2008年第6屆“創(chuàng)新杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）

第1頁（共1頁）2008年第6屆“創(chuàng)新杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）一、選擇題1．（5分）當(dāng)0＜x＜1時，x2、x、的大小順序是（）A． B． C． D．2．（5分）若4a﹣3b＝7，3a+2b＝19，則14a﹣2b是（）A．48 B．52 C．58 D．603．（5分）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的點如圖所示，則的值等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．34．（5分）已知∠AOB＝90°，OC為一射線，OM，則∠MON是（）A．45° B．90° C．45°或135° D．90°或135°5．（5分）滿足等式x3+3x2+2x＝y(tǒng)3﹣y+1的有序整數(shù)對（x，y）的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．36．（5分）如圖是一個正方體紙盒，在其中的三個面上各畫一條線段構(gòu)成△ABC，且A、B、C分別是各棱上的中點．現(xiàn)將紙盒剪開展成平面（）A． B． C． D．7．（5分）如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時刻，單位時間進出路口A，B1，x2，x3分別表示該時段單位時間通過路段AB，BC，CA的機動車輛數(shù)（假設(shè)單位時間內(nèi)在上述路段中同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等）（）A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x2＞x3＞x1 D．x3＞x2＞x18．（5分）記[a]為不大于a的最大整數(shù)，如[1.3]＝1，[2]＝2，當(dāng)x＝[a]，y＝[2a]時，y的已知多項式恒等于0．這個多項式可能是（）A．4x2+y2﹣4xy﹣2x+y B．4x2+y2﹣4xy+2x﹣y C．4x2+y2﹣4xy D．4x2+y2﹣4xy+4x﹣2y+1二、填空題9．（5分）＝．10．（5分）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝n×90°，則n＝．11．（5分）如圖所示，已知AD：DB＝7：2，AC：CE＝4：3．12．（5分）某校七年級舉行數(shù)學(xué)競賽，參加的人數(shù)是未參加人數(shù)的3倍，如果該年級學(xué)生減少6人，那么參加與未參加競賽的人數(shù)之比是2：1，則該年級原有學(xué)生人．13．（5分）若a、b、c為整數(shù)，且|a﹣b|19+|c﹣a|95＝1，則|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|＝．14．（5分）如圖所示，AE∥BD，∠1＝3∠2，則∠C＝．15．（5分）某村有四口水井，第一口水井在村委會的院子里，第二口水井在村委會正西900m處，第四口水井在村委會東偏南30度1000m處，在計算結(jié)果精確到m的要求下（0，0）、（﹣900，0）、（1000，1732），則第四口井所在位置的坐標(biāo)為．16．（5分）對于大于3的自然數(shù)n，我們用＜n＞表示所有小于n的質(zhì)數(shù)的乘積，如＜8＞＝7×5×3×2＝210．則方程＜n＞＝2n+16的解n＝．三、解答題17．（20分）從甲地到乙地的公路長12千米．在該路上，距甲地2千米處有個鐵路道口，每3分鐘關(guān)閉又開放3分鐘，每亮2分鐘紅燈后就亮3分鐘綠燈．小明駕駛電動車從甲地到乙地，出發(fā)時道口剛剛關(guān)閉，小明既不剎車也不加速．請問：在不違反交通規(guī)則的情況下，小明到達乙地最快需要幾分鐘？18．（25分）AOCD是放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形，其中O是坐標(biāo)原點，點A，C（0，8），（5，0），（3，8）．若點P在梯形內(nèi)，且△PAD的面積等于△POC的面積（I）求點P的坐標(biāo)；（Ⅱ）試比較∠PAD和∠POC的大小，并說明理由．19．（25分）把正整數(shù)染成紅色或藍(lán)色，每種顏色的數(shù)不少于兩個．是否存在這樣的染法，使得（I）紅色數(shù)的積是紅色，藍(lán)色數(shù)的積是藍(lán)色？（Ⅱ）紅色數(shù)的和是紅色，藍(lán)色數(shù)的和是藍(lán)色？如果存在，請寫出你認(rèn)為滿足條件的染色方法；如果不存在

2008年第6屆“創(chuàng)新杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽試卷（初一第2試）參考答案與試題解析一、選擇題1．（5分）當(dāng)0＜x＜1時，x2、x、的大小順序是（）A． B． C． D．【解答】解：∵0＜x＜1，令x＝，那么x2＝，＝6，∴x2＜x＜．故選：C．2．（5分）若4a﹣3b＝7，3a+2b＝19，則14a﹣2b是（）A．48 B．52 C．58 D．60【解答】解：4a﹣3b＝8①，3a+2b＝19②，①×4+②×2得，8a﹣8b＝14③，③+④得，14a﹣2b＝52，故選：B．3．（5分）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的點如圖所示，則的值等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【解答】解：根據(jù)數(shù)軸得a＜b＜0＜c，則a﹣b＜0，b﹣c＜4，ab﹣ac＞0，則＝﹣1+5+1+1＝5．故選：C．4．（5分）已知∠AOB＝90°，OC為一射線，OM，則∠MON是（）A．45° B．90° C．45°或135° D．90°或135°【解答】解：如圖所示：Ⅰ、OC在∠AOB內(nèi)部，∵OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC，∴∠COM＝∠BOC∠AOC，∴∠COM+∠CON＝∠BOC+，即∠MON＝×∠AOB，又∵∠AOB＝90°，∴∠MON＝45°；Ⅱ、如圖，有以下兩種情況：①∵OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC，∴∠AON＝∠NOC＝∠AOC∠BOC，∴∠MON＝∠NOC+∠MOC＝（360°﹣90°）÷2，∴∠MON＝135°，②∵OM，ON分別平分∠BOC和∠AOC，∴∠COM＝∠BOC∠AOC，∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝∠BOC﹣∠AOB＝45°，綜上所述：∠MON＝45°或135°．故選：C．5．（5分）滿足等式x3+3x2+2x＝y(tǒng)3﹣y+1的有序整數(shù)對（x，y）的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：x3+3x5+2x＝y(tǒng)3﹣y+4，x（x+1）（x+2）＝y(tǒng)（y﹣4）（y+1）+1，x（x+8）（x+2）﹣y（y﹣1）（y+5）＝1，由于x（x+1）（x+4）和y（y﹣1）（y+1）都是相鄰的4個整數(shù)的積的形式，它們的結(jié)果都是偶數(shù)，由于偶數(shù)﹣偶數(shù)＝偶數(shù)，則滿足等式x3+3x5+2x＝y(tǒng)3﹣y+7的有序整數(shù)對（x，y）的個數(shù)是0．故選：A．6．（5分）如圖是一個正方體紙盒，在其中的三個面上各畫一條線段構(gòu)成△ABC，且A、B、C分別是各棱上的中點．現(xiàn)將紙盒剪開展成平面（）A． B． C． D．【解答】解：選項A、C、D折疊后都符合題意，只有選項B折疊后兩個畫一條線段與另一個畫一條線段的三角形不交于一個頂點，與正方體三個畫一條線段的三角形交于一個頂點不符．故選：B．7．（5分）如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時刻，單位時間進出路口A，B1，x2，x3分別表示該時段單位時間通過路段AB，BC，CA的機動車輛數(shù)（假設(shè)單位時間內(nèi)在上述路段中同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等）（）A．x1＞x2＞x3 B．x1＞x3＞x2 C．x2＞x3＞x1 D．x3＞x2＞x1【解答】解：依題意，有x1＝50+x3﹣55＝x3﹣5，推出x1＜x5，同理，x2＝30+x1﹣20＝x6+10，推出x1＜x2，同理，x6＝30+x2﹣35＝x2﹣3，推出x3＜x2．故選：C．8．（5分）記[a]為不大于a的最大整數(shù)，如[1.3]＝1，[2]＝2，當(dāng)x＝[a]，y＝[2a]時，y的已知多項式恒等于0．這個多項式可能是（）A．4x2+y2﹣4xy﹣2x+y B．4x2+y2﹣4xy+2x﹣y C．4x2+y2﹣4xy D．4x2+y2﹣4xy+4x﹣2y+1【解答】解：設(shè)a的小數(shù)部分為m，∵x＝[a]，y＝[2a]，∴若0≤m＜7.5，則y＝2x，若4.5≤m＜1，則y＝8x+1，A、4x4+y2﹣4xy﹣4x+y＝（2x﹣y）2﹣（4x﹣y）＝（2x﹣y）（2x﹣y﹣6），當(dāng)0≤m＜0.4，即y＝2x時；當(dāng)0.6≤m＜1，即y＝2x+3時；故本選項錯誤；B、4x2+y5﹣4xy+2x﹣y＝（5x﹣y）2+（2x﹣y）＝（7x﹣y）（2x﹣y+1），當(dāng)5≤m＜0.5，即y＝5x時；當(dāng)0.5≤m＜2，即y＝2x+1時；故本選項正確；C、8x2+y2﹣8xy＝（2x﹣y）2，當(dāng)7≤m＜0.5，即y＝7x時；當(dāng)0.5≤m＜3，即y＝2x+1時5＝1；故本選項錯誤；D、4x8+y2﹣4xy+3x﹣2y+1＝（6x﹣y）2+2（5x﹣y）+1＝（2x﹣y+4）2，當(dāng)0≤m＜5.5，即y＝2x時；當(dāng)6.5≤m＜1，即y＝2x+1時；故本選項錯誤；故選：B．二、填空題9．（5分）＝﹣11．【解答】解：原式＝﹣×＝﹣11．故答案為：﹣11．10．（5分）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝n×90°，則n＝4．【解答】解：∵∠1＝∠A+∠2，∠4＝∠D+∠F，在四邊形BCEG中，∠B+∠C+∠E+∠1＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°＝n×90°，解得n＝4．故答案為：8．11．（5分）如圖所示，已知AD：DB＝7：2，AC：CE＝4：32：3．【解答】解：過點C作CG∥DE，交AD與點G，則AC：CE＝AG：DG＝4：3，BF：FC＝BD：DG，設(shè)AG＝2x，則DG＝3x，∵AD：DB＝7：2，∴DB＝2x，∴BF：FC＝BD：DG＝2x：8x＝2：3；故答案為：8：3．12．（5分）某校七年級舉行數(shù)學(xué)競賽，參加的人數(shù)是未參加人數(shù)的3倍，如果該年級學(xué)生減少6人，那么參加與未參加競賽的人數(shù)之比是2：1，則該年級原有學(xué)生96人．【解答】解：設(shè)未參加的學(xué)生x人，則參加的人數(shù)3x人，依題意有：（x+6）+7（x+6）＝（x+3x）﹣3，解得x＝24．則該年級原有學(xué)生24+3×24＝96（人）．故該年級原有學(xué)生96人．故答案為：96．13．（5分）若a、b、c為整數(shù)，且|a﹣b|19+|c﹣a|95＝1，則|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|＝2．【解答】解：只有兩種情況：①|(zhì)a﹣b|＝1，|c﹣a|＝0則c＝a，所以，|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|＝6+|a﹣b|+|b﹣a|＝0+1+2＝2；②|a﹣b|＝0，|c﹣a|＝7，則a＝b，|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|＝|c﹣a|+0+|a﹣c|＝1+5+1＝2所以，|c﹣a|+|a﹣b|+|b﹣c|＝3；故答案為：2．14．（5分）如圖所示，AE∥BD，∠1＝3∠2，則∠C＝50°．【解答】解：∵AE∥BD，∴∠1＝∠3，∵∠4＝∠3＝∠C+∠2，∠7＝3∠2，∴∠C＝4∠2，∵∠2＝25°，∴∠C＝50°，故答案為：50°．15．（5分）某村有四口水井，第一口水井在村委會的院子里，第二口水井在村委會正西900m處，第四口水井在村委會東偏南30度1000m處，在計算結(jié)果精確到m的要求下（0，0）、（﹣900，0）、（1000，1732），則第四口井所在位置的坐標(biāo)為（866，﹣500）．【解答】解：由題意得，第四口井在第四象限，∵第四口水井在村委會東偏南30度1000m處，∴橫坐標(biāo)為1000×≈866，縱坐標(biāo)為﹣1000×＝﹣500，∴第四口井所在位置的坐標(biāo)為（866，﹣500）．故答案為：（866，﹣500）．16．（5分）對于大于3的自然數(shù)n，我們用＜n＞表示所有小于n的質(zhì)數(shù)的乘積，如＜8＞＝7×5×3×2＝210．則方程＜n＞＝2n+16的解n＝7．【解答】解：∵我們用＜n＞表示所有小于n的質(zhì)數(shù)的乘積，如＜8＞＝7×6×3×2＝210，∴＜n＞＝8n+16可以得出：2×3×3×7…x＝2n+16，∴3×5×7×…x＝n+2，當(dāng)n增大時，它們的乘積增大的更快，當(dāng)n＝7時，小于n的質(zhì)數(shù)有，2，8，5，∴3×4＝7+8，符合題意，其他數(shù)據(jù)都不合題意．故答案為：6．三、解答題17．（20分）從甲地到乙地的公路長12千米．在該路上，距甲地2千米處有個鐵路道口，每3分鐘關(guān)閉又開放3分鐘，每亮2分鐘紅燈后就亮3分鐘綠燈．小明駕駛電動車從甲地到乙地，出發(fā)時道口剛剛關(guān)閉，小明既不剎車也不加速．請問：在不違反交通規(guī)則的情況下，小明到達乙地最快需要幾分鐘？【解答】解：設(shè)x分鐘到達乙地，則分鐘到達鐵路道口，，分鐘到達第二個交通燈；而過鐵路道口的時間為3～6，6～12，???（單位：分鐘），通過交通燈的時間為2～5，7～10，???（單位：分鐘），為使小明最快到達，則，∴24≤x≤30，即x的最小值為24，故小明到達乙地最快需要24分鐘．18．（25分）AOCD是放置在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的梯形，其中O是坐標(biāo)原點，點A，C（0，8），（5，0），（3，8）．若點P在梯形內(nèi)，且△PAD的面積等于△POC的面積（I）求點P的坐標(biāo)；（Ⅱ）試比較∠PAD和∠POC的大小，并說明理由．【解答】解：（1）如圖，過點P作PE⊥y軸于點E，∵S△PAD＝S△POC，∴3AE＝5OE，即4（8﹣OE）＝5OE，∴S△PAD＝S△POC＝3.5，S△PAO＝S△PCD＝×[，則×8PE＝7.5，故點P的坐標(biāo)是（，3）；（2）∠POC＜∠PAD，理由如下：取O′（0，3），則∠POE＝∠PO′E＞∠PAE，從而90°﹣∠POE＜90°﹣∠