坐標為（2,4+a）或（2,4-屈）或（-2,4）或（吟）.

26.（本小題滿分12分）綜合與實踐

【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，“希望小組”的同學們以三角