利用導函數(shù)研究恒成立問題 解析版-2024年高考數(shù)學復習解答題解題思路訓練

專題05利用導函數(shù)研究恒成立問題

(典型題型歸類訓練)

一、必備秘籍

分離參數(shù)法

用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個一端是參數(shù)，

另一端是變量表達式的不等式；

步驟：

①分類參數(shù)(注意分類參數(shù)時自變量X的取值范圍是否影響不等式的方向)

②轉(zhuǎn)化：若a〉/(x))對恒成立，則只需。〉/(x)max；若。</(x)對xe。恒成立，則只需

a</("in.

③求最值.

二、典型題型

1.(2023?上海崇明?統(tǒng)考一模)若存在實數(shù)。力，對任意實數(shù)使得不等式、37"?外+/^^+加恒

成立，則實數(shù)小的取值范圍是()

【答案】A

【詳解】不等式x3-m<ax+b<x}+m等價于-m<—x3+ax+b<mI--IP|—+ax+1^<m,

原命題等價于存在實數(shù)。，b,對任意實數(shù)xe[0,l]不等式卜x?+辦+6卜”恒成立，

等價于存在實數(shù)。，b,不等式卜/+ax+司皿4加成立，

記/(x)=-x3+ax+b,貝!]/'(x)=-3x2+a,

(1)當aV0時，對任意xe[0,l],/(x)W0恒成立，即/(x)在[0,1]上單調(diào)遞減a+6-14/(x)4b

①當。+6-1+620,即此—時，|/(x)L=6，

②當a+b-l+6<0,即■時，|/1)仁=-。-6+1,

則g(6)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

幺Lz/

所以g3)min1=—ga(T1)—a=UWI；

a

(2)當Ov〃v3時，令/'(x)=0,解得x二

3

〃X)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在Ja*1上單調(diào)遞減,

3

、2aaa7,1

/(0)=b,f7~yJ—+4/⑴=a+6-1,

3

①當0<aWl時a+6-lW6,止匕時a+6—1W/(x)wgJ1+b,

a)當a+b-l+疊5+b<0艮…時,|/(x)Lx=-a-b+l,

0當JT+三仁+強。即武H/需時，|/(x)L=yJj+^

—2a—b+8^l)<———a——Aj—

從而當0<a41時，g(b)='2a[a

TV?

在區(qū)間；一;。一名百什②］上單調(diào)遞增,

則g(6)在區(qū)間

令t=《,則0ct,g(6)min=]-]J+戶，記咐=；一產(chǎn)+/,

則〃(/)=3/2-3/)=3(-1),

當[o,Q卜j,"'(”0恒成立，

即h(t)在區(qū)間[。,用上單調(diào)遞減，即W)mm=h閭=今

即gfMwn療；

②當l<a<3時a+6-l>6,此時6V/(x)W+6,

a)當6+等[+6<0即6V-'ft時,|/a)Lx=-b,

0)當b+.3+bNO即時，l〃x)L

從而當1<a<3時,

卜上單調(diào)遞增,

則g(6)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間

(3)當.23時,對任意xe[O,l],/'(x”0恒成立，即，(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,

b<f{x)<a+b-\

①當a+b-l+匹0,即強一時，|/(4mx=。+6-1,

②當a+b-l+6<0,即6<一時，|/(x)L=-6，

2。+Z?—85

從而當a23時，g(b)=

-b

則g(6)在(-鞏―)上單調(diào)遞減，在"上單調(diào)遞增,

幺Lz/

1—。a—1

所以g(6)1mli=g(U)=^Nl：

綜上所述，g(b)1mn=*，

所以加之.

9

故選：A

【點睛】結論點睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化:

一般地，已知函數(shù)了=/(x),xe[a,6],v=g(x),xe[c,t/]

(1)若依e[a,b],Vx?e[c,d],總有〃再)<8(々)成立,故〃網(wǎng)/<g(%)而";

(2)若VX]e[a,b],3x2&[c,d],有/(xj<g(/)成立，故》(再)1Mt<g?)111ax；

(3)若叫3x2&[c,d],有/(再)<g(9)成立,故「(須L<g(%L；

(4)若%e[a,0，3x2^[c,d],有〃』)=g(xj,則〃x)的值域是g(x)值域的子集.

2.(2023?海南省直轄縣級單位??？寄M預測)若米>0/22陛(,尤(0>0且。片1)恒成立，則。的取值范圍

是()

(]_

A.l,e2eB.l,ee

I.

"i、

C.e2e,+ooD.ee,+oo

_7

【答案】c

【詳解】當O<Q<1時，X-0,則logqXf+8,%2-o,不符合題意;

當時，lna>0,

22

/(x)=x-logax=x一黑色20恒成立,

ma

即In。2——怛成上，

x

、幾/、Inx“、1-2Inx

設g(x)=p，g(*)=r-，

令g'(x)=。，得x=人,

當xe(0,五)時，g,(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；

當xe(人,+co)時，g,(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

故當％=五時，g(x)取得最大值g(—)=2,

所以Ina2--,解得>至，

2ea-e

故選：C.

3.(2023?江西九江?統(tǒng)考一模)若對Wx￡1一廠,g],不等式("-4)lnx<21na-以1口2恒成立，則實數(shù)Q的

取值范圍是()

A.(0,4e]B.(4Ve,+oo)C.[4五,+oo)D.(4e,+oo)

【答案】C

【詳解】由已知得：a>0,由(辦一4)lnx<21na—“xln2,得axln(2x)<2(lna+21nx)

即竺嗎<磔62),可得的工<螞豆.

22xax2

令〃x)=￥，xe(O,+a)),則/(2x)</(亦2),

求導得/'(幻=匕坐，/'(x)>0,解得0<x<e；/V)<0,解得x>e,

/W在(0,e)上單調(diào)遞增,在(e,+G0)上單調(diào)遞減，

且當0<x〈l時/(%)<。；當x〉l時，/(x)>0,函數(shù)圖像如圖所示.

由/(2x)</("2)及/(#=乎的圖像可知，2%<辦2恒成立，即成立,

而2￡(4,4五)，.?.q24人，實數(shù)。的取值范圍是[4五,+8).

x

故選：C.

4.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/■(無)=x[(a-l)ex-a]+e，，若對于任意的x<0,都有/(尤)21,則實

數(shù)。的取值范圍是.

【答案】g,+j

【詳解】對于任意的x<0,都有〃x)21,即x[(a-l)e，-4]+e￡-120,

令g(x)=x[(Q-l)?x-a~^+ex-1,

則g'(x)=(qT)xe、+q(eX-1),且對于任意的xWO,都有g(%)20.

①當時，((2-l)xex<0,所以g1x)VO,

所以g(x)在(-8,0]上單調(diào)遞減，所以g(x"g(O)=O,符合題意；

②當Q<1,X?0時，令〃(1)=(。一1)%1+4卜》一1),貝lj/z'(x)=ex[(q_l)x+2q_l],令〃'(x)=0,得％=——

tz—1

當。<：時，則匕當<0,

2。一1

所以當上包<x<0時，〃3<0,〃口)在[匕當,()]上單調(diào)遞減，

a-\(a-\J

所以當上必<x<0時，〃(力>〃(0)=0,即g'(x)>0,

a-\

所以g(x)在［詈,0］上單調(diào)遞增，所以g(x)<g(o)=o,這與g(x)NO矛盾，不符合題意；

當《(”<1時，則號20,

267-1

所以當xWO時，h'(x)>Q,〃(x)在(F,0］上單調(diào)遞增,所以的(4《〃(0)=0,即g'(x)40,

所以g(x)在(-8,0］上單調(diào)遞減,g(x)>g(O)=O,符合題意.

綜上，實數(shù)。的取值范圍是

故答案為：

【點睛】恒成立問題方法指導：

方法1：分離參數(shù)法求最值

⑴分離變量.構造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(2)a>/(x)恒成立=a>/(x)max；

a47(x)恒成立=a</(x)min；

心/'(x)能成立oaZ/Wmm；

a</(x)能成立Oa</(x)max.

方法2：根據(jù)不等式恒成立構造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求

解.

5.(2023?湖南永州?統(tǒng)考一模)若函數(shù)〃x)=K二羋Tnx，當xe(0,+s)時，恒有/(x)>0,則實數(shù)/

的取值范圍.

【答案】t>-

e

【詳解】因為xe(0,+oo)時，恒有所以(e*+2)及>(x+2)lnx,

即(e)+2)Ine”>(x+2)In尤恒成立.

2

設g(x)=(x+2)lnx,則g(en)>g(x),且g'(x)=l+—+lnx,

X

h(x)=g'(x)=1+—+InX,貝U"(x)=--^+!=工^,

xxxx

所以當％e(0,2)時，/(x)<0,〃(%)在(0,2)單調(diào)遞減；當%￡(2,+8)時，h\x)>0,〃(x)在(2,+s)單調(diào)遞增；

所以為。)27/(2)=2+1112>0,

所以g'(x)〉0在(0,+8)恒成立，故g(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

所以e">x恒成立，即及>lnx,所以1〉——恒成立，

x

人，、Inx，(、，/、1-lnx

令m(X)=,則，)冽(X)max，加(％)=；—，

XX

所以當X￡(o,e)時，m(x)>0,加(%)在(0,e)單調(diào)遞增；當X￡(e,+8)時，m，(x)<0,加0)在(e,+8)單調(diào)遞減;

所以加(X)max=加e)=，?

e

所以/>L

e

故答案為：/>—.

e

6.(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)〃x)=ae，+阮+c在x=ln2時有極小值.曲線y=/(x)在點(OJ(O))

處的切線方程為x+V=O.

(1)求。，4c的值；

(2)若對任意實數(shù)xJ(x)2(e-2)x+”恒成立，求實數(shù)加的取值范圍.

47—1

［答案］(1)6=—2

c=-l

(2)m<—\

【詳解】(［)由題意，xwR,

在/(%)=ae"+6%+c中，=aex+b,

在x=In2時有極小值.曲線歹=f(x)在點(0,7(0))處的切線方程為x+y=0.

y(o)=0,+c=o1

即卜+

<r(o)=-l6=T-2

「(ln2)=0[2a+b=0-1

z./(x)=ex-2x-l,=ex-2,

當x〉In2時，Ax)>0,/(x)在(ln2,+8)上單調(diào)遞增.

當x<In2時，/(x)<0,/(x)在(一oo』n2)上單調(diào)遞減.

當％=In2時，/'(X)=0,/(%)在x=In2時有極小值.

故。=l/=-2,c=-1符合題意，即為所求.

(2)由題意及(1)得，xeR,

在/(x)=ae'+bx+c中，f(x)>(e-2)x+m,即e"-ex-12機對任意實數(shù)％恒成立,

設g(x)=ex-ex-l(xGR),則g'(x)=ex-e.

當x>l時，e-e>0,則g'(%)>0,故g(%)在(l,+8)上單調(diào)遞增;

當x<l時,e"-evO,則g'(x)<0,故g(x)在(-00/)上單調(diào)遞減;

當x=1時，e*-e=0，貝！Jg'(x)=0,

故x=1時g(x)有極小值，也就是g(x)的最小值g⑴=-1,

故即為所求.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)的求導，導數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性，導數(shù)法解決函數(shù)恒成立問題，構造

函數(shù)法，考查學生的計算能力和邏輯思維能力，具有很強的綜合性.

7.(2023?四川內(nèi)江?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)

⑴當時,求“X)的極值；

(2)若不等式〃x)Nx恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴極小值為無極大值

(2)?>2

【詳解】(1)當a=l時，f(x)=^x2-lnx,則八x)=，="=(D(x+D,

2xxx

由八x)=0,得到x=l,又x>0,當xe(OJ)時，f'(x)<0,XG(1,+OO)時,f\x)>0,

所以/(x)=g/Tnx在x=l處取到極小值，極小值為無極大值.

(2)由/'儀)》*恒成立，得到,ox?-]nxN尤恒成立，即,a/恒成立，

22

▼八1、x+lnx1Inxl4一

又1>0,所以二—=—I—丁恒成乂，

2xxx

人/、1In1/八、e,/、1x-2xlnx11-2Inx-x+1-2Inx

令g(x)=-+F(x>0),則g'(x)=-二+———=-—+——=-----3——，

XXXXXXX

2

令〃(x)=—21nx—x+l(x〉0),則h\x)=----1<0恒成立，

即/z(x)=-21nx-X+1在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞減，

又/z(l)=—21nl—l+l=0,所以當工￡(0,1)時，h(x)>0,XE(1,+OO)時，/z(x)<0,

即%￡(0,1)時，g\x)>0,X￡(l,+oo)時，g"(x)<0,

所以g(x)='+空(x>0)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+◎上單調(diào)遞減，

XX

故g(尤)Vg⑴=1,所以即/2,

所以，實數(shù)。的取值范圍為。上2.

【點睛】方法點晴，第(2)問中的恒成立問題，常用的方法，一是直接構造函數(shù)，求出函數(shù)的最值；二是

通過參變分離，再構造函數(shù)，通過求函數(shù)最值來解決問題.

三、專項訓練

一、單選題

L(2023?四川眉山?仁壽一中?？寄M預測)已知e"=ln〃，且加-"+左<0恒成立，則左的值不可以是()

A.-2B.0C.2D.4

【答案】D

【詳解】由e"'=ln〃>0，知”>1,機=ln(ln〃),則機一〃+左=ln(ln〃)-〃+左<0,即左<〃-ln(ln〃)=e111"-ln(lnn),

令ln〃=f(f>0),貝iU<e'-lnf,4/(f)=ez-?-1(/>0),則/■'?)=e'-1>0,

函數(shù)/⑺在(0,+8)上單調(diào)遞增，于是/。)>/(0)=0,即e'>f+l，

1t-1

從而e'—Inf>f+1—In,，令g(f)=/+l-ln/(f>0),貝ijg，⑺=1—=-----,

tt

則當t>l時，g'(t)>0,g⑺單調(diào)遞增，當0</<l時，g@<0,g⑺單調(diào)遞減，

因此g“)在/=1時取得最小值2,BPef-InZ>Z+1-In?>2,

所以后42,即先可取一2,0,2,不能取4.

故選：D

2.(2023?江西南昌?江西師大附中校考三模)若不等式eX+x(alnx-G+e2)N0在x>0上恒成立，則實數(shù)。

的取值范圍是()

A.(f,e]B.(-00,e2]

C?:叫鼻D.卜8,三_

【答案】B

【詳解】不等式e"+x(〃lnx-ox+e?)20在x>0上恒成立，

兩邊同除x得廣1nx+a(lnx-x)+e2N0在％>0上恒成立，

1y—1

令/(x)=x-ln無，貝=l-=-----,

xx

所以當0<x<l時，r(x)<0,〃x)單調(diào)遞減，當尤>1時，f^x)>0,“X)單調(diào)遞增，

所以=

令，=x-lnx,t>l,

BPel-at+e220在％上恒成立，

所以只需.[三F]即可，

令=則g，⑺=’e'；e2,

令人=汨-e'-e?,則〃'(。=汨>0在上恒成立，〃?)單調(diào)遞增，

又因為〃(2)=0,

所以當1V/V2時，g'⑺VO,g⑺單調(diào)遞減，當出2時，g”"0,g⑺單調(diào)遞增，

所以8(%=8出=62，即aVez,

故選：B

3.(2023?黑龍江大慶?大慶實驗中學?？寄M預測)已知加，〃為實數(shù)，不等式山-2冽在(0,+”)上

恒成立，則幺的最小值為()

m

A.-4B.—3C.—2D.-1

【答案】C

【詳解】設/(x)=liu-2mx,/,(x)=--2m,

當時，/,(x)=1-2w>0,函數(shù)/(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

此時，lux-27nx-〃W0在(0,+司不恒成立，不合題意

當加〉0時，

寸，f^x)>0,函數(shù)在(0,：］上單調(diào)遞增，

時，/,(x)<0,函數(shù)在上單調(diào)遞減，

)［2加)

所以/(X)在尤=3時取得最大值，

2m

由題意不等式Inx-2加x-〃W0在(0,+。卜恒成立,只需

\2m)

即In———1-72<0,

2m

所以〃2-l-ln2m,

n-l-ln2m

之，

mm

設g(尤)=x(x>0)，

,/、ln2x

g(x)=/

當尤寸，g'(x)<0,g(x)在區(qū)間，￡|

上單調(diào)遞減，

當x時，g'(x)>o,g(x)在區(qū)間［g,+8)上單調(diào)遞增,

所以g(x)在尤=g取得最小值為-2,

所以上最小值為-2,

m

故選：c

二、多選題

4.（2023?山西?校聯(lián)考模擬預測）已知出一得卜2-辦+1”,則。的可能取值有（）

A.-eB.In6c.e2

【答案】BD

【詳解】已知（e，-ax）（x2-ax+l”0,

當x=0時，卜°-0乂02_（）+1）=120成立;

QX—ax>0ex-ax<0

當x〉0時,恒成立或＜恒成立;

x2—tzx+1>0x2-ax+1<0

ex

a<——

叫工恒成立或"恒成立;

a<x+—a＞x+—

、幾/\1../、1+—1)

設g(x)=x+—J(x)=l--r=^————

XXX

xe(O1),g<x)=(x+?x-l)<0,g⑺單調(diào)遞減;

xe(l,+oo),gf(x)=0+1)，0>o,g(x)單調(diào)遞增；

g(x)min=g⑴=2,g(x)無最大直

設/（尤）=9/行戶號二巴曾，

xe（0,1）,尸（x）=.（；「）＜0,/（X）單調(diào)遞減;

xe（1,+00）,/（%）=-（：「）＞0,人與單調(diào)遞增；

〃xL=〃l)=e/(x)無最大直

,04/（尤）福a”"、

當x>0時,成立或＜成立;

aNg(x)1rax

a<e“"(X)max

當x>0時,成立或＜無解;

a<2O2g(x)max

:.a<2

ex-tzx>0恒成立或：二:::＞。恒成立;

當x<0時,

x2-tzx+1>0

A

a>——ea<,——e

即，*恒成立或x1恒成立;

、1

tZ<XH---Q?XH---

%

設、門g(/x)\=x+F1/,［/x\)=l-71=(^x——+l)?(x———1)

xe(_l,O),g，(x)=(x+?xT)<O,g(x)單調(diào)遞減；

xe(一叫-1)送'("=二十?”-1)>O,g(x)單調(diào)遞增;

g(x)max=g(T)=-2,g(X)無最小值?

設/(x)=［，(>學="1,

x￡(~oo,0)/(x)=，(：1)<0,/6)單調(diào)遞減;

???〃X)<0/(x)無最小值.

?魯恒成立或，a<f(x\.

當x<0時,/}〈皿成立;

aNg(x)1mx“〈gWnin

a2—2a<f(x］.

當x<0時,、c成立；或《/}-n無解;

6Z>0a4g(x)1mn

/.tz>0

所以22aN0,0<ln6<lne2=2,0〈巴<2.

2

故選：BD.

5.(2023?安徽馬鞍山?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)〃x)=e*-lnx+(-l)x,若〃x"0恒成立，則實數(shù)，的可能的

值為()

1112

A.—B.—C.D.一

e2eee

【答案】AD

［詳解］f(x)=e"—Inx+。一1)x20ne"+比21nx+xne枕+比2Inx+,

txlax

故/⑴20恒成立，轉(zhuǎn)化成e+tx>lnx+e恒成立，

記g(x)=e”+x,gr(x)=ex+l>0,則g(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，故由e"+比NInx+a”得g⑻g(lux),故

tx3Inx恒成立，

記〃(x)=^,"(x)=W*故當x>e時，"(x)<0，Mx)單調(diào)遞減，當0<x<e時，”(x)>0,〃(x)單調(diào)遞

增，故當x=e時，〃(x)取最大值！，

故由比像IUCt也恒成立，即/2(也〕，故此L

XIX；maxe

故選：AD

6.(2023,海南?模擬預測)若x?L2]時，關于x的不等式(l+x)lnx+x〈m恒成立，則實數(shù)。的值可以為

()

(附：In2?0.69)

2+31n2

【答案】BD

【詳解】由題意知：當xe[l,2]時，a2]l+￡|lnx+l恒成立；

令/(x)=([+4]lnx+l,則/(x)=」lnx+'+1「+l；lnx

VxJXXXX

令g(x)=x+l-lnx,貝==

當xe[l,2]時，g〈x"0恒成立，即廣(X)20恒成立,

“⑺在[1,2]上單調(diào)遞增，.?J(x)M=〃2)=}n2+l="詈,

“號，即實數(shù)”的取值范圍為-2+321—n2，+0°)}

3-31n22+31n2.2+31n2。2+31n2

,/In2?0.69，----------<------------，3>------------,2<------------

故選：BD.

三、填空題

7.(2023上?河北保定?高三定州市第二中學?？茧A段練習)已知函數(shù)〃x)=e印-alnx,若/(x)2a(lna-l)

對尤＞0恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(0,e2]

X+1

【詳解】易知?！?,由—可得---+1-IM>Inx,

a

即e'+i-1n°+l—InaNlnx,貝U有e'+ma+%+1一出。2x+Inx，

設〃(x)=e"+x,易知〃(x)在R上單調(diào)遞增，

故〃(4+1-1114)>h(lnx),所以x+1-ln〃21nx,BPx-Inx>In?-1,

設g(x)=x-lnx=>g<x)=-——,令>0=x>1,g，(x)<0n0<x<1,

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(尤"g(l)=l,則有解之得ae(0,e2].

故答案為：(0,e1.

8.(2023?河南洛陽?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)/(x)=x"-aln尤(a>0),g(x)=e'-x,若時,

〃x)Vg(x)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是—.

【答案】(0,e]

【詳解】g(x)=e，-x,則g'(x)=e-l,

則x>0時，g'(x)=e-l>0,g(x)單調(diào)遞增.

xe。1)時，[(x)Vga)恒成立，即x"-alnxVe*-x恒成立，

則e"-Inx"We*-x在(Ld)上恒成立，

貝Ulnf<xBPa<高在(1述2)上恒成立,

lnx-1

令k(x)=4-xs(l,e2),則左'(幻=

2

Inx(inx)

則當時，k\x)<0,左(x)單調(diào)遞減;

當xc(e,e2)時，k\x)>0,左(x)單調(diào)遞增.

則當X=e時k(x)取得最小值上(e)=；=e,則aVe

Ine

則實數(shù)。的取值范圍是(0,e]

故答案為：(0,e]

四、問答題

9.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(x)=e'-機/(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

2

⑴當加=，時，討論函數(shù)“X)在[1,+8)上的單調(diào)性；

(2)若對一切xe[0,+oo),/(x)+x-120恒成立，求實數(shù)小的取值范圍.

【答案】⑴函數(shù)/(x)在[1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+⑹上單調(diào)遞增

222

【詳解】(1)當加=,P時f(x)=e，e貝e

記g(x)=e，-'x,則g<x)=e*-5.

2

令g'(x)=O,得x=1115.

當xe■1寸，g'(x)<0；當xe(ln■1■,+(?卜寸，g,(x)>0.

所以g(x)在1,In；］上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

即尸⑺在1,ln［］上單調(diào)遞減，在卜n1,+"上單調(diào)遞增.

22

又/")=e一、<0,((2)=0,*<2,

所以當xe［l,2)時，r(x)<0；當尤e(2,y)時，〃⑺〉0.

所以函數(shù)〃x)在［1,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增.

(2)當xe［0,+oo)時，/(無)+為一120恒成立，即］一小2+工一120恒成立.

①當x=0時，e°-mx02+0-1=0,此時加ER.

②當x〉0時，e%-mx2+x-l>0,EPm<e1

x

2

、_,［/、e+x-1.n,(e“+1)?——2x(e*+x—1)(x—2—1)

i己"(x)=--—，x>0,貝!=l——L---------------L=\————L.

XXX

當XE(0,2)時，A"(x)<0；當XE(2,+OO)時，〃(x)〉0.

所以〃(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增,

故"x).="2)=出，所以機4貴土1,

綜上可知，實數(shù)加的取值范圍為『鞏］1.

10.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)/(%)=。1”-％+6(Q/￡2.

(1)若曲線歹=/(、)在％=1處的切線方程為2x—歹―2=0,求實數(shù)q,b的值；

(2)若。=3,對任意的”閆3,+8),且x產(chǎn)馬,不等式/(再)-〃％)|<5,；74恒成立，求加的取值范圍.

【答案】⑴。=3,6=1；

(2)".

【詳解】⑴函數(shù)〃x)=alnx-x+6的定義域為(0,+“)，求導得/(耳=￡-1,

,、加)="1=2

由曲線了=/尤在x=l處的切線方程為2x-y-2=0,得［工,八c，解得。=3,6=1,

/⑴=-1+6=0

所以a=3,6=1.

(2)當a=3時，函數(shù)/(x)=31nxr+6,求導得廣(幻=：一1,

當xe［3,+8)時,r(x)<0,即函數(shù)/(X)在［3,收)上單調(diào)遞減，

不妨設34%<芍，則/(X1)>/(X2),

不等式|/(xj-/(%)|<三,；-閆恒成立，即/(再)-/伍)<^(￥-X；)恒成立，

貝！J/(再)+/x：</(X2)+5工；恒成立，設〃(％)-/(%)+5％2=~x2+31nx-x+b,

于是7再,工2?3,+00),石<馬,〃(再)<〃(%)恒成立

則力(x)在［3,+co)上單調(diào)遞增,于是/(%)=加x+——120在［3,+8)上恒成立,

即"亞-2+'在［3,+8)上恒成立，-三+L=-3(L-3+'V,，當且僅當x=6時取等號，因此/?工,

xxxxx6121212

所以冽的取值范圍為'什001,

11.(2023下?安徽合肥?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)［(x)=sinx-辦-2("R).

1兀

⑴當。=萬時，討論〃x)在區(qū)間0,2上的單調(diào)性；

(2)若當xNO時，/(x)+ex+cosjc>0,求a的取值范圍.

7TITTTT

【答案】⑴"X)在0,-上單調(diào)遞增，在公弓上單調(diào)遞減

(2)(-℃,2