初中數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)講義練習(xí)：函數(shù)思想VIP

函數(shù)思想

【規(guī)律總結(jié)】

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過提出問題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)

關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。

在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)

用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產(chǎn)生

由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題也可以

轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。

【典例分析】

例1、如圖，點(diǎn)G是邊長為1的正方形A8Q）的邊上的動點(diǎn)，以為邊長作正方形

BEFG,其中A,B,E三點(diǎn)在同一條直線上，連結(jié)A,G,延長AG交CE的連線于點(diǎn)則

AGx的最大值為.

【答案】i

4

【解析】

【分析】

本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的

最值，函數(shù)方程思想.掌握相似三角形的判定和性質(zhì)得二次函數(shù)是解本題的關(guān)鍵.

先根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS證明△EBC=△GBA得乙BCE=乙BAG,再證明△BGA“AHGC,

設(shè)BG=x,則CG=CB-久=1一X,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例得AGXGH的函數(shù)解

析式，最后根據(jù)二次函數(shù)的最值即可解答.

【解答】

解：??,四邊形A3CO和四邊形3E/G是正方形ABC，A,B,￡三點(diǎn)在同一條直線上,

BE=BG,LEBG=Z.GBA=90°,BC=BA,

EBCGBA9

???Z-BCE=Z.BAG,

???乙BGA+乙BAG=90°,4BGA=乙HGC,

???乙HGC+乙BCH=90°,

???(GHC=90°,

???乙GHC=Z-GBA=90°,

又MGA=乙HGC,

BGAHGC9

.BG_AG

"HG-CG'

設(shè)BG=x,則CG=CB—x=1—x,

???AGxGH=BGxCG=x(l—%)=—x2+%=—(%—+:

va=-1<0,

.?.當(dāng)％時，4GxG”有最大值，最大值為

故答案為:.

4

例2、如圖，已知拋物線與無軸交于點(diǎn)4(—1,0)，8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,直線y=-2x+3

經(jīng)過點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)。.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.

(2)點(diǎn)P是(1)中的拋物線上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(0<t<3).

①求團(tuán)PCD的面積的最大值.

②是否存在點(diǎn)尸，使得回PCD是以C。為直角邊的直角三角形?若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

若不存在，請說明理由.

【答案】解：(1)直線y=—2x+3與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：C(0,3),

???拋物線與x軸交于4(一1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，

???設(shè)所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=a(x+1)(%-3),

把點(diǎn)C(0,3)代入，得：3=a(0+l)(0-3),

解得a=-1,.?.所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：丫=一(％+1)0-3)=-/+2尤+3；

(2)①過點(diǎn)P作PE1y軸于點(diǎn)F,交DC于點(diǎn)E,

?+2t+3),則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為—嚴(yán)+2t+3.

以y=-t2+2t+3代入y=-2x+3,得久=《羅

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(《產(chǎn),+2七+3),

.?.PcEl=t--七-2--2-t=-—---+-4-t

22

S^PCD=~PE-CO

=一22尸+3

3

且0<t<3,

???當(dāng)t=2時，△PCD的面積最大值為3；

②△PCD是以C。為直角邊的直角三角形分兩種情況：

(I)若"8=90°,如圖2,過點(diǎn)尸作PG1y軸于點(diǎn)G,

則APGCfCOD,

.?《=*,即”年￡,整理得2t2_3t=0,解得ti=|,t2=0（舍去）

c.uuc/31.5z

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(l,f)

(U)若NPDC=90。，如圖3,過點(diǎn)尸作PH軸于點(diǎn)X,

X

貝lJ△PH。s△OOC

PH_PHg|j-t2+2t+3_t-1.5

''DO~CO"-L5—-3'

2

整理得4t-6t-15=0,解得tx=號l以=上咨(舍去)?

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(三等，三警).

綜上所述，當(dāng)△PCD是以CO為直角邊的直角三角形時,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(|,弓)或(土獸，三警).

【解析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)

的坐標(biāo)特征、三角形相似的性質(zhì)和判定以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角

形相似的性質(zhì)和判定，善于用方程的思想求點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)利用待定系數(shù)法求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

2

(2)①如圖1,作輔助線PF,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,-t+2t+3),則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-/+2t+

3,表示PE的長，根據(jù)三角形面積公式可得S與r的關(guān)系式，配方后可得最值；

②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理得出關(guān)于f的方程，解方程即可確定點(diǎn)的坐

標(biāo).

【好題演練】

一、選擇題

1.如圖，邊長為1的正方形A8C。的對角線AC、8。相交于點(diǎn)。,有直角NMPN,使直角頂

點(diǎn)P與點(diǎn)。重合，直角邊PM、PN分別與。4、。3重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)NMPN,旋

轉(zhuǎn)角為。(0°<9<90°),PM、PN分別交A3、BC于E、尸兩點(diǎn)，連接所交于點(diǎn)G,

則下列結(jié)論中正確的是()

(1)FF=V2OF;

⑵S四邊形OEBF：,正方形ABCD=1：4;

(3)BE+BF=&04;

(4)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)ABEF與ACOF的面積之和最大時，AE

(5)OG-BD=AE2+CF2.

A.(1)(2)(3)(5)B.(1)(3)(4)(5)C.(2)(3)(4)(5)D.(1)(2)(3)(4)

【答案】A

【解析】

【分析】

此題屬于四邊形的綜合題.考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、

相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值問題.注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是

解此題的關(guān)鍵.

(1)由四邊形ABC。是正方形，2LE0F=90°,SOE=ACOF{ASA),則可證得結(jié)論;

(2)由(1)易證得S絲茲形0EBF-S&BOC=%S正方形ABCD，則可證得結(jié)論；

(3)由BE=CF,可得BE+8F=BC,然后由等腰直角三角形的性質(zhì)，證得BE+BF=?OA;

(4)首先設(shè)2E=x,則BE=CF=l—x,BF=x,繼而表示出ABEF與△COF的面積之和，

然后利用二次函數(shù)的最值問題，求得答案；

(5)易證得△OEGsA。8凡然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得0G?08=0￡2,再利

用。8與8。的關(guān)系，OE與跖的關(guān)系，即可證得結(jié)論.

【解答】

解：(1)???四邊形ABC。是正方形，

???OB=OC,/.OBE=ZOCF=45°,乙BOC=90°,

???乙BOF+Z.COF=90°,

乙EOF=90°,

???乙BOF+乙BOE=9。。,

???乙BOE=Z-COF,

在△BOE和△COF中，

(ZBOE-ZCOF

\OB-OC.

IZOBE-ZOCF

???△BOEwZkCOFQ4s4),

??.OE=OF,BE=CF,

：.EF=五OE;

故(1)符合題意；

(2)S四邊形OEBF—SABOE+S4BOF=^ABOF+S&COF=S^BOC=正方形ABCD，

'S四邊形OEBF：S正方形ABCD=、：4；

故(2)符合題意；

(3)-.?△BOE=ACOF,

BE+BF=BF+CF=BC=V2OX;

故(3)符合題意；

(4)過點(diǎn)。作。HLBC,

設(shè)2E=x,貝UBE=CF=1—x,BF=x,

???S^BEF+S^COF=1BE-BF+^CF-OH=^%(1一%)+*1-/)X[=-之(%一乎十強(qiáng)

???當(dāng)％=1時,S^BEF+S^COF最大;

即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)48”與ACOF的面積之和最大時，AE=^

4

故(4)不符合題意；

(5)vNEOG=乙BOE,乙OEG=乙OBE=45°,

???△OEG—AQBE,

OE：OB=OG：OE,

：.0G?OB=OE2,

OB--BD,0E=—EF>

22

???OGBD=EF2,

?.?在ABEF中，EF2=BE2+BF2,

：.EF2=AE2+CF2,

：.OGBD=4產(chǎn)+CF2.

故(5)符合題意.

故選：A.

二、填空題

2.如圖，邊長為4的正方形ABC。中，尸是BC邊上一動點(diǎn)（不含8、C點(diǎn)）.將AABP沿直

線AP翻折，點(diǎn)8落在點(diǎn)E處；在C。上有一點(diǎn)M,使得將aCMP沿直線翻折后，

點(diǎn)C落在直線PE上的點(diǎn)尸處，直線PE交。于點(diǎn)M連接AM,M4.則以下結(jié)論中正

確的有—（寫出所有正確結(jié)論的序號）.

①NM4P=45°；

②當(dāng)尸為BC中點(diǎn)時，AE為線段NP的中垂線;

③四邊形的面積最大值為10；

④線段AM的最小值為2b；

⑤當(dāng)AABP三AADN時，BP=4V2-4.

【答案】①③⑤

【解析】

【分析】

此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的

性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學(xué)會添加常用輔助

線，屬于中考壓軸題.

①正確，△APE^Rt△APB,即可得出結(jié)論；

②錯誤，設(shè)ND=NE=y,在RtAPCN中，利用勾股定理求出y即可解決問題；

③正確，設(shè)PB=x，構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)解決問題即可；

④錯誤，作MG1AB于G,因?yàn)?溟不稱=71^47/，所以AG最小時AM最

小，構(gòu)建二次函數(shù)，求得AG的最小值為3,AM的最小值為5；

⑤正確，在上取一點(diǎn)K使得4K=PK,列出關(guān)于的方程即可解決問題.

【解答】

解：???四邊形ABC。是正方形，

???乙D=Z.B=Z-BAD=90°,AD=AB,

由折疊知，(AEN=Z,B=90°,AE=AB,

??.AD=AB=AE,乙D=乙AEN=90°,

在Rt△力DN和RtAAEN中，

^AD=AE

???Rt2ADN三RtAAEN,

???乙DAN=乙EAN,

(sp_AP

1￡Rt△APE^RtAAPB,{?r[

IAE-ALf

???RtLAPE^RtLAPB,

??.Z.EAP=乙BAP,

???乙DAN=乙EAN,乙BAD=90°,

??.Z.PAN=45°,

故①正確；

當(dāng)PB=PC=PE=2時，

由折疊知，ND=NE,

設(shè)ND=NE=y,

在RtAPCN中，(y+2)2=(4-y)2+22,

解得y=p

：.NE手EP,故②錯誤；

設(shè)PB=x,貝!]CP=4-x,

???△CMP-ABPA,

PB_AB

??CM-PCf

???CM=i%(4-%),

X4

S四邊形AMCB=|[4+；(-x)]x4=-|x2+2x+8=-|(x-2)2+10,

x=2時，四邊形AMCB面積最大值為10,故③正確；

作MG14B于G,

???AM=y/MG2+AG2=y/16+AG2,

???4G最小時AA1最小，

???4G=4B-BG=AB-CM=4—qx(4-x)=:(x—2)2+3,

x=2時，AG最小值=3,

AM的最小值=V16+9=5,故④錯誤；

,-,AABP=LADN時，

???NPAB=4DAN=22.5°,在AB上取一點(diǎn)K使得AK=PK,

???NKPA=Z.KAP=22.5°

???乙PKB=/.KPA+4KAp=45°,

???ABPK=乙BKP=45°,

PB=BK,AK=PK=正PB,

：.PB+V2PB=4,

PB=4V2-4,故⑤正確.

故答案為：①③⑤.

3.如圖，在2L4BC,Z.BAC=45",^ACB=60°,BC=473-4,。是8c邊上異于點(diǎn)

B,C的一動點(diǎn)，將回48。沿A3翻折得到回ABE,將回4CD沿AC翻折得到回2CF,連

接EF,則四邊形EBC尸面積的最大值是.

【答案】18-8V3

【解析】

【分析】

本題主要考查翻折的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的定義、二次函

數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵；解題時設(shè)CD=x,貝”0=4次-

4-x,由將AABD沿翻折得至IjElABE,將回4CD沿AC翻折得至旭ACF,可知回ABE三回

ABD,團(tuán)ACF=^\ACD,由止匕可得BE=BD,CF=CD,然后分另U過點(diǎn)E、F做EN1BC于點(diǎn)

N,FMJ.BC于點(diǎn)、M,由三角形內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的定義易得4EBN=30。，Z.FCM=60°,

進(jìn)而可得硒、BN、CM、MW的大小，最后由四邊形EBCF面積等于梯形EMWF的面積減

去AEBN,再減去Z1CFM的面積得出關(guān)于x的函數(shù)，由二次函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

【解答】

解設(shè)CD=x,則BD=4'\/3—4—x?

?.?將△4BD沿AB翻折得至!]△ABE,將44CD沿AC翻折得至!!△ACF,

???△ABEmAABD,△ACF^AACD,

???4ABE=UBD,/.ACF=z4CZ)=60°,

BE=BD=4V3-4-x,CF=CD=x,

如圖，分別過點(diǎn)E、尸做EN1BC于點(diǎn)N,FMLBC于點(diǎn)M,

ACI；,^\(II"I,

^ABC=75°,AEBN=30°,AFCM=60°,

EN=：BE,BN=yBF,

CM=^CF,MF=~CF,

■■NM=NB+BC+CM,

NM=—BE+BC+-CF

22

:.s四腐￡獷。1S“A￡\.”F―必￡6A-S^CMr

111

=5(EN+FM)?NM--BN-EN--CM-FM

1]]

Voz/—、2

=——(4^/3—4—x)H——x,———4一汽)+4A/3—4+—X———(^4v3—4—xj

乙乙乙乙乙8

_V32

8x

1L

=-7+2%+16-8\3

1

=--(X-2)2+18-8V3

.?.當(dāng)x=2時，四邊形E8CP的面積最大，為18-8g，

故答案為18-8V3.

4.如圖，矩形A3。中，AB=6,AO=8,點(diǎn)E在邊AD上，CE.ED

與BD相交于點(diǎn)E設(shè)DE=x,BF=y,當(dāng)0<x<8時，y關(guān)于x的

函數(shù)解析式為一.

【答案】，=提

【解析】解：在矩形中，AD//BC,

DEF~ABCF,

.DE_DF

''BC~BF9

???BD=ylBC2+CD2=10，BF=y,DE=%,

.?.DF=10—y,

xIQ-y曰80

=h，化間得：y=—.

??.y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：y=E

X+o

故答案為：y=^-.

根據(jù)題干條件可證得△DEfsABCG從而得到￡=￡,由線段比例關(guān)系即可求出函數(shù)解析

BCBF

式.

本題主要考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)定理，難度不大，熟練掌握性質(zhì)和判定定理是解

得本題的關(guān)鍵，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與函數(shù)思想的應(yīng)用.

三、解答題

5.如圖，已知拋物線與x軸交于4(一1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,直線y=-2乂+3

經(jīng)過點(diǎn)C,與無軸交于點(diǎn)D

(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)點(diǎn)尸是(1)中的拋物線上的一個動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t(0<t<3).求4PCD的面

積的最大值；

(3)在(2)的條件下是否存在點(diǎn)P,使得△PCD是以CD為直角邊的直角三角形？若存在,

求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】解：(1)直線y=-2%+3與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為：C(0,3),。(|,0),

?.?拋物線與無軸交于4(一1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，

???設(shè)所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=a(x+l)(x-3),

把點(diǎn)C(0,3)代入，得：3=a(0+l)(0-3),

解得a=-1,.?.所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=+-3)=—M+2x+3；

(2)過點(diǎn)P作PE1y軸于點(diǎn)F,交￡>C于點(diǎn)E,

由題意，設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(t,—t2+2t+3),則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為一t2+2t+3.

以y=-t2+2t+3代入y=-2x+3,得x=

.??點(diǎn)E的坐標(biāo)為(與4,一/+2t+3),

cl八t2-2t-t2+4t

PE=t------=------

22

1

S“CD=^PE'CO

1-t2+4t3

=-x-----x3

22

2

=-2(t-2)+3

va=——<0,且0VtV3,

4

當(dāng)t=2時，△PCD的面積最大值為3.

(3)△PCD是以CO為直角邊的直角三角形分兩種情況：

(I)若NPCD=90。，如圖2,過點(diǎn)P作PG軸于點(diǎn)G,

則4PGCfCOD,

.噌=需，即(=*￡,整理得2產(chǎn)-3t=0,解得h=

3

2

,t2=0(舍去)

???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(

3

2

15

4

)

（□）若NPOC=90。，如圖3,過點(diǎn)尸作P”l%軸于點(diǎn)H,

貝以「“。?△00C

PH

DO

DH

CO

,即

—力2+2t+3

1.5

t-1.5

3

整理得4t2-6力-15=0,解得匕=

3+

V69

4

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為（9咨,%竺）.

綜上所述，當(dāng)△PC。是以CO為直角邊的直角三角形時，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（

3

2

15

4

\或/-3+V69-3+V69.

(4'8J

【解析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)

的坐標(biāo)特征、三角形相似的性質(zhì)和判定以及直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角

形相似的性質(zhì)和判定，善于用方程的思想求點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)利用待定系數(shù)法求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如圖1,作輔助線PF,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,-產(chǎn)+2t+3),則點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為-/+2t+3,

表示PE的長，根據(jù)三角形面積公式可得S與r的關(guān)系式，配方后可得最值；

(3)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)、勾股定理得出關(guān)于f的方程，解方程即可確定點(diǎn)的

坐標(biāo).

6.如圖，O4=OB=50cni,0c是一條射線，0cl4B,甲小蟲由點(diǎn)A以2cm/s的速度

向點(diǎn)8爬行，同時乙小蟲由點(diǎn)。以3cm/s的速度沿0C爬行，當(dāng)甲小蟲到達(dá)點(diǎn)8時兩只

小蟲同時停止爬行.

CC

備用圖

(1)設(shè)小蟲運(yùn)動的時間為XS,兩小蟲所在位置與點(diǎn)。組成的三角形的面積為四m2(不妨

設(shè)甲小蟲到達(dá)點(diǎn)。時，y=0),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

(2)當(dāng)小蟲運(yùn)動的時間為多少時，兩小蟲所在位置與點(diǎn)O組成的三角形的面積等于

450cm2?

(3)請直接說明y隨x的變化而變化的情況.

【答案】解：(1)當(dāng)甲小蟲位于點(diǎn)。左側(cè)，即0Wx<25時，y=*50-2x)-3x=—3x2+

75%；當(dāng)甲小蟲位于點(diǎn)。右側(cè)，即25<xW50時，丫="2%-50)-3刀=3/-75%，

—3x2+75x(04工v5)

綜上，y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為y-IHr25)；

3x*—75x(25<]￡50)

(2)當(dāng)0<x<25時，令—3/+75%=450,

解得x=10或15,

當(dāng)25<x<50時，令3--75X=450,

解得x=30或一5(不合題意，舍去)，

故當(dāng)小蟲運(yùn)動的時間為10s,15s或30s時，兩小蟲所在位置與點(diǎn)。組成的三角形的面積等

JF450cm2；

⑶當(dāng)0<%<12,5時，y隨x的增大而增大；當(dāng)12.5<x<25時，隨x的增大而減?。划?dāng)25<

xW50時，y隨x的增大而增大.

【解析】本題主要考查二次函數(shù)的綜合題，一元二次方程的應(yīng)用，注意分類討論.

(1)可分三種情況列函數(shù)關(guān)系式：當(dāng)甲小蟲位于點(diǎn)。左側(cè)；當(dāng)甲小蟲位于點(diǎn)。右側(cè)；當(dāng)甲小

蟲位于點(diǎn)。時；

(2)可分兩種情況：當(dāng)0W%<25時；當(dāng)