第三章 功和能

第頁第三章功和能一、水平方向的彈性碰撞在光滑水平地面上有兩個相同的彈性小球A、B，質量都為m，現(xiàn)B球靜止，A球向B球運動，發(fā)生正碰。已知碰撞過程中總機械能守恒，兩球壓縮最緊時的彈性勢能為EP，則碰前A球的速度等于（）A. B. C. D.解析：設碰前A球的速度為v0，兩球壓縮最緊時的速度為v，根據(jù)動量守恒定律得出，由能量守恒定律得，聯(lián)立解得，所以正確選項為C。在原子核物理中，研究核子與核子關聯(lián)的最有效途徑是“雙電荷交換反應”。這類反應的前半部分過程和下述力學模型類似，兩個小球A和B用輕質彈簧相連，在光滑的水平直軌道上處于靜止狀態(tài)，在它們左邊有一垂直于軌道的固定擋板P，右邊有一小球C沿軌道以速度v0射向B球，如圖3.01所示，C與B發(fā)生碰撞并立即結成一個整體D，在它們繼續(xù)向左運動的過程中，當彈簧長度變到最短時，長度突然被鎖定，不再改變，然后，A球與擋板P發(fā)生碰撞，碰后A、D都靜止不動，A與P接觸而不粘連，過一段時間，突然解除鎖定（鎖定及解除鎖定均無機械能損失），已知A、B、C三球的質量均為m。圖3.01（1）求彈簧長度剛被鎖定后A球的速度。（2）求在A球離開擋板P之后的運動過程中，彈簧的最大彈性勢能。解析：（1）設C球與B球粘結成D時，D的速度為v1，由動量守恒得當彈簧壓至最短時，D與A的速度相等，設此速度為v2，由動量守恒得，由以上兩式求得A的速度。（2）設彈簧長度被鎖定后，貯存在彈簧中的勢能為EP，由能量守恒，有撞擊P后，A與D的動能都為零，解除鎖定后，當彈簧剛恢復到自然長度時，勢能全部轉彎成D的動能，設D的速度為v3，則有以后彈簧伸長，A球離開擋板P，并獲得速度，當A、D的速度相等時，彈簧伸至最長，設此時的速度為v4，由動量守恒得當彈簧伸到最長時，其勢能最大，設此勢能為EP'，由能量守恒，有解以上各式得。圖3.02中，輕彈簧的一端固定，另一端與滑塊B相連，B靜止在水平直導軌上，彈簧處在原長狀態(tài)。另一質量與B相同滑塊A，從導軌上的P點以某一初速度向B滑行，當A滑過距離l1時，與B相碰，碰撞時間極短，碰后A、B緊貼在一起運動，但互不粘連。已知最后A恰好返回出發(fā)點P并停止，滑塊A和B與導軌的滑動摩擦因數(shù)都為，運動過程中彈簧最大形變量為l2，重力加速度為g，求A從P出發(fā)的初速度v0。圖3.02解析：令A、B質量皆為m，A剛接觸B時速度為v1（碰前）由功能關系，有A、B碰撞過程中動量守恒，令碰后A、B共同運動的速度為v2有碰后A、B先一起向左運動，接著A、B一起被彈回，在彈簧恢復到原長時，設A、B的共同速度為v3，在這一過程中，彈簧勢能始末狀態(tài)都為零，利用功能關系，有此后A、B開始分離，A單獨向右滑到P點停下，由功能關系有由以上各式，解得用輕彈簧相連的質量均為2kg的A、B兩物塊都以的速度在光滑水平地面上運動，彈簧處于原長，質量為4kg的物體C靜止在前方，如圖3.03所示，B與C碰撞后二者粘在一起運動。求在以后的運動中，（1）當彈簧的彈性勢能最大時物體A的速度多大？（2）彈性勢能的最大值是多大？（3）A的速度有可能向左嗎？為什么？圖3.03解析：（1）當A、B、C三者的速度相等時彈簧的彈性勢能最大，由于A、B、C三者組成的系統(tǒng)動量守恒，有解得：（2）B、C碰撞時B、C組成的系統(tǒng)動量守恒，設碰后瞬間B、C兩者速度為，則設物塊A速度為vA時彈簧的彈性勢能最大為EP，根據(jù)能量守恒（3）由系統(tǒng)動量守恒得設A的速度方向向左，，則則作用后A、B、C動能之和實際上系統(tǒng)的機械能根據(jù)能量守恒定律，是不可能的。故A不可能向左運動。

如圖3.04所示，在光滑水平長直軌道上，A、B兩小球之間有一處于原長的輕質彈簧，彈簧右端與B球連接，左端與A球接觸但不粘連，已知，開始時A、B均靜止。在A球的左邊有一質量為的小球C以初速度向右運動，與A球碰撞后粘連在一起，成為一個復合球D，碰撞時間極短，接著逐漸壓縮彈簧并使B球運動，經過一段時間后，D球與彈簧分離（彈簧始終處于彈性限度內）。圖3.04（1）上述過程中，彈簧的最大彈性勢能是多少？（2）當彈簧恢復原長時B球速度是多大？（3）若開始時在B球右側某位置固定一塊擋板（圖中未畫出），在D球與彈簧分離前使B球與擋板發(fā)生碰撞，并在碰后立即將擋板撤走，設B球與擋板碰撞時間極短，碰后B球速度大小不變，但方向相反，試求出此后彈簧的彈性勢能最大值的范圍。答案：（1）設C與A相碰后速度為v1，三個球共同速度為v2時，彈簧的彈性勢能最大，由動量守恒，能量守恒有：（2）設彈簧恢復原長時，D球速度為，B球速度為則有（3）設B球與擋板相碰前瞬間D、B兩球速度與擋板碰后彈性勢能最大，D、B兩球速度相等，設為當時，最大時，最小，所以

二、水平方向的非彈性碰撞如圖3.05所示，木塊與水平彈簧相連放在光滑的水平面上，子彈沿水平方向射入木塊后留在木塊內（時間極短），然后將彈簧壓縮到最短。關于子彈和木塊組成的系統(tǒng)，下列說法真確的是從子彈開始射入到彈簧壓縮到最短的過程中系統(tǒng)動量守恒子彈射入木塊的過程中，系統(tǒng)動量守恒子彈射入木塊的過程中，系統(tǒng)動量不守恒木塊壓縮彈簧的過程中，系統(tǒng)動量守恒圖3.05答案：B如圖3.06所示，一個長為L、質量為M的長方形木塊，靜止在光滑水平面上，一個質量為m的物塊（可視為質點），以水平初速度從木塊的左端滑向右端，設物塊與木塊間的動摩擦因數(shù)為，當物塊與木塊達到相對靜止時，物塊仍在長木塊上，求系統(tǒng)機械能轉化成內能的量Q。圖3.06解析：可先根據(jù)動量守恒定律求出m和M的共同速度，再根據(jù)動能定理或能量守恒求出轉化為內能的量Q。對物塊，滑動摩擦力做負功，由動能定理得：即對物塊做負功，使物塊動能減少。對木塊，滑動摩擦力對木塊做正功，由動能定理得，即對木塊做正功，使木塊動能增加，系統(tǒng)減少的機械能為：本題中，物塊與木塊相對靜止時，，則上式可簡化為：又以物塊、木塊為系統(tǒng)，系統(tǒng)在水平方向不受外力，動量守恒，則：聯(lián)立式<2>、<3>得：故系統(tǒng)機械能轉化為內能的量為：如圖3.07所示，光滑水平面地面上放著一輛兩端有擋板的靜止的小車，車長L＝1m，一個大小可忽略的鐵塊從車的正中央以速度向右沿車滑行。鐵塊與小車的質量均等于m，它們之間的動摩擦因數(shù)，鐵塊與擋板碰撞過程中機械能不損失，且碰撞時間可以忽略不計，取，求從鐵快由車的正中央出發(fā)到兩者相對靜止需經歷的時間。圖3.07答案：如圖3.08所示，電容器固定在一個絕緣座上，絕緣座放在光滑水平面上，平行板電容器板間的距離為d，右極板上有一小孔，通過孔有一左端固定在電容器左極板上的水平絕緣光滑細桿，電容器極板以及底座、絕緣桿總質量為M，給電容器充電后，有一質量為m的帶正電小環(huán)恰套在桿上以某一初速度v0對準小孔向左運動，并從小孔進入電容器，設帶電環(huán)不影響電容器板間電場分布。帶電環(huán)進入電容器后距左板的最小距離為0.5d，試求：（1）帶電環(huán)與左極板相距最近時的速度v；（2）此過程中電容器移動的距離s。（3）此過程中能量如何變化？圖3.08答案：（1）帶電環(huán)進入電容器后在電場力的作用下做初速度為v0的勻減速直線運動，而電容器則在電場力的作用下做勻加速直線運動，當它們的速度相等時，帶電環(huán)與電容器的左極板相距最近，由系統(tǒng)動量守恒定律可得：動量觀點：力與運動觀點：設電場力為F（2）能量觀點（在第（1）問基礎上）：對m：對M：所以運動學觀點：對M：，對m：，解得：帶電環(huán)與電容器的速度圖像如圖5所示。由三角形面積可得：圖5解得：（3）在此過程，系統(tǒng)中，帶電小環(huán)動能減少，電勢能增加，同時電容器等的動能增加，系統(tǒng)中減少的動能全部轉化為電勢能。三、人船模型如圖3.09所示，長為L、質量為M的小船停在靜水中，質量為m的人從靜止開始從船頭走到船尾，不計水的阻力，求船和人對地面的位移各為多少？圖3.09解析：以人和船組成的系統(tǒng)為研究對象，在人由船頭走到船尾的過程中，系統(tǒng)在水平方向不受外力作用，所以整個系統(tǒng)在水平方向動量守恒。當人起步加速前進時，船同時向后做加速運動；人勻速運動，則船勻速運動；當人停下來時，船也停下來。設某時刻人對地的速度為v，船對地的速度為v'，取人行進的方向為正方向，根據(jù)動量守恒定律有：，即因為人由船頭走到船尾的過程中，每一時刻都滿足動量守恒定律，所以每一時刻人的速度與船的速度之比，都與它們的質量之比成反比。因此人由船頭走到船尾的過程中，人的平均速度v與船的平均速度v也與它們的質量成反比，即，而人的位移，船的位移，所以船的位移與人的位移也與它們的質量成反比，即<1>式是“人船模型”的位移與質量的關系，此式的適用條件：原來處于靜止狀態(tài)的系統(tǒng)，在系統(tǒng)發(fā)生相對運動的過程中，某一個方向的動量守恒。由圖1可以看出：由<1><2>兩式解得如圖3.10所示，質量為M的小車，上面站著一個質量為m的人，車以v0的速度在光滑的水平地面上前進，現(xiàn)在人用相對于小車為u的速度水平向后跳出后，車速增加Δv，則計算Δv的式子正確的是：（）A.B.C.D.圖3.10答案：CD如圖3.11所示，一排人站在沿x軸的水平軌道旁，原點O兩側的人的序號都記為n（n＝1，2，3，…），每人只有一個沙袋，x>0一側的沙袋質量為14千克，x<0一側的沙袋質量為10千克。一質量為M＝48千克的小車以某初速度從原點出發(fā)向正x方向滑行。不計軌道阻力。當車每經過一人身旁時，此人就把沙袋以水平速度u朝與車速相反的方向沿車面扔到車上，u的大小等于扔此袋之前瞬間車速大小的2n倍（n是此人的序號數(shù)）。圖3.11空車出發(fā)后，車上堆積了幾個沙袋時車就反向滑行？車上最終會有幾個沙袋？(1)在小車朝正x方向滑行的過程中,第(n-1)個沙袋扔到車上后的車速為vn-1,第n個沙袋扔到車上后的車速為vn,由動量守恒定律有小車反向運動的條件是vn-1>0,vn<0,即M-nm>0②M-(n+1)m<0③代入數(shù)字,得n應為整數(shù),故n=3,即車上堆積3個沙袋后車就反向滑行.(2)車自反向滑行直到接近x<0一側第1人所在位置時,車速保持不變,而車的質量為M+3m.若在朝負x方向滑行過程中,第(n-1)個沙袋扔到車上后車速為vn-1′,第n個沙袋扔到車上后車速為vn′,現(xiàn)取在圖中向左的方向(負x方向)為速度vn′、vn-1′的正方向,則由動量守恒定律有車不再向左滑行的條件是vn-1′>0,vn′≤0即M+3m-nm′>0⑤M+3m-(n+1)m′≤0⑥n=8時,車停止滑行,即在x<0一側第8個沙袋扔到車上后車就停住.故車上最終共有大小沙袋3+8=11個.四、爆炸反沖模型如圖3.12所示海岸炮將炮彈水平射出，炮身質量（不含炮彈）為M，每顆炮彈質量為m，當炮身固定時，炮彈水平射程為s，那么當炮身不固定時，發(fā)射同樣的炮彈，水平射程將是多少？圖3.12解析：兩次發(fā)射轉化為動能的化學能E是相同的。第一次化學能全部轉化為炮彈的動能；第二次化學能轉化為炮彈和炮身的動能，而炮彈和炮身水平動量守恒，由動能和動量的關系式知，在動量大小相同的情況下，物體的動能和質量成反比，炮彈的動能，由于平拋的射高相等，兩次射程的比等于拋出時初速度之比，即：，所以。思考：有一輛炮車總質量為M，靜止在水平光滑地面上，當把質量為m的炮彈沿著與水平面成θ角發(fā)射出去，炮彈對地速度為，求炮車后退的速度。提示：系統(tǒng)在水平面上不受外力，