專題04基本不等式及其運用（考點歸納與八大題型方法總結(jié)）（原卷版）

專題04基本不等式及其運用【題型歸納目錄】題型一：基本不等式的理解題型二：直接法求最值題型三：常規(guī)湊配法求最值題型四：換元求最值題型五：“1”的代換求最值題型六：利用基本不等式求參數(shù)題型七：利用基本不等式證明不等式題型八：利用基本不等式解決實際問題【【考點歸納】考點1：基本不等式1．重要不等式：?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．2．基本不等式（1）有關(guān)概念：當a，b均為正數(shù)時，把eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，把eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．（2）不等式：當a，b是任意正實數(shù)時，a，b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，即，當且僅當a＝b時，等號成立．【注意】①基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時和或積為定值，“三相等”指滿足等號成立的條件；②連續(xù)使用不等式要注意取得一致。（3）其他變形：①(溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式)②(溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式)③(溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式)④重要不等式串：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).3．已知x、y都是正數(shù)，（1）若(和為定值)，則當x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值eq\f(S2,4).（3）若xy＝p(積為定值)，則當x＝y(tǒng)時，上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．考點2：常見求最值模型模型一：，當且僅當時等號成立；模型二：，當且僅當時等號成立；模型三：，當且僅當時等號成立；模型四：，當且僅當時等號成立.【【題型歸納】題型一：基本不等式的理解【例1】【例1】下列不等式的推導過程正確的是________．①若x＞1，則x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2.②若x＜0，則x＋eq\f(4,x)＝③若a，b∈R，則eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.【例2】下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【【方法技巧歸納】1．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a＞0，b＞0)反映了兩個正數(shù)的和與積之間的關(guān)系．2．對基本不等式的準確掌握要抓住以下兩個方面：(1)定理成立的條件是a、b都是正數(shù)．(2)“當且僅當”的含義：當a＝b時，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等號成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；僅當a＝b時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.【【變式演練】1．下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)＋eq\f(4,a)≥4 B．a(chǎn)2＋b2≥4abC.eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2) D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)2．（多選）已知、、．若，則（）A． B． C． D．3．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點在半圓上，點在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A． B．C． D．題型二：直接法求最值【例3】若實數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【例4】若，則有（）A．最小值 B．最小值C．最大值 D．最大值【例5】已知正數(shù)、滿足，則的最小值是___________.【【方法技巧歸納】利用基本不等式求最值的關(guān)鍵是獲得滿足基本不等式成立條件，即“一正、二定、三相等”.解題時應(yīng)對照已知和欲求的式子運用適當?shù)摹安痦?、添項、配湊、變形”等方法?chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的條件.具體可歸納為三句話：若不正，用其相反數(shù)，改變不等號方向；若不定應(yīng)湊出定和或定積；若不等，一般用后面第三章函數(shù)的基本性質(zhì)中學習.【【變式演練】1．已知，，且，則的最大值是（）A．1 B． C．3 D．52．已知直角三角形的兩條直角邊的和等于4，則直角三角形面積的最大值是（）A．4 B． C．2 D．3．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy（）A．有最大值為1 B．有最小值為1 C．有最大值為 D．有最小值為4．已知，，且，則ab的最大值為（）A． B．4 C． D．25．若，則（）A．有最小值，且最小值為 B．有最大值，且最大值為2C．有最小值，且最小值為 D．有最大值，且最大值為題型三：常規(guī)湊配法求最值【例5】函數(shù)的最小值是【例6】已知，則的最大值是【例7】若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【【方法技巧歸納】1．通過添項、拆項、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．（見?？寄Ｐ停?．注意驗證取得條件．【【變式演練】1．當時，取得最小值時x的值為（）A．0 B． C．3 D．22．若，則函數(shù)的最小值為___________.3．若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．題型四：換元求最值【例8】已知實數(shù)，則的最小值是（）A．6 B． C． D．【例9】函數(shù)的最小值是___________.【【方法技巧歸納】若題目中含是求兩個分式的最值問題，對于這類問題最常用的方法就是換元，分布運用兩個分式的分母為參數(shù)，轉(zhuǎn)化為參數(shù)的不等關(guān)系．1．代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2．注意驗證取得條件．【【變式演練】1．設(shè)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．2．若，且，則的最小值為_________題型五：“1”的代換求最值【例10】已知，且，則的最大值為（）A． B． C． D．【例11】正實數(shù)，滿足：，則當取最小值時，____.【例12】已知，則的最小值為（

）A．13 B．19 C．21 D．27【【方法技巧歸納】1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達到運用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價變形．1．根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2．注意驗證取得條件．【【變式演練】1．已知，，且，則的最小值為（）A．4 B．9 C．10 D．122．已知，，，則的最小值是______．3．已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為___________.4．設(shè)，，，則的最小值為______．題型六：利用基本不等式求參數(shù)【例13】已知，且，若恒成立，則正實數(shù)的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．6【例14】當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【例15】已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（）A．10 B．12 C．16 D．9【【變式演練】1．已知，且，若不等式恒成立，．則m的最大值為（）A．3 B．4 C．5 D．62．若對有恒成立，則的取值范圍是_________3．若對任意，不等式恒成立，則的最小值是______.題型七：利用基本不等式證明不等式【例16】已知，，，求證：（1）；（2）.【例17】（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預(yù)測（理））已知，．（1）若，證明：；（2）若，證明：．【【方法技巧歸納】1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結(jié)合起來考慮，比如本題通過“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用基本不等式創(chuàng)造條件，另一方面可實現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系．2．先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)(注意限制條件)，通過相加(乘)合成為待證的不等式，既是運用基本不等式時的一種重要技能，也是證明不等式時的一種常用方法．【【變式演練】1．設(shè)，求證：.2．已知：、是正實數(shù)，求證：.3．（2021·湖南）已知，.（1）求證：；（2）若，，，求證：.題型八：利用基本不等式解決實際問題【例18】某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是（）A．20 B．25 C．28 D．30【例19】新冠病毒疫情期間，武漢物資緊缺，一批口罩、食物等救災(zāi)物資隨輛汽車從某市以km/h的速度勻速直達武漢災(zāi)區(qū)．已知兩地公路線長360km，為安全起見，兩輛汽車的間距不得小于km（車長忽略不計），要使這批物資盡快全部到達災(zāi)區(qū)，則（）A．70km/h B．80km/h C．90km/h D．100km/h【例20】（1）用籬笆圍一個面積為的矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2）用一段長為的籬笆圍成一個矩形菜園，當這個矩形的邊長為多少時，菜園的面積最大？最大面積是多少？【【方法技巧歸納】1．在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時，應(yīng)注意如下思路和方法：（1）先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；（4）正確寫出答案．2．對于函數(shù)y＝x＋eq\f(k,x)(k>0)，可以證明0＜x≤eq\r(k)及－eq\r(k)≤x＜0上均為減函數(shù)，在x≥eq\r(k)及x≤－eq\r(k)上都是增函數(shù)．求此函數(shù)的最值時，若所給的范圍含±eq\r(k)時，可用基本不等式，不包含±eq\r(k)時，可用函數(shù)的單調(diào)性求解(第三章函數(shù)的基本性質(zhì)中學習)．【【變式演練】1．一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金.一位顧客到店里要購買20g黃金，售貨員先將10g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將10g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認為顧客購得的黃金是（）A．大于20g B．小于20g C．等于20g D．無法判斷2．某企業(yè)投入萬元購入一套設(shè)備，該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護費都比上一年增加萬元．為使該設(shè)備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設(shè)備的年數(shù)為（）A． B． C． D．3．如果一個直角三角形的斜邊長等于，那么這個直角三角形的面積的最大值等于______.4．如下圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成.（1）現(xiàn)有可圍36m長網(wǎng)的材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？最大面積為多少？（2）若使每間虎籠面積為24，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間籠的鋼筋網(wǎng)總長最??？最小值為多少？【【過關(guān)檢測】一、單選題1．若0<a<b，則下列不等式一定成立的是（）A．b>>a> B．b>>>aC．b>>>a D．b>a>>2．已知，則的最大值為（

）A． B． C．0 D．23．若a，b都為正實數(shù)且，則的最大值是（

）A． B． C． D．4．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，則xy（

）A．有最大值為1 B．有最小值為1 C．有最大值為 D．有最小值為5．若，則有（

）A．最小值為3 B．最大值為3 C．最小值為 D．最大值為6．已知實數(shù)a，b滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若，則的最小值為（

）A．4 B．3 C．2 D．18．已知，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5二、多選題9．設(shè)正實數(shù)，滿足，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為4C．的最大值為 D．的最小值為10．（2022·河北張家口·三模）已知，（m是常數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．若的最小值為，則B．若的最大值為4，則C．若的最大值為m，則D．若，則的最小值為211．已知正數(shù)，，則下列不等式中恒成立的是（）A． B．C． D．12．已知，則以下不等式成立的是（

）A． B． C． D．三、填空題13．若，則的最大值為________14．若，，，則的最小值為___________.15．已知，，且，則的最小值為______．16．（2022·重慶·三模）已知，，且，則的最小值為___________.四、簡答題17．已知，求的最大值，以及y取得最大值時x的值．18．（1）已知，則取得最大值時的值為？（2）已知，