北師大七年級下冊數(shù)學(xué) 生活中的軸對稱 知識點總結(jié)

第五章生活中的軸對稱

知識點總結(jié)：

一、軸對稱圖形

1、如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個圖形叫做軸對稱

圖形，這條直線叫做對稱軸。

2、理解軸對稱圖形要抓住以下幾點:

(1)指一個圖形；

(2)存在一條直線(對稱軸)；

(3)圖形被直線分成的兩部分互相重合；

(4)軸對稱圖形的對稱軸有的只有一條，有的則存在多條；

(5)線段、角、長方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對稱圖形；

二、軸對稱

1、對于兩個圖形，如果沿一條直線對折后，它們能互相重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這

條直線就是對稱軸?？梢哉f成：這兩個圖形關(guān)于某條直線對稱。

2、理解軸對稱應(yīng)注意:

(1)有兩個圖形；

(2)沿某一條直線對折后能夠完全重合；

(3)軸對稱的兩個圖形一定是全等形，但兩個全等的圖形不一定是軸對稱圖形；

(4)對稱軸是直線而不是線段；

軸對稱圖形軸對稱

區(qū)別是一個圖形自身的對稱特性是兩個圖形之間的對稱關(guān)系

對稱軸可能不止一條對稱軸只有一條

共同點沿某條直線對折后都能夠互相重合

如果軸對稱的兩個圖形看作一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形；

如果把軸對稱圖形分成兩部分(兩個圖形)，那么這兩部分關(guān)于這條對稱軸成軸對稱。

三、角平分線的性質(zhì)

1、角平分線所在的直線是該角的對稱軸。

2、性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。

3、判定定理：到角兩邊距離相等的點在該角的角平分線上。

四、線段的垂直平分線

1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線。

2、性質(zhì)：線段垂直.平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等。

3、判定定理：到線段兩端點距離相等的點在該線段的垂直平分線上。

五、等腰三角形

1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；

2、一相等的兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；

3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角；

4、三條邊都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是軸對稱圖形，有一條對稱軸(等邊三角形除外)，其底邊上的高或頂角的平分線,

或底.邊上的中線所在的直線都是它的對稱軸。

6、等腰三角形的三條重要線段不是它的對稱軸，它們所在的直線才是等腰三角形的對稱軸。

7、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡稱為“三線合一”。

8、“三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì)，一般三角形不具備這一重要性質(zhì)。

9、“三線合一”是等腰三角形特有的性質(zhì)，是指其頂角平分線，底邊上的高和中線，這三線，并

非其他。

10、等腰三角形的兩個底角相等，簡寫成“等邊對等角”。

11、判定一個三角形是等腰三角形常用的兩種方法：

(1)兩條邊相等的三角形是等腰三角形；

(2)如果一個三角形有兩個角相等，那么它們所對的邊也相等相等，簡寫為“等角對等邊”。

六、等邊三角形

1、等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱正三角形，是最特殊的三角形。

2、等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì)。

4、等邊三角形的三邊都相等，三個內(nèi)角都是60°。

3、等邊三角形有三條對稱軸，三角形的高、角平分線和中線所在的直線都是它的對稱軸。

圖形定義性質(zhì)

1、兩腰相等，兩底角相等。

有兩

2、頂角=180°-2X底角。底角=（180°-頂

邊相

等腰三角）/2。

的

角形3、頂角的平分線、底邊上的中線和高“三

角

線合一”。

形

4、軸對稱圖形，有一條對稱軸。

等邊三邊

1、三邊都相等，三內(nèi)角相等，且每個內(nèi)

角形都相

角都等于60°o

（又叫的

2、具有等腰三角形的所有性質(zhì)。

正三角角

3、軸對稱圖形，有三條對稱軸。

形）形

七、軸對稱的性質(zhì)

1、兩個圖形沿一條直線對折后，能夠重合的點稱為對應(yīng)點（對稱點），能夠重合的線段稱為對應(yīng)

線段，能夠重合的角稱為對應(yīng)角。

2、關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形是全等圖形。

3、如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分。

4、如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對應(yīng)線段、對應(yīng)角都相等。

5、類似地，軸對稱圖形的性質(zhì)有：

（1）軸對稱圖形對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分。

（2）軸對稱圖形的對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等。

（3）根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)可求作軸對稱圖形的對應(yīng)點、對應(yīng)線段或?qū)?yīng)角，并由此能補(bǔ)全軸對

稱圖形。

課堂練習(xí):

一、填空題

1.等腰三角形的兩個內(nèi)角之比是1:2,那么這個等腰三角形的頂角度數(shù)為.

2.AABC和關(guān)于直線L對稱，若AABC的周長為12cm,的面積為6cm2,則A

的周長為,△ABC的面積為-

3.ZXABC中，AD_LBC于D,且BD=CD,若AB=3,貝UAC=.

4.等腰三角形的周長為22cm,其中一邊的長是8cm,則其余兩邊長分別為.

5.軸對稱圖形有一條對稱軸，有兩條對稱軸，有四條對稱軸，有無數(shù)條對

稱軸.(各填上一個圖形即可)

6.如圖，是用筆尖扎重疊的紙得到的成軸對稱的兩個圖形，則AB的對應(yīng)線段是,EF

的對應(yīng)線段是ZC的對應(yīng)角是連結(jié)CE交L于0,則±,

且=

7.如圖，0C平分NAOB,D為0C上任一點，DE_L0B于E,若DE=4cm,貝i|D至1J0A的距離為.

8.如圖，在△AC。中，AD=BD=BC,若NC=25°,則.

9.如圖，裁剪師傅將一塊長方形布料ABCD沿著AE折疊，使D點落在BC邊上的F點處，若/

BAF=60°,則/DAE=.

10.如圖，在4ABC中，/C=90°,DE是AB的垂直平分線，ZA=40°,則NCDB=,Z

CBD=.

11.如圖，在AABC中AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC,則/1=,圖中有個等腰三

角形。

12.如圖，AABC中AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點D.⑴.若NA=38°,則/

DBC=。

(2),若AC+BC=10cm,則ADBC的周長為。

13.如圖，從鏡子中看到一鐘表的時針和分針，此時的實際時刻是0

14.等腰三角形的周長是25cm,一腰上的中線將周長分為3:2兩部分，則此三角形的底邊長

為.

二.選擇題。

1.如圖所示，下列圖案是我國幾家銀行的標(biāo)志，其中不是軸對稱圖形的有（）

ABCD

2.兩個圖形關(guān)于某直線對稱，對稱點一定在（）

A.這直線的兩旁B.這直線的同旁

C.這直線上D.這直線兩旁或這直線上

3.下列說法中，不正確的是（）

A.等腰三角形底邊上的中線就是它的頂角平分線

B.等腰三角形底邊上的高就是底邊的垂直平分線的一部分

C.一條線段可看作以它的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形

D.兩個三角形能夠重合，它們一定是軸對稱的

4.在線段、直線、射線、角、等腰三角形、任意的一個三角形、五角星這些圖形中，軸對稱圖形

有（）

A.6個B.5個C.4個D.3個

5.將一張矩形的紙對折，然后用筆尖在上面扎出“B”，再把它鋪平，你可見到（）

BBBBaB

（A）（B）（C）（D）

6.如圖，把一個正方形三次對折后沿0虛線剪下,得到的圖形是（）

7.如圖是人字形屋架的設(shè)計圖，由、AC、BC、AD四根鋼條焊接而成，其中A、B、C、D均為焊

接點，且AB=AC,D為BC中點，現(xiàn)在焊接所需的四根鋼條已截好，且已標(biāo)出BC的中點D,如果

焊接工身邊只有可檢驗直角直尺，那么為了準(zhǔn)確快速地焊接，他首先應(yīng)焊接的兩根鋼條及焊接

點是（）

A.AB和BC,焊接點BB.AD和BC,焊接點D

C.AB和AC,焊接點AD.AB和AD,焊接點A-------38題

8.下列圖形中，不是軸對稱圖形的是)

A.有兩個內(nèi)角相等的三角形B.有一個內(nèi)角是45°直角三角形

C.有一個內(nèi)角是30°的直角三角形D.有兩個角分別是30°和120°的三角形

9.下列說法中正確的是（）

①角平分線上任意一點到角的兩邊的線段長相等②角是軸對稱圖形

③線段不是軸對稱圖形④線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等

A.①②③④B.①②③C.②③④D.②④

10.下列圖形中，線段AB和A'B'（AB=A'B'）不關(guān)于直線L對稱的是（）

A.B.C.

11.小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示實際時間是

A.21：10B.10：21C.10：51D.12：

12.如圖，直線12,&表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公

路的距離相等，則可供選擇的地址有（）I

A.1處B.2處C.3處D.4處

三.解答題。

1.（4分）下面兩個軸對稱圖形分別只畫出一半。請畫出它的另一半。（直線L為對稱軸）

2.（5分）如圖，已知：Z^ABC中，BC<AC,AB邊上的垂直平分線DE交AB于D,交AC于E,AC=9

cm,ABCE的周長為15cm,求BC的長.

3.（5分）已知，如圖AABC中，AB=AC,D點在BC上，且BD=AD,DC=AC.將圖中的等腰三角形

全都寫出來.并求NB的度數(shù).

4（5分）.以給定圖形“00、△△、”（兩個圓、兩個等邊三角形、兩條平行線段）為構(gòu)件，

構(gòu)思獨特且有意義的軸對稱圖形.舉例：如圖，左框中是符合要求的一個圖形。你還能構(gòu)思出其它

的圖形嗎？請在右框中畫出與之不同的一個圖形,并寫出一兩句貼切、詼諧的解說詞.

解說詞：兩盞電燈解說詞.

5.（5分）某汽車探險隊要從A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流L邊為汽車加水，汽車在河

邊哪一點加水，才能使行駛的總路程最短？請你在圖上畫出這一點.

6.（6分）如下圖，由小正方形組成的L形圖中，請你用三種方法分別在圖中添一個小正方形,

使它成為軸對稱圖形.

7（6分）.如圖，已知P點是/AOB平分線上一點，PC±OA,PD±OB,

垂足為C、D,（1）NPCD=NPDC嗎？為什么？（2）OP是CD的垂直

o'DB

平分線嗎？為什么？

課后作業(yè)：

1.如圖(1)、圖⑵都是軸對稱圖形，圖(1)有條對稱軸，圖(2)有條對稱軸。

2.AABC和AA，B，C關(guān)于直線L對稱，若AABC的周長為12cm,△的面積為6cm則△

的周長為,△ABC的面積為-

3.如圖(3),在AABC中AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC,則/1=,圖中有

個等腰三角形。

4.如圖(4),AABC中AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點D。(1).若NA=38°,則

ZDBC=o(2).若AC+BC=10cm,則ADBC的周長為?

5.如圖(5),將標(biāo)號A、B、C、D的正方形沿圖中虛線剪開后，得到標(biāo)號為P、Q、M、N的四個

圖形。按照“哪個正方形剪開后得到哪個圖形，”的對應(yīng)關(guān)系，填空：A與對應(yīng)，B與

對應(yīng)，C與對應(yīng)，D與對應(yīng)。

6.如圖，從鏡子中看到一鐘表的時針和分針，此時的實際時刻是0

7.數(shù)的計算中有一些有趣的對稱形式，如：12X231=132X21；仿照上面的形式填空，并判斷

等式是否成立：(1)12X462=—X—(),(2)18X891=—X—()。戶,\

5.下列圖形中，是軸對稱圖形的有——個:①角；②線段;③等腰三角形；

④扇形;⑤三角形;⑥正方形;⑦平行四邊形;⑧五邊形.//

A.5個B.6個C.7個D.8個

6.如圖，NAOB內(nèi)一點P,Pi、P2分別是P關(guān)于OA、0B的對稱點，PR交0A于M,交0B于N,若

PR=5cm,則APMN的周長是（)

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

7.若等腰三角形的周長為12,則腰長的取值范圍是（）

A.a>5B.a<5C.4<a<7D.3<a<6

8.如圖,BC=BD,AD=AE,DE=CE,ZA=36°,則NB=（）

A.45°B.36°C.72°D.30°

9.如圖,AABC中，AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC交AC于點D,

DE〃AB交BC于E,EF〃BD交CD于F,則圖中等腰三角形的個數(shù)

為（）A.5個B.6個C.7個D.8個

11.將兩塊全等的直角三角形（有一銳角為30°）拼成一個四邊形，其中

軸對稱圖形的四邊形有多少個（）A.1B.2C.3D.4

二、填空題:

15.如圖3,若B、D、F在MN上，C、E在AM上，且AB=BC=CD,EC=ED=EF,ZA=20°,

則ZFEB=

16.如圖，在AABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3,ZiABD的周長為13,那

么4ABC的周長為

17.如圖，已知：在AABC中，D、E是BC上的兩點，且AD=BD,AE=CE,

ZADE=ST,ZAED=48°,則N5AC=

18.如圖，△ABC中，AB=AC=9,ZBAC=120°,AD是AABC的中線，AE是AABD

的角平分線，DF〃AB交AE延長線于F,則DF的長為

19.如圖，在AABC中，D是BC上的一點，DE平分NADB,DF平分

ZADC,且EF〃BC,若EF交AD于M,EF=12,則DM=

二、選擇題：

8.下列圖形中，不是軸對稱圖形的是（）三角形

A.有兩個內(nèi)角相等的B.有一個內(nèi)角是45°直角

C.有一個內(nèi)角是30°的直角D.有兩個角分別是30°和120°的

9.下列圖形中，軸對稱圖形有）個A.lB.2C.3D.4

念A(yù)眾A

10.下列說法中正確的是)A.①②③④B.①

②③C.②④D.②③④

①角平分線上任意一點到角的兩邊的線段長相等

②角是軸對稱圖形③線段不是軸對稱圖形

④線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等

11.下列圖形中，線段AB和A，B，（AB=A，B，）不關(guān)于直線L對稱的是（）

12.小明從鏡子里看到鏡子對面電子鐘的像如圖所示實際時間是

14.下面兩個軸對稱圖形分別只畫出一半。請畫出它的另一半。（L為對稱軸）

四、觀察與思考

15.如圖，己知P點是NAOB平分線上一點，PCXOA,PDXOB,垂足為C、D,

(1)NPCD=NPDC嗎？為什么？

(2)0P是CD的垂直平分線嗎？為什么？

DB

16.如圖，EFGH為矩形臺球桌面，現(xiàn)有一白球A和一彩球B.應(yīng)怎樣擊打白球A,才能使白球A

碰撞臺邊EF,反彈后能擊中彩球B?

17、如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點，已知CELBF,垂足為M,請找出和BE

相等的線段，并證明你的結(jié)論。AF

18、兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置

,圖2是由它抽象出的幾何圖形，B,C,E在同一條直線上，

連結(jié)。C.(1)請找出圖2中的全等三角形，并給予證明(說

明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識的字母)；(2)證明：DC1BE.

19、如圖，己知△ABC中，AB=AC=10厘米，3c=8厘米，點。為A3的中點.

(1)如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q在線段CAA

上由C點向A點運動.①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BP。與/\

△CQ尸是否全等,請說明理由；\

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當(dāng)點Q的運動速度為多少時，能夠,使\

△BPD與△CQP全等？/?、/\

(2)若點Q以②中的運動速度從點C出發(fā)，點P以原來的運動速度從點B同時出發(fā),“mC

逆時針沿△ABC三邊運動，求經(jīng)過多長時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

c

20.如圖，P是平分線AD上一點，P與A不重合,

求證：/

軍飲馬問題一一線段和最短

一.六大模型

1.如圖，直線/和/的異側(cè)兩點A、B,在直線/上求作一點P,使PA+PB最小。

B

2.如圖，直線/和/的同側(cè)兩點A、B,在直線/上求作一點P,使PA+PB最小。

3.如圖，點P是NMON內(nèi)的一點，分別在OM,ON上作點A,B。使APAB的周長最小。

4.如圖，點P,Q為NMON內(nèi)的兩點，分別在OM,ON上作點A,B。使四邊形PAQB的周長最

小。

5.如圖，點A是NMON外的一點，在射線OM上作點P,使PA與點。B'JN

小。

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O匕BTV

6.如圖，點A是/MON內(nèi)的一點，在射線ON