初中數(shù)學中考復習講義練習：幾何模型菱形的存在性問題

菱形的存在性問題

一、方法突破

作為一種特殊的平行四邊形，我們己經(jīng)知道可以從以下幾種方式得到菱形：

(1)有一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；

(2)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

(3)四邊都相等的四邊形是菱形.

坐標系中的菱形存在性問題也是依據(jù)以上去得到方法.和平行四邊形相比，菱形多一個“對

角線互相垂直”或“鄰邊相等”，但這兩者其實是等價的，故若四邊形ABCD是菱形，則其4

個點坐標需滿足：

xA+xc=xB+xD

<%+>c=%+%

-XB-+(%-%/=4)2+((C-%)2

考慮到互相垂直的兩條直線斜率之積為1在初中并不適合直接用，故取兩鄰邊相等.

即根據(jù)菱形的圖形性質，我們可以列出關于點坐標的3個等式，

故菱形存在性問題點坐標最多可以有3個未知量，與矩形相同.

因此就常規(guī)題型而言，菱形存在性至少有2個動點，多則有3個動點，可細分如下兩大類題

型：

(1)2個定點+1個半動點+1個全動點

(2)1個定點+3個半動點

解決問題的方法也可有如下兩種：

思路1：先平四，再菱形

設點坐標，根據(jù)平四存在性要求列出“A+C=8+ZT(AC、BD為對角線)，再結合一

組鄰邊相等，得到方程組.

思路2：先等腰，再菱形

在構成菱形的4個點中任取3個點，必構成等腰三角形，根據(jù)等腰存在性方法可先

確定第3個點，再確定第4個點.

1.看個例子：

如圖，在坐標系中，A點坐標(1,1),8點坐標為(5,4),點C在x軸上，點。在平面中,

求。點坐標，使得以A、B、C、。為頂點的四邊形是菱形.

木y

B

A

*

~0-

思路1:先平四，再菱形

設C點坐標為(m,0),。點坐標為(p,q).

(1)當AB為對角線時，由題意得：(AB和C￡＞互相平分及AC=2C)

39

m=一

1+5=m+p8

9

＜l+4=0+q,解得：＜p=-

8

222)2

(m-l)+(0-l)=(/n-5)+(O-4q=5

(2)當AC為對角線時，由題意得：(AC和互相平分及&1=8C)

1+m=5+pm=2m=8

1+0=4+q,解得：p=-2或，P=4

(1-5)2+(1-4)2=(m-5)2+(0-4)2q=-3q=-3

(3)當A。為對角線時，由題意得：

\+p=5+mm=1+2瓜m=l-2瓜

l+q=4+0,解得：v〃=5+2#或＜p=5-2A/6

(l-5)2+(l-4)2=(l-m)2+(l-O)2g=3q=3

思路2：先等腰，再菱形

先求點C,點C滿足由A、B、C構成的三角形一定是等腰三角形，用等腰存在性問題的方

法先確定C,再確定。點.

（1）當時，

C點坐標為（1+2瓜0）,對應D點坐標為（5+2瓜3）；

C點坐標為（1-2&,0）,對應D點坐標為（5-2斯,3）.

（2）當時，

C點坐標為（8,0）,對應。點坐標為（4,-3）；

C點坐標為（2,0）,對應。點坐標為（-2,-3）.

（3）AC=BC時，

以上只是兩種簡單的處理方法，對于一些較復雜的題目，還需具體問題具體分析，或許有更

為簡便的方法.

二、典例精析

例一：綜合與探究

如圖，拋物線y=/+Zzx+c與X軸交于&、8兩點，與y軸交于C點，。4=2,OC=6,連接

AC和BC.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M是y軸上的動點，在坐標平面內(nèi)是否存在點N,使以點A、C、M、N為頂點的

四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】

（1）拋物線：y=x1-x-6；

（2）先考慮M點位置，即由4、C、M三點構成的三角形是等腰三角形:

①當CA=CM時，

BPCM=CA=2-J10,M點坐標為他,一6-2亞卜（0,-6+2廂），

對應N點坐標為卜2,-2版）、（-2,2710）.

②當時，

BPAM=AC=M點坐標為（0,6）,

對應N點坐標為（2,0）.

③當時，

勾股定理可求得M點坐標為（0,-11

對應N點坐標為

綜上，N點坐標為卜2,-2回卜卜2,2西）、（2,0）、[一2,-1].

如下圖依次從左到右.

例二：綜合與探究

如圖1所示，直線y=x+c與x軸交于點A(-4,0),與y軸交于點C,拋物線y=-/+6龍+c經(jīng)

過點A,C.

(1)求拋物線的解析式

(2)如圖2所示，M是線段OA的上一個動點，過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋

物線分別交于點尸、N.若點尸恰好是線段的中點，點廠是直線AC上一個動點，

在坐標平面內(nèi)是否存在點使以點D,F,P,M為頂點的四邊形是菱形？若存在，

請直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

【分析】

(1)拋物線解析式：y=-f-3x+4；

(2)設M點坐標為(m,0)(-4<m<0),

則N點坐標為(切,-加-3:〃+4),尸點坐標為(》i,?i+4),

若產(chǎn)是MN中點，貝！|-7/-3切+4=2(加+4),

解得：=—1,m,=-4(舍)

故尸(-1,3)、M(-1,0)

考慮到尸點在直線AC上，故可先確定廠點位置，再求得。點坐標.

當時，

當MP=M歹時,

MP=MF,可得月（TO）,對應。點坐標為A（T，3）.

當b=尸拉時，

例三：如圖，己知直線y=-2x+4分別交x軸、y軸于點A、B,拋物線過A、B兩點，點

尸是線段AB上一動點，過點P作尸C，x軸于點C,交拋物線于點。.

（1）若拋物線的解析式為＞=-2/+2尤+4,設其頂點為其對稱軸交于點N.

①求點M、N的坐標；

②是否存在點P,使四邊形跖VPO為菱形？并說明理由.

y

/0\c\X

【分析】

(l)①M點坐標為1,￡|,N點坐標為&,3).

②由題意可知“V〃尸。，故四邊形MNP。若是菱形，首先MN=PD

考慮到M、N是定點，可先求得MN=」，

2

設P(m,—2m+4),貝！|2m2+2m+4),

PD=-2m2+2m+4—(—2m+4)=—2m2+4m,

33

令PD=—,即一2W+4機=二，

22

解得：rriy=—f%=3.

"292

故尸點坐標為。點坐標為g，i)

但此時僅僅滿足四邊形MNPD是平行四邊形，本題要求的是菱形，故還需加鄰邊相

等.

但此時P、。已定，因此接下來要做的只是驗證鄰邊是否相等.

由兩點間距離公式得：PN=一；j+0一3)2=逐片｝

PN豐MN,故不存在點P使四邊形MNPD是菱形.

【小結】為什么此題會不存在，表面上看是不滿足鄰邊相等，究其原因，是因為M、N是

定點，P、。雖為動點但僅僅是半動點，且尸、O橫坐標相同，故本題只需一個字母便可表

示出4個點的坐標，對于菱形四個點滿足：

XA+XC=XB+XD

'%+>c=%+%

2

『=，(八-4『+(yc-ys)

若只有1個未知數(shù)或2個未知數(shù)，便出現(xiàn)方程個數(shù)〉未知量個數(shù)的情況，就有可能會無解.

方程個數(shù)(未知數(shù)個量，可能無法確定有限組解；

方程個數(shù)〉未知數(shù)個量，可能會無解.

特殊圖形的存在性，其動點是在線上還是在平面上，是有1個動點還是有2個動點，都是

由其圖形本身決定，矩形和菱形相比起平行四邊形，均多一個等式，故對動點位置的要求

可以有3個半動點或者1個全動點+1個半動點，若減少未知量的個數(shù)，反而可能會產(chǎn)生無

解的情況.

不難想象，對于正方形來說，可以有4個未知量，比如在坐標系中已知兩定點，若要作正

方形，只能在平面中再取另外兩動點，即2個全動點，當然，也有可能是1全動+2半動，

甚至是4個半動點.

三、中考真題對決

1.(2021?湘潭)如圖，一次函數(shù)y=-百圖象與坐標軸交于點A、B,二次函數(shù)

>=@尤2+6x+c圖象過A、B兩點.

3

(1)求二次函數(shù)解析式；

(2)點3關于拋物線對稱軸的對稱點為點C,點P是對稱軸上一動點，在拋物線上是否存

在點Q，使得以3、C、尸、。為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出。點坐標；若不存

在，請說明理由.

解：⑴在>=弓%-石中，令x=0得y=令y=0得x=3,

A(3,0),B(0,-A/3),

,二次函數(shù)y=3無2+6x+c圖象過A、3兩點，

-3

?二次函數(shù)解析式為，=會-竽XS

(2)存在，理由如下：

2小

@22A/3亍

由二次函數(shù)y=------X------------X-班可得其對稱軸為直線x==1,

33月

29x——

3

設P(l,m),--百)，而8(0,-G),

C與3關于直線x=l對稱,

C(2,->/3),

①當3C、PQ為對角線時，如圖:

0+2_1+n

2~^2~

此時3C的中點即是P。的中點，即石，2若r

_舊_舊.+丁--fl3

.-2—-T~

2A/3

mr=~,

n=l

.?.當P(L-竿)，。(1,-竽)時，四邊形3QCP是平行四邊形,

2m4

由尸(1,一卷一)，B(0,-V3),C(2,—g)可得尸笈=]=尸。2,

:.PB=PC,

廠.四邊形3QCP是菱形,

此時;

②BP、CQ為對角線時，如圖:

解得

.?.當P(1,O)，。(-1,0)時，四邊形BCPQ是平行四邊形,

由P(l,0),8(0,-e)，。(2,-指)可得心=4=%2,

二.四邊形BCPQ是菱形，

..此時。(—1,0)；

-y/3+m

2~

解得

.?.P(l,0),。(3,0)時，四邊形BCQ尸是平行四邊形,

由P(l,0),B(0,』,C(2,-若)可得3c2=4=PC?,

二.四邊形BCQP是菱形，

..此時。(3,0)；

綜上所述，。的坐標為：(1,一)或(-1,0)或(3,0).

2.(2021?鄂爾多斯)如圖，拋物線y=f+2x-8與x軸交于A,3兩點(點A在點5左側),

與y軸交于點C.

(1)求A,B,C三點的坐標；

(3)點M在y軸上，點N在直線AC上，點尸為拋物線對稱軸上一點，是否存在點

使得以C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存

在，請說明理由.

解：(1)在>=/+2尤一8中，令y=0,得尤2+2X—8=0,

解得：一升=-4,x2=2,

A(-4,0),3(2,0),

令x=0,得y=-8,

.?.C(0,-8)；

(3)存在，

如圖2,->=尤2+2尤一8=(x+iy—9,

拋物線對稱軸為直線x=-l,

以C、M、N、P為頂點的四邊形是菱形，

..分三種情況：CM對角線或C7V為對角線或CP為對角線,

①當CP為對角線時，CMUPN,CM=PN=CN,

：.N點為直線AC與拋物線對稱軸的交點，即N(-1,-6),

CN=<-1-OR(-6+8)2=6,

CM=PN=s/5,

.1.M](0,—8+A/5),A/T(0,—8->/5*)；

②當。V為對角線時，CM//PN,CM=PN=CP,

設CM=a,貝！lM(0,—8+〃)，尸(一1,-6—a),

/.(-1-0)2+(-6-a+8)2=/,

解得：a=9,

4

27

...M(0,——),

34

③當CM對角線時，P/V與CM互相垂直平分，設P(-1切)，則N(l/),MQ2H8),

NQ,b)在直線y=-2%-8上，

."=—2x1—8=—10,

.-.M4(0,-12),

綜上所述，點M的坐標為：跖(0,-8+g)，必(。，-8-百)，M3(0,-y),M4(0,-12).

3.(2021?通遼)如圖，拋物線y=o?+6x+3交x軸于4(3,0),8(-1,0)兩點,交y軸于點C,

動點尸在拋物線的對稱軸上.

(1)求拋物線的解析式；

(3)若點。是平面直角坐標系內(nèi)的任意一點，是否存在點。，使得以A,C,P,。為頂

點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點。的坐標；若不存在，請說明

理由.

+3b+3=0

8+3=0'

解得：仁，

：.該拋物線的解析式為y=-犬+2尤+3；

(2)在y=-f+2無+3中，令x=O,得y=3,

.-.C(0,3),

AP3C的周長為：PB+PC+BC,8c是定值，

，當EB+PC最小時，AP3C的周長最小.

如圖1,點A、3關于對稱軸/對稱，連接AC交/于點P,則點P為所求的點.

AP=BP,

.?.AP3C周長的最小值是：PB+PC+BC=AC+BC.

A(3,0),8(-1,0),C(0,3),

AC=372,BC=9.

周長的最小值是：30+9.

拋物線對稱軸為直線尤=-——=1,

2x(-1)

設直線AC的解析式為y="+c,將A(3,0),C(0,3)代入，得:

(3k+c=0

|c=3

解方得：[\k=-1?

[c=3

直線AC的解析式為y=-x+3,

（3）存在.

設尸（1J），

A（3,0）,C（0,3）,

則AC2=32+32=18,

AP2=（l-3）2+Z2=r2+4,

PC2=l2+（r-3）2=？-6r+10,

四邊形ACP。是菱形，

分三種情況：以轉為對角線或以AC為對角線或以C尸為對角線，

①當以AP為對角線時，則CP=C4,如圖2,

:.f-6z+10=18,

解得：t=3土歷,

，《（1,3-如），g（i,3+g）,

:04,-而'），Q（4,舊），

②以AC為對角線時，則尸C=AP,如圖3,

,\t2-6/+10=〃+4,

解得：t=l9

Q（2,2）,

③當以CP為對角線時，貝!|"=AC,如圖4,

:.t2+4=18,

解得：t=土&^,

.?/（1,舊），。4（-2,3+回，

己（1,-內(nèi)），&（-2,3-9），

綜上所述，符合條件的點。的坐標為：。（4,-舊），。式4,炳），。3（2,2）,。式-2,3+舊）,

25（-2,3-714）.

圖2

二次函數(shù)y=/+bx+c的圖象與x軸相交于點

A(-1,O)和點5(3,0),與y軸交于點C.

(1)求6、c的值；

(2)點P(〃z,")為拋物線上的動點，過P作x軸的垂線交直線/:y=x于點Q.

①當。<m<3時，求當尸點到直線/:y=x的距離最大時m的值；

②是否存在加，使得以點。、C、P、。為頂點的四邊形是菱形，若不存在，請說明理由;

若存在，請求出加的值.

解：(1)由二次函數(shù)〉=尤2+法+°的圖象與了軸相交于點4-1,0)和點8(3,0),得:

Jl-/?+c=0

[9+3Z?+c=0'

解得：

y—x2—2x—3,

b=-29c=-3?

(2)①點P(m,")在拋物線上y=f-2x-3,

/.P(m,m2-2m-3),

321

/.PQ=m—(m2—2m—3)=—m2+3m+3=—(m——)2+-,

過尸作x軸的垂線交直線/:y=x于點Q,

/.Q(m,m)，

設點尸到直線y=%的距離為h,

直線y=%是一三象限的角平分線，

PQ=A/2/Z,

當尸點到直線/:y=x的距離最大時，PQ取得最大值，

，當機=——--=3時，p。有最大值幺，

2x(-1)24

當尸點到直線/:y=x的距離最大時，機的值為3.

2

②拋物線與y軸交于點C,

.=0時，y=-3,

/.C(0,-3),

OC//PQ,且以點O、C、尸、。為頂點的四邊形是菱形,

PQ=OC,

又OC=3,PQ=|—m2+3m+31,

/.3=|-m2+3m+3|,

3-733

解得：叫=0,叫=3,期=3+『，恤

2

當叫=0時，PQ與OC重合，菱形不成立，舍去;

當m2=3時，?(3,0),2(3,3),

此時，四邊形OCPQ是平行四邊形，由百=30,

:.OQ^OC,平行四邊形OCP。不是菱形，舍去;

當3+屈葉?3+屈3+感

當?=---時，。(---，一--)，

此時，四邊形OCQP是平行四邊形，CQ=-0)2+("F+3)2=