《計(jì)算機(jī)組成原理》 課件 第2章 計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)的表示與運(yùn)算

第2章計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)的表示與運(yùn)算2.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制及其轉(zhuǎn)換計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)據(jù)的加工處理時(shí)，內(nèi)部數(shù)字電路存儲(chǔ)和運(yùn)算使用的數(shù)據(jù)是采用二進(jìn)制計(jì)數(shù)制，簡(jiǎn)稱二進(jìn)制（Binary）?，F(xiàn)實(shí)生活中，人們使用的是十進(jìn)制。為了實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)運(yùn)算，現(xiàn)實(shí)生活中的十進(jìn)制數(shù)必須轉(zhuǎn)換成計(jì)算機(jī)認(rèn)識(shí)的二進(jìn)制數(shù)。計(jì)算機(jī)工程師在實(shí)際產(chǎn)品研發(fā)過(guò)程中為了書(shū)寫(xiě)方便，在計(jì)算機(jī)中就引入了八進(jìn)制和十六進(jìn)制。在本小節(jié)我們要學(xué)習(xí)如何將十進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制；同時(shí)也將學(xué)習(xí)把八進(jìn)制或十六進(jìn)制、二進(jìn)制數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成我們現(xiàn)實(shí)生活中的十進(jìn)制。。2.1.1進(jìn)位計(jì)數(shù)制無(wú)論哪種進(jìn)位計(jì)數(shù)制都有兩個(gè)共同點(diǎn)，即按基數(shù)來(lái)進(jìn)位、借位；用位權(quán)值來(lái)計(jì)數(shù)。1．基數(shù)不同的計(jì)數(shù)制是以基數(shù)(Radix)來(lái)區(qū)分的，若以R代表基數(shù)，則：

R=10為十進(jìn)制，可使用0，1，2，3,4,5,6，7,8，9共10個(gè)數(shù)字；

R=2

為二進(jìn)制，可使用0，1共2個(gè)數(shù)字；

R=8為八進(jìn)制，可使用0，1，2，3，4,5，6，7共8個(gè)數(shù)字；

R=16為十六進(jìn)制，可使用0，1，2，3,4,5,6，7,8，9，A，B，C，D，E，F(xiàn)共16個(gè)數(shù)字。所謂按基數(shù)進(jìn)位、借位，就是在執(zhí)行加法或減法時(shí)，要遵守“逢R進(jìn)一，借一當(dāng)R”的規(guī)則。2．位權(quán)值在任何一種數(shù)制中，數(shù)的每個(gè)位置上各有一個(gè)“位權(quán)值”(PositionWeightValue)。例如：十進(jìn)制數(shù)752.65，這個(gè)數(shù)以小數(shù)點(diǎn)為界，整數(shù)部分是小數(shù)點(diǎn)前從右往左共有3個(gè)位置，分別為個(gè)、十、百或100，101，102。此處的100，101，102即稱為這3個(gè)位置的位權(quán)值。類(lèi)似地，小數(shù)部分是小數(shù)點(diǎn)后從左往右的兩個(gè)位置的位權(quán)值分別為10-1，10-2。如果是R進(jìn)制，將10的位置用R代替。例如采用二進(jìn)制，則整數(shù)部分相應(yīng)的位權(quán)值為：20，21，22……。小數(shù)部分的位權(quán)值為：2-1，2-2……。所謂“用位權(quán)值計(jì)數(shù)”的原則，即每個(gè)位置上的數(shù)符所表示的數(shù)值等于該數(shù)符乘以該位置上的位權(quán)值。3．R進(jìn)制數(shù)按位權(quán)值展開(kāi)對(duì)于任意一個(gè)R進(jìn)制數(shù)S=KnKn-1…K1K0.K-1K-2…K-m，它都可以按照位權(quán)值展開(kāi)成和式來(lái)表示成十進(jìn)制數(shù)。即S=Kn×Rn＋Kn-1×Rn-1＋…＋K1×R1＋K0×R0＋K-1×R-1＋K-2×R-2＋…＋K-m×R-m例如：十進(jìn)制數(shù)752.65=7×102＋5×101＋2×100＋6×10-1＋5×10-2

=7×100＋5×10＋2×1＋6×0.1＋5×0.01。二進(jìn)制數(shù)101.11=1×22＋0×21＋1×20＋1×2-1＋1×2-2

2.1.2不同數(shù)制間的轉(zhuǎn)換1．二、八、十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制對(duì)任意一個(gè)二進(jìn)制、八進(jìn)制或十六進(jìn)制數(shù)，均可按照前述R進(jìn)制數(shù)的展開(kāi)和式方便地計(jì)算出相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。(1101.01)2=1×23＋1×22＋0×21＋1×20＋0×2-1＋1×2-2=8＋4＋1＋0.25=13.25(237.4)8=2×82＋3×81＋7×80＋4×8-1=128＋24＋7＋0.5=159.5(A05.C)16=l0×162＋0×161＋5×160＋12×16-1=2560＋5＋0.75=2565.752．十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二、八、十六進(jìn)制十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為R進(jìn)制數(shù)分整數(shù)轉(zhuǎn)換與小數(shù)轉(zhuǎn)換兩種情況：（1）十進(jìn)制整數(shù)轉(zhuǎn)換為R進(jìn)制整數(shù)。轉(zhuǎn)換規(guī)則為：除以R取余數(shù)，直到商為0時(shí)結(jié)束。所得余數(shù)序列，先余為低位，后余為高位。（2）十進(jìn)制小數(shù)轉(zhuǎn)換為R進(jìn)制小數(shù)。轉(zhuǎn)換規(guī)則為：乘以R取整數(shù)，直到余下的小數(shù)部分為0時(shí)結(jié)束，如果余下的小數(shù)部分始終不能為0，則根據(jù)精度需要取相應(yīng)的位數(shù)。所得整數(shù)序列，先整為高位，后整為低位。例題2.1求(11.375)10=()2解：把十進(jìn)制數(shù)寫(xiě)成整數(shù)部分和小數(shù)部分之和的形式：11.375=11+0.375先進(jìn)行整數(shù)部分進(jìn)行轉(zhuǎn)換：（十進(jìn)制數(shù)11除以2取余數(shù)，直到商為0）商余數(shù)

11/2=515/2=212/2=101/2=01按照規(guī)則先余為低位，后余為高位。則(11)10=(1011)2然后進(jìn)行小數(shù)部分轉(zhuǎn)換：（十進(jìn)制數(shù)0.375乘以2取整，直到余數(shù)為0）整數(shù)部分取整后余下的小數(shù)部分

0.375×2=0.75=0+0.750.75×2=1.5=1+0.50.5×2=1+0（結(jié)束）按照規(guī)則先整為高位，后整為低位。則(0.375)10=(0.011)2把整數(shù)和小數(shù)部分合起來(lái)，得到答案：(11.375)10=(1011.011)23.八、十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制八進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的規(guī)則：按照表2.1將每位八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為3位二進(jìn)制數(shù)。表2.1二進(jìn)制與八進(jìn)制轉(zhuǎn)換表十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的規(guī)則：按照表2.2將每位十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為4位二進(jìn)制數(shù)。

表2.2二進(jìn)制與十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換表1位八進(jìn)制數(shù)012345673位二進(jìn)制數(shù)0000010100111001011101111位十六進(jìn)制數(shù)012345674位二進(jìn)制數(shù)000000010010001101000101011001111位十六進(jìn)制數(shù)89ABCDEF4位二進(jìn)制數(shù)10001001101010111100110111101111例題2.3

求(30.14)8=()2解：將題中八進(jìn)制中的每一位數(shù)按照表2.1展開(kāi)，即每位八進(jìn)制數(shù)展開(kāi)成3位二進(jìn)制數(shù)，小數(shù)點(diǎn)位置保持不變。這樣(30.14)8=(011000.001100)2

轉(zhuǎn)換后，再將整數(shù)前面的0和小數(shù)后面的0去掉，這樣做不影響結(jié)果，數(shù)值表述更規(guī)范。得到答案：(30.14)8=(11000.0011)2例題2.4

求(70C.A)16=()2解：將題中十六進(jìn)制中的每一位數(shù)按照表2.2展開(kāi)，即每位十六進(jìn)制數(shù)展開(kāi)成4位二進(jìn)制數(shù)，小數(shù)點(diǎn)位置保持不變。這樣(70C.A)16=(011100001100.1010)2轉(zhuǎn)換后，再將整數(shù)前面的0和小數(shù)后面的0去掉，這樣做不影響結(jié)果，數(shù)值表述更規(guī)范。得到答案：(70C.A)16=(11100001100.101)24.二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為八、十六進(jìn)制二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成八進(jìn)制的規(guī)則：以小數(shù)點(diǎn)為中心，整數(shù)部分向左、小數(shù)部分向右每3位一組，首尾不足3位添加0補(bǔ)足。按照表2.1將每組3位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為1位八進(jìn)制數(shù)。

二進(jìn)制轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制的規(guī)則：以小數(shù)點(diǎn)為中心，整數(shù)部分向左、小數(shù)部分向右每4位一組，首尾不足4位添加0補(bǔ)足。按照表2.2將每組4位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為1位十六進(jìn)制數(shù)。例題2.5求(1111100110.10111)2=()8解：先將題中二進(jìn)制中的數(shù)以小數(shù)點(diǎn)為中心，分別向左、向右每3位一組，首尾不足3位添加0補(bǔ)足。(1111100110.10111)2=(001111100110.101110)2然后按照表2.1將每組3位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為1位八進(jìn)制數(shù)。得到答案：(1111100110.10111)2=(001111100110.101110)2=(1746.56)8例題2.6求(1111100110.10111)2=()16解：先將題中二進(jìn)制中的數(shù)以小數(shù)點(diǎn)為中心，分別向左、向右每4位一組，首尾不足4位添加0補(bǔ)足。(1111100110.10111)2=(001111100110.10111000)2然后按照表2.2將每組4位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為1位十六進(jìn)制數(shù)。得到答案：(1111100110.10111)2=(001111100110.10111000)2=(3E6.B8)16結(jié)論：從上面例題可以看出，用八進(jìn)制和十六進(jìn)制表達(dá)一個(gè)同樣大小的二進(jìn)制數(shù)，位數(shù)少了許多。這樣，用八進(jìn)制或十六進(jìn)制書(shū)寫(xiě)二進(jìn)制數(shù)簡(jiǎn)單方便，不容易出錯(cuò)。同時(shí)，八進(jìn)制或十六進(jìn)制和二進(jìn)制之間的互相轉(zhuǎn)換非常容易。這就是為什么計(jì)算機(jī)選用八進(jìn)制、十六進(jìn)制書(shū)寫(xiě)二進(jìn)制數(shù)的原因。2.2數(shù)值型數(shù)據(jù)的表示方法計(jì)算機(jī)中處理的數(shù)據(jù)包括兩大類(lèi)型：數(shù)值型數(shù)據(jù)和非數(shù)值型數(shù)據(jù)。本節(jié)介紹數(shù)值型數(shù)據(jù)。數(shù)值型數(shù)據(jù)分為兩種情況：一種是無(wú)符號(hào)數(shù)；另一種是有符號(hào)數(shù)。2.2.1無(wú)符號(hào)數(shù)生活中的數(shù)據(jù)，有些數(shù)據(jù)它始終是整數(shù)，而且不會(huì)是負(fù)數(shù)。這樣的數(shù)據(jù)很多，例如：班級(jí)的學(xué)號(hào)，房間的門(mén)牌號(hào)等。在計(jì)算機(jī)中這樣的數(shù)就稱為無(wú)符號(hào)數(shù)。

所謂無(wú)符號(hào)數(shù)就是給定的二進(jìn)制數(shù)中的每一位都是數(shù)值位，不需要考慮符號(hào)位。為了說(shuō)明簡(jiǎn)單方便，本書(shū)中約定都用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）來(lái)舉例說(shuō)明。16位、32位、64位可照此推理。8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）能表示的最大無(wú)符號(hào)數(shù)據(jù)為：轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)就是：28－1=255。8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）能表示的最小無(wú)符號(hào)數(shù)為：轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)就是：08位二進(jìn)制數(shù)（N=8）表示的無(wú)符號(hào)數(shù)的范圍：0～255。N位二進(jìn)制數(shù)表示的無(wú)符號(hào)數(shù)的范圍：0～2N－1例如：十進(jìn)制數(shù)12寫(xiě)成計(jì)算機(jī)中的無(wú)符號(hào)數(shù)，用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）表示，其步驟如下：首先把十進(jìn)制數(shù)12轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)：(12)10=(1100)2，然后用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）來(lái)表示成無(wú)符號(hào)數(shù)如下：1111111100000000000011002.2.2有符號(hào)數(shù)

1.真值與機(jī)器數(shù)實(shí)際生活中的數(shù)據(jù)除開(kāi)無(wú)符號(hào)數(shù)以外，更多的是有符號(hào)數(shù)。比如：秋天溫度+12度，冬天溫度－5度。這些數(shù)據(jù)需要用符號(hào)來(lái)描述，其中的數(shù)據(jù)：+12，－5，我們稱為“真值”，由于生活中采用十進(jìn)制，所以這兩個(gè)數(shù)據(jù)稱為十進(jìn)制真值。所謂“真值”

，就是生活中的真實(shí)數(shù)據(jù)。由于計(jì)算機(jī)采用二進(jìn)制處理數(shù)據(jù)，所以上面兩個(gè)十進(jìn)制真值數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值分別為:(+12)10=(+1100)2(－5)10=(－101)2在計(jì)算機(jī)中我們對(duì)于“有符號(hào)數(shù)”

的約定為：正號(hào)（+）使用數(shù)字“0”來(lái)表示，負(fù)號(hào)（-）使用數(shù)字“1”來(lái)表示，同時(shí)規(guī)定符號(hào)位于二進(jìn)制數(shù)據(jù)的最高位。按照這種約定的數(shù)據(jù)能被計(jì)算機(jī)很好的處理，所以稱為“機(jī)器數(shù)”。2.原碼、反碼、補(bǔ)碼有符號(hào)數(shù)（機(jī)器數(shù)）在計(jì)算機(jī)中有三種表示形式：原碼、反碼、補(bǔ)碼。（1）原碼原碼規(guī)則：用最高位表示數(shù)值的符號(hào)，其后各位用該數(shù)值的絕對(duì)值來(lái)表示。例題2.7求(+19)10的原碼解：首先把十進(jìn)制真值(+19)10

轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值：(+19)10=(+10011)2用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）來(lái)表示它的原碼如下（最高位為符號(hào)位）：例題2.8求(－15)10的原碼解：首先把十進(jìn)制真值(－15)10

轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值：(－15)10=(－1111)2用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）來(lái)表示它的原碼如下（最高位為符號(hào)位）00010011100011118位二進(jìn)制數(shù)（N=8）能表示的最大原碼數(shù)值為：轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)就是：+(27－1)=+127。8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）能表示的最小原碼數(shù)值為：轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)就是：－(27－1)=－127由此，我們可以得到，用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）表示的原碼數(shù)值范圍：－127～+127。如果寫(xiě)出N位二進(jìn)制數(shù)表示的原碼數(shù)值范圍：－(2N-1－1)～+(2N-1－1)

0111111111111111（2）反碼反碼規(guī)則：正數(shù)的反碼和原碼相同。

負(fù)數(shù)的反碼為其原碼除開(kāi)符號(hào)位以外的各位按位取反。例題2.9求(+19)10的反碼解：首先把十進(jìn)制真值(+19)10

轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值：(+19)10=(+10011)2用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）來(lái)表示它的原碼如下（最高位為符號(hào)位）：根據(jù)反碼規(guī)則，正數(shù)的反碼和原碼是相同的。所以(+19)10

的反碼如下：例題2.10求(－15)10的反碼解：首先把十進(jìn)制真值(－15)10

轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值：(－15)10=(－1111)2用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）來(lái)表示它的原碼如下（最高位為符號(hào)位）0001001110001111根據(jù)反碼規(guī)則：負(fù)數(shù)的反碼為其原碼除開(kāi)符號(hào)位以外的各位按位取反。故得出(－15)10的反碼如下：

注意：

8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）反碼的數(shù)值范圍原碼數(shù)值范圍是相同的：－127～+127。

如果寫(xiě)出N位二進(jìn)制數(shù)表示的反碼數(shù)值范圍為：－(2N-1－1)～+(2N-1－1)。（3）補(bǔ)碼補(bǔ)碼規(guī)則：正數(shù)的補(bǔ)碼和原碼相同。負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼為其負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼為其反碼在最低位加1。例題2.11求(+19)10的補(bǔ)碼解：首先把十進(jìn)制真值(+19)10

轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值：(+19)10=(+10011)2用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）來(lái)表示它的原碼如下（最高位為符號(hào)位）：

1111000000010011根據(jù)補(bǔ)碼規(guī)則：正數(shù)的補(bǔ)碼和原碼相同。所以(+19)10

的補(bǔ)碼如下：例題2.12求(－15)10的補(bǔ)碼解：首先把十進(jìn)制真值(－15)10

轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值：(－15)10=(－1111)2用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）來(lái)表示它的原碼如下（最高位為符號(hào)位）根據(jù)反碼規(guī)則，負(fù)數(shù)的反碼為其原碼除開(kāi)符號(hào)位以外的各位按位取反。故得出(－15)10的反碼如下：再根據(jù)補(bǔ)碼規(guī)則:負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼為其反碼在最低位加1。最后得出(－15)10的補(bǔ)碼如下：111100018位二進(jìn)制數(shù)（N=8）能表示的最大補(bǔ)碼數(shù)值為（和原碼相同）：轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)就是：+(27－1)=+127。8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）能表示的最小補(bǔ)碼數(shù)值為：這個(gè)數(shù)值是一個(gè)特例，其中最高位即看成符號(hào)位（是一個(gè)負(fù)數(shù)），同時(shí)又看成數(shù)值位（權(quán)值為27）。轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)就是：－27

=－128由此，我們可以得到，用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）表示的補(bǔ)碼數(shù)值范圍：－128～+127。如果寫(xiě)出N位二進(jìn)制數(shù)表示的補(bǔ)碼數(shù)值范圍：－2N-1

～+(2N-1－1)

100000003.補(bǔ)碼與原碼之間的轉(zhuǎn)換今天絕大多數(shù)計(jì)算機(jī)采用補(bǔ)碼設(shè)計(jì)算術(shù)運(yùn)算器電路，故稱為補(bǔ)碼計(jì)算機(jī)。在計(jì)算機(jī)研究中，常常會(huì)遇到已知補(bǔ)碼求原碼的情況。主要是因?yàn)樨?fù)數(shù)的補(bǔ)碼不能直接看出它的二進(jìn)制值，必須轉(zhuǎn)換成原碼才能知道它的二進(jìn)制值。已知補(bǔ)碼求原碼的規(guī)則：（1）正數(shù)的補(bǔ)碼，其原碼等于補(bǔ)碼本身。（2）負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼，其原碼為除開(kāi)符號(hào)位以外將補(bǔ)碼的數(shù)值位按位求反后在末位加1。例題2.13已知某數(shù)（N=8）的補(bǔ)碼為：(01110110)2

求其原碼和它對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。解：這是一個(gè)8位二進(jìn)制數(shù)，最高位為符號(hào)位，符號(hào)位為0，表示該數(shù)是一個(gè)正數(shù)，根據(jù)規(guī)則，正數(shù)的補(bǔ)碼，其原碼等于補(bǔ)碼本身，故得出其原碼為：這個(gè)二進(jìn)制數(shù)其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為：+11801110110例題2.14已知某數(shù)（N=8）的補(bǔ)碼為：(10010101)2

求其原碼和它對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。解：這是一個(gè)8位二進(jìn)制數(shù)，最高位符號(hào)位為1，表示該數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)。根據(jù)規(guī)則，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼，其原碼為除開(kāi)符號(hào)位以外將補(bǔ)碼的數(shù)值位按位求反后在末位加1。故得出其原碼為：這個(gè)二進(jìn)制數(shù)其對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)為：－107。例題2.15在采用8位二進(jìn)制（N=8）和16位二進(jìn)制數(shù)（N=16）時(shí)，請(qǐng)分別求(－21)10

的原碼、反碼、補(bǔ)碼。同時(shí)寫(xiě)出相應(yīng)的十六進(jìn)制原碼、反碼、補(bǔ)碼。。解：（1）計(jì)算機(jī)采用8位二進(jìn)制（N=8）時(shí)。首先把十進(jìn)制真值(－21)10

轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值：(－21)10=(－10101)2。求原碼：用8位二進(jìn)制數(shù)（N=8）來(lái)表示它的原碼如下（最高位為符號(hào)位）：采用十六進(jìn)制表示為：95H1110101110010101求反碼：由于該數(shù)值為負(fù)數(shù)，根據(jù)反碼規(guī)則，負(fù)數(shù)的反碼為其原碼除開(kāi)符號(hào)位以外的各位按位取反。故得出(－21)10的反碼如下：采用十六進(jìn)制表示為：EAH求補(bǔ)碼：由于該數(shù)值為負(fù)數(shù)，根據(jù)補(bǔ)碼規(guī)則，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼為其反碼加1。故得出(－21)10的補(bǔ)碼如下：采用十六進(jìn)制表示為：EBH（2）計(jì)算機(jī)采用16位二進(jìn)制（N=16）時(shí)。求原碼：用16位二進(jìn)制數(shù)（N=16）來(lái)表示(－21)10的原碼如下（最高位為符號(hào)位）：

采用十六進(jìn)制表示為：8015H11101010111010111000000000010101求反碼：用16位二進(jìn)制數(shù)（N=16）來(lái)表示(－21)10的反碼如下（最高位為符號(hào)位）：

采用十六進(jìn)制表示為：FFEAH求補(bǔ)碼：用16位二進(jìn)制數(shù)（N=16）來(lái)表示(－21)10的補(bǔ)碼如下（最高位為符號(hào)位）：采用十六進(jìn)制表示為：FFEAH例題2.16已知兩個(gè)十六進(jìn)制數(shù)5CH、A7H，如果用8位二進(jìn)制（N=8）表示，請(qǐng)問(wèn)它們分別看成無(wú)符號(hào)數(shù)時(shí)、有符號(hào)數(shù)原碼、補(bǔ)碼時(shí)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)是多少？解：（1）第一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)5CH首先把十六進(jìn)制數(shù)5CH轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制：5CH=(01011100)2當(dāng)5CH表示為無(wú)符號(hào)數(shù)：由于是無(wú)符號(hào)數(shù)，所以每一位二進(jìn)制都是數(shù)值位，故直接把8位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)即可：5CH=(01011100)2=(92)1011111111111010101111111111101011當(dāng)5CH表示為有符號(hào)數(shù)原碼：最高位符號(hào)位為0，所以這是個(gè)正數(shù)，故直接把余下7位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)即可：5CH=(01011100)2=(+92)10當(dāng)5CH表示為有符號(hào)數(shù)補(bǔ)碼：最高位符號(hào)位為0，所以這是個(gè)正數(shù)，故直接把余下7位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)即可：5CH=(01011100)2=(+92)10（2）第二個(gè)十六進(jìn)制數(shù)A7H首先把十六進(jìn)制數(shù)A7H轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制：A7H=(10100111)2當(dāng)A7H表示為無(wú)符號(hào)數(shù)：由于是無(wú)符號(hào)數(shù)，所以每一位二進(jìn)制都是數(shù)值位，故直接把8位二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)即可：A7H=(10100111)2=(167)10當(dāng)A7H表示為有符號(hào)數(shù)原碼：最高位符號(hào)位為1，所以這是個(gè)負(fù)數(shù)，余下的7位二進(jìn)制數(shù)值位代表的十進(jìn)制數(shù)值為：39。A7H=(10100111)2=(－39)10當(dāng)A7H表示為有符號(hào)數(shù)補(bǔ)碼：最高位符號(hào)位為1，所以這是個(gè)負(fù)數(shù)，根據(jù)已知負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼求原碼的規(guī)則：把A7H轉(zhuǎn)換為原碼后為：(11011001)2=(－89)102.3非數(shù)值型數(shù)據(jù)的表示方法2.3.1美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼在初學(xué)ASCII碼時(shí)需要注意兩點(diǎn)：（1）標(biāo)準(zhǔn)ASCII碼使用7位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示西文字符，但是由于計(jì)算機(jī)中都以字節(jié)為單位存儲(chǔ)數(shù)據(jù)，所以，輸入到計(jì)算機(jī)中的標(biāo)準(zhǔn)ASCII編碼實(shí)際上是8位二進(jìn)制數(shù)（1個(gè)字節(jié)），最高位補(bǔ)一個(gè)0。（2）在介紹某個(gè)字符的ASCII碼時(shí)，我們有時(shí)使用十進(jìn)制，有時(shí)使用二進(jìn)制，有時(shí)候又使用十六進(jìn)制。

比如，字母“A”的ASCII碼可以寫(xiě)成：65(十進(jìn)制表示)，41H（十六進(jìn)制表示），01000001（二進(jìn)制表示）三種表示形式，但真正輸入到計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)和處理的是二進(jìn)制編碼。十進(jìn)制描述是因?yàn)槠綍r(shí)生活中我們習(xí)慣于十進(jìn)制；十六進(jìn)制描述是為了書(shū)寫(xiě)方便。一個(gè)字符的ASCII碼有三種表示形式只是運(yùn)用的場(chǎng)合不同，其本質(zhì)都是一樣的。2.3.2漢字編碼計(jì)算機(jī)中漢字的表示也是采用二進(jìn)制編碼，同樣也是人為編碼。

1.外碼（輸入碼）外碼也叫輸入碼，是用來(lái)將漢字輸入到計(jì)算機(jī)中的一組鍵盤(pán)符號(hào)，不同的漢字輸入法就有不同的漢字輸入碼。常用的輸入碼有：拼音碼、五筆字型碼、自然碼、表形碼、區(qū)位碼和電報(bào)碼等。2.交換碼（國(guó)標(biāo)碼）每一個(gè)漢字都有了確定的二進(jìn)制代碼，中國(guó)標(biāo)準(zhǔn)總局1981年制定了中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB2312-80《信息交換用漢字編碼字符集--基本集》，即國(guó)標(biāo)碼。國(guó)標(biāo)碼規(guī)定：每個(gè)字符的二進(jìn)制編碼占有2個(gè)字節(jié)，每個(gè)字節(jié)的最高位為0，每個(gè)字符對(duì)應(yīng)一個(gè)編碼。它共包括6763個(gè)常用漢字（其中一級(jí)漢字3755個(gè)，二級(jí)漢字3008個(gè)），英、俄、日文字母及其符號(hào)共687個(gè)。3.機(jī)內(nèi)碼“大”這個(gè)漢字的國(guó)標(biāo)碼是(0011010001110011)2，但是真正輸入到計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)的漢字代碼不是國(guó)標(biāo)碼，而是機(jī)內(nèi)碼。機(jī)內(nèi)碼和國(guó)標(biāo)碼的關(guān)系：機(jī)內(nèi)碼=國(guó)標(biāo)碼+(1000000010000000)2；

如果使用十六進(jìn)制表示則為：機(jī)內(nèi)碼=國(guó)標(biāo)碼+8080H2.4數(shù)的定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示方法在計(jì)算機(jī)中，小數(shù)點(diǎn)不用專(zhuān)門(mén)的器件來(lái)表示，而是按照約定的方式來(lái)標(biāo)出。共有兩種約定方法表示小數(shù)點(diǎn)的存在，即定點(diǎn)表示和浮點(diǎn)表示。定點(diǎn)表示的數(shù)稱為定點(diǎn)數(shù)，浮點(diǎn)表示的數(shù)稱為浮點(diǎn)數(shù)。2.4.1數(shù)的定點(diǎn)表示我們約定好小數(shù)點(diǎn)在某一個(gè)位置不動(dòng)，以后所有的數(shù)小數(shù)點(diǎn)都按照這個(gè)位置來(lái)計(jì)算。從理論上而言，小數(shù)點(diǎn)可以約定在任何位置，只要計(jì)算機(jī)中所有的數(shù)都按照這個(gè)約定，一樣都可以計(jì)算。這種采用小數(shù)點(diǎn)固定的“定點(diǎn)數(shù)”計(jì)算機(jī)被稱為定點(diǎn)計(jì)算機(jī)。下面我們介紹兩種特別格式的定點(diǎn)數(shù)：定點(diǎn)整數(shù)和定點(diǎn)小數(shù)。

1.定點(diǎn)整數(shù)定點(diǎn)整數(shù)的格式如下：Sf:表示數(shù)的符號(hào)位。S1S2S3S4……Sn：表示數(shù)值部分。小數(shù)點(diǎn)約定在Sn后，這樣這個(gè)數(shù)就實(shí)際上就只有整數(shù)部分，也就是純整數(shù)，我們稱之為定點(diǎn)整數(shù)。2.定點(diǎn)小數(shù)定點(diǎn)小數(shù)的格式如下：Sf:表示數(shù)的符號(hào)位。S1S2S3S4……Sn：表示數(shù)值部分。小數(shù)點(diǎn)約定在Sf后，這個(gè)數(shù)就實(shí)際上就只有小數(shù)部分，整數(shù)部分的零，我們采用默認(rèn)，不再占1位二進(jìn)制數(shù)，這樣這個(gè)數(shù)就是一個(gè)純小數(shù)，我們稱之為定點(diǎn)小數(shù)。SfS1S2S3S4…………Sn2.4.2數(shù)的浮點(diǎn)表示所謂“浮點(diǎn)數(shù)”是指小數(shù)點(diǎn)的位置可以浮動(dòng)的數(shù)。例如一個(gè)十進(jìn)制數(shù)：35.26=3.526×101=0.3526×102=0.03526×103結(jié)論：任何一個(gè)十進(jìn)制數(shù)N都可以表示成一個(gè)純小數(shù)和10的某次冪的乘積。同樣，一個(gè)二進(jìn)制數(shù)：

11.0101=1.10101×21=0.110101×210=0.0110101×211結(jié)論：任何一個(gè)二進(jìn)制數(shù)N都可以表示成一個(gè)純小數(shù)和2的某次冪的乘積。通常，計(jì)算機(jī)中的浮點(diǎn)數(shù)用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表示:N=S×Rj。式中，S稱為尾數(shù)（可以為正可以負(fù)），R稱為的基數(shù)，j稱為階碼（可以為正可以為負(fù)）。計(jì)算機(jī)采用二進(jìn)制，所以基數(shù)R=2是不變的，如果知道了尾數(shù)S和階碼j，就可以確定這個(gè)數(shù)的值。結(jié)論：任何一個(gè)二進(jìn)制數(shù)都可以用尾數(shù)和階碼的形式來(lái)表示，稱為二進(jìn)制數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)表示形式。1.浮點(diǎn)數(shù)的表示形式計(jì)算機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)的格式：計(jì)算機(jī)中規(guī)定：浮點(diǎn)數(shù)由階碼j和尾數(shù)S兩部份組成。階碼部分放在前面采用定點(diǎn)整數(shù)，共m+1位；尾數(shù)部分放在后面采用定點(diǎn)小數(shù)，共n+1位。jfj1j2j3j4…………jmSfS1S2S3S4…………Sn其中：jf表示階碼部分的符號(hào)位；j1、j2……jm表示階碼部分的數(shù)值位。

Sf表示尾數(shù)部分的符號(hào)位；S1、S2……Sn表示尾數(shù)部分的數(shù)值位。2.浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化二進(jìn)制數(shù)11.0101如果進(jìn)行小數(shù)點(diǎn)浮動(dòng)的話是可以表示成很多種浮點(diǎn)數(shù)形式：11.0101=0.110101×210

這時(shí)階碼是：10，尾數(shù)是：0.11010111.0101=0.0110101×211

這時(shí)階碼是：11，尾數(shù)是：0.011010111.0101=0.00110101×2100

這時(shí)階碼是：100，尾數(shù)是：0.00110101我們需要對(duì)浮點(diǎn)數(shù)進(jìn)行規(guī)格化處理。大多數(shù)教材中，計(jì)算機(jī)規(guī)格化標(biāo)準(zhǔn)是這么規(guī)定的：尾數(shù)S的范圍：1/2≤|S|＜1。（1）當(dāng)尾數(shù)S用原碼表示時(shí)，如果把最高位設(shè)定為符號(hào)位，其原碼規(guī)格化形式為：S>0時(shí)，[S]原=0.1××……×S<0時(shí)，[S]原=1.1××……×（2）當(dāng)尾數(shù)S用補(bǔ)碼表示時(shí)，其補(bǔ)碼規(guī)格化形式為：S>0時(shí)，[S]補(bǔ)=0.1××……×S<0時(shí)，[S]補(bǔ)=1.0××……×可見(jiàn)在補(bǔ)碼情況下，符號(hào)位和最高數(shù)值位不同即為規(guī)格化形式。但如果S<0有兩種情況需要特殊處理：① S=－1/2，則[S]補(bǔ)=1.100……0，此時(shí)對(duì)于真值而言，它滿足1/2≤|S|＜1，但對(duì)于補(bǔ)碼而言它不滿足S<0時(shí)，[S]補(bǔ)=1.0××……×，即補(bǔ)碼規(guī)格化形式是符號(hào)位和最高數(shù)值位不同。為了便于硬件判斷電路設(shè)計(jì)，特規(guī)定S=－1/2在補(bǔ)碼情況下不屬于規(guī)格化數(shù)。② S=－1，則[S]補(bǔ)=1.000……0，因?yàn)樾?shù)補(bǔ)碼允許表示－1，故－1視為規(guī)格化數(shù)。例題2.17將二進(jìn)制數(shù)11.0101轉(zhuǎn)換成規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)。解：11.0101=0.110101×210

，這時(shí)階碼是：10，尾數(shù)是：0.110101。由于尾數(shù)的整數(shù)部分是0，是純小數(shù)，而且小數(shù)點(diǎn)后的第一位數(shù)是1，所以是規(guī)格化數(shù)。這樣，二進(jìn)制數(shù)11.0101轉(zhuǎn)換成規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)為：0.110101×210說(shuō)明：二進(jìn)制數(shù)11.0101在轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)數(shù)的過(guò)程中，尾數(shù)是不斷右移，每移動(dòng)一次，階碼加1，這種規(guī)格化稱為向右規(guī)格化，簡(jiǎn)稱為右規(guī)。例題2.18將二進(jìn)制數(shù)0.001101轉(zhuǎn)換成規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)。解：0.001101=0.1101×2－10，這時(shí)階碼是：－10，尾數(shù)是：0.1101。由于尾數(shù)的整數(shù)部分是0，是純小數(shù)，小數(shù)點(diǎn)后的第一位數(shù)是1，所以是規(guī)格化數(shù)。這樣，二進(jìn)制數(shù)0.001101轉(zhuǎn)換成規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)為：0.1101×2－10說(shuō)明：二進(jìn)制數(shù)0.001101在轉(zhuǎn)換成浮點(diǎn)數(shù)的過(guò)程中，尾數(shù)是不斷左移，每移動(dòng)一次，階碼減1，這種規(guī)格化稱為向左規(guī)格化，簡(jiǎn)稱為左規(guī)。3.浮點(diǎn)數(shù)的上溢和下溢計(jì)算機(jī)中，由于我們采用了有限的二進(jìn)制位數(shù)來(lái)表示浮點(diǎn)數(shù)，所以浮點(diǎn)數(shù)的表示是有一定的范圍的。以16位二進(jìn)制數(shù)為例，分析一下在階碼和尾數(shù)都為原碼時(shí)，這種格式的浮點(diǎn)數(shù)表示范圍有多大？假定N=16，其中階碼8位（含1位階符），尾數(shù)8位（含1位尾符）。（1）最大正數(shù)這種格式浮點(diǎn)數(shù)它的最大正數(shù)情況應(yīng)該為：階碼為最大正數(shù)，尾數(shù)為最大正數(shù)。這個(gè)浮點(diǎn)數(shù)表示成二進(jìn)制數(shù)應(yīng)該是：(0.1111111)×2+1111111。表示成十進(jìn)制數(shù)就是：+(1－2-7)×2127＝＋127×2120。0111111101111111（2）最小正數(shù)這種格式浮點(diǎn)數(shù)它的最小正數(shù)情況應(yīng)該為：階碼為最小負(fù)數(shù)，尾數(shù)為最小正數(shù)。這個(gè)浮點(diǎn)數(shù)表示成二進(jìn)制數(shù)應(yīng)該是：(0.0000001)×2-1111111。表示成十進(jìn)制數(shù)就是：+2-7×2-127＝＋2-134。（3）最小負(fù)數(shù)。這種格式浮點(diǎn)數(shù)它的最小負(fù)數(shù)情況應(yīng)該為：階碼最大正數(shù)，尾數(shù)為最小負(fù)數(shù)。這個(gè)浮點(diǎn)數(shù)表示成二進(jìn)制數(shù)應(yīng)該是：－(0.1111111)×2+1111111。表示成十進(jìn)制數(shù)就是：－(1－2-7)×2127＝－127×2120。11111111000000010111111111111111（4）最大負(fù)數(shù)這種格式浮點(diǎn)數(shù)它的最大負(fù)數(shù)情況應(yīng)該為：階碼為最小負(fù)數(shù)，尾數(shù)為最大負(fù)數(shù)。。這個(gè)浮點(diǎn)數(shù)表示成二進(jìn)制數(shù)應(yīng)該是：－(0.0000001)×2-1111111。表示成十進(jìn)制數(shù)就是：－2-7×2-127＝－2-134。浮點(diǎn)數(shù)采用16位二進(jìn)制數(shù)，其中階碼8位（含1位階符），尾數(shù)8位（含1位尾符），階碼和尾數(shù)都采用原碼的情況下。它的負(fù)數(shù)范圍：－(0.1111111)×2+1111111~－(0.0000001)×2-1111111它的正數(shù)范圍：(0.0000001)×2-1111111~(0.1111111)×2+1111111當(dāng)計(jì)算機(jī)運(yùn)算的浮點(diǎn)數(shù)超出了這個(gè)范圍，我們稱之為浮點(diǎn)數(shù)溢出。計(jì)算機(jī)運(yùn)算的浮點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)大于最大正數(shù)，或者小于最小負(fù)數(shù)的情況，我們稱之為上溢。計(jì)算機(jī)運(yùn)算的浮點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)小于最小正數(shù)，或者大于最大負(fù)數(shù)的情況，我們稱之為下溢。11111111100000012.4.3浮點(diǎn)數(shù)與定點(diǎn)數(shù)的比較如果同時(shí)采用16位二進(jìn)制數(shù)為例，比較一下，同為16位數(shù)（假定為原碼），作為定點(diǎn)整數(shù)和作為浮點(diǎn)數(shù)（8位階碼原碼、8位尾數(shù)原碼）哪種情況表示數(shù)的范圍更大？（1）16位定點(diǎn)整數(shù)：最大正數(shù)+(215－1)=+32767；最小負(fù)數(shù)－(215－1)=－32767。

因此，16位二進(jìn)制數(shù)（原碼），作為定點(diǎn)數(shù)表示的范圍是：－32767～+32767。（2）16位浮點(diǎn)數(shù)（8位階碼、8位尾數(shù)）：16位浮點(diǎn)數(shù)（8位階碼、8位尾數(shù)），假定階碼和尾數(shù)都采用原碼，上一節(jié)我們已經(jīng)討論了，它表示的范圍是：－127×2120～＋127×2120浮點(diǎn)數(shù)與定點(diǎn)數(shù)的比較:第一，當(dāng)我們采用相同位數(shù)時(shí)，浮點(diǎn)數(shù)表示的范圍比定點(diǎn)數(shù)大得多。第二，浮點(diǎn)數(shù)的相對(duì)精度比定點(diǎn)數(shù)高。例題2.19設(shè)二進(jìn)制數(shù)字長(zhǎng)16位，請(qǐng)將十進(jìn)制數(shù)－72表示成二進(jìn)制定點(diǎn)整數(shù)（原碼）和規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)（分別寫(xiě)成原碼形式和補(bǔ)碼形式）。其中如果作為浮點(diǎn)數(shù)，則階碼8位（含1位階符），尾數(shù)8位（含1位尾符）。解：令X=－72；其轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值：X=－1001000（1）定點(diǎn)整數(shù)其16位定點(diǎn)整數(shù)格式（原碼）：最高位為階符：1，表示為負(fù)數(shù)。后面為15位數(shù)值位。（2）規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)其16位浮點(diǎn)數(shù)格式：首先把X=－1001000轉(zhuǎn)換成規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)：X=－1001000=－(0.1001)×2111

①16位浮點(diǎn)數(shù)的原碼格式為（階碼和尾數(shù)都采用原碼）：10000000010010000000011111001000

②16位浮點(diǎn)數(shù)的補(bǔ)碼格式為（階碼和尾數(shù)都采用補(bǔ)碼）：在前面原碼格式的基礎(chǔ)上，分別把階碼和尾數(shù)求補(bǔ)碼得：00000111101110002.5定點(diǎn)運(yùn)算2.5.1移位運(yùn)算1.為什么會(huì)有移位運(yùn)算（1）對(duì)于二進(jìn)制數(shù)，在不丟失有效數(shù)字位的前提下，每左移一位，相當(dāng)于乘以2。（2）對(duì)于二進(jìn)制數(shù)，在不丟失有效數(shù)字位的前提下，每右移一位，相當(dāng)于除以2。（3）從設(shè)計(jì)運(yùn)算電路而言，移位運(yùn)算電路是很容易設(shè)計(jì)的，電路簡(jiǎn)單，運(yùn)算速度快。而乘法和除法電路設(shè)計(jì)復(fù)雜，運(yùn)算速度也慢得多。2.移位運(yùn)算的規(guī)則移位運(yùn)算分為：算術(shù)移位運(yùn)算和邏輯移位運(yùn)算。（1）算術(shù)移位算術(shù)移位是指把一個(gè)數(shù)看成有符號(hào)數(shù)的移位，也就是最高位看成是符號(hào)位。有符號(hào)數(shù)分為原碼和補(bǔ)碼的算術(shù)移位。①正數(shù)的算術(shù)移位：在正數(shù)情況下，原碼和補(bǔ)碼的表達(dá)式是相同的，所以，移位方式也是一樣的。正數(shù)的算術(shù)移位規(guī)則：

左移時(shí)最高位符號(hào)位不變，其余每位依次左移，其中次高位移去，最低位添零。右移時(shí)最高位符號(hào)位不變，其余每位依次右移，其中次高位添零，最低位移去。②負(fù)數(shù)的算術(shù)移位：在負(fù)數(shù)情況下，原碼和補(bǔ)碼的表達(dá)式是不相同的，所以，移位方式不一樣。原碼負(fù)數(shù)的算術(shù)移位規(guī)則：

左移時(shí)最高位符號(hào)位不變，其余每位依次左移，其中次高位移去，最低位添零。右移時(shí)最高位符號(hào)位不變，其余每位依次右移，其中次高位添零，最低位移去。補(bǔ)碼負(fù)數(shù)的算術(shù)移位規(guī)則：

左移時(shí)最高位符號(hào)位不變，其余每位依次左移，其中次高位移去，最低位添零。右移時(shí)最高位符號(hào)位不變，其余每位依次右移，其中次高位添符號(hào)位（“1”），最低位移去。例題2.20請(qǐng)將8位二進(jìn)制數(shù)補(bǔ)碼X=11001010分別進(jìn)行算術(shù)左移1位和算術(shù)右移1位。解：移位前X=11001010（1）算術(shù)左移1位：將X=11001010左移1位后（2）算術(shù)右移1位：將X=11001010右移1位后注意：算術(shù)右移時(shí)，由于最高位符號(hào)位是1，所以次高位添1，110010101001010011100101（2）邏輯移位邏輯移位是把整個(gè)二進(jìn)制數(shù)看成無(wú)符號(hào)數(shù)。邏輯移位規(guī)則：左移時(shí)，每位依次左移，最高位移去，低位添0；右移時(shí)，每位依次右移，最高位符號(hào)位添0，最低位移去。例題2.21請(qǐng)將8位二進(jìn)制數(shù)X=11001010分別進(jìn)行邏輯左移1位和邏輯右移１位。解：移位前X=11001010（1）邏輯左移1位：將X=11001010左移1位后（2）邏輯右移1位：將X=11001010右移1位后1100101010010100011001012.5.2加法與減法運(yùn)算1.補(bǔ)碼的加減法運(yùn)算N位二進(jìn)制數(shù)（包括一位符號(hào)位）補(bǔ)碼加、減法運(yùn)算的基本公式：（1）[A+B]補(bǔ)=[A]補(bǔ)+[B]補(bǔ)

（模為2N

）（2）[A－B]補(bǔ)=[A]補(bǔ)+[－B]補(bǔ)（模為2N

）例題2.22設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)為N=8（最高位為符號(hào)位），若A=(+14)10，B=(+25)10，采用二進(jìn)制補(bǔ)碼的方式求[A－B]補(bǔ),并將結(jié)果還原成十進(jìn)制真值。解：先把A和B的十進(jìn)制真值轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值。A=(+14)10=(+1110)2，B=(+25)10=(+11001)2。然后寫(xiě)出N=8時(shí)，[A]補(bǔ)=0,0001110；[B]補(bǔ)=0,0011001；[－B]補(bǔ)=1,1100111。[A－B]補(bǔ)=[A]補(bǔ)+[－B]補(bǔ)=0,0001110+1,1100111=1,1110101。2.溢出判斷“溢出”就是運(yùn)算結(jié)果超出了計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)約定的表示范圍。比如在C語(yǔ)言中規(guī)定：int（整型）數(shù)據(jù)所占位數(shù)為N=16位二進(jìn)制，N=16位二進(jìn)制數(shù)的范圍：-216-1

～+(216-1-1)，寫(xiě)成十進(jìn)制數(shù)即：－32768～+32767。如果在C語(yǔ)言中整型數(shù)據(jù)運(yùn)算中結(jié)果超出這個(gè)范圍，我們就稱之為“溢出”。對(duì)于加法：只有在正數(shù)加正數(shù)和負(fù)數(shù)加負(fù)數(shù)兩種情況下才可能出現(xiàn)溢出，符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)相加是不會(huì)溢出的。對(duì)于減法：只有在正數(shù)減負(fù)數(shù)和負(fù)數(shù)減正數(shù)的情況下才可能溢出，符號(hào)相同的兩個(gè)數(shù)相減是不會(huì)溢出的。（1）用一位符號(hào)位判斷溢出用符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位與最高數(shù)值位產(chǎn)生的進(jìn)位做“異或⊕”操作后，按照其結(jié)果進(jìn)行判斷。若異或結(jié)果為1，即為溢出；異或結(jié)果為0，則無(wú)溢出。例題2.24設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)為N=8（最高位為符號(hào)位），若A=(+21)10，B=(+26)10，采用二進(jìn)制補(bǔ)碼的方式求[A+B]補(bǔ),用一位符號(hào)位的方法判斷是否溢出。解：先把A和B的十進(jìn)制真值轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值。A=(+21)10=(+10101)2，B=(+26)10=(+11010)2。然后寫(xiě)出N=8時(shí)，[A]補(bǔ)=0,0010101；[B]補(bǔ)=0,0011010。[A+B]補(bǔ)=[A]補(bǔ)+[B]補(bǔ)=0,0010101+0,0011010=0,0101111。在計(jì)算過(guò)程中，當(dāng)兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，最高位符號(hào)位相加時(shí)沒(méi)有產(chǎn)生進(jìn)位，次高位（數(shù)值位的最高位）相加時(shí)也沒(méi)產(chǎn)生進(jìn)位。兩個(gè)進(jìn)位位均為0，0⊕0=0，所以沒(méi)有溢出。也就是說(shuō)，(+21)10+(+26)10=(+47)10沒(méi)有超過(guò)機(jī)器字長(zhǎng)N=8時(shí)補(bǔ)碼數(shù)值范圍：－128～+127。（1）用一位符號(hào)位判斷溢出用符號(hào)位產(chǎn)生的進(jìn)位與最高數(shù)值位產(chǎn)生的進(jìn)位做“異或⊕”操作后，按照其結(jié)果進(jìn)行判斷。若異或結(jié)果為1，即為溢出；異或結(jié)果為0，則無(wú)溢出。例題2.25設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)為N=8（最高位為符號(hào)位），若A=(+100)10，B=(+30)10，采用二進(jìn)制補(bǔ)碼的方式求[A+B]補(bǔ),用一位符號(hào)位的方法判斷是否溢出。解：先把A和B的十進(jìn)制真值轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值。A=(+100)10=(+1100100)2，B=(+30)10=(+11110)2。然后寫(xiě)出N=8時(shí)，[A]補(bǔ)

=0,1100100；[B]補(bǔ)

=0,0011110。[A+B]補(bǔ)

=[A]補(bǔ)+[B]補(bǔ)

=0,1100100+0,0011110=1,0000010。在計(jì)算過(guò)程中，兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，最高位符號(hào)位相加沒(méi)有產(chǎn)生進(jìn)位，進(jìn)位位為0；次高位（數(shù)值位的最高位）相加時(shí)產(chǎn)生了進(jìn)位，進(jìn)位位為1。0⊕1=1，所以有溢出。也就是說(shuō)，(+100)10+(+30)10=(+130)10，超過(guò)機(jī)器字長(zhǎng)N=8時(shí)補(bǔ)碼數(shù)值范圍：－128～+127。（2）用二位符號(hào)位判斷溢出采用兩位符號(hào)位的補(bǔ)碼，就是把補(bǔ)碼的符號(hào)位重復(fù)地多用一位來(lái)表示，也稱雙符號(hào)位補(bǔ)碼（變形補(bǔ)碼）。變形補(bǔ)碼判斷溢出的規(guī)則：當(dāng)雙符號(hào)位像1位符號(hào)位一樣進(jìn)行計(jì)算后，如果出現(xiàn)2位符號(hào)位不同時(shí)，表示有溢出；如果2位相同，表示無(wú)溢出。用邏輯表達(dá)式來(lái)說(shuō)明，就是用兩位符號(hào)位做異或，結(jié)果為0，無(wú)溢出；結(jié)果為1則有溢出。例題2.26設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)為N=8，若A=(+21)10，B=(+26)10采用二進(jìn)制補(bǔ)碼的方式求[A+B]補(bǔ),用兩位符號(hào)位的方法判斷是否溢出。解：先把A和B的十進(jìn)制真值轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值。A=(+21)10=(+10101)2，B=(+26)10=(+11010)2。然后寫(xiě)出N=8時(shí)的變形補(bǔ)碼，[A]變形補(bǔ)碼=00,0010101；[B]變形補(bǔ)碼=00,0011010。[A+B]變形補(bǔ)碼=[A]變形補(bǔ)碼+[B]變形補(bǔ)碼=00,0010101+00,0011010=00,0101111。兩個(gè)數(shù)相加后，2位符號(hào)位相同，所以沒(méi)有溢出。例題2.27設(shè)機(jī)器字長(zhǎng)為N=8，若A=(+100)10，B=(+30)10，用二進(jìn)制補(bǔ)碼的方式求[A+B]補(bǔ),用兩位符號(hào)位的方法判斷是否溢出。解：先把A和B的十進(jìn)制真值轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制真值。A=(+100)10=(+1100100)2，B=(+30)10=(+11110)2。然后寫(xiě)出N=8時(shí)，[A]變形補(bǔ)碼=00,1100100；[B]變形補(bǔ)碼=00,0011110。[A+B]變形補(bǔ)碼=[A]變形補(bǔ)碼+[B]變形補(bǔ)碼=00,1100100+00,0011110=01,0000010。兩個(gè)數(shù)相加后，2位符號(hào)位不相同，所以有溢出。由此可見(jiàn)，兩種判斷溢出的方法其結(jié)果是相同的。2.5.3乘法運(yùn)算1.乘法運(yùn)算分析被乘數(shù)A和乘數(shù)B相乘：設(shè)A=0.1101，B=0.1011，求A×B。通過(guò)筆算，我們知道筆算的結(jié)果：A×B=0.10001111。通過(guò)數(shù)學(xué)的方法，我們也可以這樣描述A×B的過(guò)程：A×B=A×0.1011=0.1A+0.00A+0.001A+0.0001A=0.1A+0.00A+0.001(A+0.1A)=0.1A+0.01[0A+0.1(A+0.1A)]=0.1{A+0.1[0A+0.1(A+0.1A)]}=2-1{A+2-1[0A+2-1(A+2-1A)]}=2-1{A+2-1[0A+2-1(A+2-1(A+0))]}我們從表達(dá)式A×B=2-1{A+2-1[0A+2-1(A+2-1(A+0))]}最里層做起，其中2-1就是右移一位。這個(gè)過(guò)程就是計(jì)算機(jī)里乘法器對(duì)被乘數(shù)A和乘數(shù)B做乘法的一個(gè)實(shí)際過(guò)程：從部分積的初始值為0開(kāi)始：第一步：被乘數(shù)A加0A+0=0.1101+0.0000=0.1101第二步：右移一位，得到新的部分積2-1(A+0)=0.01101第三步：被乘數(shù)A加部分積A+2-1(A+0)=0.1101+0.01101=1.00111第四步：右移一位，得到新的部分積2-1[A+2-1(A+0)]=0.100111第五步：0×被乘數(shù)A后加部分積0A+2-1[A+2-1(A+0)]=0.100111第六步：右移一位，得到新的部分積2-1{0A+2-1[A+2-1(A+0)]}=0.0100111第七步：被乘數(shù)A加部分積A+2-1{0A+2-1[A+2-1(A+0)]}=0.1101+0.0100111=1.0001111第八步：右移一位，得到新的部分積2-1{A+2-1[0A+2-1(A+2-1(A+0))]}=0.10001111我們看到通過(guò)一次次的相加、右移，得出和筆算一樣的結(jié)果：0.10001111我們結(jié)合表2.5把上述運(yùn)算過(guò)程歸納如下：在描述過(guò)程中把表中第一列稱為“部分積”，第二列稱為“乘數(shù)”。表2.5乘法的運(yùn)算過(guò)程

部分積乘數(shù)說(shuō)明0.0000+0.11011011初始條件，首先部分積為0。由于乘數(shù)B的最低位為1（加下劃線的數(shù)字），則加被乘數(shù)A。0.11010.0110+0.1101

1101

部分積和乘數(shù)B一起→1位（邏輯右移一位），形成新的部分積。再看移位后的乘數(shù)的最低位為1（加下劃線的數(shù)字），則加被乘數(shù)。1.00110.1001+0.000011110

部分積和乘數(shù)一起→1位（邏輯右移一位），形成新的部分積。再看移位后的乘數(shù)的最低位為0（加下劃線的數(shù)字），則加0。0.10010.0100+0.1101111111部分積和乘數(shù)一起→1位（邏輯右移一位），形成新的部分積。再看移位后的乘數(shù)的最低位為1（加下劃線的數(shù)字），則加被乘數(shù)。1.00010.10001111111部分積和乘數(shù)一起→1位（邏輯右移一位），形成最后結(jié)果。此時(shí)，乘數(shù)完全被移去，乘數(shù)部分是整個(gè)積的低位。2.原碼乘法運(yùn)算由于原碼表示和真值極為相似，只是原碼最高位為符號(hào)位。兩個(gè)原碼相乘，只需要把兩個(gè)原碼的最高位符號(hào)位相異或就可以得到乘積的符號(hào)。因此，上述討論的結(jié)果可以直接用于原碼一位乘法。（1）原碼一位乘法運(yùn)算規(guī)則以小數(shù)為例：設(shè)被乘數(shù)[x]原=x0.x1x2……xn

乘數(shù)[y]原=y0.y1y2……ynx0和y0分別代表被乘數(shù)和乘數(shù)的符號(hào)位。則[x]原×[y]原=x0y0.（0.x1x2……xn）（0.y1y2……yn）式中，由于把符號(hào)位單獨(dú)拿出來(lái)處理，所以0.x1x2……xn為x的絕對(duì)值，記作x*；0.y1y2……yn為y的絕對(duì)值，記作y*。原碼一位乘法運(yùn)算規(guī)則① 乘積的符號(hào)位由兩原碼符號(hào)位異或運(yùn)算結(jié)果決定。② 乘積的數(shù)值部分由兩數(shù)絕對(duì)值相乘，絕對(duì)值相乘和真值相乘是完全一樣的。例題2.28已知x=－

0.1110，y=－

0.1101，求[x×y]原。解：因?yàn)閤=－0.1110，所以[x]原

=1.1110，x的絕對(duì)值為：x*=0.1110，x0=1；

因?yàn)閥=－0.1101，所以[y]原

=1.1101，y的絕對(duì)值為：y*=0.1101，y0=1；乘積的符號(hào)位為x0y0=11=0。[x]原×[y]原=x0y0.（0.x1x2……xn）（0.y1y2……yn）=x0y0.(x*×y*)

例題2.28的運(yùn)算過(guò)程見(jiàn)表2.6表2.6例2.28的運(yùn)算過(guò)程故[x×y]原

=0.10110110

部分積乘數(shù)說(shuō)明0.0000+0.11101101初始條件，首先部分積z0=0。乘數(shù)最低位為1（加下劃線的數(shù)字），則加被乘數(shù)x*。0.11100.0111+0.0000

0110

部分積和乘數(shù)一起→1位（邏輯右移一位），形成新的部分積z1。再看移位后的乘數(shù)的最低位為0（加下劃線的數(shù)字），則加0。0.01110.0011+0.111001011

部分積和乘數(shù)一起→1位（邏輯右移一位），形成新的部分積z2。再看移位后的乘數(shù)的最低位為1（加下劃線的數(shù)字），則加被乘數(shù)x*。1.00010.1000+0.1110101101

部分積和乘數(shù)一起→1位（邏輯右移一位），形成新的部分積z3。再看移位后的乘數(shù)的最低位為1（加下劃線的數(shù)字），則加被乘數(shù)。1.01100.10111100110

部分積和乘數(shù)一起→1位（邏輯右移一位），形成最后結(jié)果z4。此時(shí)，乘數(shù)完全被移去，乘數(shù)部分是整個(gè)積的低位。（2）原碼一位乘法運(yùn)算所需要的硬件配置下圖是實(shí)現(xiàn)原碼一位乘法運(yùn)算的基本硬件配置框圖。圖中A、X、Q均為n+1位的寄存器，其中X存放被乘數(shù)的原碼，Q存放乘數(shù)的原碼。移位和加控制電路受末位乘數(shù)Qn的控制（當(dāng)Qn=1時(shí)，A和X相加后，A、Q右移一位；當(dāng)Qn=0時(shí)，只作A、Q右移一位的操作）。計(jì)數(shù)器C控制逐位相乘的次數(shù)。S存放乘積的符號(hào)。GM為乘法標(biāo)志。（3）原碼一位乘法運(yùn)算的控制流程下圖是實(shí)現(xiàn)原碼一位乘法運(yùn)算的控制流程。3.補(bǔ)碼乘法運(yùn)算補(bǔ)碼乘法的優(yōu)點(diǎn):其乘積的符號(hào)在運(yùn)算過(guò)程中自然形成。我們先介紹補(bǔ)碼一位乘法。補(bǔ)碼一位乘法有兩種方法：校正法和比較法。（1）校正法以小數(shù)為例：設(shè)被乘數(shù)[x]補(bǔ)=x0.x1x2……xn;乘數(shù)[y]補(bǔ)=y0.y1y2……ynx0和y0分別代表被乘數(shù)和乘數(shù)的符號(hào)位。校正法的補(bǔ)碼運(yùn)算規(guī)則分為兩種情況：乘數(shù)為正和乘數(shù)為負(fù)的情況。①被乘數(shù)x符號(hào)任意，乘數(shù)y符號(hào)為正。乘數(shù)y符號(hào)位正，即y0=0,通過(guò)數(shù)學(xué)證明（證明過(guò)程略），我們得知，在乘數(shù)符號(hào)位為正數(shù)，補(bǔ)碼乘法運(yùn)算規(guī)則和表2.5描述二進(jìn)制無(wú)符號(hào)數(shù)的乘法規(guī)則是一樣的。注意：在具體做的過(guò)程中，相加和右移移位要采用補(bǔ)碼加法和補(bǔ)碼移位規(guī)則，同時(shí)部分積和被乘數(shù)要采用雙符號(hào)位，保證運(yùn)算時(shí)不丟失有效數(shù)值位。例題2.29已知[x]補(bǔ)=1.0101，[y]補(bǔ)=0.1101，用校正法求[x×y]補(bǔ)。解：由題意可知y>0，所以按照原碼乘法的方法運(yùn)算，但是在相加和移位時(shí)要采取補(bǔ)碼加法和補(bǔ)碼算術(shù)右移移位規(guī)則進(jìn)行，同時(shí)部分積和被乘數(shù)要采用雙符號(hào)位，保證運(yùn)算時(shí)不丟失有效數(shù)值位。例題2.29的運(yùn)算過(guò)程見(jiàn)下表：

部分積乘數(shù)說(shuō)明00.0000+11.01011101初始條件，首先部分積[z0]補(bǔ)=0。乘數(shù)的最低位y4為1（加下劃線的數(shù)字），則加被乘數(shù)[x]補(bǔ)。11.010111.101011.1101+11.0101

11100111

部分積和乘數(shù)一起→1位，形成新的部分積[z1]補(bǔ)。y3=0,部分積和乘數(shù)一起→1位,得[z2]補(bǔ)。y2=1,加被乘數(shù)[x]補(bǔ)11.001011.1001+11.0101010011

部分積和乘數(shù)一起→1位，形成新的部分積[z3]補(bǔ)。再看y1=0，則加被乘數(shù)[x]補(bǔ)。10.111011.01110010001

部分積和乘數(shù)一起→1位，得到最后結(jié)果[x×y]補(bǔ)。此時(shí)，乘數(shù)完全被移去，乘數(shù)部分是整個(gè)乘積的低位。上表中“部分積”在運(yùn)算時(shí)采用雙符號(hào)，但最后結(jié)果只需要一位符號(hào)位，故[x×y]補(bǔ)

=1.01110001。補(bǔ)碼乘法其乘積的符號(hào)在運(yùn)算過(guò)程中自然形成，這是使用補(bǔ)碼的優(yōu)點(diǎn)，也是和原碼乘法最大的區(qū)別。②被乘數(shù)x符號(hào)任意，乘數(shù)y符號(hào)為負(fù)。乘數(shù)[y]補(bǔ)=y0.y1y2……yn

為負(fù)，即y0=1，[y]補(bǔ)=1.y1y2……yn。通過(guò)數(shù)學(xué)證明（證明過(guò)程略）得知，可以先把y0看成為0，當(dāng)成正數(shù)與[x]補(bǔ)相乘，乘完后加上[－x]補(bǔ)進(jìn)行校正。例題2.30已知[x]補(bǔ)=0.1101，[y]補(bǔ)=1.0101，用校正法求[x×y]補(bǔ)。解：由題意可知y<0，故先不考慮符號(hào)位，把乘數(shù)[y]補(bǔ)=1.0101不管符號(hào)位，只取0101放入下表中的乘數(shù)欄，再按照y>0描述的方法運(yùn)算，只是在算完后再加上校正項(xiàng)[－x]補(bǔ)即可。

例題2.30的運(yùn)算過(guò)程見(jiàn)下表：

故[x×y]補(bǔ)=1.01110001。注意，在補(bǔ)碼校正法中，如果y<0，我們需要求出[－x]補(bǔ)，以便最后校正時(shí)使用。根據(jù)[x]補(bǔ)求[－x]補(bǔ)的方法：先根據(jù)求[x]補(bǔ)求出[x]原，然后把[x]原的符號(hào)取反得到[－x]原，再由[－x]原求得[－x]補(bǔ)的值。

部分積乘數(shù)說(shuō)明00.0000+00.11010101初始條件，首先部分積[z0]補(bǔ)=0。乘數(shù)的最低位y4為1（加下劃線的數(shù)字），則加被乘數(shù)[x]補(bǔ)。00.110100.011000.0011+00.1101

10100101

部分積和乘數(shù)一起→1位，形成新的部分積[z1]補(bǔ)。y3=0,部分積和乘數(shù)一起→1位,得[z2]補(bǔ)。y2=1,加被乘數(shù)[x]補(bǔ)01.000000.100000.0100+11.00110100100001

部分積和乘數(shù)一起→1位，形成新的部分積[z3]補(bǔ)。再看y1=0，則部分積和乘數(shù)一起→1位，得[z4]補(bǔ)。最后+[-x]補(bǔ)進(jìn)行校正。11.01110001得到最后結(jié)果[x×y]補(bǔ)。3.補(bǔ)碼乘法運(yùn)算（2）比較法比較法是由英國(guó)Booth夫婦提出的，所以又叫Booth法。在比較法中乘數(shù)的符號(hào)位也參與運(yùn)算，不需要像校正法那樣必須根據(jù)乘數(shù)的符號(hào)不同考慮是否加上[－x]補(bǔ)進(jìn)行校正。比較法（Booth法）的運(yùn)算規(guī)則如下（參考表2.9）：增加一個(gè)附加位yn+1=0，同時(shí)乘數(shù)的符號(hào)位也參與運(yùn)算。如果yi+1－yi=0，則加0；如果yi+1－yi=1；則加[x]補(bǔ)；如果yi+1－yi=－1；則加[－x]補(bǔ)。部分積和乘數(shù)、附加位一起右移一位（→1位）。最后一步不要右移。表2.9比較法相鄰兩位不同情況采取的不同運(yùn)算例題2.31已知[x]補(bǔ)=0.1101，[y]補(bǔ)=0.1011，用比較法求[x×y]補(bǔ)。解：（1）和校正法不同，須確定一個(gè)附加位yn+1=0，所以在下面的表2.10中需增加一列附加位。同時(shí)乘數(shù)連同符號(hào)位都參與運(yùn)算。（2）已知[x]補(bǔ)=0.1101，得出[x]原=0.1101，從而得到[－x]原=1.1101，由此得出:[－x]補(bǔ)=1.0011。yiyi+1yi+1－yi說(shuō)明000部分積加0，然后部分積和乘數(shù)、附加位一起右移一位（→1位）011部分積加[x]補(bǔ)，然后部分積和乘數(shù)、附加位一起右移一位（→1位）10－1部分積加[-x]補(bǔ)。然后部分積和乘數(shù)、附加位一起右移一位（→1位）110部分積加0，然后部分積和乘數(shù)、附加位一起右移一位（→1位）（3）根據(jù)附加位和乘數(shù)相鄰兩位的值，對(duì)照

表2.9決定部分積是加0，還是加[x]補(bǔ)，或者加[－x]補(bǔ)。（4）加完后，部分積和乘數(shù)、附加位一起右移一位（→1位）。記住，最后一步不右移。表2.10例題2.31的運(yùn)算過(guò)程故[x×y]補(bǔ)=0.10001111部分積乘數(shù)yn附加位yn+1說(shuō)明00.0000+11.0011010110

初始條件，首先部分積[z0]補(bǔ)=0。上一行中ynyn+1=10，則部分積加[-x]補(bǔ)。11.001111.100111.1100+00.1101

1010111010

11

部分積和乘數(shù)、附加位一起→1位，得[z1]補(bǔ)。上一行中ynyn+1