2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練：數(shù)列求和（學(xué)生版）（新高考專用）

專題6-3數(shù)列求和

題型一：倒序相加法

【典例分析】

例題1.(2024?江蘇?高二專題練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=l+lnq,設(shè)q=l,

+小+/小d).

(1)求數(shù)列｛叫的通項公式.

例題2.(2024?全國?高二課時練習(xí))設(shè)奇函數(shù)“X)對隨意都有/(尤)=/(尤-1)+:

(1)求/仕]和/(S+/(—)(^=0,1,2,的值；

<2)nn

(2)數(shù)列｛%｝滿意：??=/(O)+/Q^+/^+[■^+/(1)一(\，數(shù)列｛4｝是等差

數(shù)列嗎？請賜予證明；

【提分秘籍】

倒序相加法，即假如一個數(shù)列的前九項中，距首末兩項“等距離”的兩項之和都相等，貝何

運用倒序相加法求數(shù)列的前〃項和.

【變式演練】

1.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知f(x)=-(xG而，P人x”y),Pzkxz,陞)是函

4"+2

數(shù)尸f(x)的圖像上的兩點，且線段月2的中點戶的橫坐標是3.

(1)求證：點P的縱坐標是定值;

(2)若數(shù)列｛an｝的通項公式是an=/^(meN*,n=1,2,3,,求數(shù)列｛an｝的前m項和

Sm.

2.(2024?全國?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛()的前“項和S"=2"2-4(〃WN+),函數(shù)/(》)

對一切實數(shù)x總有/?+/(l-x)=l,數(shù)列[b,,｝滿意

^?=/(0)+/(-)+/(-)++/(七4)+/⑴.分別求數(shù)列｛%｝、｛2｝的通項公式.

nn

3.（2024?江蘇?[Wj_■專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（無）=1+In------,設(shè)％=1,

+L+fneN,,H>2）.

(1)計算H(x)+/(l-x)的值.

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

題型二：分組求和法

【典例分析】

例題1.(2024?新疆和靜高級中學(xué)高二階段練習(xí))(1)已知等差數(shù)列｛q｝滿意為+%=12,

—20,數(shù)列也,｝滿意乙=1,%-勿=3".求｛見｝,色｝的通項公式；

(2)在數(shù)列｛%｝中，4=6,%=4%_1-6(心2,〃eN*),

①求證：｛4-2｝是等比數(shù)列；

②求數(shù)列｛4+*的前"項和S".

例題2.(2024?上海市甘泉外國語中學(xué)高一期末)在等差數(shù)列｛%｝中，%+4=-10,前

12項的和5吃=一96.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若數(shù)列｛q+2｝為以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列也｝前8項的和.

例題3.(2024?山西運城?高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛外｝的前凡項和為，4=2,an+l=Sn+2.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

⑵若數(shù)列｛2｝滿意bn=an+log2a2n+1,求數(shù)列色｝的前W項和Tn.

【提分秘籍】

1假如一個數(shù)列可寫成g=4+bn的形式，而數(shù)列｛%,｝，｛0｝是等差數(shù)列或等比數(shù)列或可

轉(zhuǎn)化為能夠求和的數(shù)列，那么可用分組求和法.

an〃為奇數(shù)

2假如一個數(shù)列可寫成％=<的形式，在求和時可以運用分組求和法.

b?”為偶數(shù)

【變式演練】

1.(2024?上海虹口?一模)在等差數(shù)列｛%｝中，4=2,且出，%+2,%構(gòu)成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)令勿=2%+9,記S“為數(shù)列也｝的前"項和，若S“N2022,求正整數(shù)〃的最小值.

2.(2024?全國?高三專題練習(xí))給定數(shù)列｛%｝,若滿意q=a(a>0,a^l),對于隨意的

m,〃eN*,都有am+n=am-an,則稱｛4｝為“指數(shù)型數(shù)列”.若數(shù)列｛%｝滿意：

%=l,%=2%+aj%+］；

⑴推斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說明理由；

(2)若“='+〃，求數(shù)列色｝的前"項和人

an

3.(2024?福建泉州?高三開學(xué)考試)已知數(shù)列｛%｝各項均為正數(shù)，且

%=2，an+^-2an+i=a,；+2an.

⑴求｛%｝的通項公式

⑵設(shè)bn=(-1)"an>求4+4+4++%

題型三:裂項相消法

【典例分析】

例題1.(2024?浙江?慈溪中學(xué)高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列,

+4+。3=9,〃4++〃6=27.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)包=」一，求低｝的前〃項和S“.

anan+\

例題2.(2024?福建?高三階段練習(xí))從①2=；②2=(-1)"(4出+4)；③2=1

也+1+也%

三個選項中，任選一個填入下列空白處，并求解.已知數(shù)列｛4｝,｛〃｝滿意4>0,且q=1,

，，求數(shù)列也｝的前”項和S”.

注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

例題3.（2024?山東?日照市教化科學(xué)探討中心高三期中）已知等差數(shù)列分別從下

表第一、二、三行中各取一個數(shù)，依次作為%,a2,%，且％,出，％中任何兩個數(shù)都

不在同一列.公比大于1的等比數(shù)列也,｝的前三項恰為數(shù)列｛4｝前5項中的三個項.

第一列其次列第三列

第一行802

其次行743

第三行9124

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項公式；

⑵設(shè)g=q-，求數(shù)列｛g｝的前〃項和1,?

an+\an+2

例題4.（2024?天津?南開中學(xué)高三階段練習(xí)）記S”是公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的前〃

項和，已知%+3%=S5，的5=$4,數(shù)列｛2｝滿意2=32T+2"T（〃上2）,且4=4-1.

⑴求｛%｝的通項公式，并證明數(shù)列+是等比數(shù)列；

⑵若數(shù)列｛1｝滿意g=（T）g_1）7「1）,求｛1｝的前〃項和的最大值、最小值.

1113

⑶求證：對于隨意正整數(shù)〃，廠+/++T<T.

仿b22

【提分秘籍】

常見的裂項技巧

類型一：等差型

111

①---------——(----------)

〃(〃+左)knn+k

1￡111

特殊留意％=1,；k——1,-------

n(n+1)nn+1n(幾—1)n—1n

1111

②---------------——(-z--------------)

(左九―1)(左〃+1)2kn—1kn+1

1-^）（尤其要留意不能丟前邊的工）

如:

41—12n+l2

類型二：無理型

①/——7==!3n+k--x/n)

\n+k+\nk

如：,——~~產(chǎn)=〃+1-?

yjn+l+y/n

類型三：指數(shù)型

①("M11

U(an+1+k)(a"+k)~a"+kan+l+k

,2"11

女口,----------------=----------------

,（2向+4）（2"+左）2n+k2,!+1+k

類型四：通項裂項為“+”型

如:①（"一為=（-1）它+士|

“（72+1）vnn+1J

…（3?+1）-2"（T2'用）

②（-1）（＜=（-1尸一+1

八n^n+l）Inn+\）

本類模型典型標記在通項中含有（-1）"乘以一個分式.

【變式演練】

1.（2024?江蘇?高三階段練習(xí)）己知（為正項數(shù)列｛%｝的前〃項的乘積，且q=3,7；；=。丁.

（1）求｛%｝的通項公式；

⑵若葉":渭+1產(chǎn)求證：…++么＜］廠

2.（2024?福建省永泰縣其次中學(xué)高三期中）已知正項數(shù)列｛?！埃那?項和為S“，且凡和

S“滿意：4s“=（%+1）2（〃=1,2,3...）.

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵設(shè)包=」一，也｝的前〃項和為若對隨意〃eN*,都成立，求整數(shù)機的最

an.an+\23

大值.

3.(2024?陜西?高三期中(文))已知正項數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項和為S”，且23=24+〃〃.

⑴求｛為｝的通項公式；

111111

(2)證明：----+----+----+----++-------+------<3.

dyCI3^^2^^4^^3^^5^^4^^64-14+1anan+2

4.(2024?河北唐山?高三階段練習(xí))設(shè)正項數(shù)列｛瑪｝的前〃項和為工，且2邑=說+2.

(1)求｛〃,｝的通項公式；

(2)若｛(。什必)％“｝是首項為5,公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列也｝的前〃項和(.

題型四：錯位相減法

【典例分析】

例題1.(2024?遼寧?本溪中學(xué)高三階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且4=1,

S“+i=4%+l(〃eN*).

(1)求證：數(shù)列｛%+「2%｝是等比數(shù)列；

⑵求證：數(shù)列］墨;是等差數(shù)列；

⑶求數(shù)列?4，的前九項和Tn.

例題2.(2024?寧夏?銀川一中高三階段練習(xí)(理))己知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",且

S.+I=S“+%+1,.請在①4+%=13；②4，a3,%成等比數(shù)列；③

幾=65,這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若么=%-1,求數(shù)列｛2"力,｝的前〃項和T“.

注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

,、Qa3

例題3.(2024?福建?莆田第六中學(xué)高二階段練習(xí))已知數(shù)列｛4｝滿意卬=-：且,=『

⑴求數(shù)列包,｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛列滿意應(yīng)+(〃-4)4=0,求也,｝的前”項和為T”.

【提分秘籍】

錯位相減法求和：假如一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成

的，那么這個數(shù)列的前〃項和即可用此法來求.4倍錯位相減法：若數(shù)列｛分｝的通項公式

「為也,其中｛%｝、也,｝中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般可在已

知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比，然后再將所得新和式與原和式相減,

轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和.這種方法叫4倍錯位相減法.

溫馨提示：1.兩個特殊數(shù)列等差與等比的乘積或商的組合.

2.關(guān)注相減的項數(shù)及沒有參加相減的項的保留.

【變式演練】

1.(2024?山東?利津縣高級中學(xué)高三階段練習(xí))數(shù)列｛%｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，

且q=8,%=32,bn=logjfl,,(neN,),

⑴求數(shù)列他J的通項公式，并證明數(shù)列也｝是等差數(shù)列；

2b,

⑵令c“二j求數(shù)列｛1｝的前〃項和

2.(2024?廣東?廣州思源學(xué)校高二期中)已知等差數(shù)列｛g｝滿意，4=10,且4+1。，%+8,

%+6成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)若數(shù)列出｝的通項公式為bn=2",求數(shù)列｛。也｝的前〃項和.

3.(2024?湖南省桃源縣第一中學(xué)高三期中)已知｛%｝為等差數(shù)列，前〃項和為S“(〃eN*),

也｝是首項為3且公比q大于0的等比數(shù)列，&-2a=9,4=3%，Sg=l電.

⑴求｛《,｝和也｝的通項公式；

⑵求數(shù)列｛。也｝的前〃項和4（〃?N）

題型五：奇偶項分類探討

【典例分析】

例題1.（2024?福建?廈門一中高二階段練習(xí)）數(shù)列｛%｝的前"項和為S"，數(shù)列也｝的前

〃項積為且S“=24-l（HeN*）,7；="!（"eN*）.

⑴求應(yīng)｝和也｝的通項公式；

為奇數(shù)（、

⑵若C.=|為俾&，求｛%｝的前”項和￡.

卻〃為偶數(shù)

例題2.（2024?廣東深圳?高三階段練習(xí)）已知數(shù)列伍」?jié)M意她+「2a“=〃+g，4=g.

⑴請在集合｛-2,2｝中任取一個元素作為上的值，求數(shù)列｛%｝的通項公式;

，求數(shù)列｛4｝的前〃項和和.

（2）①若第（1）問?。?2,令b“=

②若第（1）問?。?-2,求數(shù)列｛凡｝的前〃項和7“.

注：假如同時選擇上的兩個取值分別解答，按第一個解答計分.

例題工（2024?廣東茂名?模擬預(yù)料）設(shè)數(shù)列｛%｝的首項4=1,〃用=3-2"-4.

⑴證明：數(shù)歹U｛%-2"｝是等比數(shù)列；

⑵設(shè)bn=（??-2"）（3〃-4）,求數(shù)列出｝的前〃項和Tn

【提分秘籍】

類型一：

an”為奇數(shù)

通項公式分奇、偶項有不同表達式；例如：cn=\；品/田姐

bn〃為偶數(shù)

an〃為奇數(shù)

角度1：求G=<的前2〃項和4卬

山〃為偶數(shù)

a“〃為奇數(shù)

角度2：求c“=<的前〃項和T”

bn”為偶數(shù)

類型二:

n

通項含有（-1）"的類型;例如：cn=（-l）an

【變式演練】

1.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛q｝的各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，%=32,

2（q_q）=3%.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若2=(-1)"log2a2n_x,求數(shù)列也｝的前〃項和T”.

，、33a

2.（2024?湖南師大附中高二期中）己知數(shù)列｛q,｝的首項且滿意。用=廠看

（DM：數(shù)列［?為等比數(shù)列;

---3,“為偶數(shù)時，

a"求最小的實數(shù)處使得a+2+

⑵設(shè)數(shù)列也｝滿意2=<+b2k<m

〃為奇數(shù)時，

.nn+2

對一切正整數(shù)人均成立.

3.（2024?山東?青島二中高二階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前〃項和為S",%=1,S.+S“M=1.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若bn=n-an,求數(shù)列也｝的前〃項和Tn.

4.(2024?福建?莆田華僑中學(xué)模擬預(yù)料)已知數(shù)列｛4｝滿意％=5,。用=4a?-3?2+2?+l.

(1)證明：數(shù)列｛q-""為等比數(shù)列;

(2)當n為偶數(shù)時，求數(shù)列｝的前〃項和S".

題型六：插入新數(shù)列求和

【典例分析】

例題1.(2024?湖北武漢?高二期末)已知｛%｝是遞增的等比數(shù)列，且為=2,a2+a,=~.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)在?！芭c“用之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為力的等差數(shù)列，在數(shù)列｛4｝

中是否存在3項(其中，〃AP成等差數(shù)列)成等比數(shù)歹！J.若存在，求出這樣的3項；若

不存在，請說明理由.

例題2.(2024?全國?高三專題練習(xí))設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為，q=O,a2=l,

nSll+l-(2n+1)S?+(n+l)S?_j-1=O(n..2).

⑴證明：｛%｝為等差數(shù)列；

(2)設(shè)年=2?！保诳诤椭g插入"個數(shù)，使這“+2個數(shù)構(gòu)成公差為力的等差數(shù)列，求

I】-］的前九項和.

例題3.（2024?江蘇?常熟中學(xué)高二期中）己知數(shù)列｛4｝的前幾項和為3，S?=n2+2n-

（1）求｛〃”｝的通項公式：

⑵保持數(shù)列｛叫中各項先后依次不變，在怎與%=）之間插入2k個1,使它們和

原數(shù)列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列也｝,記也｝的前〃項和為1,求小的值.

1Q

例題4.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝的前”項和為S“，且滿意S“=2”2+；〃.

（1）求｛4｝的通項公式；

⑵在4和。z,eN*）中插入左個相同的數(shù)（-1戶次，構(gòu)成一個新數(shù)列出｝?,1,%，-2,

-2,?3,3,3,3,雙，L,求也｝的前21項和的.

【變式演練】

1.（2024?福建泉州?高三階段練習(xí)）已知公差不為。的等差數(shù)列數(shù)“｝中,0）=1,Q是出

和。8的等比中項.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項公式：

（2）保持數(shù)列｛4｝中各項先后依次不變，在即與左=1,2,）之間插入力，使它們和原數(shù)

列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列也J,記｛"｝的前〃項和為求&的值.

2.（2024?全國?高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為九%M=2S“+l（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式;

（2）在。“和。向之間插入〃個數(shù)，使這〃+2個數(shù)組成一個公差為“,的等差數(shù)列，在數(shù)列｛4｝

中是否存在3項4”，4，。（其中機AP是公差不為。的等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出

這3項；若不存在，請說明理由.

3.（2024?福建福州?州三期中）已知公差不為0的等差數(shù)列｛?！保校?1,%是4和“8

的等比中項.

（1）求數(shù)列（??｝的通項公式：

（2）保持數(shù)列｛4｝中各項先后依次不變，在做與az伏=1,2,）之間插入使它們和原數(shù)

列的項構(gòu)成一個新的數(shù)列也J,記他,｝的前〃項和為（，求G的值.

4.（2024?云南?高三階段練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝滿意％=L的“=2%+1,設(shè)4=2%.

⑴求圾｝的通項公式，并證明數(shù)列出｝為等比數(shù)列；

⑵將偽插入4,出中，門也插入生，％中，々也也插入“3，月中,L,依此規(guī)律得到新數(shù)列

知凡出也也必也也也皿，…,求該數(shù)列前20項的和.

避⑤景新?？级亻泔?/p>

1.（2024?四川自貢?一模（理））等比數(shù)列｛《｝的各項均為正數(shù)，且=9的9，2%+3g=1.

（D求數(shù)列｛%｝的通項公式;

(2)設(shè)bn=log3%+log3%+…+log3a,,若數(shù)列為的前〃項和T”,比較7“與-2的大小.

2.（2024?四川省遂寧市其次中學(xué)校模擬預(yù)料（文））已知數(shù)列｛%｝,也｝滿意％=4=1,

且4+2〃+1一”也=0.

⑴若數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，公比為q,|4-%|=2,求他,｝的通項公式;

⑵若數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，an+2-an+1=2,求也｝的前〃項和T..

3.（2024?全國?模擬預(yù)料）已知正項數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且滿意卬=1,

S“=S“￡2aa+l）f,（2S“+l）.

⑴證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛為｝的通項公式；

Q

⑵記bn=02Ma2n+l,若數(shù)列間的前加項和*=/,求m的值.

4.(2024?陜西渭南?一模(文))已知等差數(shù)列｛叫的前〃項和為S,,,不等式平2尤-8<。

的解集為(-1,4).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

⑵若或=-7+不，求數(shù)列也的前“項和加

5.(2024嘿龍江?哈爾濱三中模擬預(yù)料)已知等比數(shù)列｛4｝的公比4>1,且。2+/+%=14,

%+1是電，氏的等差中項，數(shù)列也｝滿意：數(shù)歹!]｛%2｝的前"項和為"2.

⑴求數(shù)列｛%｝、也｝的通項公式；

⑵若％=""+”，4=殳望，求數(shù)列｛4｝的前〃項和S..

CnCn+\

6.(2024?浙江?三門縣觀瀾中學(xué)模擬預(yù)料)已知數(shù)列｛叫滿意弓=1,%+小七,九eN*.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿意：”,=弟$+1-說,也｝的前〃項和為1,求證：n<Tn<n+^.

7.（2024?四川?宜賓市敘州區(qū)其次中學(xué)校模擬預(yù)料（文））己知數(shù)列｛g｝的前〃項和S“滿

_-?2+-2.

（1）求生,并證明數(shù)列｛。"+3"｝為等比數(shù)列；

⑵若d=〃（q+3"）,求數(shù)列｛2｝的前〃項和7“.

8.（2024?四川雅安?模擬預(yù)料（理））給出以下條件：①電，/+2,%+4成等比數(shù)歹!J；

②Sz，%，S&+4成等比數(shù)列；③!是!與!的等差中項.從中任選一個，補充在下面的

〃5

橫線上，再解答.

已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑閟“，且4=2,.

⑴求｛4｝的通項公式；

⑵令［卜］是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列加“｝的前〃項和為若〃eN*,

+2

〃乙+2?-4）＞8S“-26%,求實數(shù)2的取值范圍.

注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

9.（2024?江蘇?鹽城市第一中學(xué)模擬預(yù)料）已知數(shù)列｛%｝是公比為4的等比數(shù)列，前〃項

和為s”，且滿意4+。3=2q+l,s3=3a2+l.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項公式；

%為奇數(shù)

（2）若數(shù)列也｝滿意bn=<3aH〃為偶數(shù)，求數(shù)列也｝的前2n項和耳?

4a；-5an+T

10.（2024?湖北?黃石市有色第一中學(xué)模擬預(yù)料）已知等差數(shù)列僅"前”項和為S“（〃eN+）,

數(shù)列｛或｝是等比數(shù)列，4=3,〃=1,b2+S2=lO,a5-2b2=a3.

（1）求數(shù)列｛6｝和唬,｝的通項公式；

[2

A〃為奇數(shù)

⑵若C“=