微專題五　手拉手模型

第四章三角形微專題五手拉手模型1.說明：兩個三角形的頂點重合，其中一個三角形不動，另一個三角形繞著重合的頂點旋轉(zhuǎn)，就好像手拉著手一樣，所以稱為“手拉手”模型.2.判斷方法：將初始圖形的公共頂點放在上方，圖形正對著我們，左邊頂點稱為“左手”，右邊頂點稱為“右手”.3.特點：（1）兩條“拉手線”所在直線夾角與初始圖形中公共頂點對應(yīng)的角相等或互補；（2）三角形順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)，得到的結(jié)論相同；（3）“手拉手”模型中，若“手拉手”的兩個三角形均是等腰三角形，且公共頂點是頂角頂點，則對應(yīng)邊與“拉手線”組成的兩個三角形全等；若兩個三角形為非等腰三角形，則對應(yīng)邊與“拉手線”組成的兩個三角形相似.

模型模型說明圖示基本結(jié)論手拉手全等模型1.△AOB∽△COD，OA＝OB，∠AOB＝α；2.將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)，直線AC，BD交于點E，所夾銳角為β1.△AOC≌△BOD（點A，O，C三點不共線）；2.當(dāng)α≤90°時，β＝α，當(dāng)α＞90°時，β＝180°－α；3.點E在△OAB的外

接圓上模型模型說明圖示基本結(jié)論手拉手相似模型1.△AOB∽△COD，OA＝OB，∠AOB＝α；2.將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)，直線AC，BD交于點E，所夾銳角為β1.△AOC≌△BOD（點A，O，C三點不共線）；2.當(dāng)α≤90°時，β＝α，當(dāng)α＞90°時，β＝180°－α；3.點E在△OAB的外接圓上模型模型說明圖示基本結(jié)論手拉手相似模型1.△AOB和△COD是直角三角形，O是直角頂點，OA≠OB；2.△AOB∽△COD，∠AOB＝α＝90°；3.將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)，直線AC，BD交于點E，所夾銳角為β模型模型說明圖示基本結(jié)論手拉手相似模型1.△AOB和△COD是直角三角形，A是直角頂點；2.△AOB∽△COD，∠AOB＝α；3.將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)，直線AC，BD交于點E，所夾銳角為β模型模型說明圖示基本結(jié)論手拉手相似模型1.△AOB∽△COD，∠AOB＝α，OA≠OB；2.將△COD繞點O旋轉(zhuǎn)，直線AC，BD交于點E，所夾銳角為β

?類型1：手拉手全等模型【例1】已知在△ABC中，O為BC邊的中點，連接AO，將△AOC繞點O順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角為鈍角），得到△EOF，連接AE，CF.圖1（1）如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°且AB＝AC時，則AE與CF滿足的數(shù)量關(guān)系是

AE＝CF

?；

AE＝CF（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°且AB≠AC時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；圖2（3）如圖3，延長AO到點D，使OD＝OA，連接DE，當(dāng)AO＝CF＝5，BC＝6時，求DE的長.圖3

思路點撥

圖2

圖3

?類型2：手拉手相似模型【例2】如圖1，已知△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，點D，E分別在線段AB，AC上，∠C＝∠AED＝90°.圖1（1）觀察猜想：如圖2，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，連接BD，CE，BD的延長線交CE于點F.當(dāng)BD的延長線恰好經(jīng)過點E時，點E與點F重合，此時，

圖2

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（2）類比探究：如圖3，繼續(xù)旋轉(zhuǎn)△ADE，點F與點E不重合時，上述結(jié)論是否仍然成立，請說明理由.圖3備用圖

思路點撥

（3）當(dāng)CE⊥AD時，分

圖4－1圖4－2

圖3

圖3

?類型1：手拉手全等模型1.如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D為BC邊上一點（不與點B，C重合）.將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接EC，則：（1）①∠ACE的度數(shù)是

60°

?；

②線段AC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是

AC＝CD＋CE

?.

60°

AC＝CD＋CE

（2）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點（不與點B，C重合），將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC.請寫出∠ACE的度數(shù)及線段AD，BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3，在Rt△DBC中，DB＝3，DC＝5，∠BDC＝90°.若點A滿足AB＝AC，∠BAC＝90°，請直接寫出線段AD的長度.

?類型2：手拉手相似模型2.如圖1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E分別是BC，AC的中點，連接DE，將△EDC繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α.圖1

（1）問題發(fā)現(xiàn)：