北師大七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué) 生活中的軸對(duì)稱(chēng) 知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第五章生活中的軸對(duì)稱(chēng)

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：

一、軸對(duì)稱(chēng)圖形

1、如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠完全重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱(chēng)

圖形，這條直線叫做對(duì)稱(chēng)軸。

2、理解軸對(duì)稱(chēng)圖形要抓住以下幾點(diǎn):

(1)指一個(gè)圖形；

(2)存在一條直線(對(duì)稱(chēng)軸)；

(3)圖形被直線分成的兩部分互相重合；

(4)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸有的只有一條，有的則存在多條；

(5)線段、角、長(zhǎng)方形、正方形、菱形、等腰三角形、圓都是軸對(duì)稱(chēng)圖形；

二、軸對(duì)稱(chēng)

1、對(duì)于兩個(gè)圖形，如果沿一條直線對(duì)折后，它們能互相重合，那么稱(chēng)這兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，這

條直線就是對(duì)稱(chēng)軸。可以說(shuō)成：這兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)。

2、理解軸對(duì)稱(chēng)應(yīng)注意:

(1)有兩個(gè)圖形；

(2)沿某一條直線對(duì)折后能夠完全重合；

(3)軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形一定是全等形，但兩個(gè)全等的圖形不一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形；

(4)對(duì)稱(chēng)軸是直線而不是線段；

軸對(duì)稱(chēng)圖形軸對(duì)稱(chēng)

區(qū)別是一個(gè)圖形自身的對(duì)稱(chēng)特性是兩個(gè)圖形之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系

對(duì)稱(chēng)軸可能不止一條對(duì)稱(chēng)軸只有一條

共同點(diǎn)沿某條直線對(duì)折后都能夠互相重合

如果軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形看作一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形；

如果把軸對(duì)稱(chēng)圖形分成兩部分(兩個(gè)圖形)，那么這兩部分關(guān)于這條對(duì)稱(chēng)軸成軸對(duì)稱(chēng)。

三、角平分線的性質(zhì)

1、角平分線所在的直線是該角的對(duì)稱(chēng)軸。

2、性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。

3、判定定理：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在該角的角平分線上。

四、線段的垂直平分線

1、垂直于一條線段并且平分這條線段的直線叫做這條線段的垂直平分線，又叫線段的中垂線。

2、性質(zhì)：線段垂直.平分線上的點(diǎn)到這條線段兩端點(diǎn)的距離相等。

3、判定定理：到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在該線段的垂直平分線上。

五、等腰三角形

1、有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形；

2、一相等的兩條邊叫做腰；另一邊叫做底邊；

3、兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角；

4、三條邊都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有一條對(duì)稱(chēng)軸(等邊三角形除外)，其底邊上的高或頂角的平分線,

或底.邊上的中線所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸。

6、等腰三角形的三條重要線段不是它的對(duì)稱(chēng)軸，它們所在的直線才是等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸。

7、等腰三角形底邊上的高，底邊上的中線，頂角的平分線互相重合，簡(jiǎn)稱(chēng)為“三線合一”。

8、“三線合一”是等腰三角形所特有的性質(zhì)，一般三角形不具備這一重要性質(zhì)。

9、“三線合一”是等腰三角形特有的性質(zhì)，是指其頂角平分線，底邊上的高和中線，這三線，并

非其他。

10、等腰三角形的兩個(gè)底角相等，簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角”。

11、判定一個(gè)三角形是等腰三角形常用的兩種方法：

(1)兩條邊相等的三角形是等腰三角形；

(2)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么它們所對(duì)的邊也相等相等，簡(jiǎn)寫(xiě)為“等角對(duì)等邊”。

六、等邊三角形

1、等邊三角形是指三邊都相等的三角形，又稱(chēng)正三角形，是最特殊的三角形。

2、等邊三角形是底與腰相等的等腰三角形，所以等邊三角形具備等腰三角形的所有性質(zhì)。

4、等邊三角形的三邊都相等，三個(gè)內(nèi)角都是60°。

3、等邊三角形有三條對(duì)稱(chēng)軸，三角形的高、角平分線和中線所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸。

圖形定義性質(zhì)

1、兩腰相等，兩底角相等。

有兩

2、頂角=180°-2X底角。底角=（180°-頂

邊相

等腰三角）/2。

的

角形3、頂角的平分線、底邊上的中線和高“三

角

線合一”。

形

4、軸對(duì)稱(chēng)圖形，有一條對(duì)稱(chēng)軸。

等邊三邊

1、三邊都相等，三內(nèi)角相等，且每個(gè)內(nèi)

角形都相

角都等于60°o

（又叫的

2、具有等腰三角形的所有性質(zhì)。

正三角角

3、軸對(duì)稱(chēng)圖形，有三條對(duì)稱(chēng)軸。

形）形

七、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

1、兩個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折后，能夠重合的點(diǎn)稱(chēng)為對(duì)應(yīng)點(diǎn)（對(duì)稱(chēng)點(diǎn)），能夠重合的線段稱(chēng)為對(duì)應(yīng)

線段，能夠重合的角稱(chēng)為對(duì)應(yīng)角。

2、關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形。

3、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分。

4、如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角都相等。

5、類(lèi)似地，軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)有：

（1）軸對(duì)稱(chēng)圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分。

（2）軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角相等。

（3）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)可求作軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段或?qū)?yīng)角，并由此能補(bǔ)全軸對(duì)

稱(chēng)圖形。

課堂練習(xí):

一、填空題

1.等腰三角形的兩個(gè)內(nèi)角之比是1:2,那么這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為.

2.AABC和關(guān)于直線L對(duì)稱(chēng)，若AABC的周長(zhǎng)為12cm,的面積為6cm2,則A

的周長(zhǎng)為,△ABC的面積為-

3.ZXABC中，AD_LBC于D,且BD=CD,若AB=3,貝UAC=.

4.等腰三角形的周長(zhǎng)為22cm,其中一邊的長(zhǎng)是8cm,則其余兩邊長(zhǎng)分別為.

5.軸對(duì)稱(chēng)圖形有一條對(duì)稱(chēng)軸，有兩條對(duì)稱(chēng)軸，有四條對(duì)稱(chēng)軸，有無(wú)數(shù)條對(duì)

稱(chēng)軸.(各填上一個(gè)圖形即可)

6.如圖，是用筆尖扎重疊的紙得到的成軸對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，則AB的對(duì)應(yīng)線段是,EF

的對(duì)應(yīng)線段是ZC的對(duì)應(yīng)角是連結(jié)CE交L于0,則±,

且=

7.如圖，0C平分NAOB,D為0C上任一點(diǎn)，DE_L0B于E,若DE=4cm,貝i|D至1J0A的距離為.

8.如圖，在△AC。中，AD=BD=BC,若NC=25°,則.

9.如圖，裁剪師傅將一塊長(zhǎng)方形布料ABCD沿著AE折疊，使D點(diǎn)落在BC邊上的F點(diǎn)處，若/

BAF=60°,則/DAE=.

10.如圖，在4ABC中，/C=90°,DE是AB的垂直平分線，ZA=40°,則NCDB=,Z

CBD=.

11.如圖，在AABC中AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC,則/1=,圖中有個(gè)等腰三

角形。

12.如圖，AABC中AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D.⑴.若NA=38°,則/

DBC=。

(2),若AC+BC=10cm,則ADBC的周長(zhǎng)為。

13.如圖，從鏡子中看到一鐘表的時(shí)針和分針，此時(shí)的實(shí)際時(shí)刻是0

14.等腰三角形的周長(zhǎng)是25cm,一腰上的中線將周長(zhǎng)分為3:2兩部分，則此三角形的底邊長(zhǎng)

為.

二.選擇題。

1.如圖所示，下列圖案是我國(guó)幾家銀行的標(biāo)志，其中不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有（）

ABCD

2.兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)一定在（）

A.這直線的兩旁B.這直線的同旁

C.這直線上D.這直線兩旁或這直線上

3.下列說(shuō)法中，不正確的是（）

A.等腰三角形底邊上的中線就是它的頂角平分線

B.等腰三角形底邊上的高就是底邊的垂直平分線的一部分

C.一條線段可看作以它的垂直平分線為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形

D.兩個(gè)三角形能夠重合，它們一定是軸對(duì)稱(chēng)的

4.在線段、直線、射線、角、等腰三角形、任意的一個(gè)三角形、五角星這些圖形中，軸對(duì)稱(chēng)圖形

有（）

A.6個(gè)B.5個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

5.將一張矩形的紙對(duì)折，然后用筆尖在上面扎出“B”，再把它鋪平，你可見(jiàn)到（）

BBBBaB

（A）（B）（C）（D）

6.如圖，把一個(gè)正方形三次對(duì)折后沿0虛線剪下,得到的圖形是（）

7.如圖是人字形屋架的設(shè)計(jì)圖，由、AC、BC、AD四根鋼條焊接而成，其中A、B、C、D均為焊

接點(diǎn)，且AB=AC,D為BC中點(diǎn)，現(xiàn)在焊接所需的四根鋼條已截好，且已標(biāo)出BC的中點(diǎn)D,如果

焊接工身邊只有可檢驗(yàn)直角直尺，那么為了準(zhǔn)確快速地焊接，他首先應(yīng)焊接的兩根鋼條及焊接

點(diǎn)是（）

A.AB和BC,焊接點(diǎn)BB.AD和BC,焊接點(diǎn)D

C.AB和AC,焊接點(diǎn)AD.AB和AD,焊接點(diǎn)A-------38題

8.下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是)

A.有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形B.有一個(gè)內(nèi)角是45°直角三角形

C.有一個(gè)內(nèi)角是30°的直角三角形D.有兩個(gè)角分別是30°和120°的三角形

9.下列說(shuō)法中正確的是（）

①角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的線段長(zhǎng)相等②角是軸對(duì)稱(chēng)圖形

③線段不是軸對(duì)稱(chēng)圖形④線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

A.①②③④B.①②③C.②③④D.②④

10.下列圖形中，線段AB和A'B'（AB=A'B'）不關(guān)于直線L對(duì)稱(chēng)的是（）

A.B.C.

11.小明從鏡子里看到鏡子對(duì)面電子鐘的像如圖所示實(shí)際時(shí)間是

A.21：10B.10：21C.10：51D.12：

12.如圖，直線12,&表示三條互相交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公

路的距離相等，則可供選擇的地址有（）I

A.1處B.2處C.3處D.4處

三.解答題。

1.（4分）下面兩個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形分別只畫(huà)出一半。請(qǐng)畫(huà)出它的另一半。（直線L為對(duì)稱(chēng)軸）

2.（5分）如圖，已知：Z^ABC中，BC<AC,AB邊上的垂直平分線DE交AB于D,交AC于E,AC=9

cm,ABCE的周長(zhǎng)為15cm,求BC的長(zhǎng).

3.（5分）已知，如圖AABC中，AB=AC,D點(diǎn)在BC上，且BD=AD,DC=AC.將圖中的等腰三角形

全都寫(xiě)出來(lái).并求NB的度數(shù).

4（5分）.以給定圖形“00、△△、”（兩個(gè)圓、兩個(gè)等邊三角形、兩條平行線段）為構(gòu)件，

構(gòu)思獨(dú)特且有意義的軸對(duì)稱(chēng)圖形.舉例：如圖，左框中是符合要求的一個(gè)圖形。你還能構(gòu)思出其它

的圖形嗎？請(qǐng)?jiān)谟铱蛑挟?huà)出與之不同的一個(gè)圖形,并寫(xiě)出一兩句貼切、詼諧的解說(shuō)詞.

解說(shuō)詞：兩盞電燈解說(shuō)詞.

5.（5分）某汽車(chē)探險(xiǎn)隊(duì)要從A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流L邊為汽車(chē)加水，汽車(chē)在河

邊哪一點(diǎn)加水，才能使行駛的總路程最短？請(qǐng)你在圖上畫(huà)出這一點(diǎn).

6.（6分）如下圖，由小正方形組成的L形圖中，請(qǐng)你用三種方法分別在圖中添一個(gè)小正方形,

使它成為軸對(duì)稱(chēng)圖形.

7（6分）.如圖，已知P點(diǎn)是/AOB平分線上一點(diǎn)，PC±OA,PD±OB,

垂足為C、D,（1）NPCD=NPDC嗎？為什么？（2）OP是CD的垂直

o'DB

平分線嗎？為什么？

課后作業(yè)：

1.如圖(1)、圖⑵都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，圖(1)有條對(duì)稱(chēng)軸，圖(2)有條對(duì)稱(chēng)軸。

2.AABC和AA，B，C關(guān)于直線L對(duì)稱(chēng)，若AABC的周長(zhǎng)為12cm,△的面積為6cm則△

的周長(zhǎng)為,△ABC的面積為-

3.如圖(3),在AABC中AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC,則/1=,圖中有

個(gè)等腰三角形。

4.如圖(4),AABC中AB=AC,AB的垂直平分線MN交AC于點(diǎn)D。(1).若NA=38°,則

ZDBC=o(2).若AC+BC=10cm,則ADBC的周長(zhǎng)為?

5.如圖(5),將標(biāo)號(hào)A、B、C、D的正方形沿圖中虛線剪開(kāi)后，得到標(biāo)號(hào)為P、Q、M、N的四個(gè)

圖形。按照“哪個(gè)正方形剪開(kāi)后得到哪個(gè)圖形，”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，填空：A與對(duì)應(yīng)，B與

對(duì)應(yīng)，C與對(duì)應(yīng)，D與對(duì)應(yīng)。

6.如圖，從鏡子中看到一鐘表的時(shí)針和分針，此時(shí)的實(shí)際時(shí)刻是0

7.數(shù)的計(jì)算中有一些有趣的對(duì)稱(chēng)形式，如：12X231=132X21；仿照上面的形式填空，并判斷

等式是否成立：(1)12X462=—X—(),(2)18X891=—X—()。戶,\

5.下列圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有——個(gè):①角；②線段;③等腰三角形；

④扇形;⑤三角形;⑥正方形;⑦平行四邊形;⑧五邊形.//

A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

6.如圖，NAOB內(nèi)一點(diǎn)P,Pi、P2分別是P關(guān)于OA、0B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，PR交0A于M,交0B于N,若

PR=5cm,則APMN的周長(zhǎng)是（)

A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm

7.若等腰三角形的周長(zhǎng)為12,則腰長(zhǎng)的取值范圍是（）

A.a>5B.a<5C.4<a<7D.3<a<6

8.如圖,BC=BD,AD=AE,DE=CE,ZA=36°,則NB=（）

A.45°B.36°C.72°D.30°

9.如圖,AABC中，AB=AC,ZA=36°,BD平分NABC交AC于點(diǎn)D,

DE〃AB交BC于E,EF〃BD交CD于F,則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)

為（）A.5個(gè)B.6個(gè)C.7個(gè)D.8個(gè)

11.將兩塊全等的直角三角形（有一銳角為30°）拼成一個(gè)四邊形，其中

軸對(duì)稱(chēng)圖形的四邊形有多少個(gè)（）A.1B.2C.3D.4

二、填空題:

15.如圖3,若B、D、F在MN上，C、E在AM上，且AB=BC=CD,EC=ED=EF,ZA=20°,

則ZFEB=

16.如圖，在AABC中，DE是AC的垂直平分線，AE=3,ZiABD的周長(zhǎng)為13,那

么4ABC的周長(zhǎng)為

17.如圖，已知：在AABC中，D、E是BC上的兩點(diǎn)，且AD=BD,AE=CE,

ZADE=ST,ZAED=48°,則N5AC=

18.如圖，△ABC中，AB=AC=9,ZBAC=120°,AD是AABC的中線，AE是AABD

的角平分線，DF〃AB交AE延長(zhǎng)線于F,則DF的長(zhǎng)為

19.如圖，在AABC中，D是BC上的一點(diǎn)，DE平分NADB,DF平分

ZADC,且EF〃BC,若EF交AD于M,EF=12,則DM=

二、選擇題：

8.下列圖形中，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（）三角形

A.有兩個(gè)內(nèi)角相等的B.有一個(gè)內(nèi)角是45°直角

C.有一個(gè)內(nèi)角是30°的直角D.有兩個(gè)角分別是30°和120°的

9.下列圖形中，軸對(duì)稱(chēng)圖形有）個(gè)A.lB.2C.3D.4

念A(yù)眾A

10.下列說(shuō)法中正確的是)A.①②③④B.①

②③C.②④D.②③④

①角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的線段長(zhǎng)相等

②角是軸對(duì)稱(chēng)圖形③線段不是軸對(duì)稱(chēng)圖形

④線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

11.下列圖形中，線段AB和A，B，（AB=A，B，）不關(guān)于直線L對(duì)稱(chēng)的是（）

12.小明從鏡子里看到鏡子對(duì)面電子鐘的像如圖所示實(shí)際時(shí)間是

14.下面兩個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形分別只畫(huà)出一半。請(qǐng)畫(huà)出它的另一半。（L為對(duì)稱(chēng)軸）

四、觀察與思考

15.如圖，己知P點(diǎn)是NAOB平分線上一點(diǎn)，PCXOA,PDXOB,垂足為C、D,

(1)NPCD=NPDC嗎？為什么？

(2)0P是CD的垂直平分線嗎？為什么？

DB

16.如圖，EFGH為矩形臺(tái)球桌面，現(xiàn)有一白球A和一彩球B.應(yīng)怎樣擊打白球A,才能使白球A

碰撞臺(tái)邊EF,反彈后能擊中彩球B?

17、如圖，正方形ABCD中，E、F分別是AB和AD上的點(diǎn)，已知CELBF,垂足為M,請(qǐng)找出和BE

相等的線段，并證明你的結(jié)論。AF

18、兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置

,圖2是由它抽象出的幾何圖形，B,C,E在同一條直線上，

連結(jié)。C.(1)請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明(說(shuō)

明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母)；(2)證明：DC1BE.

19、如圖，己知△ABC中，AB=AC=10厘米，3c=8厘米，點(diǎn)。為A3的中點(diǎn).

(1)如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CAA

上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BP。與/\

△CQ尸是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理由；\

②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠,使\

△BPD與△CQP全等？/?、/\

(2)若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),“mC

逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

c

20.如圖，P是平分線AD上一點(diǎn)，P與A不重合,

求證：/

軍飲馬問(wèn)題一一線段和最短

一.六大模型

1.如圖，直線/和/的異側(cè)兩點(diǎn)A、B,在直線/上求作一點(diǎn)P,使PA+PB最小。

B

2.如圖，直線/和/的同側(cè)兩點(diǎn)A、B,在直線/上求作一點(diǎn)P,使PA+PB最小。

3.如圖，點(diǎn)P是NMON內(nèi)的一點(diǎn)，分別在OM,ON上作點(diǎn)A,B。使APAB的周長(zhǎng)最小。

4.如圖，點(diǎn)P,Q為NMON內(nèi)的兩點(diǎn)，分別在OM,ON上作點(diǎn)A,B。使四邊形PAQB的周長(zhǎng)最

小。

5.如圖，點(diǎn)A是NMON外的一點(diǎn)，在射線OM上作點(diǎn)P,使PA與點(diǎn)。B'JN

小。

.4八」

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6.如圖，點(diǎn)A是/MON內(nèi)的一點(diǎn)，在射線ON