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第五章二次型（**）一、復習指導：二次型這一章節(jié)也是一種比較重要的章節(jié)，在首師大的大題中，往往會出既有關(guān)判斷二次型與否為正定二次型的題目，我們要掌握的：正定二次型的充足必要條件;還也許會出化二次型為原則型，因此我們還要懂得怎樣化二次型為原則型。二、考點精講：（一）基本概念1、二次型—含個變量且每項皆為二次的齊次多項式稱為二次型。令，，則。矩陣稱為二次型的矩陣，顯然，即二次型的矩陣都是對稱矩陣，矩陣的秩稱為二次型的秩。2、原則二次型—只具有平方項不含交叉項的二次型稱為原則二次型。3、矩陣協(xié)議—設(shè)為階矩陣，若存在可逆矩陣，使得，稱矩陣與協(xié)議，記為。4、二次型的原則化—設(shè)為一種二次型，若通過可逆的線性變換（即為可逆矩陣）把二次型化為，稱為二次型的原則化。5、規(guī)范二次型—二次型的原則型的系數(shù)為和的原則型，稱為二次型的規(guī)范型。（二）二次型原則化措施1.配措施2.正交變換法（1）求的特性值。（2）求的線性無關(guān)的特性向量。（3）將進行施密特正交化和規(guī)范化得，令。（4）。正定矩陣與正定二次型1.定義二次型f(x1,x2,…,xn)稱為正定二次型,假如當x1,x2,…,xn不全為時,一定有f(x1,x2,…,xn)>0.假如實對稱矩陣A所決定的二次型正定,則稱A為正定矩陣,于是A為正定矩陣也就是滿足性質(zhì):當X0時,一定有XTAX>0.二次型的正定性是在可逆線性變量替代中保持不變的.即實對稱矩陣的正定性在協(xié)議變換時保持不變.2.性質(zhì)與判斷（充足必要條件）實對稱矩陣A正定協(xié)議于單位矩陣.存在可逆矩C,使得A=CTC.A的正慣性指數(shù)等于其階數(shù)n.A的特性值都是正數(shù).A的次序主子式全不小于0.次序主子式:一種n階矩陣有n個次序主子式,第r個(或稱r階)次序主子式即A的左上角的r階矩陣Ar的行列
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