高考數(shù)學(xué)（題型預(yù)測+范例選講）綜合能力題選講 第03講 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（含詳解）

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)題型預(yù)測指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)都是非常重要的初等函數(shù)，也是我們在高中階段研究函數(shù)問題時主要的載體．其它初等函數(shù)與之相復(fù)合，所得到的新函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性，以及它們與不等式的綜合常常成為考查的核心．范例選講例1．已知，其中．（1）試求的定義域和值域；求出的反函數(shù)；（2）求出的反函數(shù)；（3）判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；（4）若實數(shù)滿足，求的取值范圍. 講解（1） 由于，所以，函數(shù)的定義域為R.為求的值域，觀察函數(shù)的解析式．注意到其實是一個單調(diào)函數(shù)（）和一個非單調(diào)函數(shù)（）之和，因此，的單調(diào)性并不能通過簡單判斷很快得到．解決這個問題，我們可以有下面的兩種選擇：一、從單調(diào)性的定義出發(fā)．即任取，且，比較的大小關(guān)系，這種方法留給同學(xué)自己完成．二、通過剛才的觀察，很快可以看出：在上單調(diào)遞增，此時，的取值范圍為；當(dāng)時，，因此，若令，則由，則可知：此時的取值范圍為．又時，．所以，函數(shù)的值域為．所以，函數(shù)的值域為R．（2）設(shè)，則=，利用與互為倒數(shù)，可得=，所以，．所以，=，R． （3）任取R，則==，所以，函數(shù)為奇函數(shù)． 任取，且，則由及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：，，所以，，即．所以，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．（4）由得：，即： 結(jié)合的單調(diào)性可知：上式等價于：，解之得：． 點(diǎn)評①定義域是研究函數(shù)的基礎(chǔ)．求值域、判斷奇偶性、單調(diào)性、研究函數(shù)圖象等都應(yīng)先從定義域出發(fā)．②從定義域出發(fā)，利用函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)值域常用的方法．例2．已知函數(shù)，對定義域內(nèi)的任意都有成立． （1）求實數(shù)的值； （2）若當(dāng)時，的取值范圍恰為，求實數(shù)的值．講解：（1）由及可得：解之得：．當(dāng)時，函數(shù)無意義，所以，只有．（2）時，，其定義域為.所以，或．①若，則．為研究時的值域，可考慮在上的單調(diào)性．下證在上單調(diào)遞減．任取，且，則又，所以，，即．所以，當(dāng)，在上單調(diào)遞減由題：時，的取值范圍恰為，所以，必有，解之得：（因為，所以舍去）②若，則．又由于，所以，．此時，同上可證在上單調(diào)遞增（證明過程略）．所以，在上的取值范圍應(yīng)為，而為常數(shù)，故的取值范圍不可能恰為．所以，在這種情況下，無解．綜