1.3集合的基本運算（第1課時并集和交集）課件高一上學期數學人教A版

1.3集合的基本運算第1課時并集和交集第一章集合與常用邏輯用語人教A版

數學

必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標學習目標1.理解兩個集合的并集與交集的含義,能正確運用符號表示.(數學抽象)2.能求兩個集合的并集與交集.(數學運算)3.能使用Venn圖、數軸等方式表達集合的基本關系與基本運算,體會圖形的直觀作用.(直觀想象)4.理解集合的關系與集合運算之間的聯(lián)系,能相互轉化.(邏輯推理)基礎落實·必備知識一遍過知識點一:并集

文字語言符號語言圖形語言由

屬于集合A

屬于集合B的元素組成的集合,稱為集合A與B的并集

A∪B=

A∪B所有

或

{x|x∈A,或x∈B}名師點睛對并集概念的理解(1)兩個集合的并集是一個集合.(2)并集符號語言中的“或”與生活中的“或”含義有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存,而并集中的“或”連接的并列成分之間不一定是互斥的,如“x∈A或x∈B”包括下列三種情況:①x∈A,且x?B;②x?A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下圖形象地表示.(3)并集的運算性質:性質說明A∪B=B∪A滿足交換律A∪?=A任何集合與空集的并集仍為集合本身A∪A=A集合與集合本身的并集仍為集合本身(A∪B)∪C=A∪(B∪C)多個集合的并集滿足結合律若A∪B=B,則A?B并集關系與子集關系的轉化A?(A∪B),B?(A∪B)任何集合都是該集合與另一集合并集的子集微思考集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},C={1,2,3,4,5,6},根據并集的定義可知,C=A∪B.集合A中有4個元素,集合B中也有4個元素,集合C中卻只有6個元素,而不是8個元素,為什么?提示

集合中元素的互異性,相同的元素只出現(xiàn)一次.知識點二:交集

文字語言符號語言圖形語言由

屬于集合A

屬于集合B的元素組成的集合,稱為集合A與B的交集

A∩B=

所有

且

{x|x∈A,且x∈B}名師點睛對交集概念的理解(1)對于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,關鍵在于對文字定義中“所有”二字的理解.舉例說明:若A={1,2,3},B={2,3,4},則A∩B={2,3},即所有公共的元素組成的集合,而不是{2}或{3}.(2)并不是任意兩個集合總有公共元素,當集合A與集合B沒有公共元素時,不能說集合A與集合B沒有交集,而是A∩B=?.(3)交集的運算性質:性質說明A∩B=B∩A滿足交換律A∩?=?空集與任何集合的交集都為空集A∩A=A集合與集合本身的交集仍為集合本身(A∩B)∩C=A∩(B∩C)多個集合的交集滿足結合律(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)多個集合的綜合運算(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)滿足分配律若A∩B=A,則A?B交集關系與子集關系的轉化(A∩B)?A,(A∩B)?B兩個集合的交集是其中任一集合的子集微思考(1)若集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},A∩B存在嗎?

(2)若兩個集合A,B的交集是空集,則兩個集合有什么特征?提示

A與B沒有公共元素,但A∩B存在,為?.提示

若兩個集合A,B的交集是空集,則兩個集合至少有一個集合是空集或者兩個集合不是空集,但是兩個集合沒有公共元素.知識點三:并集、交集與子集的聯(lián)系

性質說明若A∪B=B,則A?B并集關系與子集關系的轉化若A∩B=A,則A?B交集關系與子集關系的轉化微思考以什么方式理解“若A∪B=B,則A?B”較直觀?提示

用Venn圖來表示較直觀,如圖.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1類比實數之間的大小關系、相等關系,得到了集合之間的子集、相等關系等.根據數學研究對象的一般思路,接下來就應該研究運算問題.類比實數的運算,集合之間的運算又可以研究什么?如何研究?問題2對于集合A={1,3,5},B={2,3,4},C={1,2,3,4,5},D={3},分析集合C與集合A,B的關系,類比實數的加法運算,能否推測集合可能的運算?分析集合D與集合A,B的關系,又能推測集合的什么運算?探究點一集合的并集與交集運算問題3集合運算的關鍵是正確識別運算符號,選擇合適的方法來表示運算.是不是這樣呢?【例1】

(1)已知集合A={x|x2-4x+3=0},集合B={x|(x-3)(x+1)=0},求A∩B,A∪B.解∵集合A={x|x2-4x+3=0},∴A={1,3}.∵集合B={x|(x-3)(x+1)=0},∴B={-1,3}.∴A∩B={3},A∪B={-1,1,3}.規(guī)律方法

求兩個集合交集、并集的方法用列舉法表示的數集,可以根據交集、并集的定義直接觀察或用Venn圖表示出集合運算的結果.要注意,若集合不是最簡形式,需要先化簡集合,求并集時,不是單純的合并元素,相同的元素只能寫一次(集合元素的互異性).若是用描述法表示的數集,則可借助數軸分析寫出結果.利用數軸時,要注意端點的取舍及實(空)心點的表示.【例2】

在學校大力倡導“一生一體藝”活動的指引下,某班45名學生,每名學生都有一項或兩項愛好,歸結為藝術與體育兩大愛好.假設有藝術愛好者22人,體育愛好者28人,則同時愛好這兩項的有(

)A.4人

B.5人

C.6人

D.7人B解析

由題意可得Venn圖,如圖所示,由圖可知,同時愛好這兩項的有22+28-45=5(人),故選B.探究點二已知集合的交集、并集求參數的值或取值范圍問題4已知集合求相應集合運算是一種正向思維的體現(xiàn),但數學研究經常會反其道而行之,逆向而行.據此,你能提出什么問題?【例3】

已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.若9∈(A∩B),則實數a的值為

.

分析

9∈A∩B說明9∈A,通過分類討論建立關于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否滿足集合中元素的互異性.5或-3解析

∵9∈(A∩B),∴9∈A且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.當a=5時,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合題意;當a=3時,A={-4,5,9},B不滿足集合中元素的互異性,故a≠3;當a=-3時,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合題意.綜上可得a的值為5或-3.延伸探究例3中,將“9∈(A∩B)”改為“A∩B={9}”,其余條件不變,求實數a的值及A∪B.解

∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.當a=5時,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合題意,故a≠5;當a=3時,A={-4,5,9},B不滿足集合中元素的互異性,故a≠3;當a=-3時,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合題意.綜上可得a=-3.此時A∪B={-8,-4,-7,4,9}.規(guī)律方法

已知兩個有限集運算結果求參數值已知兩個有限集的運算結果求參數值的問題,一般先用觀察法得到不同集合中元素之間的關系,再列方程求解.另外,在處理有關含參數的集合問題時,要特別注意對求解結果進行檢驗,以免違背集合中元素的有關特性,尤其是互異性.【例4】

集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=?,求a的取值范圍;(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范圍.解(1)∵A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=?,∴a≤-1,即a的取值范圍為{a|a≤-1}.(2)∵A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},∴-1<a≤1,即a的取值范圍為{a|-1<a≤1}.規(guī)律方法

已知集合運算求參數的取值范圍的思路此類問題常借助數軸解決,首先在數軸上表示出集合,然后根據已知條件及數軸列出關于參數的不等式(組)求解.要注意端點值的取舍,這里特別容易出錯.端點在不確定的時候,代入檢驗一下會比較好.當集合的元素離散時,常借助集合的關系列方程(組)求解,但求解后要代入檢驗參數是否符合題意.探究點三集合的交集、并集與子集的聯(lián)系問題5若兩個集合的交集或并集的運算是一種特殊情形,比如就是其中一個集合,如A∪B=A,則集合A,B會有什么關系?如何理解?【例5】

設集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R},若M∪N=M,則實數t的取值范圍為

.

{t|t≤2}延伸探究將例5條件中“M∪N=M”改為“M∩N=M”,其余不變,求實數t的取值范圍.解

由M∩N=M,得M?N,故N≠?.用數軸(略)表示兩個集合,要滿足條件,需

解得t≥4.所以t的取值范圍為{t|t≥4}.規(guī)律方法

求解與集合的交集或并集有關的性質問題,首先應根據性質特征將條件轉化為集合之間的關系.常見的性質有:A∩B=A?A?B;A∪B=A?B?A.對于子集關系,謹記子集的分類,注意子集為空集的情況.【例6】

設A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范圍;(2)若A∪B=B,求a的值.解由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B?A,B=?,{0},{2},{0,2}.當B=?時,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;綜上所述,a的取值范圍是{a|a=1,或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A?B.∵A={0,2},而B中方程至多有兩個根,∴A=B,由(1)知a=1.規(guī)律方法

利用交集、并集運算求參數的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的問題,可利用集合的運算性質,轉化為相關集合之間的關系求解,要注意空集的特殊性.(2)將集合中的運算關系轉化為兩個集合之間的關系.若集合中的元素能一一列舉,則可用觀察法得到不同集合中元素之間的關系,要注意集合中元素的互異性;與不等式有關的集合,則可利用數軸得到不同集合之間的關系.學以致用·隨堂檢測促達標123456789101112A級必備知識基礎練1.已知集合A={-1,0,1},集合B={x∈N|x2=1},那么A∪B=(

)A.{1} B.{0,1}C.{-1,1} D.{-1,0,1}D解析

由題意,集合A={-1,0,1},B={x∈N|x2=1}={1},所以A∪B={-1,0,1}.故選D.1234567891011122.[2024新高考Ⅰ,1]已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},則A∩B=(

)A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}A1234567891011123.國慶假期期間,高一某班35名學生去電影院觀看了甲、乙兩部電影中的一部或兩部.其中有23人觀看了甲電影,有20人觀看了乙電影,則同時觀看了這兩部電影的人數為(

)A.8 B.10 C.12 D.15A解析

由已知得同時觀看了這兩部電影的人數為23+20-35=8.故選A.1234567891011124.

已知集合A={0,1,2},B=,若A∩B=B,則實數x的值為(

)A.

B.0 C.1

D.2A1234567891011125.[2024全國甲,文1]集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},則A∩B=(

)A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4,5}A解析B={0,1,2,3,4,8},則A∩B={1,2,3,4}.故選A.1234567891011126.(多選題)已知集合A={x|x2-x=0},集合B中有兩個元素,且滿足A∪B={0,1,2},則集合B可以是(

)A.{0,1} B.{0,2}C.{0,3} D.{1,2}BD解析

∵A={x|x2-x=0}={0,1},且A∪B={0,1,2},則2∈B,由于集合B中有兩個元素,則B={0,2}或B={1,2}.1234567891011127.

設A={-1,2,3},B={a+2,a2+2},若A∩B={3},則實數a=

.

-1解析

因為A∩B={3},所以3∈B.當a+2=3時,解得a=1,則a2+2=3,不滿足集合中元素的互異性,不符合題意;當a2+2=3時,解得a=1或a=-1,當a=1時不符合題意,當a=-1時,a+2=1,此時B={1,3},滿足A∩B={3}.綜上所述,a=-1.1234567891011128.已知集合A={x|-2<x<3},B={x|m<x<m+9}.(1)若A∪B=B,則實數m的取值范圍為

;

(2)若A∩B≠?,則實數m的取值范圍為

.

{m|-6≤m≤-2}

{m|-11<m<3}∴實數m的取值范圍是{m|-6≤m≤-2}.(2)當A∩B=?時,3≤m或者m+9≤-2,解得m≥3或m≤-11,∴A∩B≠?時,-11<m<3,∴實數m的取值范圍是{m|-11<m<3}.123456789101112B級關鍵能力提升練9.已知集合A={x|x≤-3或x>2},B={x|x≤a-1},若A∪B=R,則實數a的取值范圍是(

)A.(-4,+∞) B.[-4,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)D解析

因為A∪B=R,所以a-1≥2,解得a≥3.所以實數a的取值范圍是[3,+∞).故選D.12345678910111210.集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A∪B={-2,0,1},則