2023屆江西省九江市高三年級下冊高考數(shù)學（理）模擬考試試卷（含答案）

九江市2023年第二次高考模擬統(tǒng)一考試

數(shù)學試題(理科)

本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.

考生注意：

1.答題前，考生務必將自己的準考證號、姓名等內容填寫在答題卡上.

2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標號，第H卷用黑色簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上作答，答案無效.

第I卷(選擇題60分)

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

/31

L已知復數(shù)Z滿足iz=[+2i,則Z2=(C)

173.1

A4.-+—ic回D.」+g

22222222

m15/3.i3

解：2=7-二-1，/.Z2=----1,故選C.

2222

2.已知集合A=B={Aly=ln(x-l)},則(C/)nB=(A)

A.(-1,0)B.(-℃,0)C.(-2,-1)D.(-oo,-l)

解:A={xlx<0},B=[x\-l<x<OBJCX>1),(CA)pS={xI-1<x<0},故選A.

RR

元+2y21

3.已知實數(shù)無,y滿足條件x-yWl,貝i|z=3x-4y的最大值為(D)

y-l<0

A.-7B.1

C.2D.3

x+2y>l

解:作出不等式組｛x-表示的平面區(qū)域，如圖所示，

y-l<0

平移直線/:3x-4y=0,當過點4(1,0)時，z=3,故選D.

0max

4.已知命題pPxeR,x2+2x+2-a<0,若p為假命題，則實數(shù)。的取值范圍為(D)

A.(l,+°o)B.[1,+<?)C.(-oo,l)D.(-oo,l]

解:依題意，^A=4-4(2-?)<0,故選D.

8Q/T

5.已矢口sin^—coS/二看，0e(0,7i),則cos9=(B)

2Q2。11

A-丁B「丁C，3D--3

sin--cos—=^->0,J=L0e(0,TI),(sin--cos—)2=—,sin0=-,Qe(—,71),:.cos0=-^^.

223223323

故選B.

,oc4095

6.執(zhí)行右邊的程序框圖，如果輸入的是〃=LS=0,輸出的結果為

4096

則判斷框中“O”應填入的是(C)

A.n<13B.n>12

C."<12D.n<11

解：執(zhí)行循環(huán)體后，當〃=12時，5=1+J-+..1

?+—二

222212

4095皿a(J束)

=1-4096-故選C

7.已知變量的關系可以用模型y=ke，，，x擬合，設z=Iny,其變換后得到一組數(shù)

據(jù)如右.由上表可得線性回歸方程z=3x+a，則左=(B)X12345

A.e-3B.e-2C.e2D.e3Z2451014

解：由表格數(shù)據(jù)知：x=3,￡=7.由z=3x+a,得a=7_3x3=_2,

z=3x-2,z=Iny=Ink+mx=3x-2,：.lnk=-2,k=e-2,故選B.

8.如圖，正方體ABCO-ABCO的棱長為2,“是面3CC3內一動點,

lilt11

且則。M+MC的最小值為(C)4

1

A.R+2

c.72+76D.2

解:連接班),BC,DC,易知AC,平面BDC,

1111

Ai

:DMLAC,.1DW2平面BDC,即M在線段

11

BC上.將沿著BC展開，使得￡>,3,C,C；大一

1111

四點共面，則。M+="+故選C.

9.青花瓷又稱白地青花瓷，常簡稱青花，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一，屬釉下

彩瓷.一只內壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高為icm,瓷碗的軸截面可以近似看成是

拋物線，碗里不慎掉落一根質地均勻、粗細相同長度為22cm的筷子，筷子的兩端緊貼瓷碗內壁.若筷子

的中點離桌面的最小距離為7cm,則該拋物線的通徑長為(C)

解:如圖，建立平面直角坐標系，設拋物線的方程為短=20；(0〉0),W二W

焦點廠(0,4),設A(x,y),8(x,y),1,

21122i

“叫=22,陷平個陽，7+%+K22,\，_一夕

設線段中點為則2y+p>22,由題意可知，y的最小值/

為6,；.12+p=22,p=10,.?.該拋物線的通徑長為2p=20,故選c.",

10.在△ABC中，三內角A,3,C所對的邊分別是凡瓦c,已知+=a=3當B取

cosAcosCcosB

最小值時，△ABC的面積為?

C.正D.272

sinAsinCsinB

解：由正弦定理得-----+-----=------,即tanA+tanC=tan5,tanA+tanC=-tan(A+C),

-cosAcosCcosB

tan4+tanC=_tanA+tanC...tanA+tanC0,tanAtanC=2,A,C為銳角.

1-tanAtanC

又tan5=tanA+tanC>2JtanAtanC=2版,即5取最小值時，tanB取最小值2J7,

止匕時tanA=tanC=JJ,△ABC為等腰三角形，c=a=^/3,sinB=,

]]_2/TL

/.S=-acsinB=_x73x^/3x_2_=,故選C.

/XABC2

Y2V2

11.已知雙曲線c：一一二=1(a,b>0)的左右焦點分別為尸，/，M是雙曲線C左支上一點,

a2b212

且NFMF=30°，點F關于直線MF對稱的點在y軸上，則C的離心率為(A)

1212

解:設點廠關于直線板對稱的點為P,連接Pb,則尸歹為正

三角形，/=30°.又/尸MF=30°,」MF1=2c

IMF1=2y/3c,由雙曲線的定義知2a=2A-2c,解得

1—巾+1

故選A.

4―0-12

12.設a=sin；,。=展一1,c=ln￡,則a,b,c的大小關系為(B)

44

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a

解:將1用變量光替代，則。=5m了，b=e*-l,c=ln(x+l),其中xe(O,l),易證-1>x>sinx,

4

:.b>a令/(x)=sinx—ln(x+l),貝g/'(x)=cosx——^―,f\x)=-sinx+————,

x+1(X+1)2

易知/"(x)在(0,1)上單調遞減，且/"(0)=1>0,/ff(l)=1-sinl<0,.-.Hre(0,1),使得〃。)=0,

4oo

當X￡(O,X)時，f\x)>Q,廣(尤)單調遞增;當X￡(%,1)時,/〃(尤)<0,廣(元)單調遞減.

00

又/'(0)=0,/⑴=cosl—；>0,.?./'(x)>0,.?./(X)在(0,1)上單調遞增，

/(%)>/(0)=0,即sinx>ln(x+l),:.a>c,

綜上，b>a>c,故選B.

第II卷(非選擇題90分)

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13-21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22-23題為選考題,

學生根據(jù)要求作答.

二、填空題:本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(2+J7)6的展開式中，常數(shù)項為60.

JC

r\2a32

解：(4+6)6展開式的通項為?「(一)6_(6),=26-?521),令工廠―6=0,得廠=4,故(—+6)6的

X6X62X

展開式中，常數(shù)項為26-4C4=60.

6

2兀

14.已知非零向量Q8滿足13=21加，且S—3〃)1=Q2,則d〃的夾角為行.

解：設向量〃b的夾角為。,?.?(b-3a)b=b2-3ab=〃2,:.\bh-6\b\2cos0=4b2,即00=-L,

.-.9=—.

3

71

15.函數(shù)/(x)=4sindx-lx-ll的所有零點之和為6.

7171

解：令/(x)=0,得4sin'%=lx-II,問題等價于函數(shù)，=45也2％與y=lx-ll圖象的所有交點的橫

坐標之和?兩函數(shù)的圖象關于直線尤=1對稱，且有且僅有6個交點(x,y),(%,y)一??,(%,y),

112266

=3x2=6.

i

i-1

16.根據(jù)祖Bfi原理，界于兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩

個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.如圖1所示，一個容器是半徑為R的半球，另一個容器

是底面半徑和高均為R的圓柱內嵌一個底面半徑和高均為R的圓錐，這兩個容器的容積相等.若將這兩容

器置于同一平面，注入等體積的水，則其水面高度也相同.如圖2,一個圓柱形容器的底面半徑為4cm,

高為10cm,里面注入高為1cm的水，將一個半徑為4cm的實心球緩慢放入容器內，當球沉到容器底端

解：設鐵球沉到容器底端時，水面的高度為/i.由圖2知，容器內水的體積加上球在水面下的部分體積等

于圓柱的體積，由圖1知相應圓臺的體積加上球在水面下的部分體積也等于相應圓柱的體積，故容器內水

的體積等于相應圓臺的體積?容器內水的體積為丫卜=71X42X1=1671,相應圓臺的體積為

水

4417、//7、64兀(4一0)3?！?4兀(4一力)3兀

X7ix42x4一一X71X(4—/l)2x(4—九)=------------,/.16兀=--------------,解得

33333

/2=4-^16=4-2^2?4-2x1.26=1.48cm.

三、解答題:本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)

。IQ

已知公差不為零的等差數(shù)列｛。｝中，a+a=8,且a,a,a成等比數(shù)列，記b=(-—.

n152511naa

nn+\

⑴求｛aJ的通項公式；

⑵求｛d｝前〃項和的最值.

n

解：(1)<〃+。=8,/.a+2d=4...........2分

151

?：a,a成等比數(shù)列，:.a?=a-a,即(a+4d”=(a+d)?(a+10d),

25115211111

化簡得—2d2=。,?4分

i

a+2d=4,a=2,(2=4,

或9=0；(舍去)………5分

由<'M解得i

aa-2a2=0,d—\

i

/.a=2+(〃-1)x1=〃+1..........6分

n2n_|_3

=(―1)?+13=(—])〃+ix(11

⑵由⑴可知b=(-l)?+i”+)7分

na-a(〃+1)?(〃+2)n+1〃+2

nn+1

設也｝的前〃項和為S,

nn

：.s=(i+[—J+L+(i+1)-…+(—i)“(i+1)+(—l)”+i(111+(—1"1

+)

"233445nn+1n+1〃+22n+2

..........8分

當〃為奇數(shù)時，S=：+」，｛S｝單調遞減，＜S

9分

〃2n+2〃2〃i

當"為偶數(shù)時，=H｛SJ單調遞增，………】。分

他｝前〃項和的最大值為S=^+—=1,最小值為S=1--1—=1..........12分

?121+26222+24

18.（本小題滿分12分）

TT

如圖，在三棱柱ABC—ABC中，AC，平面ZABB=_,

iiiiii3

AB=1,AC=A4=2,。為棱88的中點.

11

（1）求證：平面AC。；

11

（2）在棱BC上是否存在異于點3的一點E,使得DE與平面AC。所

11

71一一BE一

成的角為??？若存在，求出行的值；若不存在，請說明理由.

oBC

證明：（1）???AC，平面ADJ平面AABB,.?.AC,AO,

11工11

..........1分

-AC//ACfADIAC2分

iiii

兀兀7C

由已知得AB=BO=1,ZABD=_,：.ZADB=_,同理可得44。6=一.....3分

33116

八z

兀

ZADA=n-(ZADB+ZADB)=-,即.....4分

11121

又A￡)r|AC=A,AD,AC0平面AC。，AO_L平面

1111111H1111

兀

解：(2)連接AB,?.?/ABB=—，AB=1,BB=2,：.ABLAB,

ii3ii

AC,平面:.ACVAB,ACLAB...........6分

iii

以A為原點，AB,ACAB所在的直線分別為x,y,z軸，建立如圖空

1

間直角坐標系，則4(0,0,0),5(1,0,0),C(0,2,0),7分

設Bi,則E（1-九,2九,。），岑）………8分

由⑴知平面qq。的一個法向量為A力=（；,0,唾）.....9分

1|X+1I]

；」cos<DE,AD>\=「2=_..........10分

一九）2+（2九）2+（—2^）2

3

化簡得4九2-3九=0,解得入=二或九=0（舍去）.....11分

4

兀BE3

故在棱上存在異于點8的一點E,使得DE與平面AC。所成的角為L，且一大=二.....12分

1'6BC4

19.（本小題滿分12分）

現(xiàn)有編號為2至5號的黑色、紅色卡片各一張.從這8張卡片中隨機抽取三張，若抽取的三張卡片的編號

和等于10且顏色均相同，得2分；若抽取的三張卡片的編號和等于10但顏色不全相同，得1分；若抽取

的三張卡片的編號和不等于10,得0分.

（1）求隨機抽取三張卡片得0分的概率；

（2）現(xiàn)有甲、乙兩人從中各抽取三張卡片，且甲抽到了紅色3號卡片和紅色5號卡片，乙抽到了黑色2號

卡片，求兩人的得分和X的分布列和數(shù)學期望.

解:（1）三張卡片編號和等于10有3種可能，分別為：2+3+5,3+3+4,2+4+4.........1分

其中，三張卡片編號均不同的情況共有：N=23=8種.....2分

1

有兩張卡片編號相同的情況共有：%=2x2=4種………3分

設“隨機抽取三張卡片得分為。分”為事件A,，P（A）=1-P（Z）=1-婆=1-11=1-

C3561414

8

即隨機抽取三張卡片得0分的概率為!.....4分

14

（2）得分和X的可能值為0,1,2,3,4.....5分

①若X=4,則甲乙各得2分.

即甲為2（紅）+3（紅）+5（紅），乙為2（黑）+3（黑）+5（黑），有1種情況.

1_1

P(X=4)=C1C2-306分

54

②若X=3,則甲得2分乙得1分.

即甲為2（紅）+3（紅）+5（紅），乙為2（黑）+4（紅）+4（黑）有1種情況.

11

P(X=3)=7分

C1C230

54

③若X=2,則甲得2分乙得0分或乙得2分甲得0分.

若甲得2分乙得0分,則甲為2（紅）+3（紅）+5（紅），對應乙有4種情況;

若乙得2分甲得0分,則乙為2（黑）+3（黑）+5（黑），對應甲有2種情況.

—4+261、

r（,A=切=-----=一=一.....8分

OC2305

54

④若x=l,則乙得1分甲得0分.

即乙為2（黑）+4（紅）+4（黑），對應甲有2種情況.

22_1

P（X=1）=9分

C1C230-15

54

⑤若X=0,則甲和乙均得0分.

20.（本小題滿分12分）

X2V2/3

如圖,已知橢圓U布+五=1（.〉人°）的離心率為直線/與圓q：x2+A="相切于第一象限,

與橢圓c相交于A,8兩點，與圓Q：龍2+V=42相交于w,N兩點，\MN\=2>/3.

（D求橢圓C的標準方程；

（2）當?shù)拿娣e取最大值時（。為坐標原點），求直線/的方程.

解：（1）依題意得IAWI=2ja2—bz=2道,⑺—從=3..........1分

又02=b2+C2,；.C2=3,C=y/3..........2分

?：e=-=,:.a=2,b=l..........3分

a2

Y2

橢圓C的標準方程為亍+W=1..........4分

（2）解法一：依題意可設直線/的方程為y=kx+機（k<0,機〉0）,A（x,y）,B（x,y）,

1122

ImI

?.?直線/與圓C相切，=1,即機2=1+k2.........5分

1Jl）+%2

y=kx-\-m,

聯(lián)立方程組<消去y整理得（1+4左2）%2+8Qnx+4加2-4=。......6分

彳+產(chǎn)=1,

8km4機2—4

X+X=----------,XX=-----------7分

121+4左2121+4^2

S=—xlxIAB1=-J1+.2lx-%|=1J1+-2?/（x+x）2-4xx

△ObB22122、1212

1r—―/8km、.4m2-4251+左2.J一加2+1+4）2_253。2（1+12）

力-中p-4."9分

1+4左21+4左2

???3左2+（1+左2）2213左2（1+左2）,

即SMl10分

1+4左2△04B

當且僅當左=-半時取等號

11分

..?直線/的方程為y=—+當，即x+—番=0

12分

解法二依題意知直線/的斜率存在，設切點P的坐標為(口。)(°<W0<1),R'),8心?

?.?直線。尸的斜率為學，OP，/,...直線/的方程為》一天=一去(無一無0),

0,0

又TX2+V2=1%x+yV=1

^^00005分

xx+yy=L

o0

聯(lián)立方程X2消去y整理得(4x2+y2)x2-%x+4-4y2=06分

+丁2=1,

~4

8%4-4y2

X+X=----0——xx=------o_7分

124%2+y2124%2+y2

0000

+y八2)_4y/3jx2(l-x2)

味-%上"儲+4)2—招&=y

3x2+1'

000

1114nliL.1LX2xj)_2y/^x

:.S=_xlxIAB\=—-1+-0-lx-xl=—?1+f3x2+13x2+19分

/XOAB22\y2122\y2

Vo1ooo

10分

o

當且僅當X=*,y=更時取等號

11分

03o3

，直線/的方程為x+y=1,即x+5/Jy-5/T=012分

21.(本小題滿分12分)

已知函數(shù)/(x)=e、-a%2(〃￡R),g(x)=x-l.

⑴若直線>=g(x)與曲線y=/(x)相切，求。的值；

⑵用min3,〃｝表示加,”中的最小值，討論函數(shù)/z(x)=min｛/(x),g(x)｝的零點個數(shù).

解：⑴設切點為(x4),?/f'M=e.v-2ax,f'(x)=e<0-lax1分

00o0

ex0-2ax=1,

o(*)2分

ex-ax2=x-1,

o00

消去。整理，得(e%+l)(x-2)=0,二x=23分

00

e2-1

a=-----4分

4

⑵①當xe(—oo,l)時，g(x)<0,/i(x)=min{/(x),g(x)}Wg(x)<0,,/?。)在(一00,1)上無零點

.....5分

②當x=l時，g(D=0,〃l)=e-

若〃We,/⑴20,此時/z(x)=g⑴=0,%=1是力(無)的一個零點,

若a>e,/(1)<0,此時力(％)=/(1)<0,無=1不是力(無)的零點……6分

③當尤e(l,+?)時,g(x)>0,此時以無)的零點即為〃x)的零點.

口,OxLIx(x—2)0x

令/(X)=口工-0X2=0,得。=一，令(p(x)=一,則(p(x)=--------,

X2X2X3

,

當l<x<2時，(p(x)<0:當x〉2時，(p'(x)>0,在(1,2)上單調遞減，在(2,+8)上單調遞增，

且當xf+00時，(p(x)—+<?......7分

02

(i)若?！窗?),即a<時,/(x)在(1,+8)上無零點，即依無)在(L+oo)上無零點.....8分

4

e2

(近)若。=中(2),即。=4時，/(X)在(1,+8)上有一個零點，即皿>)在(1,+8)上有一個零點

.....9分

02

(iii)若(p(2)<a<(p⑴，即又<a<e時，/(x)在(l,+oo)上有兩個零點，即6(x)在(1,+8)上有兩個零

點.....10分

(iv)若a2(p(l),即a2e時，/(x)在(1,+8)上有一個零點，即/z(x)在(1,+8)上有一個零點

.....11分

n2n2

綜上所述，當a〈一或。>口時，%(x)在R上有唯一零點；當。=二或。=口時，%(x)在R上有兩個零

44

口2

點；當一<a<口時,例>)在R上有三個零點.....12分

4

請考生在第22-23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.(本小題滿分10分)選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

一JQ—___1__

在直角坐標系xOy中，已知直線/的方程為冉+嫄曠+1=0,曲線C的參數(shù)方程為,-cosa(a為

y-tana

參數(shù)).以。為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系.

(1)求直線I的極坐標方程和曲線c的普通方程；

⑵設直線丁=依(左〉0)與曲線C相交于點A6,與直線/相交于點C,求2—屋j—的

依|2I0BI2\OC\2

最大值.

角軍：(1)令*=pcosO,y=psin0,cos0+V2psin0+1=0,

,J21

即直線l的極坐標方程為P=-——，即P=------------.........2分

2(sm0+cos0)2sin(0+71)

11sin2a，-

?.?--------tan2a=------------------=1,%2一產(chǎn)=1,

cos2acos2acos2a

即曲線。的普通方程為X2-y2=l5分

兀

（2）解法一：直線>=立（左>0）的極坐標方程為e=a（0<a<_）.....6分

兀

設Aja),則㈣,…)，C(Pd+a)(0<aj),

11

曲線C的極坐標方程為P2=g'五五

L_+_L_=±+±=2cos2a

7分

10412\OBVp2p2

I2

①1=]=2(sincx+cosoc)2=2+2sin2a

又P3=8分

2(sina+cosa)\OC\2p2

3

111

--------+---------+------=--2-+2cos2a+2sin2a=2+2^2sin(2a+；)9分

IOAI2IOB|2IOC|2

—!—+—!—+—!—的最大值為2+2J2