2025版高考數(shù)學(xué)全程一輪復(fù)習(xí)課前預(yù)備案第八章解析幾何第四節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系必備知識(shí)1.直線與圓的位置關(guān)系設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.位置關(guān)系幾何法代數(shù)法相交d________rΔ________0相切d________rΔ________0相離d________rΔ________02.圓與圓的位置關(guān)系已知兩圓C1：(x－x1)2＋(y－y1)2＝r1C2：(x－x2)2＋(y－y2)2＝r2則圓心距d＝|C1C2|＝x1則兩圓C1，C2有以下位置關(guān)系：位置關(guān)系外離內(nèi)含相交內(nèi)切外切圓心距與半徑的關(guān)系________________________________________圖示公切線條數(shù)40213【常用結(jié)論】1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．直線被圓截得的弦長(zhǎng)的求法(1)幾何法：運(yùn)用弦心距d、半徑r和弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長(zhǎng)|AB|＝2r2(2)代數(shù)法：設(shè)直線y＝kx＋m與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于點(diǎn)M，N，將直線方程代入圓的方程中，消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，求出xM＋xN和xM·xN，則|MN|＝1+k2·夯實(shí)基礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若直線平分圓的周長(zhǎng)，則直線一定過(guò)圓心．()(2)在圓中最長(zhǎng)的弦是直徑．()(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有解，則直線與圓相交．()(4)聯(lián)立兩相交圓的方程，并消去二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在直線的方程．()2．(教材改編)直線l：3x－y－6＝0被圓C：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦AB的長(zhǎng)為()A．102 B．C．265 D．3．(教材改編)圓x2＋y2＋4x－4y＋7＝0與圓(x－1)2＋(y－4)2＝16的位置關(guān)系是()A．外切 B．內(nèi)切C．相交 D．相離4．(易錯(cuò))過(guò)點(diǎn)P(2，4)作圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，則切線方程為()A．3x＋4y－4＝0B．4x－3y＋4＝0C．x＝2或4x－3y＋4＝0D．y＝4或3x＋4y－4＝05．(易錯(cuò))若半徑為r，圓心為(0，1)的圓和定圓(x－1)2＋(y－2)2＝1相切，則r＝________．第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系必備知識(shí)1．<>＝＝><2．d>r1＋r20≤d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d＝r1＋r2夯實(shí)基礎(chǔ)1．答案：(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：由已知可知圓C的圓心為(1，2)，半徑r＝5，圓心到直線的距離為d＝3×1-2-632+∴|AB|＝2r2-d2＝2答案：B3．解析：由題意知，圓x2＋y2＋4x－4y＋7＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－2)2＝1，所以圓心為(－2，2)，半徑為1，圓(x－1)2＋(y－4)2＝16的圓心為(1，4)，半徑為4，所以兩圓的圓心距為：9+4＝13，又兩圓半徑之和為5，半徑之差為3，3<13<5，所以兩圓相交，故選C.答案：C4．解析：當(dāng)斜率不存在時(shí)，x＝2與圓相切；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，則k-1+4-2kk2+1＝1，解得k＝43，則切線方程為4x－3y＋4＝0.故切線方程為x＝2或4答案：C5．解析：由題意，定圓(x－1)2＋(y－2)2＝1的圓心為A(1，2)，半徑R＝1，半徑為r的圓的圓心為B(0，1)，所以|AB|＝1-02+2-1因?yàn)閮蓤A