中考數(shù)學一輪復(fù)習第四講正方形（解析版）

模塊五四邊形

第四講正方形

知識梳理夯實基礎(chǔ)

知識點1:正方形的性質(zhì)

1.邊：對邊平行，四條邊都相等

2.角：四個角都是直角

對角線|對角線互相垂直平分朗目等

'’怎發(fā)每一條對角線平分一組對角

4.對稱性：既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸

5.正方形面積求法：S=a~=-l2（a表示正方形的邊長，/表示正方形的對角線）

2

注：正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形

知識點2:正方形的判定

1.有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形是正方形

2.有一組鄰邊相等的矩形是正方形

3.對角線互相垂直的矩形是正方形

4.有一個角是直角的菱形是正方形

5.對角線相等的菱形是正方形

知識點3:四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關(guān)系

知識點4：中點四邊形

定義：依次連接任意一個四邊形各邊中點所得到的四邊形叫做中點四邊形.

常見結(jié)論

原圖形中點四邊形的形狀

任意四邊形平行四邊形

矩形菱形

菱形矩形

正方形正方形

對角線相等的四邊形菱形

對角線垂直的四邊形矩形

對角線垂直且相等的四邊形正方形

直擊中考勝券在握

1.下列說法不正確的是（）

A.有一個角是直角的菱形是正方形B.兩條對角線相等的菱形是正方形

C.對角線互相垂直的矩形是正方形D.四條邊都相等的四邊形是正方形

【答案】D

2.（2023?綿陽中考）如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，NCDE=30°,DE1CF,則的長是（）

C.73D.2

【答案】C

【分析】

由正方形的性質(zhì)得出OC=CB,ZDCE=ZCBF=90°,由ASA證得△￡＞（2名△CBP,即可得出答案.

【詳解】

解：四邊形ABCD是正方形,

團在RtVDCE中，ZCDE=30°,

:.CE=-DE,

2

設(shè)CE=x,則OE=2尤，

根據(jù)勾股定理得：DC2+CE2=DE2,

BP32+X2=（2X）2,

解得：x=也（負值舍去），

\CE=上,

DEA.CF,

ZDOC=90°,

..〃CO=60。，

ZBCF=90°-60°=30°=ZCDE,

ZDCE=NCBF,CD=BC,

:.ADCE/ACBFIASA）,

:.BF=CE=6.

故選：c.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)等知識，證

明/ACB尸是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?重慶中考）如圖，把含30。的直角三角板P/WN放置在正方形ABC。中，NPMN=30°,直角頂點P

在正方形ABCD的對角線BD上，點M,N分別在AB和CD邊上，/WN與BD交于點。，且點。為/WN的中

點，則/AM尸的度數(shù)為（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

【答案】C

【分析】

根據(jù)斜邊中線等于斜邊一半，求出EI/WPO=30。，再求出自例。8和EIOM8的度數(shù)，即可求出/AMP的度數(shù).

【詳解】

解：回四邊形ABCD是正方形中，

00/WBO=0WDO=45°,

回點。為/WN的中點

0OM=OA/,

ffl/WPA/=90°,

0OM=OP,

[fflP/WN=l3MPO=30°,

00/WOB=0/WPO+[3P/W/V=60°,

00B/WO=18O°-6O°-45°=75°,

ZAMP=180°-75°-30°=75°,

故選：C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用相關(guān)性質(zhì)，根據(jù)

角的關(guān)系進行計算.

4.(2023?遼寧中考)如圖，AC,3。是四邊形A5C。的對角線，點E,尸分別是AD,BC的中點，點

N分別是AC,8。的中點，連接EM,MF,FN,NE,要使四邊形5MRV為正方形，則需添加的條件是

()

A.AB=CD,ABVCDB.AB=CD,AD=BC

C.AB=CD,ACLBDD.AB=CD,AD//BC

【答案】A

【分析】

證出EN、NF、―伊、ME分別是AABD、ABCD、AABC、AACO的中位線，得出E/V/MB//EM,MEIICDIINF,

EN=；AB=FM,ME=gcD=NF,證出四邊形項ffW為平行四邊形，當AB=CD時，EN=FM=ME=NF,

得出平行四邊形ABCD是菱形；當AB_LCE>時，EN±ME,即ZME7V=90。，即可得出菱形項ffW是正方形.

【詳解】

,點E,尸分別是A￡>,2C的中點，點、M,N分別是AC,8。的中點，

:.EN、NF、FM、ME分別是AMD、ABCD、AABC、AACD的中位線，

:.EN/IABI!FM,MEIICDIINF,EN=-AB=FM,ME=-CD=NF,

22

.一.四邊形項ffN為平行四邊形,

當AB=CD時，EN=FM=ME=NF,

二平行四邊形現(xiàn)⑻V是菱形；

當ABJ_CD時，ENLME,即ZMEN=90。，

.?.菱形￡7麗是正方形；

故選A.

【點睛】

本題考查了正方形的判定、平行四邊形的判定、菱形的判定以及三角形中位線定理；熟練掌握三角形中位

線定理是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?仙桃中考）如圖，在正方形ABC。中，AB=4,￡為對角線AC上與4C不重合的一個動點，過

點E作即，4?于點F,EG,3c于點G,連接DE,9G.下列結(jié)論：

①DE=FG；②DE>FG；（3）ZBFG=ZADE；④BG的最小值為3.其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】

延長。E,交尸G于點N,交A3于點連接3E,交尸G于點。，先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判

定定理與性質(zhì)得出=再根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)可得血=FG,由此可判斷①；先根據(jù)三角形全等

的性質(zhì)可得NABE=NADE,再根據(jù)矩形的性質(zhì)可得03=OF,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得

ZBFG=ZABE,由此可判斷③；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得NAZ）E+N/WD=90。，從而可得

ZBFG+ZAMD=90°,由此可判斷②；先根據(jù)垂線段最短可得當DELAC時，DE取得最小值，再解直角

三角形可得OE的最小值，從而可得FG的最小值，由此可判斷④.

【詳解】

解：如圖，延長OE,交尸G于點N,交AB于點連接BE,交FG于點。，

四邊形ABCD是正方形，AB=4,

,\AD=AB=4,ZABC=ZBAD=90°,/BAE=ZDAE=45°,

AB=AD

在AABE和二ADE中，＜^BAE=ZDAE,

AE=AE

.\^ABE^ADE(SAS)f

BE=DE,ZABE=ZADE,

ZABC=90°,EF_LAB,EGLBC,

???四邊形跳EG是矩形，

.?.BE=FG,OB=OF,

:.DE=FGf即結(jié)論①正確；

OB=OF,

:.ZBFG=ZABE,

:.ZBFG=ZADEf即結(jié)論③正確；

QZBAD=90。，

:.ZADE+ZAMD=90°,

ZBFG+ZAMD=9Q0,

:"FNM=9U。,即。石八尸G,結(jié)論②正確；

由垂線段最短可知，當。ELAC時，DE取得最小值，

止匕時在E/AADE中，DE=AD-sinZDAE=4x—=242,

2

又-DE=FG,

.?.FG的最小值與OE的最小值相等，即為2夜，結(jié)論④錯誤；

綜上，正確的結(jié)論為①②③，共有3個，

故選：C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、解直角三角形等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造

全等三角形和直角三角形是解題關(guān)鍵.

6.如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC、8上的點，回EAF=45。，I3ECF的周長為8,則正方形ABCD

的面積為（）

A.9B.16C.20D.25

【答案】B

【解析】

試題分析：如圖，將MAF順時針旋轉(zhuǎn)90。到EIBAF-位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知EJDAFEBBAF,即可得到

EF+EC+FC=FC+CE+EF'=FC+BC+BF'=8,求出正方形的邊BC=4,因此可知其面積為4x4=16.

故選B.

7.（2023?廣西河池中考）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E,F分別在CD,AC上，BF1EF,CE=\,

則AF的長是（）

'B

A.2V2B.172C.1A/2D.|A/2

【答案】B

【分析】

過方作AB的垂線分別交于N,M,由防_L￡F,證明△MFE經(jīng)△A/。設(shè)=%，根據(jù)肱V=4,

求得工,在MAFN中,利用勾股定理即可求得Ab.

【詳解】

如圖，過尸作A3的垂線分別交于

,四邊形ABC。是正方形，

/.ZABC=/BCD=ZBNM=90°,

AB=BC=CD=4,

二?四邊形CMN8是矩形，

：.MN=BC=4,CM=BN,

BFLEF,

:./EFB=/FNB=900,

:./FBN+ZNFB=ZNFB+/EFM,

"FBN=/EFM,

?四邊形A8CO是正方形，

.\ZACD=45°,

/.ZMFC=ZMCF=45°,

:.MF=MC=NB,

在JWEF和NFB中,

ZEFM=ZFBN

<NEMF=ZFNB

MF=NB

.'.AMFE^ANBF(AAS),

:.ME=FN,

設(shè)ME=FN=x,貝!）同。=板=凱=1+%,

:MN=MF+FN,

即l+x+x=4,

3

解得X=Q，

3

:.FN=-,

2

四邊形ABC。是正方形，MNLAB,

:.ZNAF=ZAFN=45°,

:.FN=AN,

AF=ylFN2+AN2=叵FN=-72.

2

故選B

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，

求得ME是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?牡丹江中考）如圖，正方形ABC。的邊長為3,E為BC邊上一點,BE=1.將正方形沿GF折疊，使

點A恰好與點E重合，連接AF,EF,GE,則四邊形AGEF的面積為（）

A.2aB.2s/5C.6D.5

【答案】D

【分析】

作FHEMB于H,交AE于P,設(shè)AG=GE=x,在RtHBGf中求出X,在RtEMBE中求出AE,再證明EMBEEEFHG,

得至UFG=AE,然后根據(jù)5四邊形AGE產(chǎn)SEMGF+SEIEGF求解即可

【詳解】

解：作于“，交AE于P,則四邊形ADFH是矩形，由折疊的性質(zhì)可知，AG=GE,AE0GF,AO=EO.

設(shè)AG=GE=x,則8G=3-x,

在RtHBGE中,

0BE2+BG2=GE2,

Ell2+(3-x)2=x2,

5

0x=—.

3

在RtMRE中，

222

W\B+BE=AEf

[?]32+l2=/AE2,

ME二M.

回團HZIP+MPH=9O°,團OFP+團OPF=90°,MP”二團。PF,

如H/4P二回OFP,

團四邊形ADFH是矩形，

W\B=AD=HF.

在加8E和團FHG中，

ZHAP=ZOFP

</ABE=/GHF,

AB=HF

^\FG=AE=y/15,

團S四邊形4GEF=S?4GF+SmEGF

=-GFOA+-GFOE

22

|GF-(OA+OE)

=-GFAE

2

=；x亞xM

故選D.

本題考查了折疊的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，以及勾股定理等知識，熟練

掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2023?貴州黔東南中考）如圖，在邊長為2的正方形ABC。中，若將AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，使點B

落在點的位置，連接BB,過點D作。時88',交83的延長線于點E,則BE的長為（）

A.B.2A/3-2C.173D.［百

【答案】A

【分析】

利用已知條件求得NCBF=ZEDF=30。,設(shè)￡F=x，將DF,FC,BF都表示出含有x的代數(shù)式，利用tanNFBC

的函數(shù)值求得x,繼而求得的值

【詳解】

設(shè)BE,。交于點尸，

由題意：AB=AB',ZBAB'=60°

???AB3'是等邊三角形

ZABB'=60°

,四邊形ABCD為正方形

:.ZABC^ZC=90°

EECBF=90°-60°=30°,

DESiBB'

.-.ZE=90°

又］ZDFE=ZCFB

ZEDF=ZCBF=30°

設(shè)EF=x

DF=———=第=2EF=2x

則sinZEDF1

2

FC=DC-DF=2-2x

FC

BF=-------------=2FC=4-4x

sinZCBF

BE=BF+EF=4—3x

B'E=BE-BB'=4—3x—2=2—3x

//FCG

ftanNCBF=----=——

BC3

.2-2x_73

2~~T

解得：x=\-B

3

,

B￡=2-3x（l-^）=A/3-l

故選A

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的銳角三角函數(shù)值，靈

活運用銳角三角函數(shù)的定義及特殊三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

10.（2023?大慶中考）如圖，尸是線段8上除端點外的一點，將一AD尸繞正方形ABCD的頂點A順時針旋

轉(zhuǎn)90。，得到△ABE.連接EP交AB于點下列結(jié)論正確的是（）

A.ZEAF=120°B.AE:EF=l：y/3C.AF?=EH?EFD.EB:AD=EH:HF

【答案】D

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到回EAF是等腰直角三角形，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)，以及平行線分線段

成比例定理即可作出判斷.

【詳解】

解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：回EAF=90。，故A選項錯誤；

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知：EiEAF=90。，EA=AF,貝幅EAF是等腰直角三角形，

REF=6AE,即AE：EF=1：6,故8選項錯誤；

FAFF

若C選項正確，貝IJA尸2=A￡2=BP—=—,

EHEA

團MEF二團HEA=45°,

團R1E4F?團EHA,

^EAH=^\EFA9

而回EE4=45°,團E4HW45°,

^EAH^^EFA,

回假設(shè)不成立，故c選項錯誤；

團四邊形A8CD是正方形，

0CDEMB,即BHBCF,AD=BC,

0EB：BC=EH：HF,即EB：AD=EH：HF,故。選項正確；

故選：D

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，正確運用

反證法是解題的關(guān)鍵.

11.（2023?湖南常德中考）如圖，已知F、E分別是正方形ABCD的邊AB與3c的中點，AE與。R交于P.則

下列結(jié)論成立的是（）

A.BE=-AEB.PC=PDC.ZEAF+ZAFD=9Q°D.PE=EC

2

【答案】C

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】

解:回四邊形ABCD是正方形，

^\AB=BC^CD=CA,^ABC^BCD^CDA^DAB=90°,

團已知F、E分別是正方形ABC。的邊A8與8C的中點，

^BE=^BC=^-AB<^-AE,故A選項錯誤，不符合題意；

222

在EMBE和EIDAF中，

AB=DA

<ZABE=ZDAF=90°,

BE=FA

EE/IBEEEDAF（SAS）,

^EBAE=^ADF,

0EL4DF+EL4FD=9O",

^EBAE+^AFD=90°,

0EMPF=9OO,

EBEAF+IMFC?=90。，故C選項正確，符合題意；

連接FC,

同理可證得EICBFEEDAF（SAS）,

fflBCF=EL4Df,

008CD-0BCF=EMDC-EMDF,BP9O°-0BCF=9O°-EMDF,

00PDC=0FCD>0PCD,

團POP。，故B選項錯誤，不符合題意；

MD>PD,

0CD>PD,

00DPC>0DCP,

09Oo-aDPC<9Oo-0DCP,

EBCPEvEIPCE,

0PE>CE,故。選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識.此題綜合性很強，解題

的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

12.（2023?四川自貢中考）如圖，在正方形A8CD中，A3=6,/W是AD邊上的一點，AW:MD=1:2.將/SBAM

沿BM對折至ABMN,連接DN,則DN的長是（）

A.-B.述C.3D."?

285

【答案】D

【分析】

延長MN與CD交于點E,連接BE,過點N作NF，C。，根據(jù)折疊的正方形的性質(zhì)得到NE=CE,在必MDE

中應(yīng)用勾股定理求出DE的長度，通過證明，MDEs-NFE,利用相似三角形的性質(zhì)求出NF和DF的長度，利

用勾股定理即可求解.

【詳解】

解：如圖，延長MN與CD交于點E,連接BE,過點N作NFLCD,

團AB=6,M是八。邊上的一點，AM:MD=l:2f

團AM=2,DM=4,

團將沿8M對折至肱V,四邊形4BC。是正方形，

回NBNE=NC=90。，AB=AN=BCf

⑦Rt」BNE四Rt_BCE（HL）,

⑦NE=CE,

田EM=MN+NE=NE+2,

在&JWDE中，DE=x,則Affi1=6-％+2=8-尤，

根據(jù)勾股定理可得42+%2=（8-x）2,解得了=3,

RNE=DE=3,ME=5,

RNF工CD,/MDE=9伊,

團MDEs&NFE,

「EFNFNE2

DE~MD~ME~5'

129

團NF=—,EF=—,

I3DF=-,

ElDN=qDf+NF?=竿,

故選：D.

【點睛】

本題考查折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等內(nèi)容，做出合適的輔助線是解題的關(guān)

鍵.

13.（2023?浙江溫州中考）由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形A5CD如圖所示.過點

。作。R的垂線交小正方形對角線族的延長線于點G,連結(jié)CG,延長BE交CG于點H.若AE=2BE,

則蘭■的值為（）

A.3B.也C.巫D.述

275

【答案】C

【分析】

如圖，設(shè)交CF于P,CG交DF于Q,根據(jù)題意可知BE=PC=DF,AE=BP=CF,根據(jù)AE=2BE可得BE=PE=PC=PF=DF,

根據(jù)正方形的性質(zhì)可證明回FDG是等腰直角三角形，可得DG=FD,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)可得PH=：FQ,

17

CH=QH=CQ,利用AS4可證明回C叫曲GDQ,可得PH=QD,即可得出可得BH=§BE,利用勾股定

理可用8E表示長的長，即可表示出CG的長，進而可得答案.

【詳解】

如圖，設(shè)BH交CF于P,CG交DF于Q,

團由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形ABCD,

國BE=PC=DF,AE=BP=CFf

田AE=2BE,

BBE=PE=PC=PF=DF,

^\CFD=WPC,

⑦DF〃EH,

國PH為團CFQ的中位線，

國PH=JQF,CH=HQ,

團四邊形EPF/V是正方形，

盟EFN=45°,

回GD團。F,

釀FDG是等腰直角三角形，

團DG=FD=PC,

回團GOQ二團CPH=90°,

0DG//CF,

WBDGQ=^PCH,

ZGDQ=ZCPH

在國。GQ和團PCH中，,OG=PC,

ZDGQ=ZPCH

^\DGQ^\PCH,

國PH=DQ,CH=GQ,

11

aPH二一DF二一BE,CG=3CH,

33

7

國BH=BE+PE+PH二一BE,

3

在Rt^PCH中,CH=VPC2+PH2=,/B￡2+(-BE)2=—BE,

V33

EICG=回BE,

CGMBE3M

嗝=可品==?

3

故選：C.

【點睛】

本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)

及判定定理是解題關(guān)鍵.

14.（2023?江蘇泰州中考）如圖,P為AB上任意一點,分別以AP、PB為邊在AB同側(cè)作正方形APCD、正方形

PB歷設(shè)NCBE=。,則ZAFP為（）

A.2aB.90°-aC.45°+aD.90°-ya

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意可得A4Ap=NCBPlSAS）,從而/明3=ACBP=90°-（z即可.

【詳解】

回四邊形APCD和四邊形PBEF是正方形，

MP=CP,PF=PB,NAFF=ZBPF="BE=90°,

^\AFP=NCBPlSAS）,

0EMFP=0CBP,

又EINCBE=￡Z,

^AAFP=4cBp=4PBE-ACBE=90°-a,

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法是解

題的關(guān)鍵.

15.（2023?黑龍江省龍東地區(qū)（農(nóng)墾森工）中考）如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與相交于點。，

點E在BC的延長線上，連接DE,點尸是DE的中點，連接。尸交8于點G,連接Cb，若CE=4,=6.則

下列結(jié)論：①GF=2；@OD=yfiOG;@tanZC￡>￡=|；④NODF=NOCF=90。；⑤點D到CF的距

離為迪.其中正確的結(jié)論是（）

5

A.①②③④B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②④⑤

【答案】C

【分析】

由題意易得8C=CD,3。=。。=OA=OC,ZBDC=45°,NBCD=NDCE=90。，①由三角形中位線可進行判

斷；②由回DOC是等腰直角三角形可進行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)可進行求解；④根據(jù)題意可直接進行求解；

⑤過點D作?！被谻F,交CF的延長線于點H,然后根據(jù)三角函數(shù)可進行求解.

【詳解】

解：回四邊形A3CD是正方形，

@BC=CD,BO=OD=OA=OC,ZBDC=45°,NBCD=ZDCE=90°,AC1BD,

回點尸是DE的中點,

?OF=LBE,OF〃BE,

2

回OF=6,CE-4,

團BE=12,貝i」CD=5C=8,

團。甩BE,

團團DG用回。CE,

DGGF1

團---=---=一,

CDCE2

團G尸=2,故①正確；

團點6是（：。的中點，

回0GR1C。，

00006=45°,

釀D0C是等腰直角三角形，

團OD=0OG，故②正確；

團CE=4,CD=8,回DCE=90°,

13tanZ.CDE=--=—,故③）正確;

CD2

團tanZ.CDE=—^1,

團NCDEV45。，

團NODFW90。，故④錯誤；

過點。作DH團CF,交CF的延長線于點H,如圖所示:

團點F是C。的中點,

國CF=DF,

^\CDE=^\DCF,

團tanZCDE=tan/DCF--,

2

設(shè)=則C"=2x,

22

在月曲DHC中，X+4X=64,

解得：x=±述，

5

回DH=?,故⑤正確；

團正確的結(jié)論是①②③⑤；

故選C.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形

的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?廣東深圳中考）在正方形ABCD中，AB=2,點E是邊的中點，連接DE,延長EC至點F,

使得EF=DE,過點下作所，￡?石，分別交8、于N、G兩點，連接CM、EG、EN,下列正確的

是：?tanZGFB=|；②MN=NC；③察j@SmGBEM（）

Z乜UrZ2

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【分析】

解：①中由FGLOE即可得到/GEB=NEDC,再由正切等于對邊比鄰邊即可求解;

②中先證明/△在M得到EM=EC,DM=FC,再證明△ZWN/△網(wǎng)”即可求解;

③中先證明GE//CM,得到竇=累/一一-逐

即可求解;

5

④中由tan4=tanZEDC=器'得至"GB時="'再由SmcBEM=2s*即可求解.

【詳解】

解:①回FG_LDE,

fflD/Wf=90°=EIA/CF,且對頂角回MND=I3CNF,

^EGFB^EDC,

MBCD為正方形，E是8C的中點，

0BC=CD,

0tanZGFB=tanZ￡DC=-1|=1,①正確;

②由①知ZMDN=/CRV,

又NECD=NEMF=9Q,已知EF=ED,

02EC0AFEM(SAS),

^EM=EC,

^DM=FC,

QjDN=ZCFN,乙MND"CNF,DM=FC,

0ADMN出AFCN(AAS),

QMN=NC,故②正確；

③@BE=EC,ME=EC,

SBE=ME,

M0B=0G/WE=9O°,GE為RtGBE和Rt—GME的公共邊,

0RtAGBE^RtAGME(HL),

國NBEG=NMEG,

團ME=EC,

^\ZEMC=ZECM9

由三角形外角定理可知：ZEMC+ZECM=/BED=ZBEG+NMEG,

⑦NGEB=NMCE,

國MCIIGE,

CMCF

團---=---,

EGEF

^EF^DE^yjEC2+CD2>CF=EF-EC=乖-1,

CMCF<75-15-A/5

團---=---=---7=—=-------,故③錯誤;

EGEF亞5

④由上述可知：BE=EC=1,CF=>/5-l,

0BF=A/5+1,

GBi

團tanZF=tan/EDC==—,

BF2

SGB=-BF=^^-,

22

0

SmGBEM=2s△GBE=2；BE.BG=程，故④正確?

故選B.

【點睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，三角函數(shù)等知識，解題的

關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題.

17.（2023?江蘇鎮(zhèn)江中考）如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)位于對角線AC下方的一點，01=02,貝幅BPC的度

數(shù)為

【答案】135

【分析】

由正方形的性質(zhì)可得EIACB=EIBAC=45。，可得EI2+EIBCP=45°=I2：1+I3BCP,由三角形內(nèi)角和定理可求解.

【詳解】

解:回四邊形ABCD是正方形，

0EMCB=0B/1C=45O,

002+0BCP=45°,

001=02,

001+0BCP=45°,

EB8PC=180°-01-SBCP,

00BPC=135",

故答案為：135.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握正方形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

18.（2023?河南中考）如圖，在邊長為2逝的正方形ABC。中，點￡尸分別是邊AB,的中點，連接EC,陽,

點G,H分別是EC,FD的中點，連接GH,則GH的長度為.

【答案】1

【分析】

過E作EPLDC,過G作GQLDC,過H作必，3C,H7?與GQ相交于分別求出HI和GI的長，利用

勾股定理即可求解.

【詳解】

過E作EP_LDC,過G作GQ_LOC,過H作印?_L3C,垂足分別為P,R,R,H7?與G。相交于如圖,

團四邊形ABCD是正方形，

^AB=AD=DC=BC=2sf2，

r.ZA=ZADC=90。，

回四邊形AEPD是矩形，

0EP=AD=26，

團點E,F分別是AB,BC邊的中點，

0PC=-DC=V2,FC=-BC=V2

22

.EPLDC,GQ±DC,

GQ//EP

回點G是EC的中點，

???GQ是AEPC的中位線，

GQ=^EP=s/2,

同理可求：HR=C，

由作圖可知四邊形HIQP是矩形,

又HP=^FC,HI=yHR=yPC,

而FC=PC,

0HI=HP,

團四邊形HIQP是正方形，

@IQ=HP=今,

QGI=GQ-IQ=叵一與=與=HI

.?.AHIG是等腰直角三角形，

:.GH=及HI=\

故答案為：L

【點睛】

此題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，三角形的中位線與勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答此題的

關(guān)鍵.

19.（2023?浙江紹興中考）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的頂點A在X軸正半軸上，頂點B,

5k

C在第一象限，頂點D的坐標（；,2）.反比例函數(shù)>=乙（常數(shù)左>0,x>0）的圖象恰好經(jīng)過正方形ABCD

2x

的兩個頂點，則k的值是.

【答案】5或22.5

【分析】

先設(shè)一個未知數(shù)用來表示出8、C兩點的坐標，再利用反比例函數(shù)圖像恰好經(jīng)過8、C、。的其中兩個點進行

分類討論，建立方程求出未知數(shù)的值，符合題意時進一步求出k的值即可.

【詳解】

解：如圖所示，分別過B、。兩點向x軸作垂線，垂足分別為F、E點，并過C點向BF作垂線，垂足為點G；

團正方形48CD,

回回以8=90°,AB=BC=CD=DA,

回團D4E+回8ZF=90°,

又團團D4E+MDE=90°,回B4F+MBF=90°,

回團加E二朋8F,MDE二回B/AF,

團ADE^^BAF,

同理可證MD畫杷人用回CBG；

^\DE=AF=BGfAE=BF=CG；

設(shè)AE=m,

團點D的坐標(，2),

5

團OE二一，DE=AF=BG=2,

2

99

回B(-+m,m),c(-,m+2),

22

團一x2=5,

2

OQ

當算根+2)=5時，m=--<0,不符題意，舍去；

當加=5時，由帆NO解得加=誓二2,符合題意；故該情況成立，止匕時k=5；

(9199

當匕+叼根=/(m+2)時，由m20解得加=3,符合題意，故該情況成立，此時左=]x(3+2)=22.5；

故答案為：5或22.5.

【點睛】

本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)、解一元二次方程等

內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與性質(zhì)，能根據(jù)題意建立相等關(guān)系列出方程等，本題涉及到了分類討論

和數(shù)形結(jié)合的思想方法等.

20.（2023?廣西桂林中考）如圖，正方形0ABe的邊長為2,將正方形0ABe繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)角以（0。<&

<180°）得到正方形。連接BC,當點4恰好落在線段上時，線段BC的長度是—.

【答案】#+0

【分析】

連接AA,根據(jù)旋轉(zhuǎn)和正方形的性質(zhì)得出回。4。=45。，E）BAO=135。，OA=OA'=AB=2,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，

結(jié)合已知條件得出旋轉(zhuǎn)角a=60°,然后利用二角形的性質(zhì)和勾股定理得出答案；

【詳解】

解：連接A4',

團將正方形。ABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)角a（00<a<180°）得到正方形。ABC,連接當點A’恰好落在線

段8c

EBOA'C'=45",回BA'O=135°,OA=OA'=AB=2,

.1

^\OA'A=^OAA'=90一一a,

2

^\BAAr=—a,

2

團MBA=MAB=90°--a,

4

回團84'0=135°=加4'8+團O/A'A,

09O°--cr+9O°--ct:=135°,

24

0a=60",EM‘48=30°,

盟。AN為等邊三角形，

^AA'=AB=2,

過點A作A'E^AB于E,

33iA/AB=30°,

則A￡=gx2=l,AE=6

鼬￡=2-石,

M'B=一國+f=瓜一血,

^A'C'=2y/2,

S\BC'=A'B+A'C'=y[6+y/2；

故答案為：A/6+A/2

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是得出旋轉(zhuǎn)角c=60°得

出團OAA為等邊三角形.

21.（2023?浙江臺州中考）如圖，點E,F,G分別在正方形ABCO的邊AB,BC,AD上，A甩EG.若AB=5,

AE=DG=1,貝!]BF=.

【答案】7

4

【分析】

先證明4ABpsGAE,得到竺=空，進而即可求解.

GAAE

【詳解】

團在正方形48C。中，4用EG,

團MGE+團GAM=90°,團E48+國G/AM=90°,

釀E43二MGE,

又回勵8F二回G/\E=90°,

0ABF^tGAE,

ABBF5BF

團一=一,即nn：——二一,

GAAE5-11

5

回8F二一.

4

故答案是：Y.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明ABFsGAE,是解題的關(guān)鍵.

22.（2023?山東東營中考）如圖，正方形紙片A8CD的邊長為12,點F是4。上一點，將CD尸沿CF折疊,

點D落在點G處，連接DG并延長交于點￡若AE=5,則GE的長為.

B

【答案、】/49

【分析】

因為折疊，則有OG_LCF,從而可知人4￡062\9心，利用線段比求出DG的長，即可求出EG.

【詳解】

如圖，四邊形ABCD是正方形,

.-.Zl+Z2=90o,

因為折疊，?,.DGLCb,設(shè)垂足為H,

:.DH=HG,

/.Z2+Z3=90°,

/.AAED^AHDC,

AEPH

~ED~~DC'

AE=5,AD=DC=12,DE=^/AD2+AE2=13,

.5_DH

??=，

1312

:.DH=—,

13

:.EG=ED-GD

=ED-2GH

=13-2x^

13

_49

-l3

故答案為石.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理，找到△AEDS/XHDC是

解題的關(guān)鍵.

23.（2023?山東威海中考）如圖，在正方形ABCD中，AB=2,E為邊AB上一點，F(xiàn)為邊BC上一點.連接

DE和AF交于點G,連接BG.若AE=3產(chǎn)，則BG的最小值為.

【答案】A/5-I.

【分析】

根據(jù)SAS證明團DEAHL4FB,得MDE=I3BAF,再證明I3DGA=9O。，進一步可得點G在以AD為直徑的半圓上，且

O,G,B三點共線時8G取得最小值.

【詳解】

解：回四邊形ABCD是正方形，

SEABC-WAE,AD=AB,

^AE=BF

^DEA^EAFB,

:.ZADE=ZBAF,

a3DAF+EI8AF=l3DAB=90°,

EMDE+I3DAF=9O°

EBDGA=90°

回點G在以AD為直徑的圓上移動，連接。B,OG,如圖：

13OA=OD=OG=—AD=1

2

在Rt^AOB中，EO4B=90°

國OB=Jf+22=6

^BG>OB-OG

團當且公當O,G,B三點共線時8G取得最小值.

EIBC的最小值為：75-1.

【點睛】

此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，圓周角定理等相關(guān)知識，正

確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

24.（2023吶蒙古鄂爾多斯中考）如圖，已知正方形ABCD的邊長為6,點F是正方形內(nèi)一點，連接CROP,

且NAO尸=/。。尸，點E是AD邊上一動點，連接則EB+即長度的最小值為.

【答案】3713-3

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)得到蜘DC=90。，推出MFC=90。，點F在以0C為直徑的半圓上移動，，如圖，設(shè)CD的中

點為。，作正方形ABCD關(guān)于直線對稱的正方形APG。，則點8的對應(yīng)點是P,連接P。交A。于E,交半

圓。于F,則線段FP的長即為BE+FE的長度最小值，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

解:回四邊形ABCD是正方形，

0EMDC=9O°,

aZMDF+EICDF=90°,

SZADF=ZDCF,

00DCF+0CDF=90°,

0EDFC=90°,

團點F在以DC為直徑的半圓上移動，

如圖，設(shè)CD的中點為。，作正方形ABCD關(guān)于直線AD對稱的正方形APGD,則點B的對應(yīng)點是P,

連接P0交A0于E,交半圓。于F,則線段FP的長即為BE+FE的長度最小值，0F=3,

EBG=90°,PG=DG=A8=6,

0OG=9,

I30P=YJPG2+OG2=V62+92=3713，

EIFP=3舊3

EIBE+FE的長度最小值為

故答案為：3JF-3.

【點睛】

本題考查了軸對稱-最短路線問題，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及圓的基本性質(zhì).凡是涉及最短距離的問題，

一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點.

25.（2023?山東濟南中考）如圖，一個由8個正方形組成的"C”型模板恰好完全放入一個矩形框內(nèi)，模板四

周的直角頂點N,O,P,。都在矩形A3CD的邊上，若8個小正方形的面積均為1,則邊的長

為.

【答案】||V13

【分析】

如圖，延長NO,QP交于點E,連接。及PE,根據(jù)題意求得0P的長，^MB=a,AM=b,先證明

AAMN必BQM,再證明△AMNS^DVO,^PQC^^QMB,分別求出矩形的四邊，根據(jù)矩形對邊相等

列方程組求得。力的值，進而求得A3的值.

【詳解】

.小正方形的面積為1,則小正方形的邊長為a=1，

如圖，延長NO,。尸交于點E,連接OE,PE,

MN=MQ=4,ZONM=ZNMQ=ZMQP=90°,

一?四邊形MNE。是正方形，

NO=2,PQ=\,

:.OE=4-NO=2,PE=4-PQ=4-1=3,

0P=y/0E2-^PE2=A/22+32

^MB=a,AM=b,

四邊形ABC。是矩形，

??.ZA=ZB=ZC=ZD=90°,

/NMQ=ZA=9。。,

ZAMN+ZBMQ=90°,ZAMN+ZANM=90°,

/.ZANM=ZBMQ,

ZA=ZB,MN=MQ,

:.△AMNQABQM,

：.AN=BM=a,BQ=AM=bf

ZMNO=ZA=90°,

ZANM+ZDNO=90°,AAMN+ZANM=90°

:.ZDNO=AMN

ZA=NO

￡\AMNsADNO

DNDONO_2_1

~AM~-AN~MN~4~2

1

DO=-AN=：-a，DN=-AM=-b

2222

ZMQP=ZC=ZD=90°

ZMQB+ZBMQ=ZMQB+APQC=90°

ZPQC=ZQMB

/\PQC^AQMB

.PQQCPC

1111

/.PC=-QB=-b,QC=-MB=-a

4444

AB=DC

:.DO+OP+PC=AB

即ga+而+卜=a+6①

AD=BC

JwL②

24?

—ci+y/13H—b—a+b

24

聯(lián)立

b71

ciH—=b—ci

24

12如

a二--------------

13

解得

,24V13

b=--------

I39

AB=a+b=——>/13

13

故答案為：—A/13

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，解二元一

次方程組，勾股定理，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵.

26.（2023?四川瀘州中考）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點￡是BC的中點，點F在CD上，且CF=3DFf

AE98F相交于點