基本不等式 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

2.2基本不等式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解基本不等式的內(nèi)容及證明．2.能應(yīng)用基本不等式解決比較大小、證明不等式等問題．基本不等式若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫作：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，這個(gè)不等式就叫做基本不等式.適用范圍：a>0,b>0..學(xué)..科..網(wǎng).新課引入求最值時(shí)注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).(2)x+y=S

xy≤S2(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí),取“=”號(hào)).142.利用基本不等式求最值aboABPQ一、對(duì)基本不等式的幾何意義作進(jìn)一步探究:AB是圓O的直徑，Q是AB上任一點(diǎn)，AQ=a,BQ=b,過點(diǎn)Q作垂直于AB的弦PQ，連AP,BP,則PQ=_____,半徑AO=_____幾何意義：圓的半徑不小于圓內(nèi)半弦長。注意:(1)兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。(2)兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)。已知都是正數(shù)，求證：

.

例1:

證明：例2:已知都是正數(shù)，

求證：.

證明：能否證明不等式：思考：調(diào)和平均數(shù)平方平均數(shù)證明:平方平均數(shù)≥算術(shù)平均數(shù)≥幾何平均數(shù)≥調(diào)和平均數(shù)二、利用基本不等式求最值解：利用基本不等式求積的最大值或求和的最小值時(shí)，需滿足(1)a，b必須是正數(shù).（一正）(2)在a+b為定值時(shí)，便可以知道ab的最大值；

在ab為定值時(shí)，便可以知道a+b的最小值.（二定）(3)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等式成立（三相等）已知x<0,求函數(shù)的最大值x<0，-x>0,-x+≥2,∴x+≤-21-x1x當(dāng)且僅當(dāng)-x=,即x=-1時(shí)取得最大值-21-x利用基本不等式求最值，首先要滿足“一正”例2.求函數(shù)

f(x)=x

+

(x＞-1)

的最小值.1x+1解:

∵

x＞-1，∴x+1>0.∴

f(x)=x

+

1x+1

=(x

+1)+

-11x+1=1，≥2(x+1)?-11x+1當(dāng)且僅當(dāng)取“=”號(hào).∴當(dāng)

x=0

時(shí)，

函數(shù)

f(x)

的最小值是

1.x+1=，即

x=0

時(shí)，1x+1

練習(xí):1.已知函數(shù)求函數(shù)的最小值

當(dāng)x=3是函數(shù)有最小值6三、課堂小練CCC小結(jié)：求最值時(shí)注意把握“一正，二定，三相等”已知

x，y

都是正數(shù)，P，S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當(dāng)且僅當(dāng)

x=y時(shí)，取“=”號(hào)).(2)x+y=S