2024年中考數(shù)學試題分類匯編：分式方程及其應用（解析版）

專題分式方程及其應用（32題）

一、單Q

題目1（2024?四川德陽?中考真題）分式方程工=3丁的解是（）

x6+3

A.3B.2C.4D.4

24

【答案】。

【分析】本題考查分式方程的解法，掌握分式方程的解法與步驟是解題關(guān)鍵.先去分母化分式方程為整式方

程，求出方程的解后再檢驗即可.

【詳解】解：J_=Tr，

去分母，得力+3=5/，

解得力=告，

當/■時，/（力+3）W0,

，/=3是原方程的解.

4

故選。

題目2（2024.甘肅臨夏.中考真題）端午節(jié)期間，某商家推出“優(yōu)惠酬賓”活動，決定每袋粽子降價2元銷售.細

心的小夏發(fā)現(xiàn)，降價后用240元可以比降價前多購買10袋，求:每袋粽子的原價是多少元？設(shè)每袋粽子的原

價是力元，所得方程正確的是（）

240240240240c240240_「240240

1010=_iLUnu.----------------

x力+2xx—2。-x—-2--x力+2x

【答案】。

【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程,解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的分式方程.根據(jù)降價

后用240元可以比降價前多購買10袋，可以列出相應的分式方程.

【詳解】解：由題意可得，

240240

-----O--------=10,

X—2,x

故選：C.

題目3（2024.四川廣元.中考真題）我市把提升城市園林綠化水平作為推進城市更新行動的有效抓手,從2023

年開始通過拆違建綠、見縫插綠等方式在全域打造多個小而美的“口袋公園”.現(xiàn)需要購買人、口兩種綠植，

已知A種綠植單價是B種綠植單價的3倍，用6750元購買的A種綠植比用3000元購買的B種綠植少50株.

設(shè)B種綠植單價是。元,則可列方程是（）

A6150_50=3000B3Q00_50=6750G宇+50=叱D.七+50=.

6XX6XXAxX6XX

【答案】。

【分析】本題主要考查了分式方程的應用，設(shè)B種綠植單價是，元，則A種綠植單價是32元，根據(jù)用6750元購

買的A種綠植比用3000元購買的石種綠植少50株，列出方程即可.

【詳解】解:設(shè)B種綠植單價是c元，則A種綠植單價是3z元，根據(jù)題意得:

6750+50=還

3Tx

故選：C.

題目E（2024.黑龍江綏化.中考真題）一艘貨輪在靜水中的航速為40km/h，它以該航速沿江順流航行120km

所用時間，與以該航速沿江逆流航行80km所用時間相等，則江水的流速為（）

A.5km/hB.6km/hC.7km/hD.8km/h

【答案】。

【分析】此題主要考查了分式方程的應用，利用順水速=靜水速+水速，逆水速=靜水速一水速，設(shè)未知數(shù)列

出方程，解方程即可求出答案.

【詳解】解:設(shè)江水的流速為⑦。km/h,根據(jù)題意可得：

120=80

40+力40—力'

解得：6二8,

經(jīng)檢驗：2=8是原方程的根，

答：江水的流速為8km/h.

故選：O.

（.廣東省?中考真題）方程:=旦的解為（

題目52024)

x—3x

A.1=3B.x=—9C.力=9D.x=—3

【答案】。

【分析】把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到力的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解.

【詳解】解:2=3

T—3X

去分母得：2x=3（%—3）,

去括號得：2/=3/—9,

移項、合并同類項得：一名二—9,

解得：劣=9,

經(jīng)檢驗：力=9是原分式方程的解,

故選：C.

【點睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是解分式方程注意要檢驗，避免出現(xiàn)增根.

題目6（2024?四川達州?中考真題）甲乙兩人各自加工120個零件，甲由于個人原因沒有和乙同時進行，乙先加

工30分鐘后，甲開始加工.甲為了追趕上乙的進度，加工的速度是乙的1.2倍,最后兩人同時完成.求乙每小

時加工零件多少個？設(shè)乙每小時加工力個零件.可列方程為（）

120120口120120小12012030C12012030

1.2力力—,x1.2力—,1.2力力-60?力1.2力—

2.

【答案】。

【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用，設(shè)乙每小時加工①個零件，則甲每小時加工1.2,個零件，再根

據(jù)時間=工作總量+工作效率結(jié)合甲的工作時間比乙的工作時間少30分鐘列出方程即可.

【詳解】解:設(shè)乙每小時加工土個零件，則甲每小時加工1.2,個零件，

由題意得些一皿=迎，

a;1.2a;60

故選：D.

題目Z（2。24?四川瀘州?中考真題）分式方程貴-32的解是（

2—x

c5

A3=-!B.x=-1kj.X——D.c=3

o

【答案】。

【分析】本題考查解分式方程,根據(jù)解分式方程方法和步驟（去分母，去括號,移項,合并同類項，系數(shù)化為1,檢

驗）求解，即可解題.

【詳解】解:_J__3=^-

x—22—x

_J__=

x-23x-2

1—3（力—2）——2,

1—3力+6——2,

—3a;=—9,

T=3,

經(jīng)檢驗?=3是該方程的解,

故選：

題目E（2024.山東?中考真題）為提高生產(chǎn)效率，某工廠將生產(chǎn)線進行升級改造,改造后比改造前每天多生產(chǎn)

100件，改造后生產(chǎn)600件的時間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同，則改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（）

A.200B.300C.400D.500

【答案】B

【分析】本題考查分式方程的應用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為2，則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（工一100）,根據(jù)“改造后生產(chǎn)600件的時

間與改造前生產(chǎn)400件的時間相同”列出分式方程，解方程即可.

【詳解】解:設(shè)改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為c,則改造前每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為（a:-100）,

解得：2=300,

經(jīng)檢驗/=300是分式方程的解，且符合題意,

答：改造后每天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)300.

故選：B.???

題目9（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）已知關(guān)于力的分式方程一絡(luò)-2=/一無解,則k的值為

x—36—X

()

A.k=2或左=—1B.k=—2C.%=2或%=1D.k=—1

【答案】4

【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵.先將分式方程去分母,

化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可.

【詳解】解:去分母得，for—2（力-3）=—3,

整理得，依一2）力=一9,

當％=2時，方程無解，

當kW2時，令力=3,

解得k=-1,

所以關(guān)于x的分式方程卜*—2=—無解時，k=2或k=—1.

x—36—X

故選：4

題目10（2024?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如果關(guān)于工的分式方程上一一%=0的解是負數(shù)，那么實數(shù)m的

X6+1

取值范圍是（）

A.?71Vl且znWOB.m<1C.m>1D.nzVl且mW—1

【答案】A

【分析】本題考查了根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)，解分式方程求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程的解是

負數(shù)得到M—1V0,并結(jié)合分式方程的解滿足最簡公分母不為0,求出力的取值范圍即可，熟練掌握解分式

方程的步驟是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以T（X+1）得，/+1—mx=0,

???分式方程的解是負數(shù),

m—K0,

m<1,

又VX(T+1)WO,

工。+1W0,

]

#一1,

m—1

/.m#0,

mV1且mW0,

故選：4

2m

題目H,（2024.四川遂寧.中考真題）分式方程=1-的解為正數(shù)，則館的取值范圍（

x—1x—1

A.m>—3B.?TI>—3且mW—2C.m<3D.?7iV3且mW—2

【答案】B

【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解的情況

解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：方程兩邊同時乘以力一1得，2=re—1—m,

解得T=m+3,

?.?分式方程一J=1一一%的解為正數(shù)，

X—lX—1

/.m+3>0,

m>—3,

又丁力W1,

即+3W1,

mW—2,

m的取值范圍為M>—3且mW—2,

故選：8.

二、填例

題目12（2024.四川宜賓?中考真題）分式方程署-3=0的解為.

【答案】a=2

【分析】本題考查的是分式方程的解法，掌握解法步驟是解本題的關(guān)鍵；先去分母，化為整式方程，再解方程并

檢驗即可.

【詳解】解：三斗一3=0,

X—1

.二力+1-3（力-1）=0,

/.—26——4,

解得：力=2,

經(jīng)檢驗：x—2是原方程的根，

方程的根為①=2,

故答案為：力=2.

題目73（2024?四川廣元?中考真題）若點軟自夕）滿足工+工=」-,則稱點Q為“美好點”，寫出一個“美好

xyxy

點”的坐標.

【答案】（2,—1）（答案不唯一）

【分析】此題考查了解分式方程，先將方程兩邊同時乘以迎后去分母,令。代入一個數(shù)值，得到V的值，以此為

點的坐標即可，正確解分式方程是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：等式兩邊都乘以g/,得x+y=l,???

令a;=2,則y=—l,

“美好點”的坐標為（2,—1）,

故答案為（2,—1）（答案不唯一）

題目14（2024?湖南省?中考真題）分式方程一7=1的解是

0+1---------

【答案】劣二1

【分析】先給方程兩邊同乘最簡公分母力+1,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程2=力+1,求解后并檢驗即可.

【詳解】解：方程的兩邊同乘力+1,得2=力+1,

解得力=1.

檢驗：當力=1時，/+l=2W0.

所以原方程的解為x=l.

故答案為：力=1.

【點睛】此題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟及方法是解題的關(guān)鍵.

/_力+1

題目（2024?湖北武漢?中考真題）分式方程的解是

T—3X—1

【答案】力=—3

【分析】本題主要考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題關(guān)鍵.首先等號兩邊同時乘

以3）（a—1）完成去分母,再按照去括號，移項、合并同類項的步驟求解,檢驗即可獲得答案.

_力+

【詳解】解:11

X—3x—1

等號兩邊同時乘以（/一3）（名—1）,得（/一1）力=（X—3）（x+l）,

去括號，得x2—x=x2—2x—3,

移項、合并同類項，得力=—3,

經(jīng)檢驗，x=—3是該分式方程的解,

所以，該分式方程的解為/=—3.

故答案為：x=-3.

題目16（2024.四川達州.中考真題）若關(guān)于2的方程--獨4=1無解，則上的值為

【答案】-1或2

【分析】本題主要考查了分式方程無解問題，先解分式方程得到工=丁二，再根據(jù)分式方程無解得到％+1=0

或—^―=2,解關(guān)于k的方程即可得到答案.

V+1

【詳解】解：二7—生—=1

x—2x—2

去分母得：3—fcc+l=N—2,

???關(guān)于’的方程七一與膏=1無解,???

當k+l=O或=2時，分式方程無解,

Zc+1

解得：k=-1或卜=2（經(jīng)檢驗是原方程的解），

即k=-1或k=2,*7—生=1無解.

x—2x—2

故答案為：一1或2.

]

題目（2024.北京?中考真題）方程+—=0的解為

2/+3X

【答案】力=—1

【分析】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法和步驟是解題的關(guān)鍵.

先去分母，轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，注意要檢驗是否有增根.

【詳解】解：

2/+Jx

力+26+3=0,

解得：力二—1,

經(jīng)檢驗：x=—1是原方程的解,

所以，原方程的解為x=—1,

故答案為：X=—1.

2

題目（2024.浙江?中考真題）石=1,則/=

x—1

【答案】3

【分析】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.解

分式方程一定注意要驗根.分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到力的值，經(jīng)檢驗即可得

到分式方程的解.

【詳解】解:去分母得：2=x—l,

移項合并得：—X=—3,

解得：力=3,

經(jīng)檢驗，力=3是分式方程的解，

故答案為：3

2

題目19（2024.四川涼山?中考真題）方程=3的解是

力一3X---------------

【答案】力二9

【分析】觀察可得最簡公分母是力（力一3）,方程兩邊乘最簡公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解.

【詳解】解：方程的兩邊同乘以力一3）,得

3/-9=2/,

解得力=9.

檢驗：把劣=9代入x{x—3）=54W0.

?,?原方程的解為：力=9.???

故答案為：力=9.

題目畫（2024.四川成都?中考真題）分式方程」=亳的解是.

【答案】x-3

【詳解】試題分析:分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程c=3Q—2）,求出整式方程的解得到Z=3,經(jīng)檢驗21=3

是分式方程的解，即可得到分式方程的解.

考點：解分式方程

（2力+1vo

題目21（2024?重慶?中考真題）若關(guān)于2的一元一次不等式組尸一、的解集為力44,且關(guān)于?/的分

14力一2V3力+。

式方程，-一=1的解均為負整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是

y+2y+2------

【答案】12

【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù),根據(jù)不等式組的解集求參數(shù)，先解不等式組中的兩個

不等式，再根據(jù)不等式組的解集求出a>2；解分式方程得到夕=生平,再由關(guān)于9的分式方程義二2-

2沙+2

=1的解均為負整數(shù)，推出a<10且a#6且a是偶數(shù)，則2<a<10且aW6且a是偶數(shù)，據(jù)此確定符合

9+2

題意的a的值，最后求和即可.

（2rr+l

【詳解】解：37①

14名—2V3N+Q②

解不等式①得：。&4,

解不等式②得：/Va+2,

??,不等式組的解集為力44,

a+2>4,

a>2;

解分式方程行I—京=1得沙=1，

。.?關(guān)于沙的分式方程—dr=1的解均為負整數(shù)，

y+2y+2

...a、10<0且a；10是整數(shù)且沙+2=+2W0,

二aV10且a。6且a是偶數(shù),

.?.2<a<10且aW6且a是偶數(shù)，

滿足題意的a的值可以為4或8,

二所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是4+8=12.

故答案為：12.

m岔

題目（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）若分式方程=3—的解為正整數(shù),則整數(shù)m的值為

力一11—37???

【答案】-1

【分析】此題考查了分式方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

表示出方程的解，由解是正整數(shù),確定出整數(shù)小的值即可.

【詳解】解：」Y=3—三2，

x—v1—x

去分母得：x=3（a;—1）+mx,

移項合并得：（2+771）/=3,

解得：X二-J-,

2+m

由方程的解是正整數(shù)，得到x為正整數(shù)，即2+館=1或2+M=3,

解得：m=—l或m=1（舍去，會使得分式無意義）.

故答案為：一1.

三、解答題

題目（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）⑴先化簡,再求值：（2+Ip-2（必+1）,其中x=2V2.

（2）解方程:2_2_/

x—4x—4

【答案】⑴①2—1,7;(2>=3

【分析】本題考查了整式的運算，二次根式的運算，解分式方程等知識，解題的關(guān)鍵是:

（1）先利用完全平方公式、去括號法則化簡，然后把①的值代入計算即可；

（2）先去分母,去括號，移項，合并同類項，系數(shù)化1,檢驗，解分式方程即可.

【詳解】解：（1）3+1）2-23+1）

=a32+2x+1—2x—2

—x2—l,

當a=2/5時，原式=（22）2—1=7;

⑵汽-2"

去分母，得⑦—2—2（力—4）=x,

解得力=3,

才巴力=3代入1-4=3—4=一1W0,

?，?力=3是原方程的解.

題目24（2024.四川自貢?中考真題）為傳承我國傳統(tǒng)節(jié)日文化，端午節(jié)前夕，某校組織了包粽子活動.已知七

（3）班甲組同學平均每小時比乙組多包20個粽子，甲組包150個粽子所用的時間與乙組包120個粽子所用的

時間相同.求甲，乙兩組同學平均每小時各包多少個粽子.

【答案】甲組平均每小時包100個粽子，乙組平均每小時包80個粽子.???

【分析】本題主要考查了分式方程的實際應用.設(shè)乙組每小時包①個粽子，則甲組每小時包（c+20）個粽子,

根據(jù)時間等于總工作量除以工作效率，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之并檢驗后即可得出結(jié)果.

【詳解】解:設(shè)乙組平均每小時包8個粽子，則甲組平均每小時包（土+20）個粽子，

由題意得：

150=些，解得：2=80,

力+20X

經(jīng)檢驗：2=80是分式方程的解,且符合題意,

分式方程的解為：t=80,

力+20=100

答：甲組平均每小時包100個粽子，乙組平均每小時包80個粽子.

1_3

題目25（2024.廣東廣州.中考真題）解方程:

26一5x

【答案】2=3

【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關(guān)鍵，注意檢驗.依次去分母、去括號、移項、合

并同類項求解，檢驗后即可得到答案.

1_3

【詳解】解:

2x—5x

去分母得：x=3（2/—5）,

去括號得：a;=6a;—15,

移項得：a;—6a:=—15,

合并同類項得：—5x=—15,

解得:rc=3,

經(jīng)檢驗，2=3是原方程的解,

該分式方程的解為a:=3.

題目26（2024?江蘇揚州?中考真題）為了提高垃圾處理效率，某垃圾處理廠購進A、B兩種機器，A型機器比

B型機器每天多處理40噸垃圾，A型機器處理500噸垃圾所用天數(shù)與口型機器處理300噸垃圾所用天數(shù)相

等.B型機器每天處理多少噸垃圾?

【答案】B型機器每天處理60噸垃圾

【分析】本題考查分式方程的應用，解題的關(guān)鍵是正確找出題中的等量關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型.

設(shè)B型機器每天處理工噸垃圾，則A型機器每天處理Q+40）噸垃圾，根據(jù)題意列出方程即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)B型機器每天處理2噸垃圾，則A型機器每天處理Q+40）噸垃圾，

500300

根據(jù)題意，得=

a;+40X

解得rr=60.

經(jīng)檢驗，c=60是所列方程的解.

答：B型機器每天處理60噸垃圾.

題目27（2024?山東威海?中考真題）某公司為節(jié)能環(huán)保，安裝了一批A型節(jié)能燈，一年用電16000千瓦?時.后

購進一批相同數(shù)量的B型節(jié)能燈,一年用電9600千瓦?時.一盞A型節(jié)能燈每年的用電量比一盞B型節(jié)能燈

每年用電量的2倍少32千瓦?時.求一盞A型節(jié)能燈每年的用電量.

【答案】160千瓦?時

【分析】本題考查分式方程的應用，根據(jù)題意列方程是關(guān)鍵，并注意檢驗.根據(jù)兩種節(jié)能燈數(shù)量相等列式分式

方程求解即可.

【詳解】解:設(shè)一盞8型節(jié)能燈每年的用電量為2千瓦?時，

則一盞人型節(jié)能燈每年的用電量為（2,—32）千瓦?時

16000=9600

2re—32x

整理得5,=3（2?-32）

解得a;=96

經(jīng)檢驗：c=96是原分式方程的解.

2a;-32=160

答:一盞A型節(jié)能燈每年的用電量為160千瓦?時.

題目運（2。24?陜西?中考真題）解方程：—+』=L

【答案】①=—3

【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程的解進

行檢驗即可.

2x

【詳解】解:十n

去分母得：2+x(c+l)—x2—l,

去括號得：Z+l+/u]—1,

移項，合并同類項得：，=—3,

檢驗:把z=-3代入0+1）（。-1）得：（-3+1）（—3—1）=8/0,

.-.x=—3是原方程的解.

題目29（2024.廣西.中考真題）綜合與實踐

在綜合與實踐課上,數(shù)學興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略.

【洗衣過程】

步驟一:將校服放進清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二:將擰干后的校服放進清水中，充分漂洗后擰干.重復操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃度達到洗衣

目標.

假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%,每次擰干后校服上都殘留0.5kg水.

濃度關(guān)系式：雅:篙詈.其中%、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；切為單次漂洗所加清水

量（單位：kg）

【洗衣目標】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%???

【動手操作】請按要求完成下列任務：

（1）如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清水？

（2）如果把4kg清水均分,進行兩次漂洗,是否能達到洗衣目標？

（3）比較⑴和（2）的漂洗結(jié)果,從洗衣用水策略方面，說說你的想法.

【答案】（1）只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

（2）進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；

（3）兩次漂洗的方法值得推廣學習

【分析】本題考查的是分式方程的實際應用，求解代數(shù)式的值，理解題意是關(guān)鍵；

（1）把d后=0.01%,d前=0.2%代入心后=f/d前，再解方程即可；

（2）分別計算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；

（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)果得出結(jié)論即可.

【詳解】（1）解：把d后=0.01%,d前=0.2%代入臺后=1W

0.5+w

解得w=9.5.經(jīng)檢驗符合題意；

???只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

（2）解:第一?次漂洗：

L八、前

把僅=2kg,d前=0.2%代入d后=05+.，

第二次漂洗：

,八、0.5d前

把僅=2kg,d前=0.04%代入4后=05+.，

0.5x0.04%

d后—0.008%,

0.5+2

而0.008%V0.01%,

???進行兩次漂洗，能達到洗衣目標；

（3）解：由（1）（2）的計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過兩次漂洗既能達到洗衣目標，還能大幅度節(jié)約用水,

???從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學習.

題目

兩人分別用A、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務的一半.據(jù)測算需要A、B兩種外墻漆各300千克，購買外墻

漆總費用為150