專題07-數(shù)列(習(xí)題)-2021屆滬教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(上海專用)

2021屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題07數(shù)列一、填空題1．（2020·上海高三其他）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則________．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，∴．∴．故答案為24．2．（2020·上海高三其他）設(shè)無窮等比數(shù)列的公比為，首項，則公比的取值范圍是________．【答案】【解析】因為，又且，解得．3．（2017·上海閔行高三一模）已知數(shù)列的前項和為，則此數(shù)列的通項公式為___________．【答案】【解析】當(dāng)時,,當(dāng)時,,又,所以.故答案為:.4．（2020·寶山上海交大附中高三其他）若是展開式中項的系數(shù)，則．【答案】【解析】由題意，，∴，∴．5．（2020·上海高三其他）已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且對于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是________.【答案】(－3，＋∞)【解析】因為數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，所以an＋1－an>0(n∈N*)恒成立．又an＝n2＋λn(n∈N*)，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)>0恒成立，即2n＋1＋λ>0.所以λ>－(2n＋1)(n∈N*)恒成立．而n∈N*時，－(2n＋1)的最大值為－3(n＝1時)，所以λ的取值范圍為(－3，＋∞)．6．（2020·上海嘉定高三二模）設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，則______．【答案】63.【解析】由，得．故答案為:637．（2020·上海普陀高三二模）設(shè)是等差數(shù)列的前n項和（）若，則______.【答案】【解析】∵數(shù)列是等差數(shù)列，（其中是公差），，∵，，．即，．故答案為：8．（2020·上海高三其他）設(shè)數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，都有，則___【答案】【解析】由，令，得，解得。9．（2020·上海浦東新高三二模）若二項式展開式的第項的值為，則__．【答案】【解析】由已知可得：，即，解得，，.故答案為：10．（2020·上海黃浦高三一模）若無窮等比數(shù)列{an}滿足：a2a3＝a4，a5，（n∈N*），則數(shù)列{a2n﹣1}的所有項的和為_____.【答案】.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則；解得，所以；，所以的所有項的和為.故答案為：.11．（2020·上海楊浦高三一模）己知數(shù)列的通項公式為，是數(shù)列的前項和，則________.【答案】【解析】的通項公式為.，故答案為:.12．（2020·上海長寧高三一模）已知數(shù)列滿足：，（），記數(shù)列的前項和為，若對所有滿足條件的，的最大值為，最小值為，則________【答案】1078【解析】由，（），可得，解得，又，可得或，又，可得或；或；或；又，可得或或；或或；或或或或；或或或或，綜上所示可得的最大值為，最小值為，所以.故答案為：1078二、單選題13．（2020·上海高三專題練習(xí)）等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項和等于()A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解析】∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴l(xiāng)ga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2…×a8）==4lg10=4．故選C．14．（2020·上海高三專題練習(xí)）若是函數(shù)的兩個不同的零點，且這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】試題分析：由題意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，-2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，則p+q=9．15．（2020·上海高三專題練習(xí)）設(shè)，，在中正數(shù)的個數(shù)是()A．25 B．50 C．75 D．100【答案】D【解析】由于的周期，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，，…，，，，，…，，且，…但是單調(diào)遞減，都為負(fù)數(shù)，但是，，…，∴，，…，中都為正，且，，…，都為正，同理，，…，都為正，且，…，都為正，即個數(shù)為100，故選D．16．（2020·上海市建平中學(xué)高三月考）已知數(shù)列的通項公式為，其前項和，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得.又即,故,故雙曲線漸近線為故選：C17．（2020·上海高三專題練習(xí)）設(shè)的三邊長分別為，的面積為，.若，，，，，則()A．為遞減數(shù)列B．為遞增數(shù)列C．為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列D．為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列【答案】B【解析】由題意得，所以數(shù)列是常數(shù)列，故．∵，∴，∴，即．∴是以點，長軸長為的橢圓的焦點三角形，又，所以的形狀和位置如下圖所示：∵，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，故當(dāng)時，，∴點的位置無限趨近于橢圓的短軸的端點P．∴的邊上的高單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞增，∴數(shù)列為遞增數(shù)列．選B．18．（2020·上海市建平中學(xué)高三月考）在平面直角坐標(biāo)系中，定義（）為點到點的變換，我們把它稱為點變換，已知，，，是經(jīng)過點變換得到一組無窮點列，設(shè)，則滿足不等式最小正整數(shù)的值為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】由定義知，，，即．，觀察可得，，，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為2，首項為1．∴．，由，解得．即的最小值為11.故答案為：C三、解答題19．（2020·上海高三專題練習(xí)）設(shè)為等差數(shù)列，為數(shù)列的前項和，已知，，為數(shù)列的前項和，求?！敬鸢浮?【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，則∵，，∴即解得，.∴∵，∴數(shù)列是等差數(shù)列，其首項為，公差為，∴.20．（2020·上海高三專題練習(xí)）已知數(shù)列和滿足若為等比數(shù)列，且（1）求和；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項和為①求；②求正整數(shù)k，使得對任意均有.【答案】（1）an＝2n(n∈N*)．bn＝n(n＋1)(n∈N*)．（2）(i)Sn＝(n∈N*)．(ii)k＝4.【解析】(1)由題意，b3－b2＝6，知a3＝()8.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,又由，得，q＝2(q＝－2舍去)，所以數(shù)列的通項為an＝2n(n∈N*)．所以，故數(shù)列的通項為bn＝n(n＋1)(n∈N*)．(2)(i)由(1)知(n∈N*)．所以Sn＝(n∈N*)．(ii)因為c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0，當(dāng)n≥5時，cn＝而得所以，當(dāng)n≥5時，cn<0.綜上，若對任意n∈N*恒有Sk≥Sn，則k＝4.21．（2020·上海高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點在軸正半軸上，點在軸上，其橫坐標(biāo)為，且是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，記，.（1）若，求點的坐標(biāo)；（2）若點的坐標(biāo)為，求的最大值及相應(yīng)的值.【答案】（1）點的坐標(biāo)為或（2）當(dāng)時，最大，其最大值為【解析】（1）設(shè),根據(jù)題意,由,知而所以,解得或故點的坐標(biāo)為或（2）由題意,點的坐標(biāo)為,.因為,所以當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立易知,在上為增函數(shù)因此,當(dāng)時,最大,其最大值為22．（2020·上海高三其他）已知正項數(shù)列，滿足：對任意正整數(shù)，都有，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列，且，．（Ⅰ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列，的通項公式；（Ⅲ）設(shè)=++…+，如果對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ），；（Ⅲ）a≤1【解析】（Ⅰ）由已知得，即，由2b1=a1+a2=25，得b1=，由a22=b1b2，得b2=18，∴{}是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，因為，，成等比數(shù)列所以.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，原式化為，即f（n）=恒成立，當(dāng)a–1＞0即a＞1時，不合題意；當(dāng)a–1=0即a=1時，滿足題意；當(dāng)a–1＜0即a＜1時，f（n）的對稱軸為，f（n）單調(diào)遞減，∴只需f（1）=4a–15＜0，可得a＜，∴a＜1；綜上，a≤1.23．（2020·北京平谷高三二模）已知項數(shù)為的數(shù)列滿足如下條件：①；②若數(shù)列滿足其中則稱為的“伴隨數(shù)列”.（I）數(shù)列是否存在“伴隨數(shù)列”，若存在，寫出其“伴隨數(shù)列”；若不存在，請說明理由；（II